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Full text of "Acta mathematica"

7^^ 



ACTA 



MATHEMATICA 



Digitized by the Internet Archive 

in 2010 with funding from 

University of Ottawa 



http://www.archive.org/details/actamathematica42upps 



,1 



ACTA MATHEMATICA 



ZEITSCHRIFT JOURNAL 



HERAUSGEGEBEN 



G. MITTAG-LEFFLER 



42 



0- "^ 



BERLIX STOCKHOLM PARIS 

MAYER Si MÜLT,ER. AI.MQVIST & WIKSEI-LS BOKTKYCKKKI-A.-B. A. HERMANN ET FILS. 

PUINZ LOUIS KEBDINANDSTRASSE I. 1920 6 KUE DE LA SOBBOXSE. 



CA y I 



j^J-^3 



rrrsAi.A 1020 

AI.MOVIST & WIKSELLS BUKTKYCKEKI-A.' 



REDACTION 

SVERIGE: 

A. V. Bäcklund, Lund. 

I. Fredholm, Stockholm. 

H. VON Koch, » 

A. LiNDSTEDT, » 

J. Malmquist, » 

G. Mittag-Leffler, » 
N. E. NöRLUND, Lund. 
E. Phragmén, Stockholm. 

A. WiMAN, Uppsala. 

NOKGE: 

C. Störmer, Christiania. 
L. Sylow, » 

Axel Thüe, » 

DAN M ARK: 

Harald Bohr, Kjöbenhavn. 
J. Hjelmslev, » 

J. L. W. V.Jensen, » 
H. G. Zeüthen, » 

FINLAND: 

Ernst Lindelöf, Helsingfors. 
Hj. Mellin, » 

Karl F. Sundman, » 



INHALTSVERZEICHNIS - TABLE DES MATIÈRES. 

BAND 42. — 1920. — TOME 42. 



Seile. Pages. 

APPELL, PAUL, Sur l'élément simple de la décomposition des fonctions 

doublement périodiques de troisième espèce 341 — 347 

ARWIN, A, Über die Lösung der Kongruenz (A + 1)^ — /p — 1 = 

(mod p') 173—190 

BIEBERBACH, LUDWIG, Auszug aus einem Briefe des Herrn Bieber- 

bach an den Herausgeber 357 — 361 

BISENHART, L. P., Darboiix's Anteil an der Geometrie... 275-284 

HARDY, G. H., On two theorems of F. Carlson and S. Wigert 327-339 

HILBERT, DAVID, Gaston Darboux (1842-1917) 269—273 

JULIA, GASTON, Extension nouvelle d'un lemme de Schwarz 349—355 

LANDAU, EDMUND, Auszug aus einem Briefe des Herrn Landau an 

den Herausgeber 95— 98 

LBVI-CIVITA, T, Sur la régularisation du problème des trois corps 99 — 144 

LEVY, PAUL, Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans 

le voisinage du contour 207 — 267 

MALMQUIST, J., Sur les fonctions à un nombre fini de branches satis- 
faisant à une équation différentielle du premier ordre 317 — 325 

MITTAG-LEFFLER, G., Sur la représentation analytique d'une branche 

uniforme d'une fonction monogène (sixième note) 285 — 308 

NEVILLE, ERIC H., The classification of sets of points 63— 93 

PÖLYA, GEORG, Zur Untersuchung der Grössenordnung ganzer Funk- 
tionen, die einer Differentialgleichung genügen... 309—316 

RIESZ, FRIEDRICH, Über Potenzreihen mit vorgeschriebenen Anfangs- 
gliedern - 145—171 

— » — Sur l'intégrale de Lebesgue 191 205 

STUDY, E., Zur Theorie der linearen Gleichungen 1— 61 



ZUR THEORIE DER LINEAREN GLEICHUNGEN. 



E. STUDY 
in Bonn. 

Die Deterniinantentheorie liefert die Auflösung eines Systems linearer Glei- 
chungen nicht immer in zweckmässiger Form. Ein geläufiges Beispiel dafür bildet 
das Multiplikationstheorem der Quaternionen, 

«„(/„ f',«'i «;,«'2 «3« 3 = « 'o, 

«0«', + «,«'o + «2f''3 «5«'2^^f'"l) 

«(,«', + «jß'o + «3«', — «jO'j^a",, 

Fasst man dieses häufig auftretende Formejsystem als ein System von Glei- 
chungen für die Unbekannten a'k oder «a-, so wird die zugehörige Determinante 
in beiden Fällen das Quadrat eines Ausdrucks, der von den Koeffizienten der Un- 
bekannten rational abhängt, nämlich das Quadrat der Norm der Quaternion a 
oder «', 

Net = al + «j -I- «5 + al , 
Nu' = a'l + u\ 4- u'\ -f ct'l . 

Ein Faktor Nu oder Nu' geht dann auch in die Zähler der Determinanteii- 
ausdrücke für die Unbekannten ein, und erst nach Wegschaffung dieses über- 
flüssigen und sehr störenden Faktors erhält man die Lösung, falls sie existiert, 
in brauchbarer Form — eben der, die in der Quaternionenrechnung überall an- 
gewendet wird. 

Die Beseitigung des fremden Faktors bietet nun zwar in diesem Falle noch 
keine Schwierigkeit. Indessen sind Vorkommnisse derart sehr häufig, ja sie 

Acta mitthematica. 42. Imprimé le 4 juin 1918. 1 



2 E. Study. 

bilden in der Lehre von den sogenannten böheren komplexen Grössen, d. Ij. in 
der Theorie gewisser Transformationsgruppen, die Regel. Man kennt aber keine 
praktikabele Methode, die Zerlegung einer beliebigen ganzen rationalen Funktion 
in ihre irreduzibelen Faktoren zu bewirken, oder die mehreren solchen Funk- 
tionen gemeinsamen Teiler zu bestimmen, und es ist auch nicht anzunehmen, dass 
es eine solche Methode gibt. Die Theorie des grössten gemeinsamen Teilers 
führt zu unüberwindlichen Schwierigkeiten wohl in allen Fällen, die ein selb- 
ständiges Interesse haben, nämlich nicht zur Erläuterung der Theorie schul- 
mässig zurechtgeschnitten sind. Daher bedarf die Lehre von der Auflösung linea- 
rer Gleichungen einer Weiterbildung in besonderen Richtungen, wobei natürlich 
die Mannigfaltigkeit der Möglichkeiten zu Beschränkungen nöthigen wird. Einige 
solche Fortsetzungen der allgemeinen Theorie liegen auch schon vor, so die Auf- 
lösungstheorie von Gleichungen mit schief-symmetrischer Determinante. 

In der folgenden Untersuchung werden namentlich gewisse Systeme von 
4 m linearen Gleichungen mit 4 m Unbekannten behandelt, Systeme die übrigens 
denselben Grad von Allgemeinheit haben wie irgend welche Systeme von 2 m 
Gleichungen mit zni Unbekannten. Die Gleichungen selbst, sowie ihre Koeffi- 
zienten und Unbekannten sind zu vieren zusammengefasst, derart, dass 711 s>&ym- 
bolisclie» Gleichungen der Form 

^«i^a;* = konst., oder ^i.aiyt = konst. 

k i 

entstehen, in denen die Koeffizienten wie die Unbekannten Qvalernionen oder 
zweireihige Matrices sind. Die Unbekannten stehen immer auf derselben Seite der 
Koeffizienten. 

Gleichungen oder Gleichungssysteme ähnlicher Form kann man offenbar in 
jedem System höherer komplexer Grössen bilden; von einigen weniger lohnenden 
Beispielen abgesehen, ist es mir aber nur im bezeichneten Falle gelungen, 
eine brauchbare Lösungstheorie zu entwickeln. In dieser vertritt die Stelle der 
Determinante eine hier V {Nabla) genannte Funktion, die Quadratwurzel aus 
der Determinante der 4 m Gleichungen ist, die selbst als Determinante vom Grade 
2 m aufgefasst werden kann, mit der aber auj ähnliche Weise gerechnet wird, wie 
mit Determinanten vom Grade m. Im Falle m = 1 reduziert sich V auf die Norm 
einer Quaternion, oder auf die Determinante einer zweireihigen Matrix. Homogene 
Gleichungen, sowie unvollständige und übervollständigc Systeme von Gleichungen 
der bezeichneten Form, deren Theorie hier besondere Schwierigkeiten zu bieten 
scheint, jedenfalls ziemlich umfangreich ausfallen muss, sind ausser Betracht 
gelassen werden. 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. 3 

Meinem Kollegen I. Schür bin ich zu Dank verpflichtet für das Interesse, 
mit dem er die Entstehung der vorliegenden Untersuchung begleitet hat. Von 
ihm rührt der Satz her, dass (im genannten Falle der Quaternionen) die \7-Funk- 
tion nicht als Summe von Quadraten dargestellt werden kann. 

Ich hoffe, dass das Folgende behaglich zu lesen sein wird. Durch gewisse 
Umstellungen verbunden mit einer Erhöhung des vom Leser zu fordernden 
Masses von Kenntnissen würde sieh grössere Kürze haben erzielen lassen. Aber 
eine auf Kosten der Lesbarkeit zu erreichende Kürze ist schliesslich doch wohl 
der Güter höchstes nicht. 



Quaternionen und Matrices. 

Die Regeln der Quaternionenrechnung, sowie das Rechnen mit Matrices 
(oder bilinearen Formen) setze ich als bekannt voraus, erkläre aber kurz die 
Bedeutung der Zeichen, die weiterhin gebraucht werden. 

Eine Quaternion wird nach dem Schema 

.T = Äa;+ Vx, 
Sx = Xo, Fa; = a;,e, + a-^e, + 2-363 

in einen skalaren {Sx) und einen vektoriellen Bestandteil {Vx) zerlegt. Die 
Konjugierte {Sx— Vx) zur Quaternion x wird gewöhnlich ebenfalls durch eine Art 
von Funktionszeichen, K, dargestellt {Kx). Da aber das Rechnen mit diesem 
Zeichen meistens sehr unbequem ist, und zu einer unübersichtlichen Schreibart 
der Formeln führt, brauche ich daneben, und zwar vorzugsweise, auch ein anderes, 
das an die übliche Bezeichnung für die Konjugierte zu einer gewöhnlichen kom- 
plexen Grösse erinnern soll. Ich schreibe nämlich 

X = Kx = Sx — Vx = x„ — x^e, — ce,?, — ^'.163. 
und also 

Sx==-[x + i}, Vx--=^[x — x]. 

Die Nonn einer Quaternion wird hiernach 

Nx = xl + xl + xl + xl = xx--= XX. 



4 E. Study. 

1st Nxf^ 0, was bei einer von Null verschiedenen reellen Quaternion (einer solchen 
mit reellen Koordinaten a;„, x', , .t,, .T3) immer eintritt, so ist 

* Nx' 

Besonders in Erinnerung gebracht seien die im Folgenden viel benutzten 
Regeln : 

K{xy)=KyKx=='yx, 8(xy)=S{yx). 

Nach der zweiten dieser Regeln können im skalaren Bestandteil irgend 
eines Quaternionenprodukts die Faktoren zyklisch vertauscht werden; z. B. 

S{xyz) = S{yzx) = S(zxy). 

Die Rechnung mit solchen Quaternionen, deren Koordinaten (gewöhnliche) 
komplexe Grössen sind, ist bekanntlich äquivalent dem Rechnen mit zweireihigen 
Matrices, deren Koeffizienten ebenfalls komplexe Grössen sind. Man erhält diesen 
schon von Lagueere (1867; Cayley 1879) gefundenen Zusammenhang durch 
Änderung der Quaternionenbasis, indem man nämlich an Stelle der Haupteinheit 
(Co = i) und der Nebcneinheten [e^, e,, 63) der Quaternionen geeignete neue Ein- 
heiten einführt; wenn man (zum Beispiel) 

ßo = e, 1 + 632. ßi = *'(ei2 + ^21), 62 = — (^n — «2i)> ^:i = H^n~ ^22) 

luul also 

26,1 = 60 — ißj, 26,2 = — î^i — ^2. 2621=^ — ie^+c.,, 2e22 = 6„ + »ej 

setzt. 

Die Multiplikationsregeln für die ursprünglichen Einheiten 

6^6, = 6,e„ = e, , e„6.^ = 626,, = 6,, 6063 = 6360 = 63, 

6p ^ 60 , 6, == 6q , 6j = 6j , 6g = 6q , 

6363 — — 6g 62 — 6, , e^e^ — — 6, 63 — 62 , 6| 62 ■" — 6361 — 6j 
gehen dann über in die Regeln 

eij ejk = 6,- fc , 6,7 6a. z = o (/ f^ k), 
d. h. in die Multiplikationsregeln der zweireihigen Matrices 



00' '00' '10/ \o I ' 



Zur Tlieorie der linearen Gleichungen. 5 

oder auch der speziellen bilinearen Formen 

bi^i. biWj. b2Wi, iïoWa; 
das Eingangs aufgeführte Multiplikationstbeorem für Quaternionen nimmt, wenn 

« =«0^0 +«161 + «2^2 + «3^3 

= «, 16,, + «12«!. +«21621 +«33632 ("■ S. W.) 

gesetzt wird, die gewöhnlich in der symbolischen Gleichung 



abgekürzte Form des Multiplikationstheorems der zweireihigen Matrices an, 

«ll«'u + '''|2«'21 "= «"n> «ll«'l2 +«12f''22 = ""l2> 

«21 «'u + «22«'21 = «"21 ! «21 «'12 + «22 «'22 = «"22! 

oder endlich, man erhält die Formel für die ebenfalls so genannte IMultiplikation 
(Komposition) bilinearer Formen 

^ ciik ii lOk ■ 2i a'ik 5 i OJk = 2 ""'* ?'■ '''* • 

Ein unwesentlicher Unterschied zwischen beiden Theorien besteht insofern, 
als es in der Theorie der Matrices nicht allgemein üblich und in der Theorie 
der bilinearen Formen auch nicht überall angängig ist, die der Haupteinheit (<?„) 
der Quaternionen entsprechende Emheitsmatrix oder Einheüsjorm, 

,10 
lor 



^11 + 622 = ( . »iWl +l2f'J2 



mit der Einheit des gewöhnlichen Rechnens zu identifizieren (wie es in der 
Quaternionentheorie ziemlich allgemein geschieht). 

Führt man auf die beschriebene Art, also durch die Substitutionen 

2XQ=-x^^+ X21, 2Xi== — i{xi. + X-;,), 2x^ = — x^J+x,^, 22:3 = — /(.r,, — a;,,) , 

den Übergang zu Matrices oder bilinearen Formen aus, so erhalten damit die 
Zeictien der Quaternionentheorie eine andere Bedeutung. Stellt x eine Matrix vor. 



6 E. Study. 

.X2Y X2_ 

SO wird 

^ = (_^ ■ X ) 
und (bei Unterdrückung der Einheitsmatrix) 

X ix ,t X2'f j 2X^2 

x = Sx+ Vx, x = Sx — Vx, 



Sx = -(x,, +x,^), Vx 

2 



:> 



ferner 



und, zum Beispit-1 



Nx' 



■ X^,X2l 



i^uy22 — Xnyn> —Xuy,2 + Xi2yn\ 

V'>'2> 2/22 — ^222/2,. — a;2l!/l2 + a;22»/n/ 

Es gelten dieselben Regeln wie zuvor, zum Beispiel 

S{xyz) = 8{yzx) = 8{zxy). — 

Die Quaternionenreclinung ist also, wie gesagt, dem Reebnen mit zweireihigen 
Matrices oder mit den entsprechenden bilinearen Formen äquivalent. Es ist aber 
wohl zu beachten, dass die lineare Transformation, die den Übergang vom einen 
Kalkül zum anderen vermittelt, ein imaginäres Koeffizientens3'stem hat, und 
zwar eines aus dem Rationalitätsbereich yV — i). Daher findet ein vollkommenes 
Entsprechen nur im komplexen Gebiete statt. Die Norm einer nicht verschwinden- 
den reellen Quaternion zum Beispiel ist stets positiv, während die Determinante 
a^ii^^îs — a-'iî-''^:! einer reelleii zweigliedrigeyi Matrix, d. i. einer solchen mit reellen 
Elementen oder Koordinaten a;,,, x^2, 2^21 > ^-iz positiv, Null, oder negativ sein kann. 
Eben hierauf beruht das eigenthümliche Interesse, die Selbständigkeit der Qtiater- 
nionentheorie, gegenüber dem Rechnen mit zweireihigen Matrices, das besonders 
in gewissen Anwendungen (auf Euklidische und Nicht-Euklidische Geometrie) 
dem Bedürfnis nach einem sacbgemässen analytischen Apparat keineswegs eben- 
sogut gerecht werden kann, wie die Quaternionen. 

Weiterhin kann, wo nicht das Gegenteil bemerkt ist, mit den vorkommenden 
Zeichen ebensowohl der Begriff zweireihiger Matrices wie der von Quaternionen ver- 
bunden werden. 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. 7 

DoppeJindizes, die bisher zur Unterscheidung der vier Koordinaten oder 
Elemente einer zweireihigen Matrix gedient haben, werden fernerhin in anderem 
Sinne, nämlich zur Unterscheidung mehrerer Matrices oder Quaternionen gebraucht. 
Nachdem nämhch die Elemente der Theorie gegeben sind, ist es meistens nicht 
nöthig, und gewöhnlich auch nicht förderlich, eine Quaternion oder Matrix in 
ihre Bestandteile zu zerlegen. Vielmehr beruht, wie viel oder wenig an der 
auszuführenden Betrachtung Brauchbares sein mag, dieses gerade auf der Zu- 
sammenfassung von vier stets verbunden auftretenden Grössen durch Gebrauch 
eines einzigen Zeichens für sie alle, und auf der atisschliesslichen Verwendung 
einiger weniger Operationssymbole {S und K). 



Einseitige (^uateriiioueiigleieliuii2;eii mit zwei Uiibeliaiinteii. 

Wir betrachten gleichzeitig die folgenden beiden Systeme linearer Glei- 
chungen für Quaternionen, in denen die Unbekannten a;,, Xr. oder i',, i", jedesmal 
auf derselben Seite eines Quaternionenprodukts stehen, und die deshalb einseilige 
Quaternionengleichungen genannt werden sollen : 

u.,x, -|-«,,.r, = x'., 
«2, Xi + «22a;, = X ■,; 

5 2 5l"l2 "T î-2''22' 

Jedes dieses Gleichungspaare ist eine Abkürzung oder Zusammenfassung eines 
Systems von acht gewöhnlichen linearen Gleichungen für acht Unbekannte, nämlich 
für die Koordinaten der Quaternionen x^, x., oder ^^i, §2. eines Gleichungssystems, 
das mit Hilfe des Multiplikationstheorems der Quaternionen sofort hingeschrieben 
werden kann. Man sieht daraus, dass beide Gleichungssysteme dieselbe Deter- 
minante D haben, und dass sie also beide zugleich eindeutig-auflösbar sind, oder 
nicht. Es würde aber, wie schon angedeutet, ein unglücklicher Gedanke sein, sich 
bei Behandlung eines solchen Gleichungssyslems auf die Formeln der allgemeinen 
Theorie linearer Gleichungen versteifen zu wollen. Eine viel brauchbarere Methode 
liefert die Quaternionenrechnung selbst. 

Wir werden uns hier auf die Hauptfrage beschränken, unter welchen Umstän- 
den die Gleichungen (i) eindeutig aufgelöst werden können, und wie dann diese 



8 E. Study. 

Lösung (Xi.xJ oder (f,,!,) durch die Quaternionen ai„, und {x\,x',) oder (^', , 5'.) 
ausgedrückt werden kann.' 

Das nächstliegende Verfahren besteht darin, aus einer der Gleichungen die eine 
Unbekannte durch die andere auszudrücken, und dann, nach Substitution des 
gefundenen Ausdrucks in die andere Gleichung, die zweite Unbekannte zu be- 
rechnen. Man findet so zum Beispiel: 

^I == ("ll "isf'Ts «2l)~' (^'l «12 "72 ^'2)' 

^1 = («21 — «22 «7i' «3l)~^ i^'2 — «22 «7= ^'l) • 

Aber dieses Verfahren unterliegt, ausser anderen Bedenken, dem schwerwiegenden 
Einwand, dass es versagt, wenn die erforderten Divisionen nicht ausführbar sind, 
während vielleicht trotzdem eine Lösung (ari.x,) vorhanden ist.- 

Wir führen die Elimination von einer der Veränderlichen zunächst etwas 
zweckmässiger so aus: 

((',, t(,2 «1, — c',2 «12 • «ji) a:, = «22 «12 -I'l — «12 «12 • ^'2^ 

(«i,ß,2.«,, «,2«2' «■.,) ^1 =«'■>«'•'• ^'1 «12«2J ^-J 

(2) 

(«;,«,, «,2 — «1, ((,, . «22) ^2 = «21 «11 ^'1 — «ii«ii-a:'2, 

(«21 «21 • «12 «11«21 «22)''''2 =" «21 «21 ■ ^'l «11«21 •'-'2 ■ 

Berechnen wir nun die Normen der Faktoren links, so findet sich, dass sie 
alle reduzibel sind und einen gemeinsamen Teiler haben. Setzen wir nämlich 

(3) V=| " 'H = «11 «11«22«22 """«U «21«22«I2 «12 «22 «2 1 «1 1 + «l 2 «1 2 «21 «21 > 



l«2I «2 

SO folgt 

•^(«21 «II «12 — «Il«ll -«22)= 'VOi.-V, 

, . N{a^,.îl^2 «I, — «,2«,-. .«•>,) ^ A'^«,-.- Vi 

(4) 

N (a,, «21 • «12 — «11 «21 «22) ^ ^«^r V> 
.^(«22 «22 • «11 ■ — «12 «22 «21) = N a22-\/ . 

' Eine eingehendere Untersuchung der Gleichangssysteine (i) wird man in einer in Vor- 
bereitung begriffenen Schrift finden, in der aiicli eine geometrische Anwendung liesproclien wird. 
' So verhält es sich im Bespiel 

2ci, = 2*2.2 = es + (Cj, 

2 «2, = 2 rj,„ = «ä — ie,. 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. 9 

Das Nicht- Verschwinden des skalaren Ausdrucks V (Sprich: Nahla) wird also 
vermutlich die Bedingung für die Möglichkeit einer eindeutigen Auflösung der 
Gleichungen (i) sein. Dies bestätigt sich sofort, wenn wir bemerken, dass V 
sich mit Hilfe der Multiplikatoren — «,,,«,1 und — à,,,«,, aus den Koeffizienten 
von x,,x^ in obigen Ausdrücken zusammensetzen lässt. Wir erhalten dann, falls 
V ^ o ist, die Auflösung unserer Gleichungen in den Formeln 

(«,,«22 . «,, «p, «22 «r-0 ■'*'''l + (t"'l2 ö|: • «Ï1 «U «12 "22) ^'2 = V'-''-'i 

(«.,, «,i . «,, «„ H,, «11) ^'1 + (f'll «U • «•■> "l--"!! ">l) ^'2 = V ■•''-'■ 

(5) 

i, • V = s'i («22 «22 • «11 — «21 «22 «12) + i'2 («21 «21 • «12 — «22 «21 «ll) . 

b2- V = i'i («i: «12 • «21 — «11 «12 «2;) + l'ï («II «n • «22 — «12 «11 "21)- 

Es folgt natürlich auch, dass im Falle V^o ^^'p Gleichungen (i) nicht noch 
andere Lösungen zulassen können, als die gefundenen (»•, ,a;j) und (tr, ,i2)- 

Aus V ^ o folgt also Dt^o. Aber auch das Umgekehrte ist richtig. Gäbe 
es nämlich Wertsysteme der Koordinaten der Quaternionen «,, , . . . «j,, für die D 7^ o 
aber V = o wäre, so müsste es auch solche geben, für die V ^ aber 2) = wäre, 
während wir soeben das Gegenteil bewiesen haben. 

Die Unghicimng \/ }^ o stellt also die notwendige und Jmireichende Bedingring 
dafür dar, dass die Gleichungen (i) eindeutig nach den Unbekannten x^,X2 oder ii,^^ 
aufgelöst iverden können. 

Weiter folgt noch, dass jede der Gleichungen V=o, Z) = o die andere nach 
sich zieht. Die Funktion V <^^^'' '*^ ^'^^^ irreduzibele Funktion der sechzehn Koor- 
dinaten der Quaternionen «,i, ...«22- Man sieht das an dem Spezialfall 



1' ^1 =Ar$-A^»; — 2Ä(?ry) + 1 
1 I '; ) 



der offenbar eine irreduzibele Funktion vierten Grades darstellt. Auf Grund eines 
bekanntefi Satzes schliesst man hieraus, dass 

((.) r> = \/^ 

sein muss. 

Die Lösung (5) der Gleichungen (i) ist also ivesentlich einfacher als die, die 
eine Amvendung der allgemeinen Theorie der linearen Gleichungen, ivenigstens un- 
mittelbar, geliefert haben tvürde; diese gibt (x,,»;,) und (i', .Iz) mit dem Faktor \/ in 
Zähler und Nenner, der bei der vorliegenden Behandlung des Gegenstandes gar nicht 
erst aufgetreten ist. 

Arta mnthemniirii. A2. Iniprinié le 4 juin 191S. •<"■'•' 2 



10 E. Study. 

1st ^7 = 0, so folgt, dass die Gleichungen 

a,,x, + a.^x-, — o, o = i, «I, + f-.«., , 

(7) - - ;_ ;; ■ 

«;, .Ti -l- a J, x-, = o , o = il «12 + iv ct.2 

von (o,o) verschiedene Lösungen zulassen, ' und dass also die Gleichungen (i) 
entweder unendlich viele Lösungen haben, oder eine unerfüllbare Forderung ent- 
halten. Wir gehen nicht weiter auf diesen Grenzfall ein, der übrigens keineswegs 
ohne Interesse ist. 

Nunmehr kehren wir den bisher verfolgten Gedankengang um. Wir gehen 
jetzt von der Funktion V> die eine homogene Funktion vierten Grades ihrer 
sechzehn Argumente ist, als dem Gegebenen aus, versuchen, ihr Bildungsgesetz 
aufzuklären und aus diesem zu erschliessen, dass sie zur Auflösung von Qua- 
ternionengleichungen des Typus (i) brauchbar ist. 

Den Ausgangspunkt bildet hier die Bemerkung, dass der Ausdruck der 
Funktion V i" mannigfacher Weise variiert werden kann. Es ist ja 

((,, «2, «j2 <'|2 + «12 «22 «21 «II = 2 (S («i , «,, «22 «12) = - S («12 «22 «21 «ll)> 

und in jedem der hinter den Zeichen S stehenden Quaternionenprodukte können 
die Faktoren zyklisch vertauscht werden. Daher lässt sich V> nach Auszeichnung 

einer Zeile oder Kolonne in der Quaternionenmatrix j " '-\ , als eine Art von 
bilinearer Form darstellen, zum Beispiel 

(8) V = «II («22 «22) «11— «U («21 «22) "12 — «12 ("22 «21) «"'ll + «12 («21 «21) «12. 

und daher auch, zum Beispiel, in der Form a^^^■/^^ +«12^^12- ^Vir führen die 
Abkürzungen 

^,1 = «.j«!, . «,, — «,1 a,2 «1., ^n = «21 «-»i • «12 ~~«22 «21 «11 > 

^21 ^ «12 "l2 • «21 «11 '"12 «22 > ^^22 = «11 «U • «2Î ~~ "l2 ' ' 1 1 "2I 

ein, und erhalten die Gleichungen 

0,1 ^1, +«,2-:/, 2 = V. «11 --^21 + «12^22 = 0. 

«,, ^-/i, + «2-, -•/,, = 0, «,, -:/ I + «.n.-i/„ = V. 

(10) 

V= '-/1 1 «1 1 + -'^21 «21 . O == .t/,2 «„ + ^^22 «21 . 

O = .^11 «12 + -^21 «22. V= -^IJ^ia + -^22 «22- 

Auf Formeln, die eine ganz ähnliche Struktur haben, wie die Gleichungs- 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. 11 

Systeme (lo), beruht nun die Auflösung der gewöhnlichen Systeme linearer 
Gleichungen mit Hilfe der Determinanten. Die gleiche Überlegung führt auch 
hier zum Ziele: Wir erhalten nun nochmals die Auflösung unserer Gleichungen 
(i), in den Formeln 

(ii) 

A,._x\ + A,.,x\_ = \/-x._., i\-V = 5', -^2, +?2'^2-l- 

Zu einer sachgemässen Auflösung der Gleichungen (i) ist also nur nötig, dass 
man auf irgend einem Wege zu der Funktion V gelangt ist. 

Die Analogie unserer Funktion V ^^^' zweireihigen Determinanten, die hier 
zum Vorschein gekommen ist, geht nun noch viel weiter. Man darf in ihr die 
beiden Reihen und die beiden Spalten (Horizontal- und Vertikalreihen) vertauschen, 
doch ohne Vorzeichenwechsel (nicht aber auch Reihen mit Spalten). Ferner 
nimmt V den Wert Null an, wenn die zwei Reihen oder die zwei Spalten mit 
einander identisch werden. Die Funktion V ändert ihren Wert nicht, wenn man 
zu den Elementen einer Reihe ein vorderes (linkseitiges) Multiplum der anderen 
Reihe, oder zu den Elementen einer Spalte ein hinteres [rechtseitiges) Multiplum 
der anderen Spalte addiert. Die Multiplikation der Elemente einer Reihe mit 
einem vorn (links) stehenden Faktor lässt die Norm dieses Faktors als Faktor vor 
V treten, und Entsprechendes gilt, wenn man die Elemente einer Spalte hinten 
(rechts) mit einem Faktor versieht. Vor allem aber gilt auch noch eine um- 
fassendere, dem Multiplikationstheorem zweireihiger Determinanten vollkommen 
analoge Identität. 

Wir fassen jetzt die Gleichungen (i) als Gleichungen zweier Transformationen 
auf, die dem Quaternionenpaaren (x^,x.) oder (5i, ^,) andere (.i;'i, x',) oder (|',, f\.) 
zuordnen. Wir erhalten dann zwei kontinuierliche Gruppen mit je sechzehn 
(komplexen) Parametern, deren Transformationen sich nach Regeln zusammen- 
setzen, die vollkommen analog sind den Regeln für die Zusammensetzung oder 
Multiplikation zweireihiger Matrices. Diese Regeln, oder also die Formeln für 
die Parametergruppen unserer zwei Gruppen sind: 

«",, = ß'u «,, + «V- «->! > «"12 = «'11 "vi + "'12 «22 . 

(12') 

«",, = a'2, «11 + a' ,, «2, , «"23 = «'21 «,j + « 22 «22 , 

wofür wir auch schreiben können 

;«",! «",2. _ /«'11 «'i2| y«ii «12» 
^«"21 «"22 .«'21 «'22' «21 «22 



12 K. Study, 

ferner 

«1,«*, + «.-.«t, = «*,* , «n«*- + «12 «î„ = «tt , 

(l2'') 

«21 "ti "^ «J2«î: = "îî ' "21 «*•.• + "ï?"*-.. — f't* ' 

oder abgekürzt: 

',«,, «22 V'îi "*: «*t«n 

Nennen wir diese Transformationen Si,S'i,S"i und Sr,St,Sr*, so zeigen die 
folgenden Formeln, wie die Quaternionenpaare (.r, .Xj) und (i',,^.) sich iiinen gegen- 
über verhalten: 



Sind nun V und V' ^ O' so besteht zwichen dem Paar {x) und dem Paar (x') 
eine umkehrbar-eindeutige Zuordnung, und ebenso zwischen dem Paar (a;') und 
dem Paar {x"), also auch zwischen dem Paar (a;) und dem Paar (a;"). Wenn V ^o. 
V' ^ ist, so folgt, dass auch V" ^ o sein muss, oder, dass zugleich mit den Trans- 
formationen Si, S'i auch die Transformation S"i existiert. Ausserdem aber ergibt 
sich auch, dass sobald eine der Funktionen V> V den Wert Null hat, sobald 
also eine der Zuordnungen {x)^{x'), {x') — {x") nicht umkehrbar ist, keine Tra««- 
formation darstellt, dasselbe auch von der Zuordnung (.r) — (a^") gelten muss, dass 
dann also V" «ieo Wert Null hat. Hieraus, und aus der Irreduzibilität von 
V und V' ergibt sich, mit Hilfe einer zuvor schon angewendeten Schlussweise, 
die erste der Formeln 

(14) V-V' = V". v** = \7*.V- 

Beide Gleichungen sagen, abgesehen von ihrer gruppentheoretischen Bedeu- 
tung, also rein formal betrachtet, dasselbe aus; sie haben die Form des Multi- 
plikatioiistheorems zweireihiger Determinanten; sie werden daher passend in der 
folgenden Formel zusammengefasst, die wir als MidtipUkationsregel der Nabla- 
funktiou bezeichnen dürfen: 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. 13 

«.i«ril \ßnßi2\ ^ 



(«21 /*11 + «22 /'^21 > «21 A2 + «22 ßz^ 
/?11«M +/^12 «21. /*11«.2+ /^,2 «22 
/?,,«,, + ßr,a,,, ;;?2, «,, + (^,3 «22 



H: 



Diese Regel, deren Richtigkeit natürlich auch durch Ausrechnung — durch 
eine freilich bereits etwas umständliche Rechnung — bestätigt werden kann, um- 
fasst mehrere der zuvor angeführten Lehrsätze. 

Wir wenden uns nochmals zu den Formeln (12), und bemerken, dass z. B. 
die Formeln (12') gar nichts anderes sind als wieder die Formeln (i''), nur zwei- 
mal aufgestellt, nämlich für die Quaternionenpaare 

(i,,l2) = («'n,«'2.). (I,,i2) = («',2.«'22)- 

Schreiben wir also die Gleichungen (12), mit veränderter Bezeichnung, 
nochmals auf 

x',,= ?.,,x,, + l,;X^, , a:',, = A,, .r., + /.,,a:.,.. , 

(16') " 

^'21 = '-21 ^1 l + ^-22 ^21 > ^'22 = ^"21 •'«'"12 + ^-22 ^22 . 

^11 "ii + x^,o,^ = X*, , a;,, Ç,, + a;, .,(>.„ = x*„, 

(lOr) > - - ..... 

so haben wir, wenn die Nablafunktionen 

nicht Null sind, Transformationen zweier Gruppen r{„ und r\,. vor uns, deren 
Objekte irgend vier in Form einer Matrix angeordnete Quaternionen 

sind. Das Multiplikationstiieorem der Funktion V sagt dann aus, dass 

\X2iX2:\ 



14 E. Study. 

eine (ganze rationale, relative) Invariante einer jeden dieser beiden Gruppen ist. 
Ausserdem ergibt sich noch, dass die numerisclien Multipla der Potenzen von 
V (a;) die einzigen solchen Invarianten sind, und dass überdies jedes Quadrupel, 
für das V (^) ^ o ist, in jedes andere derart gerade durch eine Transformation 
sowohl von r{^ wie von r^„ übergeführt werden kann. 

Die Gruppen r[,, und r\,., deren jede ihre eigene Parametergruppe ist, und 
die zusammen die beiden Parametergruppen der beiden Gruppen (i) bilden, sind, 
wie solche Paare von Parametergruppen überhaupt, vertauschbar; sie erzeugen zu- 
sammengesetzt — da sie die triviale Gruppe x'ijc = <JXik=^ XikO [Va = o) und nur 
diese, mit einander gemein haben — eine Gruppe /'3, mit 31 wesentlichen com- 
plexen Parametern, deren allgemeine Transformation durch die Formel 

(X7) jX>r;j^,A..A., ..„.,3jj.„.., 

dargestellt wird. Also auch für diese kontinuierliche Gruppe linearer Transforma- 
tionen noch ist V (■■*-■) eine Invariante, und ausserdem (z. B.) für die Transformation 

, ,, /■'' 11''' 12^ /■''11 *2ll 

( , ,)"'-- 

Die beiden Transformalionenschaaren mit je 31 wesentlichen komplexen Para- 
metern, die aus der Gj-uppe {ij) durch Hinzujügung der Transformation (iS) entstehen, 
bilden die Gruppe aller linearen Transformationen der sechzehn Koordinaten von 
a;,,, ... x.^2, die V f*^-* {relative) Invariante haben, oder die — icas auf Dasselbe hinavs- 
komml — das Bestehen der Gleichung V = o nicht stören. 

Wir erhalten diesen Lehrsatz als Korollar eines bekannten (und übrigens 
sehr leicht zu begründenden) Determinantensatzes, wenn wir, nach der in § i 
angegebenen Regel, die Quaternionenmatrix ((in) als eine ziveireihige Matrix aus 
zweireihigen Matrices auffassen, und dieser zusammengesetzten Matrix eine vier- 
reihige gewöhnliche Matrix zuordnen, in der statt der Quaternionenkoordinaten x„,x^, 
.r, , 0:3, in sachgemässer Anordnung, die in § i beschriebenen Elemente oder Koor- 
dinaten .r,i, Xi,, .Tji, a;23 zweireihiger Matrices erscheinen. Setzen wir, um Un- 
bequemlichkeiten des Drucks zu vermeiden, nunmehr: 

Uik = u\\ e^^ 4- «',* €,3 + «!,* ßj, + «;5 «23, 
so wird 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. 



15 



(19) 



und die zugeordnete vicrreihige Matrix ist 







("' 


! C'is 


(«; 


\ u\l\ 


«J 


«.2\ 


u 


' "ÎÎ 


1«: 


KV 


«2 


i«=j 


j«; 


! «1! 


K 


U<]1\ 






>cc 


1 "55 


l<i 


;«;:'_ 



(20) 



-H = 



al[ all . all "ü 
all ''22 ! '^'s'i '^'2 



eine vierreihige gewöhnliche Matrix, die in keiner Weise spezialisiert ist, deren 
Elemente aber auf eine besondere Art bezeichnet sind — eine Gittermalrix, wie 
wir kurz sagen wollen. Die Multiplikationsregel der zweireihigen Quaternionen- 
matriccs, 

C":;iC"f)=i:":i- 

«21 "22 P2I Pl-l li\ /22 

«u/^n + «,2/^21 =/■!. «11/^12 + «12/^22=/'>2 



(21) 



(vgl. Nr. 12), entpuppt sich damit als eine andere Form der Multiplikationsregel 

(22) :^15B = Π

für vierreihige Matrices, deren sechzehn Gleichungen 

«liA'li' + <^'\\ ß\\ + all ßii ■^a\\ß\\ = r\\' 



uiißii + a'î/^î; + aVlßll + «H;^" = ;',?. 



lediglich in der Formel (21) zu vieren zusammengefasst sind.' 

Die Formel (17) ist ebenfalls eine Zusammenfassung von sechzehn Gleichun- 
gen in Gruppen von je vieren; dieselben sechzehn Gleichungen können alle nach 
dem Schema (22) in eine einzige Formel zusammengefasst und dann also etwa 
so abgekürzt werden: 



Eine solche Zusammenfassung ist gelegentlieh auch sonst schon vorgenommen worden. 



16 



E. Study. 



(23) 



L X R = X' 



Die Gruppe (23), die im komplexen Gebiete eben nur eine andere Schreibart 
der Gruppe (17) ist, hat nun aber, als — im Wesentlichen einzige — (relative) 
Invariante die Determinante der vierreihigen Matrix X: auch diese ist, wie V. 
irreduzibel, und vom vierten Grade in den Koordinaten der vier Quaternionen oder 
Matrices x,,, a;,,, x^i, a;,,. Unsere Funktion V kann sich also von dieser Determi- 
nante höchstens um einen Zahlenfaktor unterscheiden, der sich sogleich als die 
Einheit herausstellt. Wir haben also die Gleichung 



(24) 









^ii^is ^iî^ïï 



\x\. 



Das Multiplikationstheorem der V-Funktion ist hiernach im Grunde nichts 
Anderes als das Multiplikationstheorem vierreihiger Matrices, es entsprechen ein- 
ander die Formeln 

(vgl. Nr. 21) und 

(26) |^'l|.|iM = l^l 

(vgl. Nr. 22 und die beigegebene Erläuterung). Dabei hängen, nach § i, die 
Koordinaten der Quaternionen .t,/,-, 0,^ u. s. w. mit den Elementen oder Koordi- 
naten der vierreihigen Matrices X, 31 u. s. w. wie folgt zusammen: 



(27) 



x\\ + X** , 2 %\'' = — i (x{'l + xi'i ) , 

■ x'j* + xi'i , 2 xi'' == — i {x'/\ + x\'i ) , 



Bei alledem ist zu beachten, dass eine Äquivalenz unserer Quaternionenjormeln 
mit denen für zweireihige Matrices nur im komplexen Gebiet stattfivdet (nur im Be- 
reich von V — i). Das Reelle hat auch seine Existenzberechtigung. Es würde 
daher verfohlt sein, die eine Theorie ledighch als ein Korollar zur anderen auf- 
fassen zu wollen. Bei-echtigt ist nur die schwächere Forderung, beide Theorien, 
die ja sehr ähnliche Prämissen haben, soweit es angeht, gemeinsam zu ent- 
wickeln; wie es auch im Vorhergehenden geschehen ist. 

Der Unterschied zwischen unserer V'Funktion und einer vierreihigen Deter- 
minante l\ ist derselbe, wie der Unterschied zwischen der Norm einer einzelnen 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. 17 

Quaternion und einer zweireihigen Determinante. Während bei reellen Argu- 
menten von A die Gleichung A = o durch ooi^ Matrices erfüllt wird, und das 
Gebiet der oc'« Argumente in zwei Bereiche A > o, A <o zerlegt, hat bei reellen 
Argumenten (Quaternionenkoordinaten) die Gleichung V = o nur <»'- Lösungen, 
und es besteht die Ungleichung 

(28) V>o. 

Man sieht das an den Formeln (4). 

Aus dem Gesagten ergibt sich, wie eine Bemerkung zu beurteilen ist, die 
sich darbietet, wenn man die Gleichungen (i) von vorn herein als Gleichungen für 
Matrices auffasst, also etwa (i'j ausführlich so schreibt: 

(bk) «ff x\^l + a",] a:lV + äff a;',^^ + a'^ xfl = i/l'^ 

(29) (Ca) «?) -^'A' + «?„? a:<'> + «*? cc'^' + «*.? x<:;} = î/!,*' 
(dk) «J J x\\) + cà;} x{}l + of 2 a.(2) _,. (,k2 ^i^) = ym 

{k=z,2). 

Dieses System von acht Gleichungen zerfällt von selbst in zwei Systeme 
von je vier Gleichungen (a^, Ci, a^, C2) und {&i, ci, , 6,, d,), deren jedes nur noch 
vier der Unbekannten enthält, und die überdies links dieselben Koeffizienten in 
gleicher Anordnung enthalten. Die Keduzibilität der Determinante D des Sy- 
stems aller acht Gleichungen tritt hier ohne weiteres in Evidenz, und es wird der 
Gedanke nahe gelegt, statt des vorgetragenen besonderen Lösungsverfahrens die 
gewöhnliche Art der Lösung von vier Gleichungen mit vier Unbekannten anzu- 
wenden. Damit würde aber in die ursprünglich vorgelegten Gleichungen (i) 
eine nicht unbedeutende formale Verwickelung eingeführt, und ausserdem würde 
so ein natürlicher Zusammenhang zerrissen werden. Die Zerlegung der zu- 
sammen auftretenden Quadrupel von Unbekannten entspricht besonders da 
nicht dem Wesen der Sache, wo sie in der Anwendung auf reelle Quadrupel 
a:'*', a;'/=', .rf, xf^ (reelle Quaternionen) nur durch eine imaginäre Transformation 
bewirkt werden kann.* 

Indessen ergibt sich noch aus dem Gesagten, dass mehr als eine zufällige 
Übereinstimmung vorliegt, wenn in den Gleichungen (5) gewisse Quaternionen- 

' Hierzu kommt noch, dass die entwickelte Theorie fast unverändert unter Umständen 
angewendet werden kann, in denen eine Aquivalenz der zu betrachtenden Grössenqnadrui>el 
mit zweireihigen Matrices überhaupt nicht vorlianden ist. Vgl. § 6. 

Ada mathematica. ii. Imprimé le 5 juin 1918. "'^^ •' 



18 E. Study. 

ausdrücke drillen Grades auf ähnliche Weise auftreten, wie in der Lösung eines 
Systems von vier linearen Gleichungen mit vier Unbekannten Determinanten drit- 
ten Grades. In der Tat sind die sechszehn Koordinaten dieser vier Quaternionen- 
verbindungen lineare Kombinationen der sechszehn Determinanten dritten Grades, 
die man der Matrix -Ä entnehmen kann, und umgekehrt. 

Bemerkt sei schliesslich noch, dass die Aufstellung der Gruppe (17, iS) die 
Aufgabe löst, alle Paare linearer Quaternionengleichungen der Form (i) hinzuschrei- 
ben, deren Lösung mit der Lösung der einen oder anderen der Gleichungen (i) 
selbst äquivalent ist. Es gibt in beiden Fällen zwei Kontinua solcher Gleichungs- 
systeme mit je 31 wesentlichen Parametern, entsprechend den beiden Transforma- 
tionenschaaren unserer Gruppe. 

Insbesondere lässt sich das allgemeinste Paar linearer Gleichungen der Form 
(1') angeben, das durch dieselben Werte (Wertsysteme) x^, .r, der Unbekannten 
befriedigt wird, und dessen Auflösung überdies gleichbedeutend ist mit der Auf- 
lösung der Gleichungen (i') selbst: 

(/-il«,, -f /a-2«5,).T, -f (/.A-,«,î -1- /i„ «.,.,) 3-. = ÂAn.1-', +h,x'. 

Die übrigen Gleichungen der Form (1'), die mit den Gleichungen (i-') selbst 
äquivalent sind, erhält man hieraus durch die Substitution 

^"i =^n ?/, + ?!.• 2/:' . 3:, = Q,,y,+ 0^,1/^ r '^' f"0 • 

^ \o., «,., I ' 



Nach einem Satze des Verfas.sers, der von Caktan auf alle sogenannten ursi)rüngliclien 
Systeme komplexer Grössen ausgedehnt \Yorden ist, bilden die Quaternionenregeln und die 
Kegeln für die Multiplikation zweireihiger Matrices die beiden rimiffen »Gestalten» eines 
bestimmten »Typus» der Multiplikation komplexer Grössen mit vier Einheiten.' 

Nach Cartan hat nur zwei Gestalten auch das — ursprüngliche — System komplexer 
Grössen mit sechzehn Einheiten, dessen Multiplikationstheoreni von den Formeln für die Zu- 
sammensetzung oder Multiplikation vierreihiger Matrices gebildet wird. Die eine der zwei 
Ge.stalten entspricht jenen Formeln unmittelbar. Sie ist dann dargestellt als sogenanntes 
Produkt der zweiten Gestalt des Quaternionensystems mit ihr selbst, kann aber auch, in 
anderer Sclireibart, durch »Multiplikation» der ersten Gestalt des Quaternionensystems mit 
ihr selbst erhalten werden. Die andere Gestalt jenes S)-stems von sechszehn Einheiten wird 
gefunden, wenn man die beiden Gestalten der Quaternioneu mit einander »multipliziert«. Diese 
zweite Gestalt wird, wenn man die «,fc als Zeichen für reelle Qnaleniioven auflasst, eben von 
den Formeln (12) gebildet, in denen, wie bei den Formeln der ersten Gestalt, ausschliesslich 
reelle Koeffizienten (o, ± i) vorkommen. Die vier Koordinaten jeder einzelnen der Qualer- 



Math. Kiie. Bd I, 1, S. 182. Französische Ausgabe I, 1, S. 435. 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. ] 9 

nionen aik folgen den gewöhnlichen Kegeln des Quaternioueukalkuls, während die Zusammen- 
setzung (Multiplikation) der Quadrupel («n, «12, «211 «22) den Formelu für die Komposition 
(Multiplikation) zweireihiger Matrices folgt, also nach den Multiplikatiousregeln der zioe'Uen 
Gestalt der Quateniionen ausgeführt wird. 

Die vorgetragene kleine Theorie ist demnach, wenn man von hier ausgeschlossenen Grenz- 
fällen absieht (die bei anderer Gelegenheit behandelt werden sollen), in gewissem Sinne er- 
scMpfend. Das Gleiche gilt von den folgenden Entwickelungen, die übrigens minder vollstän- 
dig gehalten sind, da nach Analogie des ausführlich behandelten Falles anzustellende Über- 
legungen wohl grosseuteils dem Leser überlassen bleiben dürfen. 



3- 
Die Nablafuuktioii von 4 m^ Argumenten. 

Die von uns bei zwei Gleichungen angewendete Methode der direkten Be- 
rechnung ist bereits im Falle von drei einseitigen Quaternionengleichungen so gut 
wie unbrauchbar. Wir haben aber in dem über den Fall m = 2 Gesagten schon 
genug Induktionsmaterial, um das Bildungsgcsetz einer Function V(«t*) von 
4??j° Argumenten zu erraten, die zur Auflösung von m einseitigen Quaternionen- 
gleichungen dienen kann. 

Im Falle m = i verstehen wir unter '\/{a.)={a} die iVon» der Quaternion «, 
also das Produkt «« = ««. Im Falle m = 2 verbinden wir mit dem Zeichen 
\J (cti-^) = [uiy) den im § 2 beschriebenen Begriff. Wie dann für unbestimmte 
Werte der Zahl m eine analoge Funktion erklärt werden kann, erkennen wir, 
wenn wir den Fall m = 2 nochmals, und jetzt aus dem Gesichtspunkt der Ver- 
allgemeinenmg, betrachten. 

Wir werden auf die rechte Fährte durch die Bemerkung geleitet, dass die 
in § 2 erklärte Funktion sich auf das Quadrat einer zweireihigen Determinante 
reduziert, wenn die Quateniionen «,* sämtlich skalar sind. Wir sehen dann, 
dass wir auch ohne solche Einschränkung das Bildungsgesetz von V aus dem 
Bildungsgesetz der Determinanten ableiten können. Wir multiplizieren die beiden 
Determinanten 

(«,,«22 — «,,«„). («11«22— «13«2l) 

zunächst nach den gewöhnlichen Regeln, mithin so, wie wenn c(iy. das Zeichen, 
nicht für eine Quaternion, sondern für eine einzelne reelle oder komplexe Zahl 
wäre. In dem gefundenen Ausdruck schreiben wir dann die Glieder hinter 
einander, die im hinteren (rechten) Index übereinstimmen, bilden also die Produkte 

'''îl=«U«ll. >9!2=«n«21. ^Jl=«21«ll. ''•ij -= «2l"21. 
.y;,=«,2«i2> "î^îs = «12«21' '^S1=«22«I3- ^\ i = ^ 22'a it ■ 



20 



E. Studv. 



Hierauf ordnen wir die im Determinanteiiprodukt vorlcommenden Produkte 
dieser Produkte so, dass die vorderen (linken) Indices, also die unteren Indices 
der Quaternionen ^^^, Zyklen bilden, nämlich eingliedrige Z3-klen 



und zweigliedrige Zyklen 






a;,, ^i,. 



01„-!)1^. 



Dabei achten wir darauf, dass die zweigliedrigen Zyklen paarweise konjugierte 
Quaternionenprodukte bilden. Wir lassen nämlich den zweiten der zweigliedrigen 
Zyklen aus dem ersten dadurch entstehen, dass wir die Reihenfolge der Faktoren 
Tind gleichzeitig die Reihenfolge der unteren Indices in jedem Faktor !J'^^ um- 
kehren. Haben wir das formell gebildete Determinantenprodukt auf diese Art 
geordnet, so wird 

V = ('>;,■•'>:.- ^:, ^;=) + (^!, ■ ^;. -■■>;, '■>',)■ 

V erscheint auf zwei Arten, der Form nach, als Summe zweier Determinanten, 
und zwar wird die eine von diesen aus der anderen dadurch erhalten, dass man 
die oberen Indices der Symbole v/^ vertauscht. 

In ähnlicher Weise erklären wir jetzt eine Funktion V («'<*)> ^^'e ^us einer 
Quaternionenmatrix von m- Elementen 



= («.*) 



«11 


«15 ■ 


• . «u 


'" 


«5 1 


«5 2 ■ 


■ «5« 


- 


J<m 


«ni3 ■ 


■ «I« 





abgeleitet, und mit 



«1 


1 «12 • 


• • Oim 


«3 


1 «5 2 • 


• • «2 m 


"n 


i«mj • 


• ■ «mm. 



bezeichnet werden soll. 

Wir multiplizieren zunächst die beiden Determinanten |(.',;.| und |«,*| for- 



Zur Theorie der liuearcii Gleichungen. 21 

mell aus. In jedem der (m!)^ Entwickelungsglieder lassen wir sodann die Quater- 
nionen zusammentreten, die im hinteren Index übereinstimmen, wir bilden die 
Produkte 

^'ik "" Clirï(l,r- 

In den so entstehenden nur noch m-gliedrigen Produkten von Faktoren //j,. 
ordnen wir die Faktoren, in Bezug auf die vorderen Indices, nach Zyklen an, z. B. 

Dabei lassen wir den einzelnen Zyklus mit irgend einem seiner Elemente be- 
ginnen, sorgen aber dafür, dass die benutzten Anordnungen paarweise konjugierte 
Qiiaternionenprodukte darstellen, z. B. 

Hierauf ordnen wir im einzelnen m-gliedrigen Produkt die vorkommenden Zyklen 
beliebig, aber auf gleiche Art in allen m-gliedrigen Produkten, deren Zyklen nur 
in ihren oberen Indices verschieden, oder doch zu solchen nur in den oberen 
Indices abweichenden Zyklen konjugiert sind. Z. ß. sollen im Falle m = 5 unter 
anderen die folgenden Anordnungen zugleich vorkommen : 

Ol^.'njii, ■ 'f'i,^'i,, '>'',■, OU K, -K^'^'L, 

Das Ergebniss unserer Summation ist dann, wie nunmehr gezeigt werden soll, 
eine eindeutig bestimmte skalare Quaternion — eben die zu erklärende Nabla- 
funktion. 

Wir haben zunächst eine Summe von Quaternionenprodukten vor uns, 
die zur Hälfte mit dem Faktor i, zur Hälfte mit dem Faktor — i in die 
Summe eingehen. Jeder diesen Faktoren i, — i ist das Produkt der Fak- 
toren, mit denen die entsprechenden Entwickelungsglieder der beiden Deter- 
minanten I«,*!, |«,*| behaftet sind. Diese Faktoren ±1 selbst lassen sich 
nach bekannter Regel bestimmen. Wir nennen jt; die Permutation der vorderen 
Indices der ersten Determinante und tTt die Permutation der hinteren Indices 
derselben Determinante, die in einem wie oben hingeschriebenen Entwickelungs- 
glied vorkommt, und wir verwenden die entsprechenden Zeichen ??/, 7?, für die 
zweite Determinante. Setzen wir dann noch z. B. [jci) = i oder {ici} = — i , je 



22 



E. Study. 



nachdem ni eine gerade oder eine ungerade Permutation der Indices i, . . .» ist. 
so wird 

(,,7)(.r.)(,T/)(;7.) = (.r,)07/) 

der gesuciifce Falitor ±i. 

Also nur von den vorderen Indices der Faktoren der Produkte curC'kr hängt 
das Vorzeichen eines jeden Entwickelungsgliedes von V ^b. Zyklen, die sich 
nur durch die Anordnung der oberen Indices unterscheiden, gehen in die Ent- 
wickelung von V ™it dem gleichen Vorzeichen ein, wenn nur die übrigen, das 
Produkt vervollständigenden Zyklen dieselben oder wenigstens gleichartig sind. 
Jedem Zyklus haftet ein bestimmter Faktor ±i an, i bei Zyklen mit einer un- 
geraden, — I bei Zyklen mit einer geraden Anzahl von Gliedern; und das Pro- 
dukt aller dieser Faktoren liefert den Faktor, oder also das Vorzeichen, des 
einzelnen Entwickelungsgliedes von V- 

Sind sodann in irgend einem Entwickelungsglied (P, . . . ®„ die skalaren (ein- 
gliedrigen) Zyklen, 'F, . . . W,, die übrigen, so folgt nunmehr, dass die erklärte 
Summe zugleich mit dem Produkt ± </J, . . . tf>„ 'P'i . . . 'i^,. alle Produkte enthält, 
die in der Entwickelong von 

±<I), ...(!>,, [■•['■, + ■•?,)... ('P ,.+'•!'',■) 

auftreten. Hieraus geht aber sofort hervor, dass weder eine Umstellung der 
Zyklen W^ . . . W,,, noch auch eine zyklische Umstellung der Faktoren irgend eines 
Zyklus Wy den Werth der erhaltenen Summe ändern kann. Es ist also hiermit 
eine skalare Quaternion V (««'*) eindeutig dejiniert. 

Das Bildungsgesetz von \J kann hiernach auch so beschrieben werden: 

Man entwickele die Determinante 






nach der üblichen formalen Regel, ordne aber in jedem Entwickelungsglied die 
Faktoren so an, dass die unteren Indices sich in einem oder mehreren Zyklen an 
einander anschliessen. Je ztvei Zyklen, die dieselben }intere7i Indices enthalten, lasse 
man mit demselben Index beginnen und endigen, und in Produkten, die aus solchen 
gepaarten Zyklen bestehen, ordne man diese auch auf gleiche Weise. Schliesslich 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. 



23 



nehme man über alle diese Summen von je m! Quaternioncnprodukten wieder 
die Summe, indem man nunmehr die oberen Indices r,s,t,... auf alle m! 
Arten unter einander vertauscht. Das Ergebnis ist dann eine skalare Quater- 
nion, eine gewöhnliche reelle oder komplexe Zahl, eben die Funktion V(«i*). 
Schliesslich kann man noch, wenn man will, je zwei zusammengehörige 
(konjugierte) Zyklen zu einem Ring, einer skalaren Summe aus einem oder zwei 
QuaternionenjJrodukten zusammenfassen. Diese »Einge» sind dann 

^ii ^ '■'ir'-'ir, 2 -S ,!/^^ i) f^-^ = KirUkr VkstCis + C(is<^<k s C'k r<-<i r, 
ZS it-i, !)^^ '>ii= «irlik,<-'ks(^'lsC'llt'it + C'itl'lli'lsî'ksilkr<'ir, 

u. s. w. Aus Produkten solcher Ringe setzt sich dann die Funktion V zu- 
sammen, deren skalarer Charakter bei dieser Schreibart ohne Weiteres augen- 
scheinlich wird. 

Man erhält z. B. die Entwiekelung 

— 0';, -28 !)l^ !)',, - !)'■„ -28 Ol^O\, — ,'>',3 • 2Ä a«„ y,,}, 

worin die Summe über die sechs Permutationen der Indices r, s, i, d. h. 1,2,3 
zu erstrecken ist. Da alle auf «ähnliche Art gebildeten Summen hierin mit 
gleichem Vorzeichen zur Aufnahme kommen, so kann man noch kürzer, aber 
ebenfalls schon hinreichend deutlich, auch schreiben 

2 '^" . ■ •^'•^ ■ '^" - 2 •^' ■ ■ - -^ ''^" -^" + 2 2'S' ^%'n.'^i , ; 

(6) (6.;i) (6.2) 

die den Summenzeichen hinzugefügten Zahlen geben dann an, wie sich die 
6 + 18+12=36 Entwickelungsglieder von V ^uf die drei vorkommenden Ar- 
ten von Quaternionenprodukten verteilen. In gleicher Weise, wie die letzte 
Formel, ist die folgende zu lesen: 

[«,,«,,«,3«u" 



«3l"32«3a«31 



1 ('i, «!■>('., (t. 



24 E. Study. 



= 5 rf, r^\-- ''>', 3 ■ «^'^ — 5 ^>1 ,■>■'.,• 2 Ä a' , ^« - 
^i ' • ^* - •' ^ ' ' ^m ' ' - - 3 14 3 

(24) i'iu;) 



(24.6) 



Wir gehen jetzt dazu über, aus dem geschilderten Bildiingsgesetz einige 
Eigenschaften der Funktion V abzulesen. 

1. In der Beschreibung von V war keine Zeile und keine Spalte der 
Quaternionenmatrix («,-*) vor den übrigen Zeilen oder Spalten ausgezeichnet 
worden. Eine Vertauschung von Zeilen oder von Spalten in der Matrix («,*) 
bewirkt aber die entsprechende Vertauschung von Zeilen oder Spalten in der 
Matrix (c7ja). Es ergibt sich also: 

V hängt (hierin ungleich einer Determinante von m" Elementen) symme- 
trisch ab von den Quaternionen-m-tupeln, die in parallelen Reihen oder Spalten 
der Matrix («a) stehen. Was von der ersten Reihe oder Spalte ausgesagt werden 
kann, gilt von allen übrigen. 

3. Vertauscht man die Reihen mit den Spalten, so erhält man zwar eine 
V nahe verwandte, aber sobald m > i , von V verschiedene Funktion. Dagegen ist 

(2) V (M = V («*.■) ■ 

Es gehen nämlich bei Ersetzung der Quaternionenmatrix («,*) durch (à/ti) die in 
der Entwickelung von V auftretenden skalaren Summen oder Ringe 

i)\,, 2S{i)'[„ji%,), 2S[D\jn,;)\,),... 

der Reihe nach über in ähnlich gebildete Summen oder Ringe 

Ulr, 2S{0h -nr), 2Ä(^;.,% Ol,), • • -, 

die in gleicher Weise wie die ersten in die Entwickelung von V eingehen. 

Daher kann man aus jeder Eigenschaft der Funktion V, in der eine Aus- 
sage über Zeilen der Matrix (an,) vorkommt, eine solche ableiten, in der an 
Stelle der Zeilen Spalten treten und umgekehrt — wie bei den Determinanten. 
Nur sind solche zusammengehörige Aussagen im vorliegenden Falle nicht ganz 
gleichlautend. 

3. V lässt sich so schreiben, dass jedes (ilied seiner Entwickelung mit 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. 25 

einem Element der Form «,,. beginnt und mit einem der Form (7,s endigt. Die 
Elemente der ersten Reihe kommen dann nur in Verbindungen des Typus 

«w(....)«.. 

— ausserhalb der Klammer (....) — vor. 

Zunächst nämlich ist klar, dass V linear und homogen ist in bezug auf 
die m Quaternionen «i*, wie auch in bezug auf die zu diesen konjugierten 
Quaternionen «,*. Kommt nun ein Element «,,• in einem Zyklus vor, so kann 
man den Zyklus mit diesem Element beginnen lassen. Er endigt dann not- 
wendig mit einem Element der Form «,«. Ist in einem Entwickelungsglied 
von V iii^r dieser eine Zj'klus vorhanden, so ist damit die verlangte Form schon 
hergestellt, da der konjugierte (mit dem ersten gepaarte) Zyklus mit «,s beginnt 
und mit «ir endigt. Sind noch weitere Zyklen vorhanden, so sind sie entweder 
eingliedrig, oder sie treten (durch das Zeichen 2*S zu Ringen zusammengefasst) 
paarweise auf. Jeder solche Ring kann aber, da er eine skalare Quaternion ist, 
in den ersten Zyklus an irgend einer Stelle eingeschoben werden, womit wieder 
die verlangte Form hergestellt ist. 

Man kann also setzen 

(3) V = 2 "»■'•^" "'S («' = 1 , 2 , . . . m) , 

und zwar, wenn der Index i gegeben ist, im Wesentlichen nur avf eine Art; 
im Wesentlichen, das heisst, wenn man von lediglich formalen Umgestaltungen 
der Entwickelungskoeffizientcn öj-, absieht. Da V skalar ist, so folgt noch 

(4) 0:.=ôt., 

insbesondere Glk = &kk\ der letzte Ausdruck ist offenbar nichts Anderes als die 
V-Fiinktion von (m — i)- Elementen, die entsteht, wenn man in der Matrix 
(uik) die i'" Reihe und die k^" Spalte unterdrückt. 

Man beachte die Analogie des Ausdrucks (3) mit einer ÜERMiTE'.schen Form. 

4. Aus der Entwickelung (3) oder also aus der Formel 

V = 2«*»^"«*r (Ä;=i,2,...m) 

erhält man, auf die unter 2. beschriebene Art, noch eine zweite, zu (3) analoge 

Entwickelung 

(5) SJ = ^~askHlrUrk (Ä;=i,2,...m), 

(0) nl-H's, 

Acta malhematica. «. Imprimé le 5 juin 1918. '»2« 4 



26 E. Study. 

wobei H'st aus Ö^s dadurch entsteht, dass man erstens in allen Quaternionen- 
produkten die unteren Indices der einzelnen Faktoren vertauscht, und zweitens 
jede so erhaltene Quaternion durch ihre Konjugierte ersetzt, e's aber ist aus 
©r» dadurch entstanden, dass man die Reihenfolge aller Faktoren umgekehrt und 
jede Quaternion durch ihre Konjugierte ersetzt hat. 

Der Entwickelungskoejjizient H^^ geht also aus &^^ dadurch hervor, dass vmii die 
Reihenfolge aller vorkommenden Qnaternio7ienprodukte und zugleich für jeden einzel- 
nen Faktor die Reihenfolge der beiden unteren Indices umkehrt. 

Wir behaupten weiter, dass in beiden Enlwickelungen von y/ die Koeffizienten 
der Quaternion «,/. %ind ebenso die Koeffizienten der Quaternion uik übereinstimmen : 

(7) ^&krc<is=^us^H'ii 

{i,k ^ 1,2, ... 7Ji) . 
(8) ^air&U--'^Hlark 

r r 

Zunächst nämlich müssen, da beide Entwickelungen nur formale Umge- 
staltungen von einander sind, in ihnen die Glieder übereinstimmen, die überhaupt 
von dem Element aik abhängen. Nach dem Vorhergehenden genügt es, den Fall 
i = k=i zu betrachten. Wir erhalten dann, wenn wir noch den selbstverständ- 
lichen oberen Index i unterdrücken, die Identität 

«,, .©,, .(7,1 +«„ .20'»«,.s + ^«,s0.,, . «,, = 

= ((, ,. Ä, ,.«,,+ 2 '^-i fis, . «, , + <r, , . ^ H,,a,, , 

die bestehen muss für alle Quaternionen «,,. Hieraus folgt zunächst, was wir 
schon wissen, dass ©„ mit I^^^ identisch und ein Skalar ist; es ist ja ©,, = 
= V {«21, ■ ■ ■ (hnm) = ^u • Weiter hat man dann eine identisclie Quaternionenglei- 
chung der Form 

za + bz = cz + zd 

vor sich, die nur dann bestehen kann, wenn rt = c und b = d (und überdies die 
Summe der vektoriellen Bestandteile von a = c und b = d gleich Null) ist. Aus 
(4) folgt aber auch noch, dass die Ausdrücke (7) und (S) konjugierte Quaternionen 
sind. Jlan kann also setzen 



(9) 

do) 



Zur Tlicoriu der linearen Gleichungen. 



Es (jelten dann die Gleichinujen 

V ■= 2 "'■'••■ "'*'* = Z '^''^ "''" (* = I. 2, . . . »ft), 

k 

V = 2 Aik ctik = y, àik Ai,,, {k=i,2, ... »ft) , 



(II) 



eile an die Entwickelungt'ii einer /;/-reiIiigen Determinante nach Zeilen und Spalten 
erinnern. 

Im Falle »ft = 3 z. B. kann der erste Entwickelungskoeffizient J,, in die fol- 
genden beiden Formen gesetzt werden: 



= [ct.y, «2:;-«33 «33 «oj «j3 «33 (iy; «32 «33 «.s «22 + «32 C'j^'^hs «23 

^" (".■l"23 «fasere "21 "j2".i:i "j1 «31 f'3î«23 f'jJ +"31«o3 "23f'l2 

+ l"21 «22 «32 «33 «21 «23«3; «32 «31 «33'«22 «22 + «31 «32 «22 «23 



«,. + 

«,2 + 



= «U '«H3 «33 «22 «22 «23 «33 «32 «22 «22 «32 «33 «23 + «32 «32 '«23 «.'al + 

+ «21 '«23 «33 «32«12 — «33«33«22«12 — «32«32-«23«13 + «32 «J2 «33 «13) + 
+ «31 l«33 «23 «22 «12 — «23 «23«32 «13 — «22 «22-«33 «13 + «32 «22 «23 «13/ • 

Durch zyklisclie Vertauschung der an erster und zweiter Stelle stehenden 
Indices erhält man daraus die übrigen Koeffizienten Aik- 

5. Neben den Gleichungen (ii) hestehen der bilinearen Gleichungen 



(12) 



o = ^ajkAik, o^'^Aikai, (tVy, = i,2,.. 



Dies ist wieder eine Eigenschaft, die einer solchen »ft-reihigcr Determinanten 
analog ist. Multipliziert man z. B. die Quaternionen 



A,,,A,., ... A„n, 



28 E. Study. 

die nach Art von Unterdeterminanten den Elementen der ersten Zeile der Ma- 
trix («»•/.) zugeordnet sind, der Reihe nach vom mit «yi-'O-- ■ ■ ■ "jtn, so wird die 
Summe der Produkte V oder Null, je nachdem / = i oder j ^ i ist. 

Es genügt, die erste der Gleichungen (12) für den Fall i=i, /=2 zu er- 
weisen. Wir verteilen dazu die in der Entwickelung von V vorkommenden 
Index-Zyklen auf vier C4ruppen. I möge alle Zyklen umfassen, die den Index i, 
aber nicht den Index 2 enthalten. Analog erklären wir die Gruppe II, mit Ver- 
tauschung der Indices i, 2. III umfasse alle Zyklen, die beide Indices i, 2 ent 
halten, IV endlich die von beiden Indices freien Zyklen. Als uneigentlichen Zyk- 
lus rechnen wir zu IV noch die Einheit. Ferner lassen wir jeden Zyklus au.s I 
oder III mit dem Index i, jeden Zyklus aus II mit dem Index 2 beginnen 

Wir bemerken nun, dass die Glieder der Entwickelung von V sich paar- 
weise nach dem Schema 

± !i.ii-iii;.iv 

anordnen lassen. In der Tat erhalten wir aus jedem geordneten Produkt von 
zwei Zyklen der Typen I, II, 

durch Vertauschung der erstell Indices i, 2 der Faktoren mit 2, i und Umstellung 
der Faktoren einen bestimmten Zyklus des Typus III, 

/>„ . . . 0„, 0,r . . . l),„ , 

und offenbar tritt dieser Zyklus in die Entwicklung von V mit dem Faktor 
T I ein, wenn das Produkt der beiden ersten Zyklen mit dem Faktor ± i auf- 
getreten war. Auch kann man aus dem Zyklus des Typus III eindeutig wieder 
das Produkt des Typus I . II ableiten. 

Ersetzt man nun in beiden Produkten I . II und III den ersten Index (i) 
durch den Index 2, so erhält man als Faktor des Aggregats IV, das von dieser 
Operation nicht betroffen wird, eine Differenz 

± {^», . . . l)^„ .{0,s ..• 0,, ) — (,y..., . . . ^n,) . .'>..„■ . . . .'>p,}, 

in der Minuendus und Subtrahendus denselben Zyklus als Faktor enthalten, und 
in der auch die beiden anderen, vorn und hinten auftretenden Faktoren (die nicht 
Zyklen sind) übereinstimmen. 

Bei der Summation über die oberen Indices der Quaternionen >'>;.„ müssen 
sich nun die Differenzen der bezeichneten Form paarweise zerstören, nach dem 
Schema 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. 29 

= 2Ä(,'/o,... ;}'r.,){!Lr... ;t,j,~'t,r... .'>,,, 5=0. 

Man wird z. B. im Falle « = 5, unter anderen, die folgenden vier Differen- 
zen zusammenfassen: 

— {^{,ä;, . ^'^, 0';^ ^», — iV», d'i, dl, ü',, .%, 

— {:!){, ^;, . 0-:, i)'^^ d% — O'i, i)'!:^ ^^„ öi, 01^ 

— {d\^ ,9^, . ül^ ^»5 ül, — ■'>»^ !)\\ 01, ,'Ji^ .'>;, 

— {'t{, .'/;;, . !n^_ O'i, ü'^„ — {)',, ;)i, 5«, ,9^.3 >'>3, 

Hier sind ans der formalen Entvvickelung der Determinante 

\a\^ Ü\., 0',^ 0[\ dl,\ 

zunächst ein zweigliedriger Zyklus des Typus I, dann ein dreigliedriger Zyklus 
des Typus II ausgewählt. Damit hat man die erste der vier Differenzen. Durch 
sie ist die zweite bestimmt, bei der der Zyklus II im umgekehrten Sinne durch- 
laufen wird. Die dritte Differenz ergibt sich dann aus der ersten durch Permuta- 
tion der oberen Indices. Sie wird eindeutig bestimmt durch die Forderung, dass 
der dritte Zyklus des Typus II mit dem zweiten einen Ring bilden soll. Ebenso 
entsteht die vierte Differenz aus der zweiten, ihr Zyklus vom Typus II bildet 
einen Ring mit dem ersten dieser Zyklen. Ersetzt man dann â'i-^, durch Oty.. so 
erhält man eine Summe von vier neuen Differenzen, und in dieser zerstören sich 
das erste und vierte, sowie das zweite und dritte Glied. — 

Die beschriebene Anordnung der Produkte .?;.„ mag noch für den Fall « = 4 
vollständig durchgeführt werden: 

(II) (12) (13) (14) 



(41) (42) (43) (44) 
= {{ii)(22) - (12) (21)) ■ J(33)(44) - (34) (43)} - 
-[(ii)-(23)(32)-(i3)(32)(2i))-(44)- 
- ((ii)(24) (42)- (14) (42) (2i)](33) - 
+ {(ii)(23) (34) (42) - (13) (34) (42) (2i)J + 



30 



E. Study. 
(ii)-(24)(4.s)(32)-(i4)(43)(32)(2i); + 
(I3)(3i)(22)-(i2)(23)(3i»;(44)- 
(i4)(4i)-(22)-(i2)(24)(4i)](33) + 
(i3)(3i){24)(42)-(i4)(.42)(23)(3i)] f 
(i4)(4i)(23)(32)-(i3)(32)(24)(4i); 4- 
(I3)(34)(4i)(22)-(i2)(23)(34)(4i); + 
(I4)(43)(3i)(22)-(i2)(24)(43)(3i);- 



Das Ganze stellt eine Entvviokelung von V nach Art der LAPLACE'schen 
Determinantenentwiekelung in bezug auf die Unterdeterminanten aus den beiden 
ersten Reihen dar. Behandelt man die Faktoren des Typus IV ebenfalls in der 
beschriebenen Weise, so erhält man eine auch in der Form völlig bestimmte Dar- 
stellung von Vi eben die im Beispiel ?i = 4 angegebene. 

Aus dem bewiesenen Satze ergeben sich noch einige Folgerungen analog 
Sätzen der Determinantentheorie; namentlich sieht man, dass eine V'Funktion 
mit zwei gleichen Reihen oder Spalten den Wert Null hat. 

(J. Die verschwindenden Ausdrücke (12) sind einseitige lineare homogene 
Funktionen der Quaternionen Ui, , . . . ài,,, oder «,/.., ...«,„j. Diese aber können 
nicht identisch gleich Null sein, wenn nicht alle Koeffizienten dieser Quater- 
nionen Null sind. 

Es ist bequem, hier einen Wechsel der Bezeichnung eintreten zu lassen. 
Wir setzen 



so dass 



öi,=ö>i*, Hii^'ui, 



<Iiik-'i>t, 'Ph^'Kk 



(13) 

wird. Wir haben dann 

(14) Aiu='^(l4kàis='^à.k'l'h 



ferner 



k k. s 

V = Z ''i'k ('ik - - Z^ÎUk '/'";/.■ «</l 



und 



Zur Theorie der linearen Gleiclinnp:pn. 31 

0=2 "jk ^i* = 2 ">* *^* "'■■' '^' ^ ') ■ 

o = ^ Aik an = 2 «»* '/''* "'■ ' {l^k). 

Die beirlcn letzten Gleichungen liefern nun, wie gesagt, jo n verschiedene 
Gleichungen, 

o = "^«jk </4t {) ?^ ?", s = I, 2, ... m) 

k 

O = ^'f;* Uii (l ^ k, i =1,2,... in) 

die wir mit den Gleichungen (14) zusammenstellen wollen: 

(17) 0=2 «^■» ''•'"' " = 2 '^^* «■'' ' 

ii 7^ i, fc = I, 2, . . m), (Z ?^ Ä-, '/ = I, 2, . . . m). 

In dem oben ausgeführten Beispiel m = 3 (S. 27) sind die Koeffizienten von 
«,,,«,,, «13 die hier mit (/J), , *;,, Ö>^i bezeichneten Funktionen. Ersetzt man 
«,,, «,;, «13 der Reihe nach durch «,,, «,,, c7,3, oder durch «;,, «.,, «.„, so erhält 
man die Summe Null. 

7. V ist eine irreduzible Funktion der 4m- Koordinaten der Quaternionen 
«,•4. Diese Behauptung, die ja in den Fällen m=i und m = 2 zutrifft, muss für 
m=n -\- 1 richtig sein, wenn sie es für den Wert m = n ist. Die (n + i)-reihige 
V-Funktion geht nämlich in das Quadrat einer beliebigen (« + i)-rpihigen Determi- 
nante, also in das Quadrat einer irreduzibcln Funktion {n + i)"^" Grades über, wenn 
alle Quaternionen «;* skalar werden. Daher kann ein irreduzibler Teiler von 
V nur den Grad n+ 1 oder den Grad 2(71 + i) haben. Der erste Fall aber ist 
unmöglich, da die V-Funktion (2 »1-1-2)"^" Grades 

f «JO. o, . . . o ] 

] («.. •• • «.« I 

J Ü, «,|, . . . «1» {^ 1(1 ^ } 

] ( ^""'i;,,;.;.:.:,;,! 

l O , ll„ , , . . . (l„ „ ] 

einen Teiler vom Grade 2« liat, der selbst eine nicht-spczializierte '/-Funktion ist. 



32 E. Study. 



Einseitige (Juaternionengleicluingeii mit beliebig vielen Unbekannten. 
Weitere Eigenschaften der Nablafunktion. 

Die Auflösung der Gleichungssysterae 

(l') «il a-'i + • ■• + «jm^im = a-'i (l=I,2, ...to) 

(l') S'k = SiCt,k + ■■■ + SmC'mk (t=I,2, ...W) 

ergibt sich nun ohne Weiteres in allen Fällen, in denen überhaupt eine eindeu- 
tig bestimmte Lösung existiert, aus den Gleichungen (ii) und (12) in § 3. Ist 
nämlich V("i*)'^o> so folgt 

(2') Aax\ + ■■■ + A„ikx',n = V -^-.k ik = i...m) 

(2') ?i . V = i"'. Au + ■■■ + i"'„, Aim {i^i, ... to). 

Wie schon im Falle m = 2 (und auch im Falle 7n = i) ist eine eindeutig be- 
stimmte Lösung immer dann und nur dann vorhanden, wenn V^o ist. Zwischen 
V und der Determinante D der in je 4 ??i gewöhnliche lineare Gleichungen zer- 
legten Systeme (i) besteht die Beziehung 

(3) £» = V^. 

Ferner lassen sich die an den Fall m = 2 geknüpften gruppentheoretischen Über- 
legungen ohne sonderliche Änderung auf unbestimmte Werte der Zahl m aus- 
dehnen. Namentlich ergibt sich auch eme Multiplikationsregel für die \J-Funktion. 
Wir erklären das Produkt zweier Quaternionenmatrices, unter der Annahme, 
dass der erste Index (i) die Reihen, der zweite (/.) die Spalten einer solchen 
Matrix charakterisiert, nach der gewöhnlichen Regel: Wir schreiben 

{('ik) ii-lik) = (/.*). 
wenn 

«.-, ßik + ■■■ + l'iw p'mi = '/ik (i,k= I, ... W) 

ist. ^'.s wird dann 

(4) Uu<^]ißik) = [7i>.). 

Ferner lässt sich die V-Î'unktion, genau so wie im Falle m =2, als2»n-rei- 
hige Determinante darstellen, deren Elemente beliebig, nur in der Bezeichnung 
zu TO- zweireihigen Matrices (als fritieimalrix) angeordnet .'^iiid. Die ganze vorge- 



Zur Theorie der linearen Gleichuna;en. 



33 



tragene Theorie findet ohne Weiteres auf solche Matrices, und die zugehörigen 
Gleichungen — Gleichungen für Matrices — Anwendung. 

Es versteht sich, dass von der Multiplikationsregel (4) ein ähnlicher Ge- 
brauch gemacht werden kann, wie von der Multiplikationsregel für m-reihige 
Determinanten. Ich habe nicht die Absicht, in dieser Hinsicht Vollständigkeit 
anzustreben, will aber einen Lehrsatz ableiten, von dem wir sogleich Gebrauch 
zu machen haben werden. 

Wir bilden zunächst das Produkt 



erhalten also 



(5) 



.4,, A, 





\A,„ 


A: 


hierauf bilden wir das Produkt 




I ... 1 [ 


< 


«21 Cty, . . . ((.,„, 

et nil «mj • ■ ■ <'m7n 


l.l 


und erhalten 







J„ A,, 



= 7=-, 



A„nA, 



. A, 



f^n A, 



■V'- 



. A, 



\ A„nA,„,...A,. 



>=Mu)-V' 



(6) 



■\7-{Au)-NA,,. 



Hieraus folgt allgemein der zuvor schon unter der Annahme »h = 2 bewie- 
sene Satz, dass V semidefinit ist, 

V>o, 
wenn die 4m Koordinaten der Qvaternionen «,i reell sind^ (m> i). 



' Siehe weiterhin S. 56. 

Acta mathematica. 42. Imprimé le 5 juin 1918. 



34 E. Study. 

In gleicher Weise liefert das Produkt 

A,, A,, ...A„ 



die Formel 





A,,A,,A,,. 


. . A„„ ] 




-^12 -^23 -^32 • 


. A,n, 


- 


y . 


. o 




0. 


■ • V 



,_ 1.1.^2.1 



allgemein erhält man auf diese Art 

[ Uk + i,k + \ ■ ■ ■ l'k + i 



(7) 



A,,A,, ....Ja, 



V '''-' = . 



A,uA, 



Akk . 



Anlass zur Verwertung der Formel ((>) gibt uns das Gleichungssj-stem (17) 
in § 3. Hieraus folgt nämlich unmittelbar, dass man in der Regel die Lösung 
der Gleichungen (i) noch auf mannigfache andere Arten darstellen kann. Wir 
erhalten 



(80 

m 



f'fc a;', + • ■ • + WmT, a;'„. = Àik Xk (i,k= i, . . .vi) 
SiÄik = ^\ (I>i,+--- + i"'m ^fm (k,i = i,... »«) . 



Es ist nicht ohne Interesse, diese Lösungen der Gleichungen (i), die wir 
vielleicht als Nehenlösungen bezeichnen dürfen, mit der Hmiptlösung (2) zu ver- 
gleichen, die der Bequemlichkeit halber nochmals hergesetzt werden soll: 



(9O 



Aücx\ + ••■ + A,„kx'm=\/-Xk, (i- = I, . . . in) 



Zunäclist sehen wir: 

Die Hauptlösung lässt sich in jedem der zwei Fälle {l,r) als lineare Kombijia- 
iion der m Nebenlösungen darstellen (deren Koeffizienten in den Koordinaten dir 



Zur Tlieorie der linearen Gleichungen. 35 

Quaternionen «st Gradzahlen haben, die um je eine Einheit geringer sind als die 
Gradzahlen der entsprechenden Koeffizienten der Hauptlösung). 

In der Tat bestehen nach Nr. (13), (15) und (17) in § 3 die Gleichungen 

(10') ^5ik^Kic = Ask, '^c<ikÄik=\/ {k,s = i,. ..m), 

i i 

(lo--) "^flttuik^Ai,, '^Âikciik = '\/ (i,s=i, . . .m). 

k k 

Ferner erhalten wir aus (6), oder aus der gleichbedeutenden Formel 

(11) ^^ii = V-'»?Ä = V-'^ifc 

die Formeln, die den Übergang von den einzelnen Nebenlösungen zur Haupt- 
lösung vermitteln; multiplizieren wir nämlich beide Seiten der Gleichungen (8) 
mit Aik, um auf diese Art zu Gleichungen mit skalarem Nenner überzugehen, 
so erhalten wir die Gleichungen (9) mit einem Faktor 

(Dfk=Wik, 
dessen Verschwinden also jene Nebenlösung unbrauchbar macht. 

Endlich ergeben sich noch, wenn man die Produkte An.Xk und V'^/f. SiAiu 
und i'iV aus den Gleichungen (8) und (9) eliminiert, die merkwürdigen Formeln 

(12) V-(l)h = AikÂis, V-Wlk = ÀskAik. 

Man sieht aus diesen Ausdrücken, deren Substitution in einer Reihe zuvor 
entwickelter Gleichungen Identitäten entstehen lässt, dass die bilinearen Formen, 
die uns zur Darstellung von V gedient haben, 

y^«ik <i>ik (<is = y = 2«s/c 'p'ikctik 

k, s i,s 

sehr spezielle Koeffizientensysteme besitzen : Es bestehen die sämtlichen Glei- 
chungen 

(13) (J>l(I>'i,-<I>l-<I>l = o, 'Kk'l'ik-'Kk'P'rk = o, 



^"'^ \ohoÜ °' b'h^k 



Die Gleichungen (12) lassen noch erkennen, dass die Produlite 



36 E. Study. 

Zu beachten ist, dass die vorgetragene Lösungsmethode eben so wenig die 
Bedeutung eines Universalrezepts hat, wie die allgemeine Theorie der linearen 
Gleichungen. Es wird das durch den Fall erläutert, in dem alle Quaternionen 
oder Matrices aik skalar sind. V wird dann das Quadrat der Determinante jener 
Grössen, und in den Nennern der sachgemäss gebildeten Ausdrücke für die Un- 
bekannten erscheint nur diese Determinante an Stelle von V- 



Das zuvor über das Vorzeichen der V-Funktion Gesagte wird ergänzt durch 
einen Satz von I. Schur: 

Sind die Koordinaten der m- Quaternionen «i,,...«„,m reell, so l-ann, ivenn 
m>i ist, die zugehörige \J-Funktion nicht als Summe von Quadraten reeller ganzer 
rationaler Funktionen {homogener Formen) jener Koordinaten dargestellt werden. 

Es genügt offenbar, den Beweis, den ich ebenfalls einer ^Mitteilung von 
I. Schur verdanke, für den Fall wi = 2 zu führen. 

Es wird dann 

\x y\ Hxl + x\ + xl + xl) [xil + u\ + ul + nl) + 

U «I \{yl + y\^yl + y\^{^l + 'A + A +z\) — 

— 2 (a^oZo + XjZi + x.,z. + .T.,23) [u,y„ + «,2/, + xi.y. + u^jj,) + 
+ ■2{xaZ^—x^z^\-x.z^ — x^z^){u^yy — xi,y^ + M;i2/3 — '"32/2) + 
+ 2 (.T(,3, — a;,Zo + x^z^—x^z.;) («o?/^— "2^0 + u.y^ — n^y,) + 
+ 2 {x„Z:^~ x.^Zo + x,z^ — x..Zi) {u^y^ — u^y, + u,y.,--u._y,) . 

Wäre nun V=/o+/l^ h/«-ii wo /,,,... /„_i reelle quadratische Formen 

der sechzehn Veränderlichen »•„... «3 bedeuten, so könnte man 

• U = a-'o Uro + X, Um + X, Ur, + X, Ur, + 2» T,» + 2. 7,, + Z, r,, + 23 Frs 

setzen; U,.h wäre dann eine lineare homogene Funktion (Form) von ?/„, m, , «.,, ««3, 
und }',,/; eine ebensolche Funktion von yo> 2/i' ?/2! 2/3- Diese linearen Formen 
müssten unter Anderem den folgenden Bedingungen genügen: 

für die Matrix (4,^) eine ganz ähnliche Bedeutung haben, wie für die Matrix (a,-^) die Produkte 

von denen wir die ersten zur Beschreibung des Bildungsgesetzes der Vl'unktion benutzt hatten. 
— Natürlich würde sich das Bildungsgesetz der V-ï"unktion auch mit Hülfe der Produkte ij^,- 
haben lieschreiben lassen. — 



Zur Theorie dor linearen Gleichungen. 37 

(c) 2^'" ^'•'> =—«1)2/0 — M,2/i — «2^2 — "32/3. 

(c/,) 2 ^"» ^'^'•1 = «0 2/1 —"1 2/0 + M22/3 — W32/2. 

(rfj 2 [/,„ r,, = «„2/j — '«22/ü + M32/1 — «,2/3 > 

(f^:,) 2 '^'•'> ^''^ = ""2/3 — î'32/o + W12/2 — Wiî/i > 

((?,) 2^'" 3^.'o= — Wo2/i + M,Vo — «22/3+ W32/:, 

(e.) 2^''= ■^'■'' =— "o2/2 + w,2/ü — «32/.+ M12/3. 

(63) 2 ^« ^'■« = — «oî's + «32/o — M12/2 + M22/1 • 

Dem Beweise unserer Behauptung schicken wir voraus den folgenden 
Hilfssatz: »Genügen n reelle lineare Formen 

2/,. = a,., a^i -1 h «,.,„ Xm {v = i , 2., . . . n) 

der C41eichung 

{/) y\+---+yn = X\+--- + Xin 

(woraus n^tn folgt), so lässt sich eine reelle orthogonale Transformation 

2/'l =Pu 2/1 +--+Prnyn, 



y'm=Pm,yi+-+Pmnyn 

so bestimmen, dass 

?/'■ = Xi, . . .1j'm=Xm, 

und ausserdem (wenn n > m ist) 

2/'m + . =0, ...«/'„-= 
wird.» 



38 E. Study. 

Er handelt sich natürlich nur um den Fall n > ni, und es kommt darauf 
an, zu zeigen, dass die verlangten Gleichungen auch dann durch eine orthogonale. 
Transformation hergestellt werden können. 

Die Gleichung (/) sagt lediglich aus, dass die m linearen Formen 

V/i. = a,,i ?ii H + anil «« ((( = 1,2, ... m) 

(in denen u^ . . . w« unabhängige Veränderliche bedeuten) ein System normiert- 
orthogonaler Formen bilden. Man bestimme nun (was bekanntlich immer mög- 
lich ist) n — m weitere reelle Formen 

Vk = cii/cU, -i + a„i! Un {k = m+ i, . . .n) 

derart, dass v^, . . .Vn ein vollständiges System von normiert-orthogonalen Formen 
bilden. Setzt man hierauf 

y'k = aücy, H — + amkt/n {k=i, 2, . . . n), 
'so wird 

Xk für k <m, 
o für k>m. — 
Im Falle der ersten Gleichung unter (a). 



y'k = 2" ^" 2" '^'■k'^vii. = l 
1 1 1 = 





muss w>4 sein. Man kann dann, nach dem bewiesenen Hilfssatz, eine reelle 
orthogonale Transformation 

U'ko--pUoüoo + ---+'m,n-.Un-uo 

SO bestimmen, dass 

U'oo = '>K, U\„ = u,, U',,^u,, U',, = ti,, 
und ausserdem, wenn w > 4 ist, 

u\„ = 0, . . . t/;,_,,o ==0 

wird. Bildet man jetzt die Funktionen 

fv = 'Pro /0 + h Pv, n-i fn-, ( )' = , I , . . . 7! — l) , 

SO haben diese dieselbe Form wie die ursprünglichen Funktionen /„, . . ./„_,, und 



Zur Theorie der linearen Gleicliungen. 39 

auch dieselbe Quadratsumme, an Stelle von ü,.^ erscheint aber jetzt V\.a. Man 
darf daher annehmen, dass von vorn herein 

ist. 

Aus (c) folgt nunmehr 

5'oo = — 2/0, ï^o==— 2/1. ^io^ — y^, Yso= -~y:<' 

und aus (h) — da die Veränderlichen yk alle reell sein sollen — Y^^=-=o. 
Ebenso können wir aus {d) und (h) die linearen Formen r,,i, i'va, Y va berechnen, 
und schliesslich, auf Grund der Gleichungen (e) und (a), auch die Formen 
Uvi, Uv-i, Uvz- Das Ergebnis ist, dass nur noch der Fall 7i = 4 in Betracht 
kommt, und dass man auch in diesem nur die eine Annahme 

/0 = a^oMo — -l-'iMi — X.U._ — X^U^ — Z„y^ + £iji/i + 2jJ/, + z^y^,, 
/, = XoUi + X^Uo + .TjMa — a-aMj— 2-02/1 — 2i2/„ — 322/3 + ^sVi' 

/2 = aToît, + x.jio + x^u^ — x^u, — z^y^ — z,y^ — z^yi + z,y^, 

f3 = Xoii3 + a-3i/o + a--!«, — 3-2«, — 3o2/3 — 232/0 — 2,2/2 + 222/1 

zu untersuchen braucht. Diese Funktionen genügen aber nicht der Gleichung 

denn in ihrer Quadratsumme ist z. B. der Koeffizient von 20:323 verschieden von 
dem entsprechenden Koeffizienten in der Entwickelung von V-' 

5- 
Die allgemeine Nablafiniktioii. 

Setzt man an Stelle der Quaternionen oder zweireihigen Matrices ein un- 
bestimmtes System komplexer Grössen (solcher mit Haupteinheit), so wird es 
nicht leicht sein, die Theorie »einseitiger» linearer Gleichungen so weit durchzu- 
führen, wie es in dem konkreten und dabei verhältnismässig sehr einfachen Bei- 
spiel der Quaternionen noch thunlich war. Indessen lässt sich doch einiges All- 
gemeines aussagen, das beim Studium anderer konkreter Fälle nützlich sein kann. 

Wir betrachten zunächst das in der Form ««' = «" abgekürzte Multiplika- 
tionstheorem irgend eines Systems komplexer Grössen mit reellen oder gewöhn- 

' Vgl. hierzu Hilbert, Math. Ann. Bd 32 (1888), S. 342, Acta Mathematica, Bd 17 (1893) S. 169. 
Archiv f. Math. (3), Bd i (1901), S. 224, und Grundlagen der Geometrie (3. Aufl., 19C9) Kap. VII, § 38. 



40 E. Study. 

lichen komplexen Koordinaten für die einzelnen Grössen des Systems, und bilden 
die Gleichungen 

(I') r = .^«. 

in denen «, x', ^' gegebene und x, ^ zu bestimmende Grössen des Systems bedeu- 
ten sollen, n sei die Zahl der linear-unabhängigen Grössen des Systems, also die 
Anzahl der in irgend einer Basis des Systems vorkommenden Einheiten, e„ die 
Haupteinheit, die wir von der Einheit der gewöhnlichen reellen oder komplexen 
Grössen nicht unterscheiden (e„ = i). Die n Koordinaten von a, imd ebenso die 
von x' und §', sollen als unabhängige Veränderliche betrachtet werden. Zu den Glei- 
chungen (lO und (!'■) gehören dann, wenn man sie explizite schreibt, d. h. durch 
ein System von n gewöhnlichen linearen Gleichungen ersetzt, zwei nicht notwen- 
dig übereinstimmende Determinanten Di und Dr, die als (ganze homogene) Funk- 
tionen (n"=" Grades) der Koordinaten «„,... «„_, bekanntlich dieselben irreduziblen 
Teilerhaben. Wir nehmen an, dass diese Determinanten von Null verschieden sind. 

Unter diesen Voraussetzungen iässt sich z. B. die Gleichung (i') eindeutig 
auflösen. 

Dabei tritt die Determinante Di in den Nenner des sich für x ergebenden 
Ausdrucks, und in den Zählern der Koordinaten von x erscheinen lineare Kom- 
binationen der sämtlichen Unterdeterminanten (n — i)*«" Grades von A- Wir 
denken uns die Faktoren, die die Determinante Bi mit allen ihrer Unterdetermi- 
nanten gemein hat, weggehoben; in den Nennern bleibt dann eine Funktion ç'^" 
Grades V(«) der Koordinaten «o. • • • «»-i stehen, und diese wird eindeutig bestimmt 
sein, wenn wir festsetzen, dass V(i) = i sein soll. Nennen wir noch « die dann 
ebenfalls eindeutig bestimmte Lösung der Gleichung «a;= V(«)> so erhalten wir 
die Lösungen beider Gleichungen (i') und (i"") in der reduzierten Form 

(2O \J .x = ùx', 

(a»-) §.V=s'«- 

Die hier eingeführte Zahl q, der Grad des nach Möglichkeit reduzierten Ke7m£rs 
V («) , ist die als Rang des betrachteten Systems bekannte Zahl. Sie ist der niedrigste 
Grad einer algebraischen Gleichung mit skalaren Koeffizienten, der eine unbestimmte 
(frei veränderliche) Grösse des betrachteten Systems genügt.^ In der Tat, verstehen 
wir unter r eine skalare Grösse des Systems, d. i. ein Jlultiplum der Hauptein- 
heit, so kann man schreiben 



> Tii. Moi.iKN, Math. Ann. 15d 41 (1S93), S. 113. 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. 41 

V ('■ — «) = »■'-' + «I '■-"' + ■ • • 4 flp , 
und es folgt 

(3) o = «'' + a, «'■'"' + • • ■ + Oy ; 
dabei ist 

(4) a, = V(-«) = (-i)^V(«). 
Gäbe es nun eine für alle u richtige Gleichung der Form 

o = a\ «-'' + a'i «-''"' + • • • + «',,' , 

mit ebenfalls skalaren Koeffizienten, so dass q' < q wäre und zugleicli einen mög- 
lichst kleinen Wert hätte, so müsste die Gleichung (3) eine Folge von ihr sein, 
was nur möglich ist, wenn a'o den Grad Null hat. Man kann dann von vorn 
herein a\ = i setzen. 

Es müsste ferner a',y von Null verschieden sein, da andernfalls 

« {ao'-^ + a\ «'''-- + • ■ ■ + a'p'-i) = o 

wäre, unter der über die Zahl q' gemachten Annahme ein Widerspruch gegen 
die Voraussetzung der eindeutigen Lösbarkeit der Gleichungen (2). Man hätte 
also schliesslich in dem Ausdruck 

— (a'pr)-i (■«&■-! + a\ a'-''-- + • • • + a',y-i) = u* 

eine Lösung der Gleichung ux=i, und damit hätte man auch eine Lösung der 
Gleichungen (2), in der V («) durch eine Funktion niedrigeren Grades, a,y, er- 
setzt wäre. 

Es ergibt sich noch 

(5) V («) = « " ' « = (— i)''""' ^«'°~' + ^' """■" + • • • + «'-'-'! ■ 

Um die komplexe Grösse « und mit ihr den skalaren Ausdruck V(«) zu bil- 
den, hat man hiernach die skalaren Funktionen ersten bis (ç — 1)"=° Grades 
Oj, ...a„-i der Koordinaten einer unbestimmten Grösse « des betrachteten Sy- 
stems zu bilden. Hierzu ist aber nur nötig, dass man den ersten dieser Koeffi- 
zienten Ui bilden kann. Bezeichnen wir nämlich mit i\, . . . r^ die Wurzeln der 
(zuvor schon gebildeten) Banggleichung des betrachteten S3'stems, 

(6) V (»■ — «) = ?•«' + a, f P-i + ■ • ■ + «,, = o , 

und setzen wir (nach Analogie des in der Quaternionentheorie Üblichen) 

Acta mathematica. 42. Imprimé le 6 join Ifl^'. "''^ ' 



42 


E. Study. 


(7) 


©« = ■ a. 


so folgt unmittelbar ' 





(8) rf + ■■■+ n; = (>.©«'• (/. = (), I, ..., f—i, ...); 

es lassen sich aber die symmetrischen Funktionen «j, ... a„ der Wurzeln r, , . . . r» 
in bekannter Weise durch die Potenzsummen (8) ausdrücken. Man hat z. B. 

a, = — p © f( , 2 ! «3 = (I- (® «)^ — Ç © «", 
3 ! «3 = — Q^ (© t()^ + 3 C" ®« ©"■ — 261 ©«', 



Nach diesen Vorbereitungen betrachten wir ein System von m linearen Glei- 
chungen der Form 

(gO ßfi X, + • • ■ + «im ^m = a-''.- (l = I , • • • «0 

oder 

(r/) è'/; = bi «.Ä + • • • + i'm«mA (Ar = I , . . . m), 

in denen «,, ... «mm, a^'i • • • ^'m, 1', . . . s'm wiederum Grössen des betrachteten Sy- 
stems («) sein sollen, und «,i, ...«mm frei-veränderliche Grössen dieses Systems, 
nur beschränkt durch die Annahme, dass etwa die Gleichungen {9') eindeutig- 
auflösbar sein sollen. Die Lösungen dieser Gleichungen ((/) denken wir uns in 
eine reduzierte Form gesetzt, derart, dass in allen Nennern von a-, , ... .r„ eine 
gewisse notwendig homogene Funktion der nm- Koordinaten von «,i, . .. «mm er- 
scheint, deren Grad nicht weiter hinabgedrückt werden kann. Diese nach Vor- 
aussetzung nicht verschwindende Funktion (Nablafinik(ion) bezeichnen wir durch 
das Symbol 

1 «:i . ■• «im 

(10) 

V(«iA)= 

1 «7n 1 • • • «m in 

indem wir noch einen zunächst willkürlich bleibenden Zahlenfaktor aus der 
Forderung 

' Vgl. etwa Moi.iEN, a. a. U., S. no. 



Zur Tlieürie der linearen Gleichungen. 43 



(ii) 



bestimmen. Wir behaupten : 

Zu den Gleichungen (9') imd (9') gehört dieselbe Nablafunklion. Diese ist eine 
homogene Funktion des Grades ?k^ der Koordinaten der Grössen 0,1, ... «,,,7», und 
ziuar ist sie homogen vom Grade q in hezug auf die Koordinaten der Elemente ir- 
gend einer Zeile oder Spalte der Matrix («ü), und sie erreicht überdies den Grad o 
in bezug auf die Koordinaten eines jeden dieser Elemente aui. 

Zunächst ergibt sich, dass V(«a) in irgend einem Grade çi homogen sein 
muss in bezug auf die Elemente der ersten Zeile, da eine proportionale Änderung 
der C4rössen «,,, ... «,,„, x\ die Werte von a;, , ... a-,« nicht ändern kann; auch 
leuchtet es ein, dass diese Gradzahi o' für alle Zeilen dieselbe sein muss. Ferner 
ist sicher q' >^q, da im Spezialfall «,i .Ti =a;',, ... «mm »^m =a;'m dieser Grad tat- 
sächlich erreicht wird. Es kann sodann der Schluss von m auf m + 1 angewen- 
det werden, da der zu erweisende Satz für m=i richtig ist. 

Wir betrachten zu diesem Zweck das weitere Gleichungssystem 

«„0 X„ + C(„i X, + ■ • • + «„„. Xm = X'„, 

«„, Xo + ein X, + • ■ • -I- «,,„ X,„ = X'i, 
(a) 

«mo Xo + «mi X, + • • ■ + Clmm X„, = X'„,; 

in der zugehörigen Nablafunktion seien die Glieder zusammengefasst, die in be- 
zug auf die Koordinaten von «„<, denselben Grad haben, 

(b) V («00 ,«..,••■ «mm) = 'P'-'' («00^ + </'-''-' («00) + • ■ • . 

Lösen wir sodann die m letzten unter den Gleichungen (a) nach den Unbekann- 
ten X,, ... Xm auf, so erhalten wir diese in Form von Quotienten, in denen Nen- 
nern die Nablafunktion (10) erscheint, während von den Zählern angenommen 
werden darf, dass sie alle in der Form aXo -1- 6 geschrieben sind. Die Substitu- 
tion dieser Ausdrücke in die erste Gleichung unter (a) liefert eine Gleichung 
von der Form (1'), 

(C) {V(«u.---«".m)«oo + ^]X, = 5, 

in der, nach Voraussetzung, der Faktor von «„o den Grad mg und A den Grad 



44 E. Study. 

mo + I hat. Die formale Auflösung von (c) nach der zuvor entwickelten Regel 
liefert dann für X„ einen Quotienten, dessen Nenner eine homogene Funktion vom 
Grade g in bezug auf die Koordinaten von «„o, «„i, . . . «o,« ist, in dem ferner auch 
ein Glied o"'" Grades in bezug auf «„,, vorkommt, nämlich das Produkt 

{V(«u,---CW)}^.V(«oo)- 

Wir sehen also, dass (>' = q ist, und dass die Funktion '/"' («oo) das Produkt 
von V («oo) Diit einer (skalaren) Funktion der Koordinaten von «„, ... «„,„, sein 
muss. Diese letzte Funktion ist ferner ein Teiler vom Grade niQ der Funktion 
des Grades niQ^ 

lV(«ii> ■ •• Cl,n,n)r'; 

sie kann aber nichts anderes sein als V(«ii' •••«»«»«) selbst, da sie im Falle 
ci^^ = 0, ... Com = 0, «10 = 0, . . . «,Ho = o von vorn herein diesen Wert hat. 

Hiermit ist der aufgestellte Satz erwiesen, soweit er sich auf das Gleichungs- 
system (9') bezieht. Ausserdem hat sich auch ergeben, dass die auf der Bildung 
der Gleichung (c) beruhende Lösungsmethode der Gleichungen (u) den Ausdruck 
für X„ mit dem fremden Faktor 

in Zähler und Xenner liefert, dass sie also nicht allgemein brauchbar ist. 

Zu beweisen bleibt noch, dass die Nablafunktion sich nicht ändert, wenn 
man die Gleichungen {9O durch die Gleichungen ((/) ersetzt. Dies folgt dar- 
aus, dass die Gleichungen (q) im Grunde schon in Gleichungen des Typus (i) ent- 
halten sind. 

In der Tat, setzen wir an Stelle der m Gleichungen (c/) oder (g'') je m solche 
Systeme, die links dieselben Koeffizienten haben, 

(12') c(,-i .r,fc + ■ ■ • + «;,„ Xm k = x'ik (i, k = 1, ... m), 

(12") l'.i = :?,-, «,A +••■+ i'imC'mA- (i , k = I , . . . Hl) , 

so werden die Lösungen dieser speziellen Gleichungen (12') noch denselben 
reduzierten Nenner V("i/.) haben, wie die Lösungen der Gleichungen (9')- Wir 
bezeichnen diesen Nenner hier mit V7/, und nennen Vr ^^^ entsprechend aus 
(12'') abgeleitete Funktion. Die Gleichungen (12) haben nun genau dieselbe 
Form wie die Definitionsgleichungen des Produkts von zwei gewöhnlichen 
Matrices, 



(13') 



(13') 



Zur Tlieorie der linearen Gleichungen. 

«11 • • • «17» ^1! ■ ■ ■ Xl7l 



45 




nur dass die zu einer neuen Matrix komponierten Matrices zu Elementen nicht 
gerade gewöhnliche (reelle oder) komplexe Grössen, sondern solche aus dem belie- 
bigen Sj'stem («) haben. Nichts hindert aber dann, den Inbegriff der m° komplexen 
Grössen «u, . . . «„»,„ selbst wieder als eine einzige komplexe Grösse A höherer Ord- 
nung aufzufassen. Die Gleichungen (12) oder (13) werden dann subsumiert un- 
ter den Typus der Gleichungen (i), 



(14O 
(r40 



AX^X' 

S' = SA; 



die Einheiten des neuen Systems (A) sind die Produkte der Einheiten des Sy- 
stems («) mit VI' Einheiten eu,, deren Multiplikationsregcln 



eij 6jk=eik, 



etj e/c ; = o (j ^ k) 



die Multiplikationsregel gewöhnlicher Matrices liefern: Das System (A) ist das so- 
genannte Produkt aus dem System («) mit dem System, dessen Einheiten die enc sind. 
Der Rang des neu gebildeten Systems ist m .q, für die durch (12) definierten 
Grössen A aber hat man, eben nach (12): 

vr = v(^) = vr. 

Daher könnte sich Vr '^°^ V/ höchstens um einen Zahlenfaktor unterscheiden, 
dieser aber esweist sich als die Einheit: Vr = Vi= VI«'*)- 

Unmittelbar einleuchtend ist nunmehr auch, dass die Nablafunktion an ge- 
wissen Eigenschaften der Determinanten teilnimmt. So ziehen die Gleichungen 
(13) die als Multiflikationsregel der Nablafunktion zu bezeichnenden Gleichungen 



(15') 
(15'-) 



V(«ii)-V(--r<A) = V(a;'iA-), 



46 



E. Study. 



nach sich. Hieraus, und aus den nachgewiesenen Homogeneitätseigenschaften der 
Nablafunktion folgt dann ohne Weiteres: Die Nablafunktion ändert ihren Wert 
nicht, wenn man zu irgend einer Zeile (Spalte) der Matrix («a) ein vorderes 
(hinteres) Multiplum einer anderen Zeile (Spalte) addiert. Sie verschwindet also, 
wenn zwei Zeilen (Spalten) einander gleicli werden; was übrigens auch schon dar- 
aus hervorgeht, dass sie ein Teiler der Determinanten Z)^'"' und Z>^"'' der beiden 
Gleichungen (cj) sein muss. Sie nimmt den Faktor V/ (ç) an, wenn man die Ele- 
mente einer Zeile (Spalte) vorn (hinten) mit q multipliziert. Vertauscht man 
zwei Zeilen oder Spalten, so wird die Nablafunktion mit einem Faktor reprodu- 
ziert, der eine Quadratwurzel aus der Einheit sein muss. Um diesen Faktor zu 
bestimmen, genügt es offenbar, eine zweireihige Nablafunktion, und auch diese 
im Falle eines Zahlenbeispiels zu betrachten. Es ist aber 



I0| 
OlC 



'i::F 



die Nablafunktion wechselt also bei Vertauschung von zwei Zeilen oder Spalten 
ihr Vorzeichen, oder sie bleibt ungeändert, je nachdem o- i mod. 2 oder q~o 
mod. 2 ist. Endlich ist allgemein z. B. 



«,,1 ... et,, a 



«„+,,, . . . «M+l,/- «"+../. + 1 • • • «/<+. 



} = 



«„+,,„+, . .. «„+, 



u. A. m. 

Hiermit haben wir also eine allgemein anwendbare Definition der Nabla- 
funktion erlangt. Gelingt es, wie bei den Quaternionen, ihr Bildungsgesetz 
zu ermitteln, so darf man eine Verbesserung der allgemeinen Theorie der 
linearen Gleichungen in solchen Fällen erwarten, in denen der Rang q des 
Systems («) kleiner ist als die Zahl w seiner Einheiten. Eine weitere Verein- 
fachung wird eintreten, wenn die komplexe Grösse A speziell gewählt ist 
und zu denen gehört, bei denen schon eine frühere Potenz als A"'o durch niedri- 
gere Potenzen ausdrückbar ist.* Ist das System (o) reduzibel, so ist es auch seine 

' Übrigens gibt es auch noch anders geartete Fälle, in denen eine weitere Reduktion 
möglich ist. Vgl. § 7. 



Zur Tlieorie der linearen Gleichungen. 



47 



Nablafunktion; sie ist das Produkt der Nablafunivtionen, die zu den Teilsystemen 
gehören, in die das System («) zerfällt. Dies tritt bekanntlich immer ein, wenn 
Q = n ist, mit der einen Ausnahme eines Systems, dessen MultijDJikationsregeln in 
der Form 

«»** = «.+& {i + k<n — i) 

[i,k= o, I, ... n — i) 



(I6) 



£iEk = {i + k>7l — l) 



geschrieben werden können. Die Nablafunktion fällt dann zusammen mit der 
Determinante 

(0) ^,(0) 



(i/) 



V(«a) = £» = A" = 



der Gleichungen (()). Entspricht das System (o) selbst schon dem Multiplika- 
tionstheorem der (gewöhnlichen) Matrices, 



(i8) 



£i} «> /t = f i i , tijeki = o ij^ k) , 



so dass ?t = ^^ wird, so lässt sich die Nablafunktion als gewöhnliche Determinante 
(Gitterdeterminante) darstellen, analog dem, was wir im Falle ç = 2 gefunden hatten, 



{!<>) 



V = 



(«n) 



i («mi 



(«„ 



Bei allem Vorgetragenen ist nur auf solche Eigenschaften der betrachteten 
Systeme (o) Rücksicht genommen, die von der Wahl der Basis unabhängig sind. 
Bei spezieller Wahl der Basis können für einzelne Gruppen der Unbekannten selir 
wohl weitere Reduktionen eintreten, wie es z. B. der Fall ist bei dem System (i6). 



Beispiele. 

Am leichtesten zugänglich sind, ausser gewissen in § 5 schon gelegentlich 
betrachteten Sj'stemen mit kommutativer Multiplikation, die Systeme (a), die 
den Rang 2 haben, bei denen also alle Grössen des Systems, wie im Falle der 
Quaternionen, einer Gleichung der Form 

a;8 — 2 ® a; . a;' + ^Jix .x°=o 



mit skalaren Koeffizienten genügen. Man hat dann 



48 



E. Study. 



ä:=2®a; — x, '^ix = zx= xx, 

und man kommt ganz ähnlich wie bei den Quaternionen oder den zweireihigen 
Matrices zur Auflösung eines Systems einseitiger linearer Gleichungen. 

Wir betrachten zuerst den Fall n = 3, in dem nur ein einziges System kom- 
plexer Grössen (em Typus mit einer Gestalt) existiert, dessen Multiplikationsregel 
dem Kommutationsgesetz nicht gehorcht. Die Multiplikationstabelle dieses Sy- 
stems, das übrigens als Unter- oder Teilsystem im System der zweireihigen Ma- 
trices enthalten ist, nehmen wir in der für die Rechnung bequemsten Form an: 



V^i ' ^2 ^0 — ^ I ■ 





ei 


e. 


^3 


«1 


e, 





e. 


e.. 





e. 





63 





63 






Es findet sich, wenn 



^r 



ir" . . . er 



J.=- 



ci, ... «; 



gesetzt wird, 
ferner 



2 (S .r = Xi -f a;, , 'Hx^x^x^, 

Die nach der früheren Vorschrift gebildete Funktion V kann sich vom Pro- 
dukt der irreduziblen Faktoren von Dj und D, nur um einen Zahlenfaktor unter- 
scheiden, der sich gleich der Einheit findet: 

\J{ai,)^J,.J,. 

Im Übrigen kann nach Analogie der Quaternionen verfahren werden. 
Ähnlich liegt die Sache bei dem der Annahme n = 4 entsprechenden System 
mit der Multiplikationstafel 



II. 



«IJ 


^i 


e. 


^3 


e^ 


— ßo 


63 - 


— «2 


e.. 


— e. 








e.-i 


e. 









Zur Theorie der linearen Gleichungen. 



49 



das als Grenzfall der Quaternionen in Anwendungen auftritt. Gleich den Quater- 
nionen selbst hat auch dieser Typus von Systemen komplexer Grössen zwei reelle 
Gestalten, wir betrachten aber der Kürze halber nur diese eine. Man hat hier 



® Xo = r,) , '?ia; = zl + x] , 






Wendet man in diesem Falle auf ein wie früher gegebenes System einseitiger 
Gleichungen die gewöhnliche Lösungsmethode an, indem man zunächst nur die 
Unbekannten a;<,'', x['\ oder i</', |'/' (/, k = i, ... m) berechnet, so erhält man Aus- 
drücke, in deren Nenner eine sogenannte VoiGT'sche Determinante erscheint. 
Diese hat bereits den Grad 2?», sie kann sich also von der V^Funktion, die auch 
in den reduzierten Nennern der Unbekannten a!,'', a'j', ^f\ |j*' erscheinen muss, 
höchstens um einen Faktor unterscheiden, der gleich der Einheit gefunden wird: 



v = 



<\ 



I un 

I '<i C(i 



Die V'I^'uri'^tion hängt hier nur von den Koordinaten «'„*, «',* ab. Ausser- 
dem aber ist sie im komplexen Gebiet (bei der zweiten Gestalt schon im Reellen) 
reduzibel; setzt man 



-^1 = 



«i' + /«]' . . . ßj'" + {((['" «,',' — « «!' . . . «,', 

«"" + i cc"" . . . ((""" -r ia'" 
so wird, wie bekannt. 

Bei reellen Koordinaten u]'^ ist also, wie im Falle der Quaternionen, V^o; 
V ist aber hier als Summe von zwei Quadraten reeller Ausdücke darstellbar. Im 
Falle m = 2 z. B. hat man 

z u 
= (xl -I- x\){ul + u\) + (ijl + 2/;)(2Î +2;) 
— 2(a;„2u+a;,3,){?/oy„+ «i2/i) + 
-f- 2(a;o2, — .ri2o)(Mo2/i — Mi2/o) = 

Acta malhemutica. ü. Imprimé la 6 juin IBI». 



50 E- Study. 

==(.r„Wo — a:,M, — WoZ(, + 2/i2,)- + 

vgl. S. 36. Im Wesentlichen gilt jedoch die für den Fall der Quaternionen ent- 
wickelte Theorie auch hier. 

Ähnlich wie das System II verhält sich auch das Sj'stem 



III. 



ßo 


e, 


e-. 


e^ 


e, 





e. 





e-. 


'- e. 








e. 












1^0= ij, 



das ebenfalls Ausartung der Quaternionen, und überdies Grenzfall von 11 ist, 
aber, abweichend von II, nur diese eine reelle Gestalt hat. 

Hier erscheint in den Ausdrücken für die skalaren Bestandteile a;'** der kom- 
plexen Grössen .ta nur die Determinante 



J = 



der skalaren Bestandteile der Koeffizienten der Gleichungen (i). während in 
den reduzierten Ausdrücken für die übrigen Koordinaten a;**', a*?', a-'/' im Nenner 
das Quadrat eben dieser Determinante auftritt. Es folgt 

Ebenso verhält sich endlich die letzte Ausartung des Quatcrnionensystems, 
deren Multiplikationstafel 



IV. 



dem Kommutationsgesetz gehorcht. 

Als letztes Beispiel betrachten wir, unter der Annahme 7)1 = 2, das System 
der Nonionen 



Co 


6; 


e.. 


f:. 


e, 











e. 











^3 












V. 



iijEjl ■■ 



tu, Hjikt = o [i, j,k,l = 1, 2, 3; yV k). 



Zur Theorie iler linearen Gleichungen. 51 

das der Annahme ? = 3, n=g entspriclit, und (für wi = 2) zu einer Nabiafunk- 
tion vom Grade sechs führen muss. 

Um die Ableitung der zu entwickelnden Formeln kurz und übersichtlich zu 
gestalten, bediene ich mich, trotz ihrer Unbeliebtheit, der symbolischen Methode 
der Invariantentheorie. 

Die Multiplikationsregeln der Nonioneneinlmlen f,/, sind nichts Anderes 
als die Regeln für die Multiplikation oder Komposition der speziellen ternären 
bilinearen Formen a-, «t (vgl. § i). Wir können also Nonionen Â, B, C , . . . sym- 
bolisch als Produkte ternärer linearer Formen darstellen, 

A=- {ax){u(t), B = (bx) {xi^), u. s. w.; 

E = (war) 

ist die sogenannte Einheitsform, die im Rechnen mit den bilinearen Formen die 
Stelle der Einheit des gewöhnlichen Zahlenrechnens vertritt. Es wird, wenn 

AB^(ax)ibu)(ut^) 

gesetzt wird, AE = EA==A. 

Wir bezeichnen nun mit ^A den skalaren Beskindteil von A, d. i. die 
lineare Invariante von A (gegenüber kontragredienten linearen Transformationen 
von a;, , x-,, x^ und m,, u.,, u,), deren Zahlenkoeffizienten wir so normieren, dass 
iS£ = i wird. Wir setzen also (übereinstimmend mit der Bezeichnungsweise des §5) 

'S A = -(aa), 

und folglich, bei Beziehung des Operationszeichens ® auf das Ganze eines nach- 
folgenden Produkts, 

^AB = (BBA = - (a,i') (&«) 

^ ABC =& AC B =■■■ = - {a,^) {by) ica), 

u. s. f. Ferner werde 

{A B)=={B\A) = - {ctßx) (abu) = 

= ^{A B + BA — 3 B A . B — 32 B . A — 
-3{BAB-32A.BB).E} 



52 E, Study. 

gesetzt, und analog 

{A I B,C) = (B\C I A) = {C\A I B) = 

^iA\C\B) = (B\A\C) = iC\B\A) = 

= ^(abc){aiiy)^ 

= 1{BABC+SACB — 3^A.'BBC~3QB.BCA 

— 3®C.®.Jß + 9©4. ®5 . ©CJ. 
Es folgt dann 
(i) {A\E)=^^[:^SA.E-A], (E E) = E 

(2) (.4 j 5 1 £?) = ® (^ I i5) = ^ (3 ® ^ . 3 ß) — S .4 B] 

(3) (4jÈ/|A) = ®^, (EE\E) = i, 
ferner 

(4) (.4!ßlC') = ® J(ß|C) (u. s. w.), 
und 

(5) (A\BC).E = 

= -[A{BiO) + B{C\A) + C(A B) = 

= -{B\C)A + (C A)B + (AB)C]. — 

(6) \A\ = {A\A\A) = 

= -{2'2>A^—g(B>A.^A- + gBA.^A.(BA] 

ist die Determinante der bilincaren Form oder Nonion .4, oder die zugehörige 
Nablafnnktion; 

(7) Â = (A\A)=~{aa'x){aa'u)=' 

= -J {2 .4=- 6 ®.4 . J + 3 (3 2^ . 3.4 — 3.4-) £! 

ist die zu ^1 adjungierte hilineare Form oder Nonion: ist die Determinante | .4 | 
von Null verschieden, so existiert die Form oder Nonion .4"', und es ist 



Zur Theorie der linearen Gleicliuugen. 53 

(8) ^-1 = 1^1-1.^=1.-11-1.^ (aa'x) (aa' u) 
die zu A reziproke Form oder Nonion. Man hat also 

(9) AÄ==ÄA = \A\.E, i = |.4|..4. 

Die charakteristische Gleichung der Form A, (We Ranggleichung deä 'Sowon^n- 
sj'stems, ist 

(10) A^ - ^^ A . A- + y^ Ä . A-\A\ . E = o. 
Schliesslich folgt noch 

(ii) \A+B\ = ÄA+2,^ÄB+^^AB^^BB; 

z. B., wenn .1 eine Zahl, .iE skalar, ein numerisches Multiplum von E ist, 

(12) \.JE-A\ = .I^-3^A..d' + 3SÄ..I-\A\. 

(Vgl. Nr. 10.) 

Nach diesen Vorbereitungen betrachten wir die Gleichungen 

ax + }'i/ = x , 
(13O 

(130 ; : 

rf = iy + r,d, 

in denen wir die Koeffizienten und die Unbekannten Nomonen bedeuten lassen. 
Wie in § 2 kann man zunächst aus den Gleichungen (13) eine der zu suchen- 
den Nonionen eliminieren. Die zu bestimmende Funktion V ergibt sich dann 
als gemeinsamer Teiler der Determinanten gewisser Nonionen wie öya — y/ ■ t^ 
oder ßdya — yy.ßß. Nach kurzer Rechnung, bei der die Formeln (9) und (11) 
oder (12) zu benutzen sind, erhält man 



= «à .ÔÔ — 2S (c'yàji) + 3 S 1«;;?^;') — ßii . y y; 

V ^ o ist notwendige und hinreichende Bedingung dafür, dass die Gleichungen 
(13) eindeutig aufgelöst werden können, und zwischen V und der Determinante 
Dl = Dr oder D der Gleichungssysteme (13) besteht die Beziehung 

(15) D = \7'. 



54 



E. Study. 



Ferner ist V «^'^ Determinante darstellbar, 



(i6) 



v = 



«U «1 



'13 ' / 11 / n , 



'.i752: 



«31 «32 «53 I 731 732 ^33 

/^n/A2/^i3J'5uf^2'5'i3 

/i?2l/^22/^V3|<>'2lf522()'23 
Al /^32/^33 1 <?31 (^'32 <533 

endlich hat sie ein Multiplikationstheorem gleich dem der ziveireihigen Determinan- 
ten — alles wie im analogen Falle m = 2, ç = 2 (§2, Nr. 15). Natürlich aber wech- 
selt die vorliegende Funktion ihr Vorzeichen, wenn man in der entsprechenden 
zweireihigen Nonionenmatrix die beiden Zeilen oder beiden Spalten vertauscht 

(§ 5. S. 4ö)- 

Während die Formel {16) auf einer besonderen Gestalt (f,fc) der Nonionen- 
basis beruht, ist (14) hiervon unabhängig, dieselbe Formel gilt für jede Wahl der 
neun Einheiten, falls man nur den skalaren Bestandteil und die Adjungierte einer 
Nonion gehörig erklärt hat. Und es gibt auch — was die Formel (16) jedenfalls 
nicht ohne Weiteres zeigen kann — eine Lösungsmethode der Gleichungen (13), 
die ebenfalls unabhängig ist von der Wahl der Basis, und bei der die 4 . 9 Koor- 
dinaten ciik, ßik, 7ik, àih in den N onionenkomplexen «, />', ;', ë belassen werden. Es 
lassen sich nämlich explizite vier Nonionen A, B,C,D analog den Unterdeter- 
minanten einer ziveireihigeji Determinante herstellen, die Gleichungen der Form 



(17) 



«.4 + ;'C = V, 
tJA + ôC = o, 

\/=Aa + Bii, 
o = Ay + BÖ, 



a B + yD = o, 
ßB+OD = y, 
o = Gct + Dß, 

\J:=Cy + DÔ 



genügen; womit offenbar die Auflösung der Gleichungen (13) geleistet sein wird. 
Es ist ausreichend. Folgendes zu beweisen: 

1. V lässt sich in die Form a A i- yC setzen, und es wird dann ßA + èC = 0. 

2. V lässt sich auch in die Form A* a -\- B* {i setzen, und es wird dann 
A*y + B*d = o. 

3. Es ist A = A*. 

Man hat nun nach (4) und (5) z. B. 

3^aßöy.E = z^c<iiö{y y) . E == 
= 3 («/^'î \y\y).E== aßöiy , y) + 2y {a,îô y), 



und analog 



Es folgt somit 



Zur Tlicoiic der linearen Gleicliungen. 55 

also, wenn man das besondere Zeichen für die Einlieitsform unterdrückt (wenn 
man die entsprechende Nonion mit der Einheit des gewöhnlichen Rechnens 
identifiziert), 

3Sctßoy = 3^ßoyu = 

= ußdy + 2}'{ußo\-}') = 

= ßöyu + 2(ß öyu)ß, 

= yößu + 2« {yöß I u) = 
= « yöß + 2 (« i y öß)a. 

\J = a {öö . ù + ßöy — 2 iyöß ; «)] — 
- y Cßß ■ f + ~aß(<-2 {aßa I y)] = 
= {öd . à + ßöy — 2 (« y aß)] a — 
-{yy.ß+ayd-2{ß oya)]ß. 

Die Koeffizienten der Nonion a in diesen beiden Entwickelungen von V 
sind einander gleich. Ausserdem aber wird behauptet, dass z. B. 

o = // [öö . Ù + ßöy — 2 {yöß : «)) - 

-ö{ßß.y+Öß~a-2{aßÖ\y}]. 
ist, d. h. 

ß{yÖß:cc)=^ö{aßÖ y), 

oder, in der Formelsprache der bilinearen Formen, da yöß der bilinearen Form 

l{cx){ÖÖ'y)(dd'b){uß) 

entspricht, dass die identische Gleichung besteht: 

{bx) iciß'ß) (öÖ'y) idd'b') (acu) = 
= (d.c)(yÖ'Ö){ßß'u){bb'd')(cau). 



56 E- Study. 

In der Tat ist 

(aßß') O'(ÏJ') {acu) [{dd'b') (bx) + {bh'd') [dx]] = 

= - {uliß') iyÔÔ') {acu) [{dd'b') {bx) - {dd'b) {b'x) + 
+ {bb'd) {dx) — {bb'd) {d'x)) = o . 
Es bestehen also wirklich Gleichungen der Form (17); und zwar ist 

A= öd .i~( + ßöy — 2 (« Î yöß) , 

B = — fy . ß — ùyô + 2 {ß äya), 
(18) 

C = — ßß . y — dßli + 2 (/ 1 ccßÖ), 

D= îta . ä + yaß — 2 {ä ßuy) . 

Es ist klar, dass auch hier, wie im Falle it= 2, diese Koeffizienten A, B,C , D 
der Gleichungen (17) nur auf eine Weise bestimmt werden können. 



Anhang: Gleichungen mit schief-symmetrischer Determinante. 
Pfaff'sche Aggregate. 

Zu den Fällen, in denen die Anwendung der allgemeinen Theorie der linearen 
Gleichungen kein ganz erfreuliches Ergebnis liefert, gehören, wie in der Ein- 
leitung schon erwähnt, die Systeme linearer Gleichungen mit schief-symmetrischer 
Determinante. Im wichtigsten Fall, in dem die Anzahl der Gleichungen und 
Unbekannten gerade und die zugehörige Determinante nicht Null ist, hat Jacobi 
eine Lösungstheorie entwickelt, die kaum etwas zu wünschen übrig lässt, wenn 
man möglichst elementar zu Werke gehen will.' Aber diese Theorie, in deren 
Mittelpunkt die sogenannten PFAFF'schen Aggregate stehen, passt nicht ganz in 
den Rahmen, innerhalb dessen das genannte Problem aufzutreten pflegt. Die 
PPAFF'schen Aggregate sind (relative) Invarianten gegenüber beliebigen (kogredien- 
ten) linearen Transformationen, und das kann, soviel ich sehe, bei der üblichen 
Behandlung des Stoffs nur daraus erschlossen werden, dass ihre Quadrate Deter- 
minanten sind. Die symbolische Methode der Invariantentheorie liefert dagegen 



' Jacobi's Ges. AVerke, Bd IV, S. 25 u. ff. Neuere Darstellungen bei Kowai.ewski, Deter- 
minanten, Leipzig 1909, Kap. 9, und K. v. WnnEit, Pfaff'sclics Problem, Leipzig 1900, Kap. L 
Yf^l. aiu-h K. ExcKi. in Grassm.\xn's Werken T, 2, S. .171 u. IT., Leipzig iSo^, 



Zur Theorie der linearen Gleichungeu. 57 

für die PFAFF'schen Aggregate und für die damit zusammenhängenden Ausdrücke 
ein Bildungsgesetz, dem man die Invarianteneigenschaft auch ansieht. Es will 
mir scheinen, dass auch eine weniger elementare Behandlung des Gegenstandes 
nützlieh sein kann, wenn sie zu einer vertieften Einsicht führt. 
Es sei, in symbolischer Bezeichnung, 

(I) S = (ax)(by)^{a'x){b'y)=^-- 

eine alternierende bilineare Form mit n Paaren von Veränderlichen x-, , y, , . . . x„,y„, 
also eine Form, deren symmetrische lineare Kovariante 

^ [{ax)(by) +{ay)(bxyj 

identisch verschwindet, so dass 

S=''^[{ax){by)-(ay){hx)) 

gesetzt werden kann. 

Mit Hülfe der üblichen (oder vielmehr früher einmal üblichen) Umformungen 
sieht man, dass im Falle eines ungeraden w jede Kovariante von S, die einen 
ganz mit Symbolen von S ausgefüllten Determinantenfaktor hat, identisch ver- 
schwindet, und dass bei geraden Werten (?i = 2»n) der Stufenzahl n jede solche 
Kovariante durch die Invariante (a'b'a"b" . . .a'-"'^b^"'^) teilbar sein muss, während 
die übrigen invarianten Bildungen im Wesentlichen die Kovarianten 

{ab' . ..a('"-i>6("— !)?<«) 
(ab' . . . a'"""-' fc*™— -' uvxi'v') 



sind. Er gibt also bei ungerader Stufenzahl keine Invariante von S, und bei 
gerader Stufenzahl ti = 2m eine einzige irreduzibele Invariante, nämlich, bei zweck- 
mässiger Wahl des Zahlenfaktors, die Invariante 

(2) P = — ^(«'è'a"6"...a(""6(""), 
^ 2"» . m ! ^ 

von deren Quadrat daher die Determinante der Form S. 

(3) \S\= ^,(a'a"...a^"'^)(b'b" ...b^"») 

Actn mathemalica. 42. Imprimé le P jnin 1918. »«»»^ 8 



58 E. Study. 

sich höchstens um einen Zahlenfaktor unterscheiden kann. Das Beispiel 

S = (x.y^ — x.y,) + {x,y, — x,y,) + ■■■ + (.t„_, y„ — x„ y„-,) 

zeigt, dass 

(4) D = \S\ = P^ 

ist. 

Betracliten wir jetzt die Kovariante 

(a'b'a"b" . . . a''"~''6*'"~'' wî>), 

die wieder eine — eventuell identisch verschwindende — alternierende bilineare 
Form in den zu x, y kontragredienten Veränderlichen (Systemen von Veränder- 
lichen) u, V ist, so folgt 

(ax){a'b'a"b" . . . a<"'~''6'"'~''6v) = 

= — - (aba'b' . . . a'"—" 6("'-") . (vx) = 
n 

= — 2"'~' (m — i) ! P . {vx) ; 
es ist also, wenn P ^ o ist, 

J = (ua) (vß) = ^ ;(m«) {v,i) — (71 ß) (va)) = 

die gewöhnlich mit S~' bezeichnete zu S reziproke Form, deren Komposition 
(Multiplikation) mit S die Einheitsform liefert, 

(6) (ax){ba){vß)=-{vx), {ua){a,-i)(by)^{uy); 
im angeführten Beispiel 

- = — {iliV-, — MjV,) («3^4 — U,Vj) («,1 — 1 Vn i<„t'„_i). 

Zwischen den Determinanten D, J von S und JS' besteht die Beziehung 
DJ = j, und daher zwischen den Invarianten P, // beider Formen die Beziehung 
P . n =^ ± I . Tatsächlich ist, wie wieder das Beispiel zeigt, 

(7) P.JZ =(-!)'". 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. 



59 



Lassen wir jetzt die Form S einem System linearer Gleichungen mit der- 
selben Koeffizientenmatrix entsprechen, 

(8) (ax)bk = Vk (k=i,...7i), 

so haben wir in dem ebenso aus I abgeleiteten Gleichungssystem 

(9) (ii«)jh = Xk {k=i,...n) 

nach Nr (6) die Auflösung des Systems (S) vor uns; und zwar erhalten wir so 
die Lösung in reduzierter Form, mit der Invariante P im Nenner an Stelle 
von P^, das die Anwendung der allgemeinen Theorie der linearen Gleichungen 
liefern würde. 

Hiermit, oder vielmehr schon vorher durch die Gleichungen (6), ist die ge- 
stellte Aufgabe gelöst, da P sich sogleich als irreduzibel erweist. Es bleibt aber 
noch Einiges zu sagen über den Zusammenhang unserer Formeln mit den sonst 
üblichen, die ja anders aussehen. Wir geben also jetzt die symbolische Bezeich- 
nung auf, und ersetzen die symbolischen Produkte durch reale (reelle oder kom- 
plexe) Zahlen, 

ciibk = a'ib'k = ■ • • = Pik, ctißk = ct'iß'k = ■ • ■ = /Cik. 

Die Gleichungen (8) werden dann, ausführlich geschrieben, diese: 

* Pi ? X^ + p,sXs + • ■ ■ -I- p,n Xu = '«1 , 

p,iX, * + p^^X, + ■■ ■ + p,n Xn = U, , 



p„, Xi + Pni Xi + p„n X, + 



+ * 



Entwickelt man jetzt den Determinantenfaktor im Au.sdruck (2), also die 
symbolische Determinante n'™ Grades 



a\ 


^'1 


\a" 


6", 1 . . . 


«(,' 


') 6t,"" 


a'. 


b'. 


1 "'" 


v,l . . 




"6<;") 


a', 


, b'„ 


1 c-" 


nb",n\. ■ . 


»i; 


"6i:r> 



nach Spaltenpaaren unter Befolgung der LAPLACE'schen Regel, so erhält man 
eine Summe von Produkten von je m der Grössen piu, in deren Entvvickelungs- 



60 E. Study. 

gliedern jeder der Indices i oder k gerade einmal vorkommt, und in die ausser- 
dem jedes Pik, wenn überall die Grössen pik mit !> ^ eliminiert werden, mit dem 
Faktor 2.( — i)' + *-i eingebt. Da immer m{ni — i) ... 3 . 2 . i dieser Produkte 
einander gleicb sind, so kommen in der Entwickelung von P, nacb Weghebung 
des Zahlenfaktors 2"^ .m\ aus Zähler und Nenner, die einzelnen »n-gliedrigen 
Produkte von Grössen pik(i<k) nur noch mit Faktoren ±1 vor; es entsteht ein 
aus {n — i) [n — 3) ...5.3.1 m-gliedrigen Produkten zusammengesetztes Plaff'sches 
Aggregat, eine ganze Funktion der Grössen pik, die linear ist in bezug auf alle 
solchen Grössen, die einen vorgeschriebenen Index i oder k tragen. Im Falle 
n = 4 z. B. entsteht der PLüCKER'sche Ausdruck; schreibt man nur die Indices, 
setzt man also etwa pik^(ik), so erhält man 

(i2)(34)-(i3)(24) + (i4)(23) = 
= (12) (34) + (13) (42)+ (i4)(23)- 

Wird sodann dieser Ausdruck wiederum durch ein analoges Sjmbol (1234) (das 
jACOBi'sche Symbol) bezeichnet, so lässt sich P im Falle n = 6 einfach schreiben: 

(12) (3456) - (13) (2456) + (14) (2356) - 
- (15) (2346) + (16) (2345)- 

Jedes Entwickelungsglied erscheint mit dem positiven Vorzeichen, wenn die 
entsprechende Permutation der Ziffern i, . . . 6 gerade ist, und mit dem negativen, 
wenn sie ungerade ist. Andere äquivalente Ausdrücke erhält man, wenn man 
die Ziffern beliebig vertauscht und die erforderlichen Zeichenwechsel vornimmt.' 
In dieser Weise kann man fortfahren. 

Allgemein ergibt sich, wenn nunmehr 

(10) P=(i23...ri) 

gesetzt wird, die Regel, dass P sein Vorzeichen wechselt, wenn man zwei der 
Zahlen i, . . . n im Symbol (10) vertauscht. Ferner folgt, dass P, als Summe von 
Faktoren geschrieben, deren erster immer den Index k trägt, die Form 

(11) P=PlkPik+-+VnkP„k 

hat, worin Pi/, = —Pki wieder ein PF.\FF'sches Aggregat mit einem Faktor ±1 
ist {jV /fc}. Das Symbol dieses Aggregats entsteht aus dem von P dadurch, dass 

' Von n = 8 an kommen noch weitere Entwiekelungen nach Art der LAn.ACE'sch en Deter- 
niinantenformehi hinzu, ?.. 1!. 

P=J {('2 54) (5678) =?•••>■ 



Zur Theorie der linearen Gleichungen. 61 

man die Indices i und k unterdrückt, und sein Zalilenfaktor ist (— 1)' + *-', wenn 
t<Ä:, und (— i)'**, wenn i>k ist. Weiter folgt 

(12) 0-= p,kPü + --- + p„kP„i [ir^k]. 

Die Gleichungen (n) und (12) liefern wieder die Lösung der Gleichungen (8) in 
reduzierter Form. Stellt man diese Lösung neben die in den Gleichungen (g) 
enthaltene, sowie neben die von der allgemeinen Gleiohungstheorie gelieferte 
Lösung in Determinantenform, so ergeben sich die bekannten Relationen zwischen 
Unterdeterminanten von D und PrAFF'schen Aggregaten. Wir nennen Du, das 
algebraische Komplement des Elementes p^ in der Ent Wickelung von D, so dass 

D=p,kD,k'*---+PnkB„k, 

o = ]},kD,i + ■■ + p„kD„i 
wird. Dann folgt 

{13) D,k = P.Pik=P'-.nik. 

(Vgl. Nr 5.) Bezeichnen wir ferner noch die Koeffizienten von p/jPjk i'i der 
Entwickelung von D mit D'j. oder D^., so dass 



^ = lPu^uPjk--lPijVjkDi, 

{i,k) {i,k) 



wird, so folgt aus 



Z) = ps = 2 Pij P,j . 2 Pj'^ Vik = - 2 V'J Vi" P'i P>* 

i k {i,k) 

(14) K^p,..Pj,.~ 

Die Systeme linearer Gleichungen, mit denen wir es hier zu tun gehabt haben, 
unterscheiden sich von den zuvor betrachteten wesentlich dadurch, dass sie, 
als Transformationen gefasst, keine Gruppe bilden. Daher gibt es auch kein 
Multiplikationstheorem für PFAFF'sche Aggregate, das dem der Determinanten 
oder V-Funktionen vergleichbar wäre. Aus eben diesem Grunde leistet auch der 
Satz Beioschi's, wonach jede Determinante gerader Ordnung als PFAFF'sches 
Aggregat geschrieben werden kann, nicht das, was er auf den ersten Blick viel- 
leicht zu versprechen scheint. 

Eine bei der Korrektur ausgefallene Anmerkung soll hier nachgetragen werden: Die 
Determinantenformel auf Seite 22 hat, noch vor mir, auf einem anderen Wege auch Herr 
J. Schur abgeleitet, den ich von meiner Untersuchung in Kenntniss gesetzt hatte. 



THE CLASSIFICATION OF SETS OF POINTS. 

BY 

ERIC H. NEVILLE. 
Trinity College, Cambridge. 

Preface. 

The origin of this paper was a desire for a definition of a plane curve wliich 
should require a curve to be in some sense in one piece without requiring it to 
be closed or to be of the very special character of a Jordan curve. To take a 
simple example, there must be some sense in which a lemniscate deprived of any 
point but the node is a single curve but a lemniscate deprived of the node is 
two curves. The discovery of the property of a set which I define in section 
20 and describe by saying that a set is united led to the definition of a curve 
on a surface which is given below in section 38 of the paper,' but aroused a fresh 
discontent, since this definition gave no clue to the distinction in three-dimensional 
space between a curve and a surface, a distinction which the definition since 
evolved, given in section 36, enables me to draw. 

Although the work was begun for the sake of a theory of dimensions, it is 
not on account of the theory suggested in the concluding sections that this paper 
is published; much remains to be done before that theory can be proved valuable 
or valueless. But of the thirty-nine sections of this paper the first thirty-five 
are concerned only with ideas which certainly have technical use as well as in- 
trinsic interest; among these, the fundamental idea of which I have found* no 

' These definitions of a united set and of a curve on a surface were given in a short 
note entitled »Definition of a plane curve > in Tlie Jouitial of fhe Indian Mathemafical Society, 
Vol. vii. pp. 175 — 177 (191 5), the set being there described as perfectly connected. 

' (Added November 1916) This statement only reveals my ignorance when it was written. 
Undeniable traces are to be found in Schoenfmes' definition {Math. Annalcn, bd. 58(1904), s. 210) 
of a plane set of a special kind as coherent if every pair of its members can bo joined by a 
simple path within the set, and in a footnote (American Journal of Mathematics, v. 55 (1911) 



64 Eric II. Neville. 

trace elsewhere is the idea associated here with the word unity, and the paper 
is essentially the offer of this idea for consideration. 

The paper contains no jjroofs. It seems to me that proofs are almost worth- 
less unless given in fundamental logical symbols, and at present I have not the 
time to prepare detailed proofs for publication. Moreover, many of the ideas 
here put forward, and in particular the idea of unity and the derived idea of a 
cell, are to be justified less by propositions than by examples, and in any case 
an account of a subject in general terms is a valuable preliminary to a formal 
development. 

Certain acknowledgments of debt I am glad to make: mj' definition of a 
congregate of points was suggested in part by Jordan's treatment of a closed 
set d'un seul tenant, in part by the desire for a definition expressible in a simple 
form with the symbolism of »Priiicipia Mathematica», tlie use of this symbolism 
alone has enabled me to construct proofs of the propositions which I assert and 
of others that shew the importance of the various definitions, and to the influ- 
ence of Russell and Whitehead are due among other features the form in which 
the subject matter of the paper is described in section 2 and the recognition at 
various points of the relevance of the multiplicative axiom. 

This work was done in the first instance in ignorance of Fréchet's theory ' 
of dimension-types, but a comparison of the definitions of section 36 with his 
definitions is to be found in the closing section. Since the idea of a united set 
does not enter into Fréchet's theory, my work is altogether independent of his, 
but probably an earlier acquaintance with Fréchet's paper would have led me to 
develop the present theory as a contribution to the classification rather of abstract 
aggregates than of sets of points. The universe with which I deal explicitly is 
less general than Fréchet's class L (1. c, s. 145) and more general than his class 
E (1. c, s. 160), inasmuch as I assume the existence of separating numbers but 
assume neither that two points separated by the number zero necessarily coincide 
nor tliat the inequality xz<xy + yz is true for every set of three elements; exactly 
how much of my paper is in fact independent of the use of numbers I do not 

p. 319) in which Lennes remarks that obviously there are complete connected sets wliich contain 
no continuous arcs joining certain pairs of their points, the one writer using »simple path» and 
the other »continuous arc» according to a precise definition. Lennes' definition, unlike ScnoEN- 
flies', is applicable to aggregates in general, but neither writer anticipates the kind of use made 
of the conception in the present paper. 

' Mauiuce Fréchet, »Les dimen»ions d'un e}isemble abstraify. Math. Annalm, bd. Ixviii.s. 145 
— ]68 (1910): the study of dimensions is now associated so closely with the name of Broiuvkb 
that it is as well for nie to state definitely that none of his work that I have seen indicates a 
perception of what I call unity, and that there is therefore nothing in this paper for which I 
am indebted to Prof. Bkouwkk. 



The classification of sets of points. 65 

know, but it is evident that the definitions of united sets and of cells require 
only the assumption that such limits as exist are members of the universe, and 
that if limits are defined by means of neighbourhoods, then plots and confined 
limiting points also can be defined, whether or not the definition of a neighbour- 
hood is numerical. On one detail, not of logic but of nomenclature, I incline to 
disagree with M. Fréchet, who wishes to restrict the phrase »of n dimensions» 
to an aggregate whose type is that of the complete geometrical space with n 
coordinates; since there is no ordinal similarity between the types of dimensions 
and the signless real numbers, insistence on a one-one correlation in the parti- 
cular case in which the numbers are integral is actually misleading, and I 
prefer to allow that the surface of a sphere may be described legitimately as 
well as popularly as two-dimensional. Nevertheless, not actually to contradict 
M. Fkéchet, I have spoken of the dimension-integer rather than of the number 
of dimensions of a set. 



Table of Contents. 

Preface. 

Table of Contents. 

1 . Introduction. 

2. Points and Separating Numbers. 

3. Sets and Classes of Sets. 

4. Bounded Sets and Sets witb Separating Numbers Finite; the Span of a Set. 

5. Units. 

6. The Cardinal Number and the Reduced Number of a Set. 

7. Reduction and Expansion. 

8. Sequences. 

9. Complements. 

10. Neighbourhoods. 

11. Limiting Points and Limited Sets. 

12. Simple Sets. 

13. Adhérences and Coherences, Isolated Points and Internal Points, Edges and Boundaries. 

14. Complete Sets and Closed Sets. 

15. Extension and Completion. 

16. Dense Sets and Perfect Sets. 

17. Inseparability. 

18. Congregates of Points. 

19. Connected Sets. 

20. United Sets. 

21. The Separating Number of Two Sets. 

22. Connex Sets. 

23. The Relation between Connex Sets and Congregates. 

Acta mathematica. 42. Imprimé le Vi juin 1918. 



60 Eric H. Neville. 

24. Cdutinuous Sets and Continua. 

25. The Cells of a Set. 

26. Sets Continuous in Every Part. 

27. T'lots. 

28. Confined Limiting Points. 

29. Brinks and Borders. 

30. The Relation between Unity and Borders. 

31. Partitions and Permeation. 

32. Fronts. 

33. Domains. 

34. Capacious Sets. 

35. Extreme Points. 

3G. The Dimension-Integer of a Set, and the Definitions of Curves and Surfaces. 

37. Pure Sets and Mixed Sets. 

38. Curves on Surfaces. 

39. Dimension-Integers and Dimension-Types. 



1. Introduction. 

The vocabulary of the theory of sets of points is evidence that it has been 
left too much to the writers whose interests are primarily philosophical to insist 
on the extent to which the nature of the derivative of a set of points /' depends 
on the nature of the universe of points V of which /' is a part. Technical mathe- 
maticians, instead of I'ecognising frankly that they need to deal sometimes with 
a universe of one kind, sometimes with a universe of another kind, have expended 
a considerable amount of ingenuity in reducing their special universes by a variety 
of more or less elaborate conventions to a common pattern. What is most sur- 
prising is that the chosen pattern is a universe of a different kind from Euclidean 
space and that the conventional reduction of Euclidian space to the standard 
form is no easy task. 

A universe of points V is said to be limited or closed if every infinite set 
of points in V has a limiting point in V. Thus the surface of a sphere is a closed 
universe, and so is the set formed of all the points inside or on the perimeter of 
a plane triangle: on the other hand, the points inside a sphere do not compose 
a closed univer.se, neither do the points inside a triangle, nor, to take the most 
important cases of all, do the points of Euclidean space or of a Euclidean plane. 
Mathematicans, fully alive in some connections to the advantages of dealing with 
open rather than with closed sets, as is shewn in the use made of circular domains 



The classification of sets of points. 67 

in the theory of functions of a complex variable, have nevertheless shewn curious 
and I think unwarrantable reluctance to contemplate an open universe of points. 

The first difficulty for which this reluctance is responsible in the treatment 
of Euclidean space is in the application of the words closed and open to unlimited 
sets, that is, to sets tending in some manner to infinity. The obvious interpreta- 
tion, sanctioned by the effects of establishing, for example, a point-to-point cor- 
respondence between the finite points of a plane and all the points except one 
on a sphere, is to regard an unlimited set as closed or open according as points 
at infinity have or have not an actual existence. This interpretation does not 
meet the difficulty: unless by the invention of ideal points existence has been 
conferred on points at infinity, such limiting points as a set posesses must be 
in the finite part of the universe, and a set which tends to infinity but has no 
finite limiting point simply has no limiting point whatever, and cannot be regarded 
as an open set without a change in the fundamental definitions; moreover, the 
introduction of ideal points and points at infinity is often accompanied by a 
change in the definition of distance, and if a point at infinity is to be regarded 
as a limiting point the definition of a limiting point must be changed from the 
form which is naturally the first to be adojited. 

We must not be supposed to assert that the difficulties in this subject cannot 
be surmounted, or rather evaded, by a multiplication of conventions. Every 
student of the theory of functions of a complex variable knows that much can 
be accomplished by introducing what is really an incomplete symbol Zqo or co , a 
symbol of which only the uses are defined, it being agreed for example that to write 

is to mean 

|z|>i/?. 

But even in this case the properties of oo as a limit are different from those of 
any other limit; for example, if (u„) and (v„) are two sequences of complex num- 
bers with a common finite limit, »„ — v„ must tend to zero, while if («/„) and Uv) 
both tend to oo , that is, to infinity, v„ — v„ may behave in any manner as ?; in- 
creases, converging to any finite number, oscillating in any way, or diverging to 
infinity. It is not, however, on technical troubles of any particular kind that the 
case for a candid consideration of facts is based: to be content rather to evade 
a difficulty than to analyse it and to understand it is the mark distinguishing 
not the technical mathematician from the philosopher but the computer from 
the mathematician. 



68 Eric H. Neville. 

2. Points and Separating Numbers. 

The one requirement of the theory before us is a one-many rehition, subject 
to certain conditions, between signless real numbers and cardinal couples of indi- 
viduals. The individuals, in virtue solely of the fact that every member of the 
converse domain of the fundamental relation is a pair of them, are called points, 
and the real number associated with a pair of points is called the separating 
number of the two points, or between the two points, forming the pair, or the 
number separating one of the points from the other. We use for points the 
letters v, w, x, y,z and we denote the separating number of x and y by xy; because 
the separating number of x and y is a number related to the cardinal couple 
composed of x and y, not to either of the ordinal couples composed of the same 
individuals, yx is the same as xy, and the further hypotheses as to the nature 
of the fundamental relation must be enumerated. It is assumed not only that 
it is between pairs of points that there are separating numbers, but also that if 
there are separating numbers yv and zw there is a separating number yz, an 
assumption we express by saying that our points compose a universe. It is 
assumed that if the two points forming a cardinal couple are identical, the number 
associated with the couple is zero, that is, that if x is any point, the separating 
number xx is zero, but it is not assumed that the separating number of two 
distinguishable points is necessarily different from zero. It is assumed that the 
class of signless real numbers defined by the criterion that q belongs to the 
class if for every group of three points x, y, z the separating number xz is equal 
to or less than the sum of the separating numbers xy, yz provided only that xy 
and yz are both less than ç is a class which has members other than zero: from 
the form of the class, if a belongs to it so does every number less than a; in 
Euclidean space every real number belongs to this class, and by dealing with 
the class itself we avoid both the indefinite and unnecessary restriction involved 
in choosing one of its members and the introduction symbolically of an infinite 
number. From the assumption just explained it follows that if the separating 
number yz is zero, then for every point x for which either xy or xz is sufficiently 
small, xy is equal to xz, and we make the final assumption that in fact if yz is 
zero then for every point x the numbers xy and xz are the same. 

It must be realised that the separating number of two points need not be 
the distance between the points in any space in which they can be represented. 
As an example of the latitude we allow, the universe might consist of the sur- 
faces of two non-intersecting spheres in Euclidean space, and we might take for 
the separating number of two points on the same sphere their least geodesic 



The classification of sets of points. 69 

distance apart and for the separating number of two points of which one is on 
each of the spheres their distance apart in space. Moreover, the separating number 
regarded as a function of the two points on which it depends, may vary consi- 
derably in form without involving any change in the classification of classes of 
points with reference to any of the properties which it is our object to describe. 
Indeed, in the case in which the universe is space of a finite number n of dimen- 
sions and a point x is determined by its n coordinates x^,x^,...7:„, while some 
writers use for the separating number of two points x, x the distance between 
them, which if the axes are orthogonal is '\/{2(xr — ä^r)"), others, following Jordan, 
use for the separating number ^\xr — Xr\, and others again, including Moskowski, 
use' the greatest among the numbers of the form \xr — iv|; none of the proper- 
ties of classes of points which separating numbers are used to described are af- 
fected by a choice between these three functions. 

An excellent example of the mode of embodying ideas in the definition of 
separating numbers when these numbers are divorced entirely from distances is 
to be found in the geometrical treatment of the complex variable. To justify 
the usual method of dealing with the point at infinity, it is common to suppose 
a sphere drawn to touch the plane of the variable z at the origin 0, and to say 
tliat often a value z of the complex variable is associated not with a point Zp of 
the plane but with a corresponding point Zs of the sphere, z, being obtained by 
joining Zp to the point of the sphere diametrically opposite to O; if we wish to 
concentrate our attention on the plane, we have only to say that limiting points 
are determined not with reference to distances in the plane but with reference 
to a distinct system of separating numbers, the separating number of two 
points Zp, Zp of the plane being the distance between the corresponding points 
z,, Zj of the sphere or some other number suggested by geometry, but the most 
satisfactory method is to regard the complex variable itself as a point, and the 
separating number not as a number separating two points of a plane or of a 
sphere but as a number separating two values of the complex variable. Probably 
the most useful number separating the complex numbers z, z is 

|z-z|/l/{(i + |z|^)(i + |ér)). 

which is the actual distance in space between the corresponding points on a 
sphere of unit diameter, but the number 

'■ This last choice has the advantage of being far more widely applicable in space of an 
infinity of dimensions than either the Cartesian measure or Johuan's: I Iiave found the con- 
sideration of this kind of space with this species of separating number valuable in removing 
prejudices. 



70 Eric H. Neville. 

(|i_i| + \;,-y\) I ;(l + \x\ + \y\) (I + |i| + \ïl\)], 

constructed on Jordan's model, is equally effective; denoting either of these 
separating numbers by (à 2) we can define the uses of the symbol 00 by the 
assertion that {2 -x ) denotes i/l/(i +l2|^) or 1/(1 +|a:|+|2/|)^ and that (oc cc ) is 
zero, and 00 then exists, for the statement that the complex number oc exists 
means only that the numbers separating co from all complex numbers including 
itself are defined and satisfy certain conditions. 

More interesting is the treatment of Riemann surfaces, which we may illustrate 
by the simple example of the surfaces connected with the representation oiià^-. 
In the primitive form, these are a double plane and a double sphere, with cross- 
connections along the positive halves of the real axes in one case and along 
overlying semicircles in the other case. Logically, in the space in which w'- is 
a one-valued function each point consists of a complex number 2 and a variable 
t which has only two values (most conveniently, i and 2); if m and n coincide 
and if in a plane corresponding to the one variable 2 the chord joining Zp to Zp 
does not cross the positive half of the real axis, or if m and w are different and 
if in this plane the chord does cross this half-axis, then the number 2„2!„ separat- 
ing the RiEMANN point Zm from the Riemann point 2„ is a number (2 '2) such as 
was defined in the last paragraph, while in other cases the separating number 
Zm'zn is the smaller of the two numbers (20) -1- (20), (2 00 ) -^ (s 00 ), where o denotes 
the complex number zero. Here we have distinct points at zero distance apart, 
for it is simpler to say that there are two points o,,0: and two points 00,, 00, 
and that 0, o, and «3 , x , are zero than to say that while almost ever3' point of 
the Riemann surface consists of a complex number and a two-valued variable 
there are certain points which consist of complex numbers alone. 



3. Sets and Classes of Sets. 

Our subject is the classification of classes of points, and for the sake of 
emphasis a class of points is called a set of points, or simply a set, while set is 
not regarded in any other sense as equivalent to class. A set is usually deter- 
mined by the statement of a group of conditions which a point is to satisfy if 
it is to belong to the set; if there are no points satisfying simultaneously all the 
prescribed conditions, the group of conditions is said to determine the null set. 
For sets in general we use the letters T, J, 0, O, ii, the universe is itself a set, 
which is denoted by V, and the null set is denoted by -/. For a general class 
of sets we use y, while x'/' and r'/' denote classes of sets related in a special 



Tlie classification of sets of points. 71 

manner to a set T; tlius each of the letters /., t may be regarded as denoting 
either a relation between a class of sets and a single set or an operation by 
which from any set is derived a class of sets having a particular relati(jn to 
that set. Similarly we use Latin capitals other than F to denote particular rela- 
tions between one set and another, or operators deriving from any given set 
certain other sets related to it, while we use K'(x,r) and T' {.v, I') for special 
sets connected with a point x and a set P. 

When we have to deal with classes of sets, the whole theory of selections 
is applicable to our work, and we have to consider whether or not in a class of 
sets y every member /' has a representative. We say that the universe is a 
Zerjielo luiiverse if in every class of existent sets each set has a representative, 
or in other words if every class of mutually exclusive existent sets is multipliable, 
and we say that a set i' is a Zbrmelo set if every class of mutually exclusive 
existent sets contained in /' is multipliable; in a Zermelo universe every set is 
a Zermelo set. 



4. Bounded Sets and Sets witli Separating: Numbers Finite; 
the Span of a Set. 

Sets and universes may be classified according to the magnitude of the 
separating numbers which are possible between points belonging to them. A set 
is bounded with reference to an origin v if there is a finite upper limit or 
maximum to the numbers separating its points from v. If there is a number 
o-, necessarily different from zero, such that if x,y belong to T, then xy is less 
than (J, there is a least number () which is such that if x,y belong to F and a 
is greater than q, then xy is less than q; this number is an upper limit or maxi- 
mum to numbers separating pairs of members of F, and is called the span of 
r. If xz is never greater than xy + yz, a set bounded with reference to any 
origin has a finite span. 

A set is a set with infinite separating numbers or a set with separating 
numbers finite according as it does or does not contain two points whose separat- 
ing number is infinite. Every set with separating numbers limited is a set with 
separating numbers finite, but the converse is not true: for example, in Euclidean 
space, not subjected to any conventional closing, the distance between any two 
points is finite, but there is no upper limit or maximum to the distances possible; 
by replacing the points and lines of Euclidean space by ideal points and lines 
we can obtain a space in which there are actual points at infiiuty, and in this 
space infinite distances are possible. 



72 Erit^ H. Neville. 



5. Units. 



A set which inchidcs a point x need not include all the points separated 
from X by the number zero, and wo denote by T' {x, I') the set composed of all 
the points of F separated from the point a; of i" by the number zero, calling 
T' {x, r) the unit of F containing x; if x does not belong to F, the set T'{x,F) 
is defined to be null, even if F contains points separated from x by the number 
zero. A set is called a unit of F if it is the unit containing some point of F, 
and we denote by r' F the class of units of F. If y is a member of T'{x,F), 
the units T'{x,F) and T'{y,F) are identical, and x and y contribute the same 
member to the class t' F. 

If F is not null, the class t' F is a class of mutually exclusive existent sets 
whose sum is F; even if F is null, the null set is not a member of r'F: if /' is 
null, t'F is the null class of sets, not the class whose member is the null set. 

The set T' [x, V) is a unit of the universe, and while every unit of a set F 
is contained in some unit of the universe, a unit of F need not coincide with 
the unit of V which contains it, and the class t'F need not be contained in 
the class t' V. 



6. The Cardinal Xuniber and the Reduced Number of a Set. 

The number of different points belonging to a set F is called the cardinal 
number of the set and denoted by Nc'F. A set is called finite or infinite accord- 
ing as its cardinal number is or is not inductive, and is called singular if it 
has only one member, plural if it has more members than one. 

For many purposes the number connected with a set /' which is of greatest 
importance is not the number of points belonging to F but the number of units 
contained in F, that is, the number of sets belonging to r'/'; this number, Nc't'F, 
we call the reduced number of F and denote by Ncr'F. We say that a set is 
scattered finitely or infinitely according as its reduced number is or is not induc- 
tive, and we call a set a unit set if it has only one unit, a multiple set if it has 
more units than one. 

In formal work unit sets, both singular and plural, require attention out 
of all proportion to their interest, which is negligible. The universe may itself 
be finite, in which case every set is finite, or finitely scattered, when every set 
is finitely .scattered, but none of our definitions give any but the most trivial 
results when applied to sets in a finitely scattered universe. 



The classififation of sets of points. 73 

7. Reduction and Expansion. 

To reduce a set is to omit from it any set of points eacli of which is separated 
by the number zero from some one of the points retained. Reduction is possible 
as long as the set contains units which are not singular, and we say that a set 
or a universe is fully reduced if all its units are singular, that is, if it includes no 
two distinguishable points whose separating number is zero. If a set is fully 
reduced its cardinal number is the same as its reduced number, but the converse 
implication holds only if the set is finite. A set is called a reduced form of a set 
/' if it is contained in r and includes one and only one member of each unit of 
F; in more technical language, the reduced forms of /' are the selected sets of 
the class of units of /\ To say that reduced forms of F exist is to assert that 
the class of units of F is multipliable, and since this assertion can not be made 
of every set unless the multiplicative axiom is assumed, we content ourselves 
with describing a set as reducible if there are reduced forms of it. In a fully 
reduced universe every set is fully reduced, but a reducible universe may contain 
sets that are not reducible; in a Zermelo universe all sets are reducible, but we 
have no reason to suppose that if every set is reducible the universe is a Zermelo 
universe, for every class of unit sets might be multipliable while some classes 
including multiple sets were not multipliable. It is important to notice that 
every finitely scattered set is reducible. 

The converse of reducing a set is adding to it any set each of whose points 
is separated by the number zero from some point already included, and this process 
is called expanding the set. Expansion is possible if there are units of the set 
which do not coincide with the units of the universe containing them, and we 
say that a set is fully expanded if every pair of points of which one belongs to 
the set and the other does not has a separating number different from zero. 
The set obtained by expanding /' fully is the sum of the class of units of the 
universe containing points of F, and we denote it by E'F. If i" is a set having 
points in common witli another set J, to expand F in J is to add to /' any 
members of J separated by the number zero from points belonging to both F 
and J, and we denote by E^' F the set obtained by expanding as far as possible 
in J the part of F contained in J; the set Ea' F is contained in both ^T and 
z/, but there may be points common to E'l' and J which do not belong to E^' F. 

8. Sequences. 

Of infinitely scattered sets the simplest are fully reduced sets whose members 
can be put into a one-one correlation with the inductive cardinals; if such a 

Acta mathematica. 42. Imprimé le 12 juin 1918. "'"■' I'J 



74 Eric H. Xeville. 

correlation has been established, and x„ is the point corresponding to n, then the 
relation of n to x„ is called a sequence and denoted by (x,,), and the set of points 
is the converse domain of this relation. 

9. Complenieiits. 

The points which do not belong to a set 7' compose a set called the com- 
plement of /', which we denote by C" /'. If /' and J are any two sets, the points 
of J which do not belong to 1' form a set called the complement of I' in J, 
which we denote by C'a' 7"; if J is contained in F, there is no point of z/ which 
does not belong to /', and 6'.i'7' is null. 

10. Neighbourlioods. 

B3' the neighbourhood of x with radius q we mean the set composed of all 
points separated from x by numbers less than q. The character of a neighbour- 
hood depends on the nature of the universe; for example, if the numbers separat- 
ing X from points outside the unit to which it belongs have a lower limit or 
minimum a other than o, then for any value of q between and a the neighbour- 
hood of X with radius q coincides with the unit which includes x. Whatever the 
character of the universe, the neighbourhood of any point x with zero radius is 
null, but every other neighbourhood of x includes at least the one point x, and 
neighbourhoods with radii that are not zero may be distinguished as existent 
neighbourhoods. 

11. Limiting; Points and Limited Sets. 

Having agreed rather to classify universes according to their properties than 
to consider only universes of special kinds, we define the limiting points of a set 
by the definition that a; is a limiting point of F if there is a point of F outside 
the unit containing x in every existent neighbourhood of x, and we admit no 
modification which leads to a change in the content of the set of limiting points 
of any set whatever. The set whose members are the limiting points of 7' is 
called the derivative of 7' and denoted by D' F. 

It is a fundamental proposition that every set which has a limiting point 
is infinitely scattered; the converse is not true. Tliere are universes in which 
every infinitely scattered set has a limiting point, and such universes are said 
to be limited; for many purposes the distinction between a limited universe and 
an unlimited universe is the most important distinction between one universe 



The classification of sets of points. 75 

and another. In any universe a set is called unlimited or limited according as 
it does or does not contain an infinitely scattered set without a limiting point, 
and a limited universe may be defined as a universe in which every set is limited. 
It was proved by Weierstrass and is said by Young to have been known to 
earlier writers that in the simplest types of space every infinitely scattered 
bounded set has a limiting point. But it is easy to show that this proposition 
is not true for all spaces: if the universe consists of all signless rational numbers 
in a finite stretch and separating numbers are arithmetical differences, then every 
set is bounded but no set is limited which in a wider universe would have irra- 
tional limits; again, if the point is a progression of numbers (a:,, x-^, ) and the 

separating number xx is the greatest among the differences | à^i — i; |, | i, — icj |, . . . , 
the sequence (r, o, o, . . .), (o, i, o, . . .), (o, o, i, ...),... . in which the nth. point 
has its wth coordinate unity and its other coordinates zero, is an infinitely scat- 
tered bounded set, with span unity, but with no limiting points. 



12. Simple Sets. 

A set which is the co-nverse domain of a sequence may have no limiting 
points, or any finite number of limiting points; indeed, as is shewn by the 
familiar correlations of the rational numbers in a finite interval with the natural 
numbers, the cardinal number of the derivative of such a set may be an infinite 
number greater than the cardinal number of the set itself. A set is said to be 
simple if it is the converse domain of a sequence and has not more than one 
limiting point, and a sequence is said to be simple if its converse domain is 
simple. The use of simple sets comes from the theorem that each limiting point 
of any Zermelo set /' is the unique limiting point of some simple set contained 
in /', from which it follows that a Zermelo universe is limited if every simple 
set has a limiting point. 

In Euclidean space of any number of dimensions, if (i/„) is a sequence whose 
converse domain is simple and unlimited and x is any point of the universe, 
and if the separating number of two points is the distance between them, then 
xrjn tends to infinity, but this property is not common to all unlimited universes. 



1.3. Adhérences and Coherences, Isolated Points and Iu<ernal l'oints. 
Edges and IJoundaries. 

There is no general relation of inclusion between a set and its derivative. 
Points which belong to /' but not to Dl' are called isolated points of /' and 



76 Eric H. Neville. 

compose a set known as the adherence of F, and points which belong both to 
r and to D' r form a set called the coherence of /'. Points of F which are 
limiting points of the complement of F constitute the edge of F, and points of /' 
which do not belong to the edge of F are called internal points of 7". Of the points 
of the derivative D' F, those which belong to F can of course be distinguished 
from those which belong to C'F, but it is unnecessary to invent names for the 
two sets indicated by this distinction, for the points common to D' F and F 
compose tlie coherence of /', and the points common to D' F and C" F form the 
edge of the complement of F. Here we may add that the sum of the edges of 
F and C'F is called the boundary of F. 

If X is an isolated point of /", every point of the unit of F containing x is 
an isolated point, and the unit itself is called an isolated unit of F. If a; is a 
limiting point of /', every point separated from x by the number zero is a limi- 
ting point of /', and therefore every derivative is a fully expanded set. 

14. Complete Sets aud Closed Sets. 

We say that a set of points, limited or unlimited, is complete if it contains 
all its limiting points; thus in Euclidean space hyperbolas and helices are no less 
complete than circles, and a universe is necessarily complete. It is only to sets 
that are both complete and limited that we give the description of closed; a set 
is open if it is either incomplete or unlimited. Since a universe can not be in- 
complete, to say that a universe is closed is the same as to say that it is limited; 
moreover, in a limited universe all sets are limited, and therefore in a limited 
universe there is no difference between closed sets and complete sets. 

15. Extension and Conipletion. 

Extension of a set is addition to it of any set of its limiting points which 
it does not include originally, that is, addition of any part of the edge of the 
complement. If to a set /' is added the whole of the edge of C F, the set F 
is said to be completed or fully extended, and we denote the set obtained, which 
may be described simply as the sum of /' and D' F, by G' F. Jt F is not limited, 
neither is G' I', and therefore G' F is not necessarily closed, but the limiting 
points of G' F are those of F itself and belong to G' F, whence it follows that 
G' F is in all circumstances complete. The adherence of G' F is the same as 
the adherence of F, and so G' F need not be fully expanded, and for some pur- 
poses we have to use the set E' G' F obtained by expanding G' F fully, which is 
the same as the set G' E' F obtained by completing E' F. 



The classification of sets of points. 



16. Dense Sets and Perfect Sets. 

If every point of a set is a limiting point of the set, the set is said to be 
dense, and a set which is both complete and dense is called a perfect set, whether 
or not it is limited. A dense universe is necessarily perfect, but although the 
commonest and most important universes are dense, there is no logical necessity 
for a universe to be dense even if it is infinitely scattered. The simplicity of a 
dense universe comes chiefly from the fact that in a dense universe if F is any 
set whatever every point is a limiting point either of r or of CT. 

Any set obtained by extending a dense set is itself dense, and therefore 
the set obtained by completing any dense set is perfect. Although a dense uni- 
verse must contain perfect sets, it is not every dense universe that contains sets 
both perfect and limited. 



17. Inseparability. 

We say that two sets are inseparable if the corresponding comjileted and 
fully expanded sets have at least one point in common; thus /' and J are inse- 
parable if there is a point which belongs to both E' G' I' and E' G' J, that is, if 
there is a unit of the universe wliich contains members of both G' l' and G' J. 
With this definition the null set is not inseparable from any set. 



18. Congregates of Points. 

A set in any universe we call a congregate of points if in every expression 
of it as the sum of two existent sets the two components are inseparable. If two 
sets have a common point they are certainly inseparable, and therefore although 
it is only a division into mutually exclusive sets that it is natural to contemp- 
late when considering whether or not a set is a congregate, there is no need to 
complicate the definition of a congregate by requiring the sets considered to 
be mutually exclusive; since, however, the null set is not inseparable from any 
other set, it is necessary to insist that in every case neither of the components 
is null. Removing the word inseparable we may say that a set is a congregate 
if however it is expressed as the sum of two existent components the completed 
and fully expanded sets corresponding to the two components have at least one 
common point. 



Eric H. Xeville. 



19. Connected Sets. 



American writers have adopted a definition of considerable interest, which 
impUes cohesion of a higher order than is essential to a congregate: a set is said 
to be connected if in every expression of it as the sum of two existent comple- 
mentary components one of these components includes a limit of the other; the 
definition recalls the Dedekindian axiom of continuit}'. Obviously every connected 
set is a congregate, and it is easy to shew that every complete congregate 
is connected, but the set formed of those points of a sphere which do not lie 
on a particular great circle presents a simple example of a congregate that is 
not connected. 

The step from a congregate to a connected set introduces precisely the con- 
dition essential for a theorem that is both interesting and valuable: a connected 
set that includes both a point that belongs to a set J and a point that does not 
belong to J necessarily includes a point on the boundary of J . 

20. united Sets. 

We come now to an idea' which appears to be of fundamental importance. 
We say that a set V is united if every pair of members of /' is contained in a 
closed congregate contained in the fully expanded set E' /". It can be shewn 
that every closed congregate is united, but while a united set is a congregate in 
the original sense it may be incomplete or unlimited and may indeed be both 
incomplete and unlimited. Closed congregates are necessary as a means to the 
definition and study of united sets, but the properties of closed congregates which 
are valuable and arise from the combination of their qualities seem to be preci- 
sely those which belong equally to all united sets. 

As simple an example as there is of an open united set is the set formed of 
all the points on one side of a straight line in a reduced Euclidean plane, the 
distance between two points being chosen for their separating number. In Eucli- 
dean space of any number of dimensions, if y and z are any two points the set 
formed of y and z and all points between them on the straight line through them 
is called the closed chord joining them; this set is closed and connected. If y 
and z lie on the same side of any straight line in a plane every point of the 
closed chord joining them lies on the same side of that line. Hence in the set 
described, the closed chord joining any two points of the set is a closed congre- 



• This idea seems narrowly to have escaped formulation by Prof. R. Baikk, hut I have 
failed to find an account of it in any of his writinsrs that I have seen. 



The classification of sets of points. 79 

gate containing the points and contained in the set, and the set is therefore united, 
although it is unlimited because it extends to infinity and incomplete be- 
cause the points of the straight line used in defining it are limiting points which 
it does not include. In Euclidean space a set F is called convex when if y and 
z are any two points belonging to F every point of the closed chord joining y 
and z belongs to F, and after what has been said it is hardly necessary to point 
out that if the separating numbers are distances every convex set is united. 

The nature of unity may be illustrated further by means of a reduced 
Euclidean circle deprived of one point or of two points, the separating numbers 
again being distances. If F is such a circle and ?;, iv are distinct points of F, 
then F itself, the set obtained by removing v from F, and the set obtained by 
removing from F both v and w, are all limited congregates, but only the first 
of them is complete.. The second of these three sets is, however, united, since 
if y, z are any two of its points the arc of 7" which has y and z for its end points 
and does not include v is a closed congregate containing y and z and con- 
tained in the set in question. But the third set is not united, for there are two 
arcs of 7' which have v and w for end points, and if y is any point distinct from 
V and w in one of these arcs and z is an}' point distinct from v and w in the 
other, every complete congregate contained in 7" and containing both y and z 
includes either v or w, and there is therefore no closed congregate containing y 
and z and contained in the set obtained by depriving 7' of v and w. 

An example even more instructive than the last is given by a lemniscate 
or any other figure which might be described as a figure-of-eight. This is a 
closed connected figure and the set obtained by removing from it any one point 
is a congregate although it is incomplete; if the point removed is any other point 
than the node, or if the curve is supposed to have two distinct points at the 
node and only one of these is removed, the set remaining is united, but if the 
node is regarded as one point and is removed, or if all the points at zero distance 
from the node are removed, there remain two distinct sets, each in itself united, 
which do not together form a united whole. 

A multiple united set is necessarily connected, but an example proves that 
the converse is not true, and that even a complete connected set may fail to be 
united. As simple an example as any is given by a branch of a hyperbola in a 
Euclidean plane together with any stretch contained in one of the asymptotes 
and a sequence of lines in which every line is parallel to this asymptote and 
cuts the curve and the sequence has the asymptote for sole limit: this set is 
connected and is complete if the stretch consists of the whole asymptote but 
every connected component which includes both a point in the asymptote and a 



80 Eric II. Neville. 

point not on tliat line is unbounded and is therefore open since the space is 
Euclidean. In this example it is to be remarked that the set deprived of the 
points belonging to the asymptote is a united set, whence follows the interesting 
theorem that extension, whether partial or full, of a united set may result in a 
loss of the unity. 

Since every multiple united set is connected, such a set cannot leave any 
other set without crossing the boundary of that set. In a dense universe, if a 
unit contains both points of a set /' and points of the complement C F, either 
all the points of F in the unit or all the points of C F in the unit belong to 
the boundary of F, and therefore in a dense universe the theorem just stated 
can be enunciated of all united sets and not of such only as are multi])le. More 
generally, if a united set which is not contained in an isolated unit of the uni- 
verse includes both a point of a set /' and a point of the complement of /', it 
includes a point of the boundary of F. 

To illustrate the way in which the result enunciated in the last paragraph 
may be used to endorse the conclusions of common sense, let the universe be a 
reduced Euclidean plane, let J be a straight line in this plane, and let © be the 
set formed of points on one side of this straight line and O the set formed of 
points on the other side, separating numbers being distances. Then as already 
remarked, and (ft are both united. If, however, y is a point of and z a point 
of 0, then since z belongs to the complement of and every closed congregate 
is connected, every closed congregate containing both y and z contains a point 
of the boundary of 0, that is, a point of J. If then F is the sum of and ©, 
there are points y and z belonging to F such that every closed congregate con- 
taining y and z contains a point of the complement of /', or in other words such 
that there does not exist a closed congregate containing y and ~ and contained 
in F; that is to say, the complement of a straight line in a Euclidean plane is 
the sum of two united seta but is not itself united. If, however, to the set /' we 
add a single point x belonging to the line J, then if y and z are any two points 
of the resulting set, the sum of the closed chords joining y to a; and x to 2 is a 
closed congregate containing y and z and contained in the set considered, and 
this set is therefore united. 



21. Tlie Separating Number ol" Two Sots. 

From this i)oint we propose a digression to compare the qualities we indi- 
cate l)y calling a set a congregate with the properties associated witii the word 



The classification of sets of points. 81 

connex. The digression, interesting in itself, begins with the introduction of a 
notion that can be made to serve many useful purposes. 

If /' and J are an}' two sets, the class of signless real numbers each of 
which is not less than the number separating some point of /' from some point 
of J is such that if a belongs to it so does every number greater than a; this 
class has therefore a lower limit or minimum, and this lower limit or minimum 
we call the separating number of the two sets /' and J. If the separating num- 
ber is a true minimum, that is, an attained minimum, of the class by which it 
is defined, then there exist points y, z belonging one to each of the sets /', J, 
such that the separating number of the two sets is the separating number yz 
of the two points, but if the separating number of the two sets is an unattained 
lower limit, then even to be entitled to assert that either there are a point y 
belonging to one of the sets and a simple sequence (s„) whose converse domain 
is contained in the other set such that the separating number yz„ tends to the 
separating number of the sets, or there are simple sequences (?/„), (z„) whose 
converse domains are contained one in each of the sets /", J such that «/«z« 
tends to the separating number of the sets, we must know that the sets are Zer- 
melo sets. It is convenient to modify the conclusion just reached as to Zermelo 
sets by using the fact that a simple sequence (x„) such that for every value of 
71 the point x» belongs to a set (■) is either limited or unlimited and if limited 
has a limiting point belonging to D' ©. We deduce that if two sets r,J are 
Zermelo sets, and their separating number is q, then either there are points y,z 
belonging one to each of the completed sets G'F, G' J such, that the separating 
number yz \s equal to o, or there are a point y belonging to the set obtained 
by completing one of the sets r,J and a sequence (2,,) whose converse domain 
is contained in the other of the sets r,J and has no limiting point, such that 
yzn tends to q, or there are sequences {y„), (z„) whose converse domains are con- 
tained one in each of the sets and have no limiting points, such that j/„ 2,, tends 
to Ç. This is a result to which it is easy to apply knowledge of distinctive pro- 
perties of the sets r,J or of the universe; for example, in Euclidean space of 
any finite number of dimensions with distances for separating numbers the se- 
cond case cannot occur, while in any limited Zermelo universe if the separating 
number of two sets is q, there are points y, z belonging one to each of the cor- 
responding completed sets such that yz is, equal to q. It is noteworthy that 
extension and expansion, partial or full, are without effect on the separating 
number of two sets. 

An example in which the separating number of two sets is an unattained 
limit will prove useful for reference. In a Euclidean plane with distances for 

Acta mathemalica. 42. Imprimé le 12 Juin 1918. "'" 



82 Eric II. Neville. 

separating numbers, let /" be a brancli of a hyperbola and J a line parallel to 
one of the asymptotes of the curve, at distance ^ from this asymptote, and on 
such a side of the asymptote if q is not zero that it does not intersect F . Then 
the separating number of /' and z/is q, but F and J are both complete and the 
distance of any point of V from any point of J is greater than p. This example 
emphasises the difficulty of giving a satisfactory description of such features as 
this by a process beginning with a conventional closing of the universe; there 
are different methods of closing the Euclidean plane, but in all of them parallel 
lines meet at infinity, and so it must be agreed if the universe is closed either 
that in this example the separating number of F and J is zero whatever the 
value of <j, on the ground that /' and J have a common point, or that a point 
at infinity may be at a distance greater than zero from itself. 

By means of the general idea of the separating number of two sets it is 
possible to simplify particular definitions in many important cases. For example, 
if J has only one member, x, the separating number of J and F is called the 
number separating x from /", and if this number is zero either there is a point 
of F in the unit of the universe which contains x or a; is a limiting point of F . 
Again, the number separating x from the set obtained by depriving /" of all its 
points in the unit of the universe containing x is the isolating radius of x and 
/'; if y is any point separated from x by a number which is not zero but is less 
than this isolating radius, y belongs to the complement of /', and if x belongs 
to F, the unit of F containing x is an isolated unit if the isolating radius is not 
zero but x belongs to the coherence of F if the isolating radius is zero. 



22. Coiiiiex Sets. 

The first definition of a connex aet was given by Cantor, according to whom 
a set F is connex if given any signless number q other than zero and an3' two 
points y, z of /', there can be formed a set J including y and z, contained in 7", 
and consisting of a finite number n of points which can be correlated with the 
first n natural numbers in such a way that if Xm corresponds to m, the first point 
a^i is y, the last point a;„ is z, and every pair of consecutive points of J has a 
separating number not greater than p. 

A definition of an entirely different kind was proposed by Jord.^x, who drew 
attention to the property possessed by a limited complete set if the separating 
number of every pair of existent sets of which it can be expressed as the sum 
is zero. Such a set is, in our sense of the word, united, and it is evident from 



The classification of sets of points. 83 

Jordan's work' that it is this characteristic that he wishes to empliasisc, though 
he defines it only for ck)sed sets. If we detach the property which Jordan de- 
scribes from the elementary properties which he adds in order to obtain a united 
set, we are led to consider the nature of any set which is such that the 
separating number of every pair of existent sets of which it is the sum is zero, 
and we have no difficulty in shewing that the sets which have this property are 
the sets which are connex according to Cantor's definition. 



23. The Relation between Connex Sets and Con«:reg:ates. 

In any universe a set which is a congregate is connex, but an unlimited 
connex set may fail to be a congregate, and it is only in a limited universe that 
every connex set is a congregate. 

An example that we have already used will serve again. Let the universe 
be a reduced Euclidean plane with distances for separating numbers, let F be a 
branch of a hyperbola and J an asymptote, and consider the set obtained by 
adding /' and J. If this set is expressed as the sum of two existent sets (■), (/>, 
either F contains both a point of and a point of CD, or J contains both a 
point of and a point of ®, or coincides with one of the sets F, J and Qt 
coincides with the other. In the first two cases, from the properties of straight 
lines and hyperbolas, it is true both that 6-" and 6-" O have a common point 
and that the separating number of and O is zero; in the last case the separat- 
ing number is zero, but the sets are not inseparable. Thus there is a division 
of the whole set into two separable sets but there is no division into two sets 
whose separating number is not zero, and therefore the set is not a congregate 
but by Jordan's criterion it is connex. The same example will serve to illustrate 
Cantor's definition. Of any pair of points of the set, either both members belong 
to /', or both members belong to J, or one member belongs to F, and the other 
to J. If 7/, z are any two points of /' or are any two points of /1, let Xy^ de- 
note the length of the curve or line between y and z, and if a is any signless 
real number let [0] denote the integer next below a (which is a— i if </ is itself 
an integer). Then if p is any signless number other than zero and if y and z 
are distinct points of 7' or distinct points of J, the curve or line between y and 
z can be divided into [/"-j^^/o] + i parts of equal length, and the end points of 
these parts, \}-yzlq\ + 2 in number, compose a set of the required form; if, how- 
ever, with the same value of p, we have to consider two points y,z of which y 

' Above all, from his phrase d'îm seul tenant. 



84 Eric H. Neville. 

belongs to /" and z to J, the first step is to select a point v of F and a point 
w oi J whose distance apart is not greater than ç, a selection that is possible 
because J is an asymptote of T, and we can then find a set of the required 
kind with the finite number [Aj^r/ç] + V^-zJ^A + 4 «^ points. 

We have said that a limited connex set is necessarily a congregate. Since 
in practice mathematicians have dealt almost exclusively with limited sets, it is 
impossible at present to pronounce on the importance of connexity when possessed 
by a set which is not a congregate. But there is no doubt that in many 
cases it is easier to apjily the criterion of inseparability than to utilise either 
Cantor's criterion or Jordan's, and I think it is safe to predict that for logical 
developments the hypothesis that the separating number of two sets is zero will 
prove to be conveniently analysed into the form that either the sets are insepar- 
able or they are separable but their separating number is zero and one at least 
of them is unlimited. 

It should be added that the idea of congregates as distinct from connex 
sets is not necessary to the definition of united sets, since in that definition 
closed congregates only are used and there is no extensional difference between 
closed congregates and closed connex sets. For the theory of sets of points it 
might seem more elegant, because more economical, to define united sets by 
means of connex sets and not by means of congregates, but for the course we 
have adopted there is a double justification that the definition of a congregate 
lends itself more readily than the definition of a connex set to symbolic treat- 
ment and that while the notion of a connex set is inapplicable except to sets of 
points the idea of a congregate can be extended to any universe in which ag- 
gregates have derivatives of their own type. Here concludes our digression. 



24. Continuous Sets and Continua. 

A study of the formal definitions reveals that every unit set is united. 
This result is in fact desirable, but there are many properties of multiple united 
sets which do not belong to unit sets: to mention the simplest, a multiple united 
set is dense, as is any multiple congregate, but a unit set is not dense. On 
account of the differences of which this is a typical example, a distinctive epi- 
thet is given to a united set which has more than one unit: a multiple united 
set is said to be continuous. 

There appears to be no agreement among mathematicians as to the use of 
the word contininun; in simple cases, to some writers a continuum is issentially 



The classification of sets of points. 85 

complete, while to others a continuum must have a complete complement; to 
all writers a continuum is a multiple set, and therefore the universe is the onl}' 
set which is not inherently incapable of satisfying every definition that has been 
used. To us it would seem natural to define a continuum in the terms we have 
just used of a continuous set, but in spite of the absence of unanimity in its 
present eniplo}'ers we hesitate to appropriate the name; the sets which one class 
of writers calls continua can be described with sufficient brevity as complete 
continuous sets, and the sets which writers of the other class find it convenient 
to use add to continuity a property which we shall presently associate with the 
word domain and can be called continuous domains. 



25. The Cells of a Set. 

When the nature of a united set has been grasped, a valuable analysis of 
any set presents itself, following naturally on some of the examples we have given. 
If X is any point of a set /", what is conveyed in untechnical language by 
saying that y is a, point which we can reach from x without leaving F is that 
there is a closed congregate containing x and y and contained in F. The points 
which we can reach from a point a; of a set F without leaving F compose a set 
which we call the cell of 7" containing x and denote by K'{x,F). If y is a point 
of the cell of F containing x, the cell containing y is identical with the cell con- 
taining X, and we call a set a cell of F if it is the cell of 7" containing some 
point of /"; the class whose members are the cells of F we denote by v.'F. 
Every cell of r is a united set contained in F, no two cells have a common 
point, and every point of F belongs to one cell; by means of its cells, F is ex- 
pressed as the sum of a class of mutually exclusive sets, and the members of 
this class y.' F are precisely the sets which common sense regards as the distinct 
pieces of which F is composed. The number of the cells of a set is a number 
of considerable importance; for example if F is a plane set this number is related 
to the connectivity of the complement of F, while a united set is a set with 
only one cell and properties are not wanting which are peculiar to sets with 
other specific cell-numbers. 

The definitions of this section may be illustrated by examples some of which 
we have already used. A circle deprived of two units, a hyperbola, a figure of 
eight deprived of its node, the set complementary to a straight line, are all sets 
in a Euclidean plane which have two cells, while a circle deprived of one unit 
and the set obtained by adding to the complement of a straight line any existent 



86 Eric H. Neville. 

set of points contained in the line itself are sets with only one coll; more gene- 
rally, by depriving a circle of ?!, units we obtain a set with n limited cells, while 
by depriving a Euclidean straight line of n units we obtain a set with n + i 
cells of which 2 are unlimited and ti — i are limited. 

It is to be noticed that a limiting point of one cell of a set may actually 
belong to another cell of the same set; in particular, the individual cells of a 
universe may be incomplete, although the universe as a whole is necessarily 
complete. 



26. Sets Continuous in Every Part. 

A cell of a set may be either unit or multiple and therefore every cell is 
either a unit cell or a continuous set. A set of which every cell is continuous 
is said to be continuous in every part. A set may be continuous in every part 
without being continuous as a whole, and without being complete or limited, 
but a set continuous in every part is necessarily dense. 



27. Plots. 

If X is any point and F any set, there may be no value of g such that the 
points of 7' separated from a; by numbers less than q form a united set, and 
even if this set is united for a particular value ir of q there may be values of ç 
both smaller and larger than a for which the set is not united. But if a; belongs 
to /", then for every value of q other than zero x belongs to the set formed of 
points of r in the neighbourhood of x with radius ç, and the cell of this set 
containing x we call the plot of F with centre x and radius q. If x does not 
belong to /', or if q is zero, the plot of /' with centre x and radius p is null. 
The plot of 7' with centre x and radius q must not be confounded with the part 
of the cell of 7' containing x which lies within the neighbourhood of x with centre 
7'; the plot is contained in the set last described, but this set is not neces- 
sarily united. 

Given any point x and any number q, there is a plot of the universe itself 
which has centre x and radius q; this plot, which is not null unless q is zero, 
may be only a part of the neighbourhood with centre x and radius g, and only 
a part of the cell of the universe containing x. Every plot of the universe is 
fully expanded, but a plot of any other set 7' is contained in 7' and if 7' is not 
fully expanded some of its plots are not fully expanded. 



The classification of sets of points. 87 

28. Confined Limiting Points. 

We say that a point x is a confined limiting point of a set r with respect 
to a set J if there is a point of V outside the unit containing x in every exist- 
ent plot of J which has x for centre, and we denote the set of limiting points 
of r confined with respect to J by Da V. It follows at once from the defini- 
tion that whatever J may be, the confined derivative Dj' F is contained in the 
derivative D'7', but we note that even Dv^T, the derivative confined with respect 
to the universe, is not necessarily the same as D' F. The derivative of F con- 
fined with respect to J is the same as the derivative confined with respect to 
J of the product of 7' and J, that is, of the set composed of the points common 
to F and J. 

29. Brinks and Borders. 

The set formed of the points of a set /" which belong to a set J and are 
confined limiting points of C" F with respect to ^ we call the brink of F in J, 
and the sum of the brinks in ^ of J" and C F we call the border of F in J 
and denote by £'j F. The brink and the border of F in the universe are called 
simply the brink and the border of /', or if a contrast is felt to be desirable 
the absolute brink and the absolute border. Since the brink and the border in 
J of F are identical with the brink and the border in J of tlie part of /' con- 
tained in J, it is an easy matter to pass from theorems concerning absolute 
brinks and borders to theorems concerning brinks and borders in sets other than 
the universe. The absolute brink of any set is contained in the edge of the set, 
and the absolute border is contained in the boundary, but before proceeding 
with abstract work we describe cases in which the brink differs from the edge 
and the border from the boundary, and we shall see in these examples the kind 
of part that confined limiting points may play. 

Suppose that in Euclidean space of three dimensions v,w are two points 
and ii is a set contained in the chord joining v and w and such that both ii 
and its complement are dense in this chord. First let the universe V be the 
family of concentric spheres whose centre is v and whose radii are the distances 
from V of the points of ii, let distances be separating numbers, let .i" be one of 
these spheres, let be a great circle on this sphere, and let F,J be the un- 
bounded hemispheres lying one on each side of Ö. Every point of 2' is a limiting 
point of sets contained in the other spheres, and therefore is a limiting point of 
C'F- hence F is contained in D' C F and /' is its own edge. But if there is no 



88 Eric H. Neville. 

connection between .2' and the spheres composing C ^, the cell of V containing 
any point of .3 is 2' itself,' and D'vC'V is the sum of z/ and &, so that /' has 
no brink, but is the brink of C" /' and the border of F. If, however, we add 
to the universe just considered all the points of the chord joining v and iv, still 
using distances for separating numbers, and if this chord cuts J in a point y, 
then if x is any point of 2 and q is not greater than xy, the plot of the uni- 
verse which has x for centre and q for radius is contained in 2, and if x is di- 
stinct from y then x is a confined limiting point of a set CD if and only if a; is a 
limiting point of the part of O in 2, but if x coincides with y then a; is a con- 
fined limiting point of C'2' and of the complement of every set contained in 2, 
and every set contained in .^ and including y has y upon its brink. In the case 
of the unbounded hemispheres F and J, if y lies in ^ or the brink and the 
border of F are alike unaffected by the addition to the universe, but if y lies 
in /' then the brink of F contains this one point only, the brink of C F is the 
great circle as before, and the border of /' is the set obtained by adding the 
point to the circle. 



30. The Relatiou between Unity and Borders. 

Far more fundamental than the relation between connected sets and boun- 
daries is the relation between united sets and borders, expressible in the form 
that if a united set contained in a set J but not in an isolated unit of J in- 
cludes both a point which belongs to a set F and a point which does not belong 
to F, then it includes at least one point of the border of 7" in J. Whenever 
the border of a set differs from the boundarj^ and in particular in the cases in 
which a set is contained in its boundary but not in its border, the present theo- 
rem gives results of greater value than the similar theorem enunciated earlier. 

An important application of the theorem of this section is to the determi- 
nation of the criterion for the existence of a border; it is readilj' proved that 
an existent set F in a. universe V has an existent border if there is a cell of F 
which does not coincide with the cell of F in which it lies and is not contained 

' We notice that if y,z are any two points of this universe the points of T belonging to the 
closed chord joining y and ; form a set which in T' is complete and connected, but this set is 
unlimited, for it contains sequences which have no limiting points in T; to meet such cases 
as this, we should have to make unity depend on closed congregates and not on complete 
congregates, even if we had no examples in Euclidean space of complete congregates that are 
not united. 



The classification of sets of jioints. 89 

in an isolated unit of Î', and to pass from this result to a thtoreni giving the 
condition for the existence of a border of any one set /' in any other set J 
requires little more than verbal modifications. 



31. Partitions and Permeation. 

Deserving of passing notice is an idea closely related to ideas involved in 
the theorem of the last section. A set is said to part two sets l\J or tobe 
a partition between them if no point of /' or J belongs to Ö but every united 
set containing a point of 7' and a point of J neces.sarily includes a point of Q). 
For example, in a reduced Euclidean plane a straight line parts any two sets of 
which one lies wholly on one side of the line and the other wholly on the other 
side. We recognise from this example that a point of a partition between two 
sets may be a common limiting point of the sets. One set is said to permeate 
another if there is no partition possible between them, and inseparable sets which 
do not permeate each other have a common limiting point. 



32. Fronts. 

The border By' I' of the border of a set F is not necessarily identical with 
the original border Bv' /', but is a set which wo call the front' of /', and simi- 
larly the border in J of the border of 7' in J, which we call the front of 7' in 
J, may differ from B [' /'. For example, if the universe is a Euclidean plane 
with distances for separating numbers, and 7' is contained in a circular area 
every point of which is a limiting point of both 7' and C" 7", the border By' /', 
which in this case is the boundary, consists of the whole circular area together 
with the circumference, but the front is the circumference alone. 

It is not difficult to prove that in any universe the border of any set is a 
complete set and the front and the border of any complete set coincide; from 
these propositions it follows that the border of every front is the front itself, 
so that for every value of ?» greater than two B'\' 1' is identical with jBj'7', and 
it is this theorem which gives unique value to the front. 

' JoniiAN- gave the name of frontière de F to the set we are calling the boundary of T, 
and both boundar_v and frontier are in use in English as equivalent to his word frontière. It 
is unfortunate that in a subject requiring so e.xtensive a vocabulary as does the theory of sets 
of points two expressive terms have been consecrated to a snigle idea, but an attempt to reco- 
ver the word boundary for fresh service, leaving frontier to fulfil its original function, wouhl 
leail to confusion. 

Adct iniiUwimdicii. ii. Iraiirimé le 22 nuvenibii' 11)18. l^ 



90 Eric H. Neville. 



33. Domains. 



An existent set is called a domain if the corresponding fully expanded set 
has no brink. The simplest domains are fully expanded, and the characteristic 
property of a fully expanded domain may be expressed in a variety of ways; 
for example, a fully expanded domain is an existent set of which the border is 
contained in the complement, and a fully expanded set is a domain if it exists and 
its complement is complete, note being made that a null set is formally complete. 

In the definitions of the brink and the border of a set F in a set ./ it is 
irrelevant whether or not F is contained in J; we do not, however, say that F 
is a domain in J unless not only does the fully expanded set E' F exist and 
have no brink in J but F itself is contained in J. In general, if there are points 
of 7" in J but E' F has no brink in J, it is the part of F in J which is a do- 
main in J. 

If 7' is a domain and x is any point of /', there is a number q such that 
every point separated from a; by a number less than q is separated by the num- 
ber zero from some point of F, while if 7' is a fully expanded domain and x is 
any point of F there is a number ç such that every point separated from x bj' 
a number less than q actually belongs to /'. 

34. Capacious Sets. 

If the set E' F obtained by expanding fully a set F is contained in its own 
brink, there are no domains contained in 7", but if £" 7' has points not belonging 
to its brink then whether or not 7" is a domain there are domains contained in 
/■; we call' a set capacious if it contains domains, and we call one set 7" capacious 
in another set J if there is a set contained in 7" which is a domain in J. 

35. Extreme Points. 

An important idea derived from that of a domain is that of the extremity 
of a set. A point is an extreme point- of a set 7" if there is no domain in F to 
which it belongs, and the extreme points of 7" compose a set we call the extre- 
mity of 7". To determine whether or not a point is an extreme point of 7" it is 
not necessary to consider 7' as contained in a more comprehensive set. 

' What Jordan calls a domaine is what we are calling a capacious set; our use of domain 
is the use common in English mathematical writings, but we require a phrase to embody 
Jobdan's idea. 

' In the case of a plane curve an end point as defined liv W. H. and G. C. Youkg, The 
Theory of Sets of Points, p. 221 (liKXîJ is not necessarily an extreme point in our sense. 



The classification of sets of points. 91 

36. The Diiiieiisioii-Iuteger of a Set, ami the Definitions of Curves 
and Surfaces. 

We do not need the definition of a domain in order to define a curve, a 
surface, and inductively a set of any finite dimension-integer. A set r is a curve 
if it is united, if it is not a unit set, and if every existent cell of the front in 
r of every set contained in r is a unit cell. A set T is a surface if it is united, 
if it is neither a unit set nor a curve, and if every existent cell of the front in 
r of every set contained in /" is either a unit set or a curve. In general a united 
set has the dimension-integer n if it has a dimension-integer not smaller than 
n and if every existent cell of the front in F of every set contained in /' has a 
dimension-integer smaller than n, a unit set being regarded as having dimension- 
integer zero; and if a set is not united its dimension-integer is the greatest num- 
ber occurring among tlie dimension-integers of its cells. 

It is interesting to notice that extension, partial or full, may increase inde- 
finitely the dimension-integer of a set; jîerhaps the most important classification 
of sets with a common dimension-integer is based on the increase effected by 
completion, the simplest sets of dimension-integer n being those whose comple- 
tions also have dimension-integer n. From a theorem stated in section iq it 
follows that extension even if full may increase the number of cells of a set, so 
that extension of a curve or a surface may result in a set which is not a single 
curve or a single surface even if it does not result in an increase of the dimen- 
sion-integer. 

37. Pure Sets and Mixed Sets. 

Reference must be made to the distinction between a pure set and a mixed 
set of dimension-integer n, a distinction that in contrast to the notion of the 
dimension-integer involves an idea derived from that of a domain, namely, the 
idea of a capacious set. The cylindroid is a locus furnished analytically which 
is united but in some sense consists of a surface together with curves which 
do not lie in the surface. We say that a set F of dimension-integer n is a pure 
set if the front in F of every fully expanded set capacious in F has dimension- 
integer w— I, and we describe a set as mixed if it is not pure. It is easy to 
verify that with this definition a cylindroid is a mixed set. 

38. Curves on Surfaces. 

It can be proved that if /' is such that the set E _s' F obtained by the full 
expansion of /' in J is contained in its own border in J, then the dimension- 



92 Eric II. Neville. 

integer of the part of F in J is smaller than the dimension-integer of /. This 
principle enables us to define a curve in any set which is known to be a sur- 
face in terms simpler than those of the general definition of a curve; a curve on 
a surface is a multiple united set. contained in the surface such that the corre- 
sponding set fully expanded in the surface is contained in its own border in the 
surface, that is, is identical with its own brink in the surface. For example, if 
the universe is a reduced plane a curve is a multiple united set of points con- 
tained in its own boundar}-. But a multiple united set contained in its own 
border in a reduced space whose dimension-integer is 3 may be either a curve 
or a surface, and to deal with dimensions in general by successive reduction 
from the universe not only assumes the universe to have a finite dimension-in- 
teger but also requires a metliod of discrimination between a decrease by unity 
and any greater decrease in a dimension-integer, and this discrimination is ren- 
dei'ed difficult by the existence in any set with dimension-integer not less than 
2 of sets that are not pure. 



39. Diniensiou-iutegei'S and Diiueiision-Types; 

The definitions proposed in the last three paragraphs differ from the defini- 
tions in other theories of dimension in being independent of any comparison of 
one set with another, but although the property described in the last paragraph 
as characteristic of a curve on a surface appears to be the fundamental property 
that any system of definitions must reproduce, the utility of the definitions in 
section 36 doubtless depends on the possibility of ascertaining dimension-integers 
by comparison. A correlation of one set /" with another set J in general con- 
nects classes of members of F with classes of members of _/; if to each point 
of /" corresponds one and only one point of J, the correlation of F with J is 
many-one, and if the correlation of J with F is many-one, the correlation of F 
with J is one-many; a correlation which is both many-one and one-manj' is one- 
one. Let (■) he a set contained in /', and let '/' be the corresponding set in J, 
a many-many correspondence existing between F and J; to the part of the derived 
set D'Ö which is contained in F there corresponds some set contained in J, 
but this set has not necessarily any points in common with D' tH; if the correlate 
in J of the part belonging to /' of the derivative of every set Ö contained in F 
is the part contained in J of the derivative of the correlate in J of O, the cor- 
respondence of 7' with / is continuous from /' to ^; a correspondence which is 
continuous both from /" to J and from J to /' is a bicontinuous correlation of 
F and J. A one-one correlation is not necessarilv bicontinuous. nor is everv 



Tlie classification of sets of points. 93 

bicontinuous correlation one-one, but tlie correlations which are valuable in the 
theory of dimensions are correlations which are both bicontinuous and one-one, 
and if a correlation of this kind exists between two sets the sets are said to be 
horaomorphous and each is called an image of the other. 

In Fréchet's theory of dimension- types, the type of /' is said to be not lower 
than the type of J if 7' contains an image of J, and two sets are said to have 
the same type if each contains an image of the other; it is easy to prove that 
with our definitions two sets between which exists a bicontinuous one-one corre- 
lation have the same dimension-integer, and the dimension-integer of a set J can 
not be greater than the dimension-integer of any set in which J is contained, 
and it follows that our ideas are not at variance with Feéchet's. Feéchet, how- 
ever, can assign the integers arbitrarily to any set of ascending types, and for 
him the assertion that ?i-dimensional Euclidean space, — the space in which a 
point X is the ordered class (a:,,.T., . .. r„) of n independent real numbers and the 
separating number xx is either l' (.i'(.iv— .r,}-) or 2'|i,- — .r, |, — is of dimension- 
type 11, while requiring for its justification the fundamental dimension-theorem 
tliat no bicontinuous one-one correspondence is possible between two complete 
spaces of this kind which do not depend on the same number of coordinates, is 
nevertheless an arbitrary definition. We have to recognise that if the definitions 
of section 36 are to be adopted, despotic assignment of dimension-integers is im- 
possible, and the dimension- integer of Euclidean space with n coordinates is in- 
trinsically determinate: if this integer proves to be n, and if eveiy set with 
dimension-integer n contains an image of the complete Euclidean space with n 
coordinates, the relation of the piescnt theory to the theory of dimension-types 
is perfect. 



AUSZUG AUS EINEM BRIEFE DES HERRN LANDAU AN 
DEN HERAUSGEBER. 

Göttingen, 24. 7. 191S. 

Hochverehrter Herr Kollege! 

Der in Ihrer bekannten Arbeit Sur la représentation analytique d'une branche 
uniforme d'une jonction monogène {cinqxdème note) [Acta Mathematica, Bd. XXIX 
(1905), S. ICI — 181] bewiesene Satz A (S. 107—108) besagt: Es sei «>o, Fa{x) 
Ihre spezielle ganze Funktion (5) oder irgend eine ganze Fiinktion von x oder auch 
nur z. B. auf dem durch ein komplexes a;„--ü gehenden Halbstrahl vo7i o bis ccx^ 
definiert und stetig.'- Es sei fermier 

¥ 1 1 . 

fM= ie-"'''Fa{iüXa)doj" 


konvergent {d. h., da wegen «>o in w = o sicher hineinintegriert werden kann, 

lim I vorhanden). Dann konvergiert 



f{Qx^)= e-<"'JP„(w0:Co)c^w'' 



für o < Ö < I und zwar gleichmässig für &t,<& < r, wo 6>„ irgend eine feste Zahl der 
Strecke o < 0,, < i ist. 



' Auch die Stetigkeit wird nicht voll gebraucht; doch ist dies für meine gegenwärtigen 
Bemerkungen unwesentlich. 



96 lulmund Landau. 

Ich erlaube mir, Sie darauf aufmerksam zu machen, dass die gleichmässige 
Konvergenz von i {(-J x„) auf der ganzen Strecke o < 6/ ^ i besteht'; im Falle « = i 
hat dies schon Herr Hardy in seiner Arbeit Notes on some points in the integral 
calculus, XXXI, The uniform convergence of Borel's integral [The Messenger of 
Mathematics, Ser. II, Bd. XL (1911), S. 161—165] gezeigt, aber nicht einfach genug. 

Beweis: Da Sie gleichmässige Konvergenz für — < © < i schon bewiesen 

haben, darf ich mich auf o<0< beschränken. Ich setze =,..' und habe, 

2" ('. 

F a (w a;„) = (p (w) + i t/> (w) 

' In meiner Arlieif ist die gleicliniilssige Konvergenz des Integrals 
T 1 1 

(A) I e-'""i'«(wÖa-„)d«i" 


für 0^6 ^ I in dem Falle bewiesen, dass 

^'W = ^" + |t^ + |t^^ + --+|t^" + - ■• 

Lim V\kv\ = ^:,r >o 





konvergiert. (Cf. i>ag. 107, io8,- 112, 115.) 

Wenn dagegen nur die IntegraMlitat von 

J 1 

e-'""iî'n(<«e.r„)(2w« 

und die Konvergenz von 



/ 



vorausgesetzt wird, ist der Satz, wie Herr Laxd.vu richtig angibt, nur für den Fall o < #0 S- ^ ^ ' 
bewiesen. 

Ich liabe in der genannten Arlieit keinen Gebraucli gehabt für einen weitergehenden 
Satz als den darin bewiesenen. 

Ich hatte mir jedoch vorbehalten, auf da.s Studium des Integrals (A) zurückzukommen, in dem 
Falle, dass von 

Ï 1 

nur die lutegrahilitat vorausgesetzt wird (cf. ji. 108, iii). Eine grössere Arbeit hierüber habe 
ich seit lange ausgearbeitet. Mittag Leffler. 



Auszug aus einem Briefe des Ilerru Landau an den Herausgeber. 97 

gesetzt, nachzuweisen, dass, wenn </ (< j) für cj > o reell und stetig ist, caus der 
Konvergenz von 



fr{io)e-'" doy {ß>o) 



für // > eine Ungleichung 



/ 



f(Qcü)e-''' doj' 



<o{H) 



folgt, wo o{H) von (■) frei ist und u{H)->o bei H ~> oo ist. (Bei '/'(<'•') gilt als- 
dann dasselbe.) 

Ich wähle eine Zahl K, sodass |(/ (w) | < ÜT für o < w5^ i ist; und eine Zahl J/, 
sodass für Wi^o, fj2>o stets 



I <p{ai)e-'" dir' 



<M 



ist; alsdann ist für w3>o, Wj>o 



(I) 



ill ((■Joj)e-'>''''''d( 



31 



Ich setze ferner für H> o die Zahl u gleich der grösseren der beiden Zahlen // und , , 

à !<■ 

(Die Konvergenz von /, ist ja bekannt.) 
Es genügt, 

\IA<Q,(H), \I,\<oAH} 
darzutun, wo o, (//) und q,(H) von Ö frei sind und bei H -^ oo gegen o streben. 

/, ist = o, fällst >^; falls aber H<^^, ist 



W CO 

\I,\<iKe- '■' ' d M^ < j Ke- '■'' d o/ - ç, (H) -> o . 



Achi iiiiilhi-imilir,,. 42. Iniiuiuii; le 22 novembre I91ï. 



98 Edmund Landau. 

Wegen ©''<—,= <i ist nach dem zweiten Mittelwertsatz für i>>n 



= e- (' -'-'"' ff> (0 m) e-»' '"' d w' iu < '->' < i2) , 



also nach (i) 



folglich wegen Q^< - 



also wegen ^ < fi 



\jri. 



(p{&iü)e~"' d(ü^ 



<-« Qß' 



_1 ß ^1 



folglici) wegen u > H 



|/,|<e ^'' 3/-4e^'" =4 Me <" , 



|/,|<4i/e *" =Oj(Ä)->o. 



Edmund Landau. 



0. 



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nomie. Poids et mesures. Monnaies. Heures légales. Données phjs. et. chimiques. 
Suppl. pour l'an 1919: fêtes, concordance d. calendriers, éclipses, levers et couchers 
du soleil et de la lune, phases, plus grandes marées, coeff. d. marées. — Les cadrans 
solaires, par G. Bigouruan. Le calendrier égyptien, par G. Bighukdan. L'heure en 
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Définitions métriques: Les relations métriques dans le i)lan. Etude d'une classe 
particulière de courbes analogues aux coniques. Les éléments métriques dans l'espace. 
Génératrices rectiligues de la sphère. Trigonométrie sphérique. Segments associés sur 
la sphère. 

Les théorèmes de Poncelet: Etude d'un syst, particulier de coordonnées. Les 
théorèmes de Poncelet. Le théorème gén. de Poncelet. 

La Géométrie Cayleyennc: Origine de la Géométrie C'ayleyennc. Les déplace- 
ments C'ayleyens. La trigonométrie Cayleyenne. 

De l'inversion: L'inversion. Ses propriétés essent. Les coordonnées pcntasphéri- 
ques. Les cyclides en coordonnées cartésieimes. Les cyclides en coordonnées pcnta- 
sphériques. Les cyclides et leurs sphères principale«. Le système triple orthogonal 
formé de trois familles de cyclides. Un mode de transformation de l'espace qui se 
présente dans l'étude d. cyclides. 



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Avertissement. lutrod. rianiinètres à tige de longueur constante, à rotation, 
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que. T. 1: Transformations géométriques. Perspective. Géométrie infinité- 
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Préface. Préliminaires. Transformations ponctuelles. Transf. dualistiques. Notions 
s. 1. théorie d. groupes de transf. — Perspective: Généralités. Trait de persp. conique. 
Mise eu persp. Construct, dir. Restitution perspeut. — Trait de persp. axonométrique: 
Persp. cavalière. Persp. isométrique. — Courbes planes: Rappel de notions classiques. 
Formules fondament. Applicat. diverses. — Courbes gauches: Rappel de not. classiques. 
Etude spéciale de l'hélice. — Surfaces développables: Propriétés gén. Étude d déve- 
lopp. attachées à uue courbe gauche. — Surfaces en gén.: Étude d'une surf, autour 
d'un de s. points. Lignes tracées sur une surf. Étude spec. d. géodésiques de l'ellip- 
soide. — Surfaces gauches: Propr. gén. Étude spec, du conoïde de Plucker ou cyliu- 
droïde. — Géom. réglée: Gén. s. 1. complexes et congruences. Compl. et congr. liné- 
aires. — Géométrie cinémat. : Généralités. Mouvements dans un plan. Mouveni. 
autour d'un point fixe. Mouvem. dans l'espace. Applicat. div.: Helicoïdes réglés. Sur- 
face de l'onde. — Notions complément, s. 1. transform, géométriques. Sur un procédé 
de mise en persp. sans ligne de construct. Sur un procédé de restitut. persp. fondé 
sur l'homologie. Exercices compl. relat. à la géométrie infinités, d. courbes planes. 
Sur l'attractiou newtouienne d'une couche ellipsoïdale. 

Picard, Emile, Les sciences mathématiques en France depuis un demi-siècle. — 
24 pp. 8. 1917. 

Les fonctions analyt. Les é(iuatiuns différentielles. Tiieorie d. nombres. Algèbre 
et géométrie. Théorie d. fonct. de var. réelles et théorie d. ensembles. Quelques 
remarques finales. 

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Eléments de la théorie des fonctions circulaires. Des tables trigonom. Trigono- 
metrie rectiligne. Trigonométrie sphériquc. Complément de la théorie d. fonctions 
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ZoRETTi, L., Tables numériques usuelles, à l'usage d'ingénieurs, d. étudiants d. 
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Fr. 3:-. 



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Ramsïedt, Ev.a, & Uleditsch, Ellen, Radium och radioaktiva processer. Med 
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Inledu. Mätinctoder. Radium o. dess egensk. Stralar fr. radioakt. äiiiDen. 
Strâlarnas verku. Radiuinemanation. Teorin om atomernas Sonderfall. Radiums akt. 
lielagg. Uraii-radiumserien. Torium- o. aktiniumserierna. Energi o. viiniieverk. De 
radioakt. grundamnena o. det period, syst. Radioaktivitet i atmosf. o. Jordskorpan. 
Fabriksmiiss. framst. av radium o. miitn. av radiumpreparat. Litterat. förtcckn. Reg. Bil. 

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GouRSAT, Edouard, Functions of a complex variable. Being part 1 of volume 
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compl. terms. Element, transcend, functions. Conformai représentât. Exercises. — 
The gen. theory of analyt. functions accord, to Cauchy: Definite integrals taken bctw. 
imaginary limits. Cauchy's integral. Taylor's a. Laurent's series. Singular points. 
Residues. Api)lications of the gen. theorems. Periods of definite integrals. Exercises. 
— Single-valued analyt. functions: Weierstrass' primary funct. Mittag-Leffler's theorem. 
Doubly period, functions. Ellipt. functions. Inverse funct. ('urves of deficiency one. 
Exorcises. — Analyt. extension: Définit, of an analyt. funct. by means of one of its 
elements. Natural boundaries. Cuts. Exercises. — Analyt. funct. of several variab- 
les: Gen. prop. Implicit funct. Algebraic funct. Exercises. 

Leib, David D., Problems in the calculus with formulas and suggestions. X -f- 224 
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Functions. Formal differentiation. Simple applicat. Successive difl'erent. Maxima * 
a. minima. Differentials a. rates. Indeterminate forms. Curvature. Evolutes. Partial 
derivatives. Apjilicat. Series. Furthci- applicat. to geometry. Integral calculus. Simple 
formal intégrât. Element, applicat. Definite integrals. Special methods of intégrât. 
.\pplicat. Integration a summation jjrocess. Gconi. ajiplicat. Approximate integral. 
Various methods. Multiple integral. General applicat. Ditt'crential equal." Answers. 



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Friis-Petbrsen, Fr., & Jensen. J. L. W., Opgaver i Algebra for Rcalklasscn og 
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6 Bibliograpliie. 

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Det videiiskab. Gruiidlag for prakt. Tegning. raralleljirojektion o. Attiuitot. Ret- 
vinklet Projektion. Dobbelt Projektion. Aksonomctrisk Afbilding. Klementer af d. 
kiuemat. Geonietri. Topogratiske Flader. Pcrsi)ektivl8erc. Eiementer af d. projektive 
Gconietri. Kcglcsnit. KeglesnitsHader. 

Hjelmslev, J., Elementser Geometri. Forste Bog. — 135 pp. 8. 2 Kr. 1916. 

Lilcdn. De geom. Grundformer. (Jeonietrien i Tegneplanen: Tegnei)lauen. Rek- 
tanglet. Parallele Lin. Maalestok o. Passer. Cirklen. Vinklcr. Trekantskonstruk- 
tioner. S^ninietri. Bevajgelige Pktr. Cirklers indbyrdes Stilling. Parallelforskydning. 
— Geometrien i Marken: Lodrette o. vandrette Lin. o. Planer. Landmaaling. — Lige- 
daunethed: Frcnistill. af plane Fig. i formindsket Maalestok. Ligedann. Fig. — Be- 
regnende Geonietri: Den beregn. Gconietris Opgavc. Den retvinkl. Trekant. Trigono- 
nietri. Den ligeben. Trekant. Den skajvviukl. Trekant. Eksempler. Kordeberegniug. 
Arealberegn. — Konstruktionshcrc: Gconi. Steder. Giafisk Frcnistill. — Opgaver. Tri- 
gonom. Tabel. 



Gleerupska Univ.-Bokhandeln, 

Lund. 

IsiNG, Gustaf, Uiidersökniiigar rörande elektronntrar. 1. — 173 pp. S. 5 pi. 
Kr. 4: — 1917. 

Inled. öfversikt. Allinän teori: Potcntialerna gifna. (Icke isol. syst.) Ladd- 
ningarna gifna (Füllst, isol. syst.) Potent, gifna i)à niigra af ledarua, laddningarna pà 
de öfr. (Delvis isol. syst.) Tillämpning af teorieii pâ syminetr. syst. m. tre ledare. — 
Oni bcrakn. af potential- o. induktionskoefficienter, 



G. J. Göschen. 

Berlin & Leipzig. 

BiEBERii.vcH, Ludwig, Einfülirmig in die konforme Abbildung. (Samml. Gösciien 
768.) Mit 44 Fig. — 141 pp. 8. M. 1:— 1915. 

Grundleg. Lineare Funktionen. Rationale Funkt. Allgein. Entwicklungen. Weitere 
Abbild, durch gegebene Funkt. Abbild, gegebener Bereiche. Die Beziehungen zur 
Potentialtheorie. Reg. 



Kibliograpliie. 7 

FüETER, Rudolf, Synthetische Zahlentheorie. — VITI + 270 pp. 8. M. 9: — 
geh.; M. 10:— geb. 1917. 

Einleit. Bereirlie rationaler Zahlen. Der Priinidealfiihrer. Die l. Einheitswurzel. 
Die Zahlentlieorie d. Körpers der l. Ejnheitswurzel. Die Aufstell, der rriniideale. 
Die Einheiten. Die Berechn. der Klassenzahl. Die Reziprozitätsgesetze. 

Knopp, Konr.^d, Funktionentheorie. II: Anwendungen d. Theorie zur Unter- 
suchung spezieller analytischer Funktionen. Mit 10 Fig. (Samml. (iöschen 
703.) — 116 pp. S. M. 1:— 1913. 

Ganze transzend. Funkt. Meromorphe Funkt. Die /'-Funktion. Period. Funkt. 
Anweud. d. Cauchyschen Residuensatzes. 

LoEWY, Alfred, Versieherungsmathematik. 3:e umgearb. u. verm. Aufl. (Samml. 
Göschen 180.) — ISO pp. S. M. 1:—. 

Einleit. Zins. Sterblichkeitstafeln. Einmal. Nettopramien f. d. Versicherung auf 
das Leben einer l'ersou. Jährl., gleichbleib. Prämienzahlung. Die Praxis. Deckungs- 
kapital od. Prämieureserve. Die Bilanz. Versich. auf verbünd. Leben. Selektions- 
sterbtaf. 

Schubert, Hermann, Arithmetik und Algebra. 2:e, durchgeseii. Aufl. 7:er 
Neudr. (Samml. Göschen 47.) — 171 pp. 8. M. 1:—. 1917. 

Übergang vom Rechnen zur Arithmetik. Rechnungsarten erst. Stufe. Rechn. 
arten zweit. Stufe. Auwend. d. Rechnungsarten erst. u. zweit. Stufe, (i'uadratisches. 
Rechnungsarten dritt. Stufe. Anhang. 



Hachette et Cie. 
Paris. 

Un demi-sii'de de Civilisntion française. (1870 — 191.').) Par MM. B.\il- 
L.\üD, Boutroux, Chailley, DouMic, Gérard etc. etc. — VII + 472 pp. 
8. Fr. 10:—. 1916. 

L'Astronomie, par 1!. Baillakd. La philosophie, par E. Boutroux. T-'eft'ort 
colonial, par J. Chaillev. La littérature, par R. DouMic. L'oeuvre diplomatique, par 
A. Gérard. L'histoire, par Cii.-V. Langlois. L'art, par Robert de la Sizeranne. 
La géologie et la minéralogie, par L. de Lai-xay. L'éloquence parlamcntaire, par 
Georges Lecomte. Les sciences chimiques, par Georges Lemoixe. Finance, commerce, 
transports, économie politique, par Raphaël-Georges Lévt. L'automobile et l'aréonauti- 
que, par P. Paixlevé. Les sciences naturelles, par Edmond Perkier. Les sciences 
mathématiques, par Emile Picard. La physique, par Lucien Poincaré. Sciences biologi- 
ques et médicales, par Charles Richet. La métallurgie, par Eugène Schneider. L'assis- 
tance, par Paul Strauss. L'agi-iculture, par A. Viger. La musi(iue, jiar Cii. Widor. 



8 Bibliographie. 

Ulrico Hoepli 

Milano. 
LoRiA, DiNO, Cuida allô studio délia storia délie matematiche. (Manuall Hoepli.) 
— XVr + 228 pp. 8. L. 3:— . 1916. 

Generality. 11 metodo storico. Rassegna d. principali opère s. storia d. mate- 
matica. La storia d. matematica uella letteratura periodica. — Aiisiliari n. ricerclie 
s. storia d. matematiche: Geueralità. I manoscritti. Biografia e hibliografia relat. 
aile matemat. d. greci c d. latini. Cenni s. bibliogr. relat. aile maternât, d. antichi 
popoli extra-europei. La biogratia e le collezioui biograf. Altre foiiti biograf. Le 
opère complete ed i carteggi scient. La bibliografia ed i cataloghi bibliogr. Kecensioni 
e critiche di scritti matemat. Come utilizzare gli ausiliari preced. descritti. Indice. 

Marcolongo, R., Meccanica razionale. Vol. 1: Cineraatica. Statica. 2. ed. rived. 
e ampl. (Manuali Hoepli 352—353 bis.) — XV + 323 pp. 8. L. 4: ,ôO. — 1917. 

Operazioni sui vcttori. Analisi vettoriale. Velocità ed acceleraziouc. Analisi d. 
moto tinito di un sist. rigido. Composiz. d. moti fîniti. Analisi d. moto instantaneo di 
un sist. rigido. Moto continue di un sist. rig. — Composizione d. forze. 11 principio 
d. lavori virtuali. iMpiilibrio d. curve funicolai'i. 

PiNCHERLE, Sat.vatore, Algebra complementare. P. 2: Teoria délie equazioni. 3. 
ed., rived. e corr. con 4 incisioni. (Manuali Hoepli. 145.) — 167 pp. 8. L. 
1:50. — 1916. 

Le fuuzioni razionali. Formula di Taylor. Derivate. I deterniinanti. Sistemi di 
e(iuaz. lineari. L'equaz. algebr. Le funzioni simmetr. Kadici coniuni. Eliminazione. 
Radici mult. Trasformazioni nclle equaz. Equaz. di terzo e quarto grade. La funz. 
razion. par valori reali délia variabile. Numero d. radici reali comprese fra due numeri 

dati. Cenno sul calcolo num. d. radici. 

Junta para amplicion de estudios. 
.Madrid. 
Rey Pastor, J., Fundamentes de la Geometria proyectiva superior. Laboratorio 
y seminario inatemâtico. Publicaoiones, T. 1. (Junta para ampliaciôn de 
estudios é investigaciones cientificas.) — XXII + 444 pp. 8. Ptas 12: — 
1916. 

Nociiines s. teoria d. 1. grupos de transformaciones. El problema de la geometria. 
Geometria proyect. elem. y geometrias métricas. — Geometria csférica de Lie. Geom. 
proyect. sup. Geom. transcend. Equivalencias entre 1. div. geometrias. — Origen y 
caràcter d. 1. geom. moderna. Construccion axioniàtica d. 1. geom. Independ. y 
compatibilidad d. 1. axiomas gràticos. El espacio proyect. elem. El espacio proyect. 
abstr. de n dimensiones. Incidencia y dualidad en el esi)acio E„. — La red de Mo- 
bius. Kl espacio racion. y cl esp. continue. La continuidad en 1. tig. de prim, cate- 
goria. Teoria d. 1. conjnnlos |iroyect. Cnrvas y rcciiitos jn'oycct. El teorema fuiula- 



Bibliographie. 9 

ment. d. 1. proyectividad. Grnpo proyect. de JE„. Cuâdricas de E,, y proyecciön 
estereograf. Subgrupo proy. de Cayley. Grupo conf. cuadrât. del piano. — Opera- 
ciones con proyectividades, Potencias de una proyectivid. y proyectividades ciclicas. 
Câlculo de seginentos proyect. Câlculo vectorial proyect. en las figuras de seg. cate- 
goria. Torsiones y giros proyect. — El espacio complejo y la proyectividad comid. 
Represent, reales d. 1. tig. complejas de prim, categ. Proyectividad real de fig. compl. 
Proyectivid. y antiproyectividad compl. — Pares ordin. d. 1. correspondencia. Corresp. 
derivadas. Pares sing. d. 1. corresp. — La superficie de Riemann. La proyectivid. 
compl. sup. Teoria d. 1. involucion. — Represent, reales d. 1. fig. compl. de seg. 
rategoria. Hilos de elementos compl. en 1. fig. de seg. categ. Tangentes â 1. hilos y 
membrauas. El concepto goometr. de curva analitica. 

Pineda y Gutierrez, Pedro, Representacione.s conformes segiin el método de 
Bieberbach. Publicaciones del Laboratorio y Seminario matemâtico. T. 2. 
(Junta para ampliciôn de estiidios é investigaciones eicntificas.) — 36 pp. 
8. Ptas 2:^ 1917. 

Abenbéder, Compendio de ûlgebra. Texto arabe, traduccion y estudio por José 
A. SANCHEZ PÉREZ. (Junta para ampliaciôii de estudios é investigaciones 
cientificas. Centre de Estudios histôricos.) — XLVIII + 117 4- 78 pp. 8. 
Ptas 6: — 1916. 

Dedicat. Prcilogo d. trad.: La hist. d. 1. matemàticas en Espana. Alg. datos 
acerca d. manuscrito. su autor y su época. La edicon. La traduccion. Resum. aualit. 
del Algebra de Abenbéder. Erratas. Traduccion. Texto arabe. 

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Ahrens, W., Hebräi-sche Amulette mit magischen Zahlenquadraten. — 19 pp. 8. 
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RouB.AUDi, C, Traité de Géométrie descriptive, à l'usage des élèves des classes de 
mathématiques spéciales et des candidats à l'Ecole Polytechnique, à l'Ecole 
Normale Sup., aux Écoles centrales d. arts et manufactures, des Ponts et 
Chaussées et des Mines de Paris et de Saint-Étienne. — VI + 552 pp. 8. 
Fr. 15:—. 1916. 

Principes de la géométrie descriptive: Introd. Projection d. lignes droites. Project, 
d'une fig. plane. Homologie. Méthode d. jirojections. Représent, d. corps. — Éléments 

Aclit matheniiilica. K. Imprimé le 27 aoUt l'JlN. '««» - 



10 liililiograiihio. 

cl. fig.: Le point, l-a ligne droite. Le plan. — Problèmes descript. Exercices. — Dé- 
placements: Méthode de changement de plan. Méth. de rotation. Métb. de rabbatte- 
ment. Exercices.^ Problèmes métriques: Distances. Angles. Exerc. — Polyèdres: Re- 
présent. Sections planes. Intersect. Ombres. — Cônes et cylindres. Sphère. Trièdres: 
Lignes courbes. Généralités. Ceix;le. Hélice. Gén. sur les surfaces. Plans tangents 
aux cimes et aux cyl. Contours apparents. Ombres. Sections planes d. cones et d. 
cylindres. Développement. Exerc. Intersection de cones et de cylindres. La sphère. 
Quest, relat. au cône dans lesquelles intervient la sphère. Exerc. Résolut, d. trièdres. 
— Surfaces de révolution: Surf, de révol. en gén. Tore. Quadriques de révolution. 
Intersections. — Surfaces du sec. ordre. Compléments: Étude descript. d. quadriques. 
Intersections. (Questions où intervient la courbure. Complément s. 1. tore. Raccorde- 
ment d. surf, gauches. Exercices. — Projections cotées. Surf, topograjjhiques. — Sujets 
d'épurcs sur I. cinq livres. Sujets de concours. 



Felix Meiner. 
Leipzig. 
Kant, Immanuel, Versuch den Begriff der negativen Orössen in die Weltweislieit 
einzuführen. (Immanuel Kants Kleinere Schriften zur Logik und Meta- 
phy.sik. 2. Aufl. Hrsg. von Karl Vorländer. Philosophische Bibliothek, Bd 
46.) — XXXII + 169 pp. 8. 

Vorw. Eiuleit. d. Herausg. — Eine neue Beleuchtung d. erst. Prinzipien d. meta- 
physischen Erkenntnis. ITTiö. — Die falsche Spitzfindigkeit d. vier syllog. Figuren 
erwiesen- 1762. — Versuch den Begriff der negativen Grössen in die Weltweisheit 
einzufidiren. 1703. — Untersuchung üb. d. Deutlichkeit d. Grundsätze d. natiirl. Theo- 
logie u. d. Moral. 1764. Nachricht von d. Einriebt, sr. Vorlesungen in d. Winter- 
halbenjahre v. 1765 — 66. 

Dürrsche Buchhandlung. 

Leipzig. 
Schmidt, Max C. P., Altphilologisehe Beiträge. 2. Heft: Terminologische Stu- 
dien. 2:e verb. Aufl. — 107 pp. 8. 1916. 



Hermann Meusser. 

Berlin. 
Fischer, Max, Statik und Festigkeitslehre. Vollständiger Lehrgang zum Selbst- 
studium für Ingenieure, Techniker und Studierende. Bd 1 — 2. 3:e Aufl. 
Bd 1: Grundlagen der Statik u. Bereclinung vollwandiger Systeme ein- 
schliesslich Eisenbeton. XII + 667 pp. 8. M, 18:— geb. 1912. Bd 2: 
Berechnung von statiscii bestimmten Fachwerkkonstruktionen. XI + 671 
pp. 8. M. 18: — . 



Bibliof,'rapliie. 11 

1. Das Verhalten v. Kräften, die an einem Punkte angreifen. Das Verhalten 
V. Kräften, die an eni. Körper angreifen. Die Autlagerkräftc infolge stand. Belastung. 
Die Autlagerkräfte inf. bewegl. Beiast. — Die grundleg. Gesetze üb. Spannungen u. 
Dehnungen. Prakt. Anwend. d. Lehre v. d. Normalfestigkeit. — Die Gruudfornieln d. 
Biegungslehre. Die Lage d. Nulllinie bei d. verschied. Quersthnittsformen. Sclnver- 
punktsbestimmungen. Best. d. Trägheitsmomentes f. d. verschied. Querschnittsformen. 
Das Widerstandsmoment. Kraft- u. Momentensummen d. Balkens zwischen zwei Stützen 
bei stand. Beiast. Kraft- u. Momeutensummen d. Trägers zwischen zwei Stützen bei 
bewegl. Beiast. Auflagerdrücke, Querkräfte u. Momente beim überkrag. Balken, beim 
Frei- u. Gerbersciien Träger. Berechn. genieteter Träger. Berechn. v. Durchbiegungen. 
Der eingespannte Träger u. d. durchlauf. Träger auf mehr. Stützen. Biegung durch 
exzentr. Zug od. Druck. Die Biegungsspannungen bei unsymmetr. Querschuittsformen 
u. bei scliräger Beiast. — Die Knickformeln u. die Berechn. d. Stützen. — Berechn. 
V. Eisenbetonkonstruktionen auf Druck, Biegung u. Knickung. 

2. Berechnungtmethoden f. einf. Dreieckfachwerke. Berechnungsmethoden f. niclit- 
einf. Fachwerke. Allg. Untersucli. üb. Fachworksyst. Methode d. Einflusslinien. Analyt. 
Methoden. Die rein graph. Methoden. Besond. Konstrukt. Zusanimenfass. u. Aufg. 
Der Gerbersche Fachwerkträger m. ruhender u. bewegl. Beiast. Allg. Untersuch, u. 
Berechn. f. stand. Belastung. Der Dreigelenkbogen m. bewegl. Beiast. — Das Prinzip 
d. virtuellen Verrückungen. Geometr. Bewegungslehre (Kinematik). Anwend. d. Prinzips 
d. virt. Verrückungen gemeins. mit d. geom. Bewegungslehre. 

Schlüter, H., Die höhere Mathematik als allgemeinverständliches Rechnungs- 
mitteL Mit 30 Abb. u. zahlr. Beispielen. — 50 pp. 8. 1917. 

Erklär, d. Zuwaclisbegriffes, Bild. d. Dift'erentialquotienten, Bild. d. Integrals. Best, 
u. unbest. Integrale. Differentiation od. Intégrât, d. alg. Summe von Potenzen. Partielle 
Different. Höh. Differentialquot. Die einz. Differentiations- u. Integrationsarten. Diftc- 
rentiat., wenn die unabhäng. Veränderliche in mehr. Grundformen, aber nicht zugleich in 
mehr. Faktoren auftritt. Differential, d. Produktes, dessen Faktoren Grundformen d. 
Veränderl. enthalten. Differentiat. d. Bruches, dessen Zähler u. Nenner Grundformen d. 
Verändert, enthalten. Die zeichn. Darstellung von Gleichungen (Funkt.), Diffcrential- 
ijuotienten u. Integralausdrückcn. Theorie d. Max. u. Minima. Vergl. zwischen Elc- 
mentarrechn. u. höh. Math. Anwend. d. Integralrechn. zur Bestimm, d. Trägheitsniomente 
von Flächen u. Stabzügen. 

Waltz, Emil, Wechselsfcrora-Arbeitsdiagramme. Das Rechnen mit umlaufenden 
Vektoren nach der symbolischen Methode und die Grundziige der analyti- 
schen und graphischen Behandlung technischer Wechselstromkreise, ein- 
schliesslich der Diagramme f ür «(Transformatoren und Asynchronmotoren. 
Mit 255 Fig. 3, 31 Taf. ~ XXXI h 940 pp. 8. M. 22:50 brosch.; M. 24: — 
geb. 1912. 

Die graphische Darstellung vektorieller Grössen. Das Rechnen m. Vektoren. Die 
Multiplikat. v. Vektoren u. Richtungsgrössen. Vektorprodukte. Einf. techu. Wechsel- 
stromkreise. Die Ortsdiagramme einfacher Wechselstromkreise. Magnetisch verkettete 



12 lübliognipliic. 

Wccliselstromkroise. Die Zustaudsdiagramme ruhender Traiisformatoreu. Die Arbeits- 
diagramrae (Ortsdiagr.) ruhender Transformatoren. 1 — 3. Die Induktionsniotoreu. Ener- 
getik allgemeiner Wecliselstromkreise. 



John Murray. 
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Report of the eighty-sixth meeting of the British Associatio7i for the advancement 
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Gill, David, Man and Astronomer. Memories of Sir David Gill, Astronomer 
(1879—1907) at the Cape of Good Hope. Collected and arranged by George 
Forbes. With portraits and illustr. — IX + 418 pp. 8. 12 sh. 1916. 

Preface. The growth of a real astronomer: Parentage a. boyhood (1843— 60J. 
Choice of a profession (1860 — 3). In trade (1863 — 72). Love a. marriage (18G5 — 
72). Lord Lindsay (1872). Dun Echt (1872—4). The Mauritius expedition (1874 
— 5). Interregnum — Mars expedition to Ascension (1876 — 8). Appointment to Cape 
observatory (1879). Friendships at Capetown (1879). Early work at the Cape obser- 
vatory (1879 — 82). Correspondence (1883—4). First visit to England (1884). Cor- 
respondence with astronomers (1884 — 6). Second visit to England (1887). Work with 
the great helioraeter (1887 — 90). A visit from Miss Agnes Clerke (1887 — 8). Days of 
sorrow (1890—6). Patience rewarded (1896—1901). Last days at the Cape (1902 
— 6). — The charm of a real astronomer. The other side of the man (1899 — 1906). 
Staff anecdotes. Personal traits and tastes. The personal side of David Gill. Life in 
London from 1906. Last days after retirement (1907 — 1914). Lighter correspondence. 
Papers. 

Kenyon, Frederic G., Education, scientific & humane. A report of the pro- 
ceedings of the council for humanistic studies. — 32 pp. 8. 6 d. 1917. 



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4. 1917. 

Dcdicat. Introduct. Bullet. 1: The physical cause of the hitherto unexplained 
fluctuations in the moon's mean motion. The phys. cause of univers, gravitation. 2: 
Discovery of the phys. cause of magnetism. 3: Discoveries in cosmical magnetism. 
4: Theory of the. transmission of phys. forces, based on the propagat. of electrodynamic 
waves in right lines or in curves conforminu; to Fcrmafs law of miniuuini path a. the 



Bibliogiaphie. 13 

principle of least action. 5: Theory of the fluctuât, of the moon's mean mot. deduced 
from phenomena: Results cxpl. by the refract., dispersion a. perhaps absorption of part 
of the sun's electrodynamic wave energy in propagat. through the earth, (i : Definite 
confirmation uf the discovery of the phys. cause of univers, gravitation. 



P. A. Norstedt & Söner. 

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Westin, 0. E , Grafisk räkning med komplexa tal. — 67 pp. 8. 1918. Kr. 2:50. 

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Casa Editrice Sonzogno. 

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Biblioteca del Popolo. 64 pp. 8. Cent. 24 pro vol. 

Elemcnti di Aritmelica. FAementl di Geometria. Esercizi c Frohlcmi di Geo- 
mvtria. Race, dai migl. trattati e specialmente dall'Amiot. Elemcnti di Algebra. 
Esercisi d' Algebra. Aritmetica pratica per tutti. 

Feeeario, LuiGi: Trattato di trigonometria plana. Peviaki, B. : I logaritmi spiegati 
al popolo. Pedkotti, L.: Teorema di Pitagora e sue più important! applicazioni ad uso 
degli studenti d. scuole secondarie. Pedrotti, L.: Elementi di Algebra ad uso d. scuole 
medie. Pedrotti, L.: Risoluzione delle equazioni di 1. e 2. grado. Peukotti, L.: Ele- 
menti di Stereometria. Pedrotti, L.: Geometria descrittiva. liinee e corpi terminati 
da superficie curve. Pedrotti, L.: Introduzione al Calcolo differenziale colla teorica dei 
massimi e minimi. Pedrotti, L.: Importanti applicazioni dei logaritmi. Funzioni espo- 
nenz. e calcolo d. interessi composti ed annualita. Favaeo, G. A.: Aree e volumi. 
VisMAKA, F.: Le proiezioni ortogonali. Villa, A.: Teoria del regolo calcolatore e sue 
applicazioni pratiche. Villa, A.: Geometria analitica del piano e sue applicazioni. 
Villa, A.: Trigonometria sferica e sue applicazioni. Luigi, G.: Formolario completo di 
computisteria e ragioneria. 1 — 2. Pincheele, G.: La costruzione geometrica delle 
ombre. Rùceei, C; Curiosità e sofismi matematici. Conti, E.: L'aritmetica per gli 
adulti e per le scuole medie. 1 — 3. Uccelli, A.: I fondamenti della geometria di 
posizione. Maeixo, A.: Applicazioni algebriche alia geometria plana e solida. Conti, E.: 
Iniziamento alia teoria dei numeri. Fereolli, T.: Geometria non-euclidea. Cunti, E.: 
Tesi di calcolo letterale. 

B. G. Teubner. 

lieiji/ij,'. 

AuRENS, W., Mathematische Spiele. 3:e Aufl. (Aus Natur^u. Geisteswelt. 170.) 
Mit ein. Titelbd. u. 77 Fig. — 114 pp. 8. M. 1:20 geh.; 1:50 geb. 1916. 



14 IiililioKrni)liio. 

Eiiileit. Wettsin'ingen. Das Boss Puzzle oder Ftiiifzehuerspiel. Solitar- od. Ein- 
siedlersjjiel. Dyadisclie Spiele. Der Bagiieiiaudier od. das Zankeisen. Nim. Der Rös- 
selsprung. Magische Quadrate. Mathcmat. Trugschlüsse. Beantwort. d. Fragen. 

Brünner, W , Dreht sich die Erde? Mit 10 Fig. (Mathematische Bibliothek, 
hrsg. von W. Lietzmann u. A. Witting. 17.) — 53 pp. 8. M. 0:80. )91ö. 

Auf- u. Untergang od. tägl. Bewegung d. Gestirne u. ihre Erklärung durch die 
Erddrehung. Möglichkeit d. mechan. Nachweises d. Erdrotation. Absolute u. relat. 
Bewegung. Die Erddrehung sichtbar gemacht am freifallenden Körper. Nachweis d. 
Erddrehung durch Fallversuche m. einer Atwoodschen Fallraaschine. Die Erddrehuug 
sichtbar gemacht am schwingenden Pendel. Nachweis d. Erddrehung am kon. Pendel. 
Die Erddreh, sichtbar gem. am Kreisel. Einfluss d. Erddreh, auf irgendwelche hori- 
zontale Beweg. 

Brunswig, Alfred, Das Grundproblem Kants. Eine kritische Unter.suchiing 
und Einführung in die Kant-Philosophie. — VI + 170 pp. 8. M. 3: 60 geh.; 
4:20 geb. 1914. 

Vorw. — Der log. Aufbau d. Problems im Geiste Kants. Kants Lösung. — Der 
Lösungswert u. die inneren Schwierigkeiten d. Kautischeu Lösung. Kritik d. Problem- 
entwickl. Kants. — Prinzipielles zum krit. Idealismus Kants u. d. Neukantianer. — 
Beiträge z. Lösung d. Problems d. allgemein-notwendigen Urteile: Entwickl. unserer 
Problemstellung, üeberblick d. Versuche z. Lösung d. Problems d. allgem.-notwend. 
Urteile bezw. d. apriorischen Erkenntnis. Vorerwägung z. Lösung d. Problems d. all- 
gem.-notwend. Urteile. Zur Phänomenologie d. Ursprungs allgem. -notwendiger Erkennt- 
nisse. Das »Wesen» als Erkennungsgrund sachlicher Einsichten. Die Erfass. d. spez. 
Wesens. 

Carathéodory, Constantin, Vorlesungen über reelle Funktionen. Mit 47 Fig. 
— X + 704 pp. 8. 1918. M. 28: — geh.; M. 30: — geb. 

Eiuleit. Ueber Punktmeugen. Der Grenzbegriff. Funktionen. Entfernung u. Zu- 
sammenhang. Inhalt u. Messbarkeit. Lin. Gebilde. ]Messbare Funkt. Das bestimmte 
Integral. Das unbest. Integral u. d. additiven totalstet. Mcugenfunktionen. Funkt, 
einer Veränderlichen. Funkt, v. mehreren Veränderlichen. 

EucLiDis Opera omnia. Edid. I. L. Heiberg et H. Menge. Vol. VIII: Euclidis 
phaenomena et scripta musica, edid. Henricüs Menge. Fragmenta, collegit 
et disposuit I. L. Heiberg. Bibliotheca scriptorum graecorum et romanorum 
Teubneriana. — LIV -1- 292 pp. 8. M. 6:— geh.; M. 6:60 geb.. 1916. 

Praefatio. Prolegomena. Pliacnoniona. .\ppcndix. Scholia in phaenomena. Sectio 
canouis. Introductio harmonica. P^'agmcnta. Scholia. 

Giebel, K., Anfertigung mathematischer Modeile für Schüler mittlerer Klassen. 
Mit 42 Fig. u. 3 Taf. (Mathematische Bibliothek, hrsg. v. W. Lietzmann 
u. A. Witting. 16.) — 52 pp. 8. M. 0: SO. 1915. 



IJibliojirapliie. 15 

Allgemeines üb. Modelle. — Lot, Sctzwagc, üöschungswage. Einige geom. Öiter. 
Winkel. Symmetrie in d. Ebene u. im Uaume; Drachenviereck. Dreieck. Winkel im 
Kreise. Sekante, Tangente. Viereck, Parallelenlineal, Eigenschaften d. Diagonalen. 
Modelle aus d. Arithm. Fläclieninhalt geradliu. begrenzter Fig. Ähnlichkeit, Vergrös- 
serungsapparate, Storchschnabel, Höhenmessung. Bezieh, im rechtwinkl. Dreieck. Tri- 
gonom. Funktionen, Sinussatz. i,ogarithmenschieber. Körpermodelle. — Die Stoffe, ihre 
Beschaffung u. ihre Behandlung. 

GuTZMER, A., Zum Jubiläum der Logarithmen. Rede beim Antritt des Rektorcats 
der vereinigten Friedriclis-Universität Halle-Wittenberg am 12. Juli 1914 
gehalten. — 16 pp. 8, M. 0: 80. 1914. 

Körner, K., Die Mathematik im preussischen Lehrerbildungswesen. (Abhand- 
lungen üb. den math. LTnterricht in Deutsehland veranlasst durch die IMUK, 
hrsg. von F. Klein. Bd 5, H. 7.) Mit 10 Fig. n. 1 Taf. sowie einem Schluss- 
wort zu Bd 5 von F. Klein und einem Inhaltsverzeichnisse sämtlicher 
Bände d. Abhandlungen. 133 pp. 8. M. 4:— geh. 1916. 

Die mathemat. Ausbild. d. preuss. Volksschullehrers: Die Aufgabe d. preuss. 
Lehrerbildungsanstalt. Ihre äussere Organisât. Die Lehrer an d. Lehrerbihlungsaustalten. 
Die Schüler d. Lehrerbildungsanst. Aus d. Geschichte d. preuss. Lehrerbildung. Der 
heutige Lehrplan. jMathemat. Lehrbücher für Lehrerbildungsanst. — eine kritische Be- 
trachtung. Die Lehrerprüfungen. — Die math. Fortbild. d. preuss. Volksschullehrers: 
Das Mittelschullehrer- und Rektorenexamen. Die wissenschaftl. Kurse zur Ausbild, von 
Seminarlehrern. — Die Weiterentwicklung des Seminars u. der Lehrerfortbikl. mit be- 
sond. Rücksicht auf die Mathematik: Die treib. Kräfte im Kampf um Seminar u. Leli- 
rerfortbildung. lieformideen. 

Landau, Edmund, Einführung in die elementare und analytische Theorie (ier 
algebraischen Zahlen und der Ideale. Mit 14 Fig. — VII + 143 pp. 8. 1918. 
M. 6: — . 

Element. Idealtlicorie. Analyt. Idealtheorie: Forlsetz. d. Dedekind'schen Zeta- 
funktion. Von d. WWzeln d. Zetafunkt. im kritischen Streifen. Der l'rimidealsatz. 
Verallgemeinerung d. Riemann — von Mangoldt'schen Prinizahlformel. Die Anzahl d. Ideale 
mit Norm x. Histor. Bemerk. Bemerk, zu d. einz. Paragr. 

LiETZMANN, W., Die Ausbildung der Mathematiklehrer an den höheren Schulen 
Deutschlands. (Berichte imd Mitteilungen, veranlasst durch die Internat. 
Math. Unterrichtskommi.ssion. Erste Folge. XI.)— 27 pp. 8. M. 0: 60. 1915. 

LiETZMANN, W., Riesen und Zwerge im Zahlenreich. Plaudereien für kleine und 
grosse Freunde der Rechenkunst. Mit 18 Fig. (Mathematische Bibliothek, 
hrsg. V. W. Lietzmann u. A. Witting. 25.) — r6 pp. 8. M. 0:80. 1916. 

Vom Zälilen. Zahlsysteme. Zählmaschinen. Vcranschaulichung grosser /ahlcn 
diircli Zeit u. Weg. Etwas vom Kechnen mit gros.«. Zahlen. Die grösste Zahl, die mit 



16 Bibliographic. 

drei Ziffern geschrieben werden kann. Von Primzahlen u. vollkomm. Zahlen. Noch 
einige Beispiele v. Zahlenriesen. Zahlenzwerge. Veranschaulicliung v. Zahlen durch 
Fläche u. Körper. Warum auch im Lande d. Riesen u. d. Zwerge mit gewöhnl. Zahlen 
gerechnet wird. 

Stäckel, Paul, Die mathematische Ausbildung der Architekten, Chemiker und 
Ingenieure an den deutschen Technischen Hochsciiuien. Mit einem Scbluss- 
wort zu Bd 4 von P. Stäckel. (Abhandlungen . . . der IMÜK. hrsg. von 
F. Klein, Bd 4, H. 9.) — VII + 198 pp. 8. M. 6:80 geh. 1915. 

Entwicklung u. Einrichtungen d. deut. Technischen Hochschulen mit besond. Be- 
rücksichtigung d. math. Wissenschaften: Entstehung d. deut. Techn. Hochschulen; 
Grundlinien ihrer Entwickl. im 19. Jahrhundert. AUgem. üb. die gegenwärt. Organisât, 
d. deut. Techn. Hochschulen. Allgem. üb. die Entwickl. d. math. Unterrichts an d. deut. 
Techn. Hochschulen: Abstraktformaler Betrieb; antimathematische Bewegung; weitere 
Schwierigkeiten: Ansätze zu einer besond. Hochschulmathematik. — Einzelfragen d. 
math. Unterrichts an d. deut. Techn. Hoclischulen: Die Vorbildung d. Studierenden. 
Die math. Ausbild. d. Architekten u. d. Chemiker. Die math. Ausbild. d. Ingenieure. 
Die Lehrbücher. Die Prüfungen. Die Lehrkörper. Anstalten, die zwischen d. mittl. 
techn. Fachschulen u. d. Techn. Hochschulen stehen. 

Stein, Alfred, Die Lehre von der Energie. Mit 13 Fig. 2:e Aufl. (Aus Natur 
u. Geisteswelt. 257.) — 130 pp. 8. M. 1:20 geh.; 1:50 geb. 1914. 

Einleit. Der Energiebegriff. jMechanische Energie. Wärmeenergie. Chemische 
Energie. Elektrische u. magnet. Energie. — Die Sonne als Energiezeutrum. Das Per- 
petuum mobile. Die Bewegung d. Energie. Schlussbetracht. 

Umlauf, K., Der mathematische Unterricht an den Seminaren und Volksschulen 
der Hansestädte. (Abhandlungen üb. d. math. Unterricht in Deutschland, 
veranlasst durch die IMUK, hrsg. von F. Klein, Bd 5, H. 5.) — 162 pp. 
S. M. 4: 80 geh. 1915. 

Vorw. Einleit. Geschichtliches. Die allgem. Organisât, d. Unterrichtswesens in 
den Hansestädten Hamburg, Bremen, Lübeck. Der Unterriclit in Rechnen, Algebra, 
Geometrie u. mathematischer Geographie an d. Volksschulen d. Hansestädte. Der Unter- 
richt in Rechnen, Mathematik u. math. Geographie an d. Lehrer- u. Lehrerinnenbildungs- 
anstalten d. Hansestädte. Vergleichende Zusammenfassung. — Die Laufbahn u. die 
Fortbild. d. Volksschullehrer in d. Hansestädten. Die Ausbild. d. Seminarlelirer. Sta- 
tistische Tafeln. 

Weinstein, M. B., Der Untergang der Welt und der Erde in Sage und Wissen- 
schaft. (Aus Natur u. Geisteswelt. 470.) — V + 107 pp. 8. M. 1:20 geh.; 
1:50 geb. 1914. 

Vorw. Vorbemerk., Einteilung d. Anschauungen. Verneinende Anschauungen. — 
Weltuntergang in Sage u. Mythe: Weltzeitalter u. Well Perioden. SintHutsagen. Welt- 



Bibliographie. 17 

zerstörungeu. Das jüngste Gericht. Eschatologie. Ekpjrosis u. Weltwandluug. — In 
der Wissenschaft: Inhalt d. Welt u. Art d. Unterganges, üb die Welt eudlicli ist. 
Astronomische u. geolog. Katastrophen. Auflös. u. Weiterbild. d. Welten nach Kant. 
Der Stott' u. seine Auflösungsmöglichkeit. Die Kräfte. Die Energie u. Strahlungen. 
Die Vorgänge, das eigeutl. Vergängliche. Die Zustände, Streben nach Beständigkeit. 
Der entropische Tod d. Welt. Wie verhält es sich mit dem Leben? 

Witting, A., Soldaten-Mathematik. Mit 37 Fig. (Mathematiscbe Bild. 22.) — 
61 pp. 8. M. 0:80. 1916. 

Einleit. Einfachste Zahlenbeziehungen. Das Schätzen v. Entfernungen. Das feld- 
mäss. Messen d. Entfernungen. Allgem. lib. innere u. äussere Ballistik. Der Luft- 
widerstrand. Die Entwickl. d. Infanterieschusswaffen. Die Bewegung d. Geschosses als 
Funkt, d. Zeit. Die ballistische Kurve. Das Zielen u. das Treffen. 



Nicola Zanichelli. 
Bologna. 

Enriques, Federicu, Lezioni sulla teoria geometrica delle equazioni e delle 
funzioni algebriche, pubbl. per Oscar Chisini. Vol. 2. — 711 pp. 8. 1918. 
Lire 25: — . 

3. La teoria element, delle curve plane basata sulla polarità: Polarita e curve 
covarianti. 11 probl. d. intersezioni e i carattori plueckeriani d. curve. La cubica 
plana. Realtà c continuitcà. Geometria numerativa. — 4. Le singolarità d. curve 
algebriche: Le singolarità c gli sviluppi in série di Puiseux. Le singolarità rispetto 
aile trasformazioni quadrat. Le singolarità risp. al calcolo differenziale. Singolarità d. 
curve gobbe e d. superficie. 

Pinciierle, Salvatore, Lezioni di Calcolo infinitesimale Dettate nella R. Uni- 
versità di Bologna e redatte per uso degli studenti. — XV + 774 pp. 8. 
Lire 25:—. 1916. 

Pref. Indice. Introduz : I nunieri e le operazioni. Gli aggregati lin. I liniiti. 
Gli aggregati nel piano e nello spazio. Le série. Esercizi. — Calcolo differenz.: Le 
funzioni di una variabile in senso gen. Le funz. element. Derivate e differenziali per 
le funz. di una variab. Ulter. proprietà d. funz. derivabili di una variab. Sviluppo di 
Taylor per le funz. di una variab. e sue applicaz. Funzioni di più variab. Funz. im- 
plicite. Sviluppo di Taylor per le funz. di più var. e sue applicaz. — t'alcolo integrale: 
L'iutegraz. definita. Calcolo d. integrali. Integrali generalizzati. Integraz. d. funz. di 
forma analit. semplice. L'iutegraz. nei campi a due dimens. L'integraz. multipla. -7 
Applicaz. geometr. del calcolo infinitesimale: Le curve plane. Quadratura e rettificaz. 
d. curve plane. Le curve sghembe. Le superficie. Volumi. Area d. superf. curve. — 
Equazione differenziali: (ieneralità. I teor. d'esistenza per l'cquaz. d. primo ord. Le 
equaz. d. primo ord. Cenno s. equazioni di ord. sup. Equaz. lineari. Cenni s. equaz. 
aile derivate parz. Esercizi. Nota A, B. 

Acta mathemiitica. U. Imiirimé le 28 août IIIIS. ""' -^ 



18 lubliograpliio. 

K. L. Beckmans Boktryckeri. 

Stockholm 1917. 

Stoltz, Gustaf, Utjäinning av sjutton svenska livförsäkringsbolags dödlighets- 
tabeller for läkareundersökta livförsäkrade. Verkst. pk uppgrag av Kgl. 
Försäkringsinspektionen. V + 210 pp. 8. 1917. 

Des reclierches prélimin. Ajustement de la mortalité, toutes observât, réunies, 
hommes, eu appliq. la formule de Makeham pour tous les ages, pour les ages depuis 
30 ans. Ajustement de la mortalité, assurances pour la vie entière, hommes, en appliq. 
la formule de Makeham, pour les ages depuis 30 ans. Ajust. de la mortalité, assu- 
rances mixtes, hommes, en appliq. la form, de Makeham p. 1. ages dep. 30 ans. Ajust. 
de la mortalité, assurances p. 1. vie ent., hommes, en appliij. la form, de Makeliam pour 
t. 1. ages. Calcul des l[x] + t- Déduction d. tables de commution. — Tablaux. 



Tipografia de G. Casanal. 

Zaragoza. 

Galdeano, Z. G., de, Las construcciones matemâticas adaptadas al complemento 
de anâlisis infinitesimal. (Fac.-ultad de ciencias de Zaragoza. Curso de 1916 
a 1917.) — 76 pp. 8. 1916. 2 Peset. 

-, Nociones de critica matemâtica, publ. en la Revista de la Academia de 

Ciencias Exactas, Fis.-quim. y Nat. de Zaragoza. (Giirso de extension uni- 
versitaria. 1916-17.) — 76 pp. 8. 1916. 2 Peset. 

, Correlaciones matemafeico-fisico-quimicas. Lccciones expl. en 1. cursos espe- 

ciales y de ampliaciôn organiz. por la Junta d. 1. Facultad de Ciencias de 
Zaragoza 1915 — 16. — 88 pp. 8. 1916. 2 Peset. 

, La Ciencia, la Universidad y la Academia. Discurso, leido por su prési- 
dente, en la sesiôn inaug, 28 Mayo 1916. (Academia de Ciencias exactas, 
fis.-quim. y nat. de Zaragoza.) — 32 pp. 8. 1916. 



Ingenieur G. Morâvek. 

Prag. (Selbstverlag.) 

Morâvek, G., Allgemeine Beweise der Gültigkeit les letzten Fermatsclien Satzes 
über die unbestimmte Gleichung z" = x" + y". Mit Ergänzungen. — 2 pp. 
8. 1917. 

, Allgemeine Beweise der Gültigkeit des letzten Fermat'schen Satzes. . . 1 p. 

8. 1918. 



Bibliographie. 19 



Washington Government Printing Office. 

United States Life Tables 1910. Prep, under the supervision of Prof. James W. 
Glover of the Univ. of Michigan. (Departement of commerce. Bureau of 
the Census. Sam. L. Rogers.) — 65 pp. 4. 75 ets. 1916. 

Circular of Information concerning Census publications 1790 — 1916. (Department 
of commerce. Bureau of the Census. Sam. L. Rogers.) — 124 pp. 8. 1917. 

Introd. Descriptive list of publicat. classified accord, to subject: Population. Occu- 
pations. Dependent, defective, a. delinquent classes. Vital statistics. Mariage a. divorce. 
Religious bodies. Agricult. Manufact. Mines a. quarries. Wealth, debt a. taxation. 
Statistics of stales a. cities. Electr. industries. Transportation. Fisheries. Federal 
employees. Cotton a. cottonseed. Tobacco. Forest prod. Wage earners a. wages. 
Real-estate mortgages. Insurance, hidians. Negroes. Alaska. The Philippines. Cuba. 
The Census Bureau. Miscell. Chronolog. list of i)ublicat. Appendix. 



Ci^ 



SUR LA RÉGULARISATION DU PROBLÈME DES TROIS CORPS. 



T. LEVI-CIVITA 
à Pauoue. 

Les équations différentielles du probk'nie des trois corps, dans une quel- 
conque de leurs formes classiques, se comportent régulièrement tant que les 
positions des trois corps sont distinctes, mais présentent des singularités s'il 
arrive que la limite inférieure des distances mutuelles soit zéro (chocs). L'analyse 
de ce qui se passe au voisinage d'un choc a été dans ces dernières années l'objet 
de maintes recherches visant d'abord (Painlevé,' Levi-Civita,* Bisconcini,' 
SuNDMAN^) à caractériser les conditions qui doivent être remph'es par les don- 
nées initiales pour que deux des trois corps, ou tous les trois, se choquent au 
bout d'un temps fini. 

Ces premiers succès ont conduit à penser que les singularités analytiques 
correspondant au phénomène d'un choc ne soient pas si redoutables qu'on aurait 
pu le craindre. C'est ainsi qu'en 1906, en remaniant, d'après une aimable invita- 
tion de M. Mittag-Leffler, mon étude citée tout à l'heure sur le cas particulier 
du problème restreint, je suis parvenu à faire disparaître toute singularité par 
un changement tout à fait élémentaire de paramètres, et cela sans altérer la 
forme canonique des équations.^ 



' »Leçons etc., professées à Stockholm» (Paris: Hermann, 1897), pp. 582 — 586. 

• »Traiettorie singolari ed urti nel problenia ristretto dei tre corpi», Annali di Matenmtica, 
Ser. III, T. IX, 1903, pp. 1—52. 

•■' »Sur le problème des trois corps», ces Acta, T. 50, 1906, pp. 49 — 92. 

' »Recherches sur le problème des trois corps», Acta Societatis Scientiaruni Kcnnicae, 
T. XXXIV, n° 6 (Helsingfors. 1907). 

* Dans ce journal, T. 30, pp. 305 — 327. Il convient d'avertir que, dès 1895, N. Thiki.k, dans 
ses »Recherches numériques concernant les solutions périodiques d'un cas spécial du iiroblèmo 
des trois corps» [Astronomische Nachrichten, B. CXXXVIII, pp. i — 10] avait in<li(iné une trans- 
formation régularisante du problème restreint, moins simple que la mienne, mais enil)rassant 
à la fois les deux masses finies. Il s'en est servi heureusement dans ses calculs, sans en faire 
toutefois ressortir, même en passant, l'intérêt spéculatif. 



100 T. Levi-Civita. 

M. Sundman' a découvert ensuite une régularisation du problème général, ' 
d'où la conclusion, mémorable au point de vue de l'analyse, que toute solution 
((juelles que soient les circonstances initiales) peut être représentée par des dé- 
veloppements toujours convergents. Cejjendant la dite régularisation est atteinte 
d'une manière indirecte, par l'introduction d'un nombre assez grand d'auxiliaires 
et en sortant du cadre des équations de la dynamique: circonstance assez gênante, 
puisqu'il n'est plus permis (du moins sans discussion préalable) d'appliquer au 
système régularisé ni les résultats théoriques, ni les méthodes de calcul de la 
mécanique analytique. 

Pour le problème plan il m'a été aisé de réaliser- une véritable régulaiûsa- 
tion dynamique, en généralisant (avec traitement symétrique des trois corps) la 
transformation (ponctuelle) 

X + îy = (i' + il])- {i = l — I ) , 

employée pour le problème restreint. 

Le problème dans l'espace a longtemps résisté à mes efforts, tant que 
j'essayais de l'aborder par des semblables changements de coordonnées. Les 
transformations canoniques usuelles se rattachant au mouvement elliptique ne 
régularisent pas non plus. Mais on peut en trouver d'analogues, une notamment 
bien simple, suggérée paT le mouvement parabolique,^ rendant tout holomorphe 
au voisinage d'un choc binaire.' 

L'éminent Directeur des Acta a bien voulu me demander un exposé détaillé 
de ce dernier résultat. Voilà l'origine et le but du présent article. Pour en 
faciliter la lecture, j'y ai lepris tout ce qu'il faut connaître des travaux antérieurs. 

On trouvera, dans un premier chapitre, soit des prémisses formelles, peur 
la plus part classiques, un petit peu rajeunies par un usage (d'ailleurs très 
discret) des notations vectorielles; soit quelques lemmes, dus à M. M. Paiklevé 
et Sdndman, qui précisent au sens de l'analyse les circonstances essentielles des 
chocs, et permettent d'exclure l'éventualité d'une collision générale dès que le 
moment résultant des quantités de mouvement ne s'annule pas.'' 

Le second chapitre débute par l'intégration, moyennant la méthode de 
Jacobi, des équations du mouvement parabolique (d'un point soumis à l'attrac- 



' »Mémoire sur le problème des trois corps», ces Acta, T. 56, 1912, pp. 105 — 179. 

'' Rendiconti dei Lincei, vol. XXIV (2e semestre 1915), pp. 61 — 75, 2^5 — 248, .)2i — 455, 
4X5—501, 555—569. 

" Ibidem, vol. XXV (premier semestre 1916), pp. 445 — 458. 

' Comptes Rendus de l'Académie des Sciences de Paris, t. 162, 1916, jip. 025 — 629. 

■' Cette exclusion fut connue par Weierstb.^ss, ainsi qu'il résulte dune lettre adressée à 
M. MittagLkfflkk et publiée dans ce même recueil (voir »Zur Biographie von Weierstrass», 
'J-'- 35, i9n> p. 50)- 



Sur la régularisation du problème dos trois corps. 101 

tion d'un centre fixe, dans le cas particulier où s'annule la constante des forces 
vives). On en tire une transformation canonique (apte à régulariser le voisinage 
d'ini choc dans le problème des deux corps), et on fait l'étude de ses élégantes 
propriétés géométriques et cinématiques. La considération du mouvement para- 
bolique fournit en outre l'occasion pour construire une seconde transformation 
canonique, qui à la vérité n'a rien à faire avec notre régularisation; mais ne doit 
pas être négligée, puisqu'elle introduit un système canonique d'élévienfs paraboli- 
ques, pouvant rendre de très bons services f)our la détermination des perturba- 
tions d'une comète. 

Après avoir préparé de la sorte tous les éléments nécessaires, j'explicite, 
dans le troisième (et dernier) chapitre, la régularisation canonique du problème 
des trois corps au voisinage d'un choc binaire, dont sont des corollaires immé- 
diats: la continuation analytique du mouvement au delà des chocs éventuels, 
à laquelle se rattache l'heureuse explication mécanique de M. Aemellini'; la 
représentabilité, sans aucune restriction, des coordonnées cartésiennes des trois 
corps par des séries convergentes pour toutes les valeurs réelles d'un paramètre 
convenable r; enfin la possibilité d'introduire, dans le système différentiel canoni- 
que qui définit le mouvement, à côté de la variable indépendante / , des fonc- 
tions inconnues telles que le système, tout en restant canonique, se comporte 
régulièrement (non seulement au voisinage d'un choc prefix, mais) toujours, 
c'est-à-dire pour tout état de mouvement qui puisse être effectivement rejoint à 
partir d'un état initial quelconque. Il resterait à indiquer un choix approprié 
de ces paramètres: question inessentielle, je voudrais presque dire de vernissage 
formel, mais que je me permets quand même de signaler au lecteur. Pour ceux 
qui aiment les calculs élégants et les analogies mécaniques, la matière ne paraît 
pas sans attraits; du moins à en juger d'après le cas particulier du problème plan, 
où la dite spécification donne lieu [citation 2 de la page 100] à des rapproche- 
ments inattendus avec d'autres systèmes dynamiques exemptes de singularités 
dans le champ réel (tel notamment un solide pesant fixé par un de ses points). 

En revenant à la simple régularisation locale du voisinage d'un choc qui 
va être développée ici, il y'a lieu d'ajouter qu'elle prêterait à reprendre, par 
des calculs peut-être plus commodes et plus symétriques, la détermination effec- 
tive des deux relations invariantes caractéristiques d'un choc, déjà traitée par 
M. BiscoNCiNi [citation 3 de la page 99]. On pourrait s'en attendre un avan- 
tage analogue à celui que j'ai mis en évidence pour le problème restreint [cita- 
tion 2 de la même page]. 

' »Estensione délia soluzione del Sundmas dal caso di corpi ideali al caso di sferette 
elastiche oniogenee», Kendicoiiti dei Lincei, vol. XXIV (premier semestre 1915), pp. 185 — 190. 



102 T. Levi-Civita. 

En terminant, je voudrais souligner l'importance de la régularisation aussi 
à un point de vue plus général. Il me suffit pour cela de faire remarquer que 
la régularisation préalable d'un système différentiel est indispensable pour péné- 
trer intimement dans l'allure générale des solutions et dans la distribution des 
solutions périodiques. Justement dans cette voie, ouverte par Poincaré, sem- 
blent devoir maintenant s'engager de préférence les efforts des géomètres.' 



CHAPITRE I. 

Relations formelles — Quelques résultats dus à M. M. Painlevé 

et Sundman. 

I. Préliminaires. 

Soient P,.(i' = o, i, 2) trois points matériels; »/(,, leurs masses; G leur centre 
de gravité. 

Introduisons les trois vecteurs - 

(i) R,. = P,.-G (,. = 0,1,2) 

et leurs différences 

/•0 = P, — P, = Ä, — A, , r, = P,j — P, = /?„ - Ä, , r,=^P,— F, - fl, — fi„ 

correspondant aux trois côtés du triangle P^P^P.,. 

En regardant équivalents les indices ,■ (tels que et j, i et 4), qui diffèrent 
entre eux d'un multiple de 3, on peut évidemment condenser la définition des 
r,. dans la formule cyclique 

(2) /'„ = P,„ + 2-P„+i =/?„ + .,-/?, + , (r = o,i,2). 

En additionant on a l'identité (géométriquement évidente) 

(3) 



VI 

>!■/•,. = O. 



' Tout récemment des résultats extrêmement remarquables ont été obtenus par M. Birk- 
HOFK dans ses beaux mémoires: 

»The restricted problem of the three bodies», Kendiconti del Circoln Matematico di l'a- 
lernio, T. XXXIX, 1915, pp. 265 — 554; 

»Dj'naniical systems with two degrees of freedom». Transactions of tlie .\merican Maihe 
niatical Society, vol. XVIII, 1917, pp. 199— 5«!. 

Pour abréger l'écriture, je vais avoir recours aux tout premiers éléments du calcul 
vectoriel en suivant les notations de ^I. M. I5cr.vi.i Fokïi et Marcoi.oxgo. Voir leurs »Eléments 
de calcul vectoriel» (édition fran(,-aise par S. Lattes, Paris: Hermann, 1910) 



Sur la régularisation du problème des trois corps. 103 

Il convient d'ajouter qu'aussi les vecteurs R, sont liés par une relation linéaire. C'est 

(4) 2>'m,. ff,. = 0, 



exprimant que G est le centre de gravité des trois point matériels P,.. 

En faisant système des (2) et (4), on peut inversement exprimer les R, à 
l'aide des /•,,. Partons pour cela de (4), en l'écrivant 

m,. Ä,, + m,. + i ffv+i + mr+-2Rv+> = 0, 

et lui attribuant ensuite la forme équivalente: 

M R, + 7n,+ i{R,+ i — R,.) + ?H,, + 2(fl,, + ., — R,) =0, 
où 

(5) M = m„-i vil + r»2 

désigne la masse totale du système. D'après les formules (2) elles-mêmes, on en 
tire la résolution annoncée 

(()) M R„ = mr + -2r,.+ i — m,.+ ir,. + o (j' = o,i,2). 

Il nous sera commode de poser 

|Ä,| = Ä,,, \r,\ = r,. ()' = o, I, 2), 

c'est-à-dire d'indiquer par B,. la distance G P,., par r,. la distance i',.+iPr+2- 

2. Forimiles de Lagrange. 

Soit P un point quelconque de l'espace, 

G — P = (/ 

le vecteur allant de P au barycentre G. 
On a évidemment 

P.. — P = (Pv — G) + (6' — P) = Ä, +rf. 

Formons le moment d'inertie (polaire) du système des trois points P,., par 
rapport à P. C'est par définition 

(7) Jp = %■ m.PK'= %■ m,. (P,. - P) X (P,. - P) = 2" "î" (f'- +d)X (R. -f d) 
I) 

(où X est le symbole de produit scalaire), se réduisant à 



104 T. I.cvi-Civita. 

J = 2" "îv RI 



lorsqu'on fait coïncider P avec le centre de gravité G. 

Développons le produit scalaire dans la dernière expression de J p, en 
tenant compte de (4), (5), et en désignant par d la distance PG. Tl vient immé- 
diatement 

Jp=J + Md', 

formule bien connue de Lagrange, valable en général pour un nombre quelconque 
de points matériels. En faisant coïncider P avec P,., elle donne en particulier 

»«,.+ ] rl + -2 + ?H,. + or;.+ i = J + M Bl. 

Multiplions par ~ et additionnons par rapport à )' (c'est-à-dire à trois valeurs 
consécutives de v) en écrivant 

(8) mi== -j^ (r = o, I, 2) 

On obtient la relation remarquable 

(9) J = ^l' m,, i?,-. = ^v m* r'I , 



due également à Lagrange. 

3. Expression de la force vive signalée par R. Bail.' 

Considérons un mouvement quelconque des trois points P„, rapporté au 
centre de gravité G, c'est-à-diro à trois axes l'ectangulaires de direction in- 
variable ayant l'origine en G. Les vecteurs R,. sont fonctions du temps t, et 
la vitesse de P,. par rapport à G n'est autre que 

(10) . I^, = R,, 

en désignant avec un point superposé la dérivation par rapport à /. 

La force vive du système (le repère étant toujours en (?) est par définition 



' Voyez par ex. E. J. Kowtii, »Treatise on the dynamics of a system of rigid bodies (ele- 

montary part)» [sixième éilition, T.dnilon: Macmillan, iSg;], § .(24. 



Sur la nVularisation du prubleme des trois corps. 105 

V,, représentant la longueur du vecteur /,. (vitesse en valeur absolue). 

Introduisons d'autre part les mouvements relatifs de nos points, et précisé- 
ment (pour r = o, I, 2) de P, + 2 par rapport à P,. + i. 

La vitesse relative correspondante, c'est-à-dire 

(11) .„-/, + ,-/.. + , 

ne diffère pas de r,. d'après (2): sa longueur sera désignée par v,.. 

Ceci posé, on remarque: 
!*> que les vecteurs /,. = À,,, 1/, = r,. sont lies jDar les mêmes relations linéaires ^ 

(2) et (4) notamment — existant entre les vecteurs R,, r,,; 
2'> que, si dans la formule (7) du n" préc. définissant Jp, on remplace R, et d 

par leurs dérivées R, = /, et d, en désignant le premier membre par 2 ip, 

on obtient 

2T:p='^^'m,{y. + d)x{y,. + d), 



d'où en particulier, pour P coïncidant avec G (ce qui entraîne (/=-«). 



Il s'en suit que. moyennant les mêmes passages formels conduisant de (7) à 
(9), on a 

(12) î = - 2*' "*>■ V''"^ ' 2'' ^** '^^' • 



4. Autre expression de la force vive (remontant à .hieohi). 

Il nous sera parfois avantageux dans la suite d'avoir recours à une forme 
mixte de î, où interviennent une seule des vitesses relatives, soit la vitesse v,. 
du corps P, + 2 par rapport à P, +1, et la vitesse absolue Fv du troisième corps P,.. 

Pour y parvenir, il suffit de remplacer, dans la définition directe de I 
(valable quel que soit r), 

î = [m,. VI + nir + i V;.+ 1 + w, +2 !'■■ + ■.•; , 

.Ulli iiuillii-miüirii. 42. Imprimé le 2:t uuvemliri- I91S. Il 



106 T. Levi-Civita. 

y,+i et y, + -> en fonction de v,. et 1/, . C'est bien aisé, puisque ces quatre vec- 
teurs sont liés par deux relations. L'une d'elles n'est que (ii), c'est-à-dire 

l'autre, se déduisant de (4) par dérivation, exprime la circonstance évidente que 
la vitesse du barycentre (par rapport à des axes ayant l'origine dans le bary- 
centre lui-même) s'annule; et s'écrit 

VI,. y,. + m,.+ i K,.+ i + m,. + 2 ^,+2 = o. 
Il s'en suit 

\{mr + i + m-r + o) yy + 2= niy + iv,, — m,, y,., 
d'où, par substitution matérielle dans Vl+\= y, + i X l^v+i et F? + 2= ^r + iX <',+2, 



w,. + i Vl+\ + m,, + 2 Vl + 2= , (m,.+ im,. + 2rv + m;. V;.), 

w,.+i -I- jn,. + 2 

et par conséquent (en introduisant ceci dans l'expression de X et en associant 
les deux termes semblables en VI) 



(14) ^ = 3(m;+rT«»..+2)^'""^'"^''^^"^ + ^'""^'^>- 

C'est substantiellement la forme attribuée à la force vive par Jacobi (dans 
sa réduction du problème des trois corps) et devenue ensuite classique.^ Il y «v 
seulement une différence inessentielle consistant dans ceci : au lieu que la dérivée 
y,, de R„ = P,. — G {G barj'centre des trois points), on fait apparaître ordinaire- 

31 

ment la dérivée du vecteur proportionnel R, admettant également 

m,.+ i + wiv + 2 

une interprétation géométrique très simple. En effet, si l'on indique par 6', le 

centre de gravité du couple P,+ i,P,. + 2, on a évidemment 

M 

R,.=^P,-G,. 



mv+i -H ïWy+2 



' Voir par exemple Charlieu, »Die Mechanik des Himmels«, B. I. [Leipzig; Veit, 1902] 
l'P- 257— 2.)i; ou bien Poixcaré, >Leçons de mécanique céleste», T. I. [Paris: Gauthier-Villars, 

'9<^)L PP- 34— -ti- 



Sur la régularisation du iirohleiiiL' des trois cori)». 107 

5. Moment résultant des quantités de niouvenieut. 

Comme la résultante des quantités de mouvement (rapportées au harycentre) 

n 

est nulle d'après (4), le moment résultant K est indépendant du centre de réduc- 
tion. En le prenant en G, on a par définition 

(15) /r=2»'Ä..Am„/v 



(A symbole de produit vectoriel). 

Remplaçons R, par sa valeur (6), et développons le produit vectoriel en 
affectant le facteur /,. de tous les coefficients numériques. Le second membre, 
eu égard à (8), devient 

y^rr,. + i A m*+i y,. — y^-r, + 2 A m,*+2 1^,, 

(I 

ou bien, pourvu qu'on change, dans la première somme, r en r ! 2, dans la 
seconde, r en v + i, 

2"/-.. A 7«? (/,. + ,-!',,+ ,). 


11 on résulte, d'après (11), 

2 

(16) K=^vr, /^mtv,., 



qui exprime le moment K sous forme relative symétrique, tout à fait analogue à 
la forme usuelle (15). 

Nous allons en tirer une limitation remarquable pour le produit Jî. 
Observons d'abord: 
1" que la longueur du produit vectoriel /•,. A m*/,, ne dépasse pas le produit 

(arithmétique) wi* /•,.?;,, des longueurs des facteurs; 
2^ que la longueur K du vecteur K ne dépasse pas la somme des longueurs di- 
ses termes, d'où 

'S^■rn*rt.v,. > K. 



108 'f- Levi-Civita. 

D'ailleurs l'identité bien connue, consistant à égaler lu carré de la matrice 

Kw?o î"(i ■ Vm* vi l' mi v-> 



au déterminant 




2 



qui s'obtient [en tenant compte de (9) et (12)] par la multiplication des horizon- 
tales, nous assure que ce déterminant est >o. On en tire 



2J2> 



{ 2»' Wî* l'v V,. 
\ 



d'où l'inégalité 
(17) 



2J%>K-, 

qui va nous servir essentiellement au n° 11. 



6. Fonction des forces dans le problème des trois corps. — Équations vec- 
torielles du mouvement. — Intégrales classiques. 

Supposons que nos trois points matériels — on dira corps suivant l'usage — 
s'attirent mutuellement suivant la loi de Newton. Soit / la constante de gravi- 
tation universelle. Avec les notations précédentes la fonction des forces s'écrit 



(18) 

ou, si l'on veut, 



\ ''o 



J, ^ . / m,+im, + 2 Wf + affly »»v »h,. + 1 \ 



JV + l »■r + 2 / 

valable quelle que soit la valeur de l'indice y; ou encore, d'après (8), 



(18") 






Sur la ivgularisatioii du iiroblènio des trois corps. 109 

Ou représente par 

gradp II 

le vecteur qui a pour composantes les dérivées partielles de II par rapport aux 
coordonnées de P,.; ou si l'on veut (sous forme indépendante du S3'stème de 
référence) le vecteur tel que, pour tout déplacement infiniment petit rfP,, on ait 

gradp U X cZP,. == différentielle partielle de 11 (se rapportant à la variation 
du point P,.). 

Quelle que soit la définition préférée, grad^, U représente la force sollicitant 
P,., et l'on a 

2"gradp_ UXcZP,. -cHl, 



d\\ étant la différentielle totale. 

L'expression explicite de gradp U se déduit immédiatement des (iS) et (2). 
Elle est 

Comme le système des trois corps n'est soumis à aucune force extérieure, 
le mouvement (absolu, au sens mécanique du mot) du barycentre G est rectiligne 
et uniforme, et les choses se passent au point de vue dynamique comme si G 
était fixe. 

On a en conformité les équations vectorielles du mouvement 

(20) î/tv l^t = m,, ft, == gi"àdj, U ( )' = o, 1 , 2) . 

Les intégrales des quantités de mouvement reviennent au principe (déjà 
utilisé) de la conservation du mouvement du centre de gravité. Quant aux 
autres intégrales classiques, celles des aires se résument dans la constance du 
vecteur K défini par (15) [ou (16)], et l'intégrale des forces vives s'écrit 

(21) î — U = £', 

i et U a3'ant été explicitées sous plusieurs formes différentes, et E, constante 
pendant le mouvement, s'interprétant comme énergie totale du sj'stème. 



110 T. ],L'vi-( ivita. 

7. Yiriel. 

8i l'on dérive par rapport à i la première expression (9) de J , eu rempla- 
çant R, par V,, on a 

2 
^ j= yvmrV,.xR,., 

d'où, en dérivant une seconde fois, 

^ J = 2" »».' v> X /,. + ^'' '«'■ *'-• X Ä.. . 

"0 

Le premier terme du second membre, à cause de (12) nest que 2I . Le 
second, en ayant égard à (20), s'écrit 

^v gradp 11 XÄ,.: 


c'est ce qu'on appelle le viriel de notre système matériel. 

Dès qu'on pense 11 comme fonction homogène de degré — i des coordonnées 
des points P,,, rapportées au centre de gravité G, on reconnaît, en appliquant 
le théorème d'EuLER, que le viriel ne diffère pas de — Il . On a par conséquent 
la relation 

(22) ^J=2Î-U, 

qui remonte, elle aussi, à Lagrange et joue, comme nous le verrons, un rôle 
fondamental dans les considérations des n<" 10 et 11. 

S. Premier corollaire du théorème géuéral d'existence. 

Supposons que la constante E ait une valeur fixée d'avance (et d'ailleurs 
quelconque). Si à un instant donné t les positions des trois corps sont distinc- 
tes de sorte que la fonction des forces U a une valeur finie, le mouvement se 
poursuit régulièrement pour une durée T non nulle.* Si l'on sait auparavant 
que U ne dépasse pas une certaine limite II, on peut affirmer que 

T>T, 



' Jo me borne, pour fixer les idées, aux valeurs croissantes de la variable indépeudaute t 
(futur). Il n'y aurait lien à t'hanger dans les raisonnements et dans la conclusion, si l'on envi- 
sageait des valeurs décroissantes (passé); ou bien, crnissanles et décroissantes à la fois. 



Sur la rpgularisatinn du prolilème îles trois corps. 111 

en désignant par T une quantité positive, dépendant exclusivement de 11 (des 
masses et de E). Pour la démonstration il convient de s"appuyer sur les équa- 
tions de mouvement {20), en les envisageant comme un système 

(20') R, = V,, w,K, = gradpU 

du premier ordie par rapport aux vecteurs R, , V,., c'est-à-dire par rapport à leurs 
18 composantes. 

Dès que II ne dépasse 11, on peut assigner une limite supérieure aux seconds 
membres. C'est ce qui résulte, pour le premier groupe, de l'intégrale des forces 
vives, qui donne pour X la limite supérieure \\ + E , d'où l'on tire, à cause de 
l'expression {12) de I, qu'aucune des composantes de V, ne peut dépasser 



w^ 



Il I ET j 

• Quant au second groupe des (20), la limite supérieure d'une com- 
posante quelconque de grad^ Il apparaît des (19), en remarquant que, d"après 
la forme de 11. ne peut pas dépasser , . Ces seconds membres sont 

d'ailleurs des fonctions régulières (des composantes des /,■ et des Ä,.), tant que 
les distances mutuelles ne s'annulent pas: en particulier donc tant que U<U. 

Dans ces conditions le théorème classique d'existence nous assure que les 
intégrales de (20'), à partir d'un instant t et d'une position pour laquelle II < 11, 
restent régulières pendant un intervalle de temps non nul. Le même théorème 
assigne en surplus à cet intervalle une durée minimum T ,^ qui dépend en général 
des positions et des vitesses se rapportant à l'instant t. Toutefois — c'est le 
corollaire qui nous intéresse — T admet nécessairement une limite inférieure non 
nulle T , dépendant exclusivement de 11 (et des autres constantes qui interviennent 
dans la question, comme E et les masses). 

On s'en rend compte d'après un raisonnement bien connu, en essaj-ant 
d'admettre le contraire, c'est-à-dire que la limite inférieure T soit nulle. Il 
existerait alors, dans l'ensemble des conditions initiales satisfaisant à la restric- 
tion U<U, un système régulier de positions et de vitesses au voisinage des- 
quelles la limite inférieure de T serait encore nulle. Mais à ce système lui-même, 
et à tout son voisinage, on peut coordonner, d'après le théorème d'existence 
rappelé tout à l'heure, un intervalle de régularité non nul: la limite inférieure T 

de T ne peut donc pas être nulle. 

C. Q. F. D. 

^ .fe veux dire une durOe < ii I inlervallo. 



112 T. Levi-Civita. 



Deuxième corollaire. 



Considérons le mouvement des trois corps à partir d'un instant initial <„, 
pour lequel nous supposons tout régulier. Ou bien le mouvement se poursuit 
régulièrement pour toute valeur de t>t„, ou bien il y a un premier instant /, 
tel que le mouvement, étant régulier à l'intérieur de l'intervalle (<„, ti), cesse de 
l'être i^our t=^ty. Nous désignerons par /' un instant de l'intervalle {<o> 'i)i si 
proche que l'on veut à t^, mais antérieur à /, . 

D'après ce qui précède, la limite supérieure de II, finie dans tout intervalle 
(l^, t'), doit être infinie pour l'intervalle (<„, t^): autrement le mouvement serait 
régulier même au delà de /,. 

On peut en déduire — c'est ce que j'appelle le deuxième corollaire — qu'on 
a plus précisément 

(23) lim II = + 00 . 



i = ti 



En effet, si 11 n'admettait pas la limite +00 pour t = t^, il existerait des 
instants t' , si proches que l'on veut à t^, pour lesquels U serait plus petite qu'une 
valeur U assignée d'avance. Alors le mouvement se poursuivrait régulièrement 
jusqu' à t' -V T [T dépendant exclusivement de U, ainsi qu'il a été dit au n" préc), 
et par suite (puisqu'on peut supposer t' infiniment peu différent de <,) même au 
delà de /1, ce qui contredit à l'hypothèse. On a donc bien la propriété ex- 
primée par (23). 

10. Existence d'une limite pour J. — Les deux seules formes de sinirularités 
possibles: choc binaire et collision generale. 

La formule (22), en y remplaçant î par sa valeur déduite de l'intégrale des 
forces vives, s'écrit 

^4f = U + 2S. 

2 dt 

Dès que t est assez proche à ^1, le second membre devient et demeure posi- 
tif à cause de (23). J {t) va donc en croissant avec t, et tend par conséquent 
à une limite finie ou bien à + 00 pour 1 = 1,. En tout cas ,/ garde le même 
signe, pour t assez proche à <,: cela est évident si la limite de J n'est pas zéro; et 
si elle est zéro, il suffit d'observer que J y converge en croissant, et prend en 
conformité des valeurs toujours négatives à gauche de /, . 



Sur la régularisation du iiroblùme des trois corps. 113 

Il s'en suit que la quantité positive J tend elle-même vers une limite posi- 
tive ou nulle. On doit justement distinguer ces deux éventualités: 

1° . lim J=Ji>o. On a alors un choc binaire; des trois distances, une et une 

seulement tend vers zéro. Pour le constater, on remarque d'abord que, Il 
croissant indéfiniment, la plus petite des distances mutuelles tend nécessaire- 
ment à zéro. Il reste à s'assurer que cette distance minimum est toujours 
la même, ce qui réussit par réduction à l'absurde. En effet, s'il n'en était 
pas ainsi, il existerait, si près de t^ que l'on veut, quelque instant t' tel que, 
avant et après i' , la plus petite distance serait représentée par deux diffé- 
rents côtés du triangle des trois corps: par ex., par r, avant et par j-j après. 
Alors, pour t = t', ces deux distances seraient égales, et infiniment petites 
avec i, — t'; il en serait de même de la troisième (qui ne peut pas dépasser 

leur somme), et aussi par conséquent de J=^^vmtrl, ce qui ne peut pas 



arriver dès que lim J>(). 

i = u 

Soit précisément r,. la distance tendant à zéro, ce qui correspond à un 
choc entre P,.+ i et P^ + i- Il convient de retenir que r,.+ i et ry + o tendent 
l'une et Vautre vers une même limite non nulle. En effet, puisque la diffé- 
rence |r,.+ i — rr + 2| ne peut pas dépasser ?-,., on a en premier lieu 

lim(r,+ ,— r, + 2) = o. 
' = '■ 

D'autre part, vu que r,. tend vers zéro, on a, de la seconde expression (()) de J , 
lim («i*+ 1 ) 1+ [ + m* + 2 rl + 2) = lim J ^- J ^ > o, 

d'où l'on déduit 



lim ?-,"+ 1 = lim rl + o = , 

/ = /, / = /, m,.+ i + m, + -. 



C. Q. r. D. 



lim J = 0. 

t-t\ 

L'expression de J invoquée tout à l'heure montre que, avec J , toutes 
les distances mutuelles convergent vers zéro. 

II s'agit dans ce cas d'une collision générale, les trois corps tendant à 
se choquer en G (d'après la première des expressions (g) de J). 

H convient d'ajouter que, J tendant à zéro, la limite do J est né- 
cessairement une quantité finie <o. En effet J converge à sa limite en 

Ada matliemalicii. -li. Imprimé \c 23 novembre 1018. '•' 



114 T. I.evi-Civitii. 

croissant. Donc, en premier lieu, cette limite ne saurait être — oc ; mais 
elle ne peut être non plus >o, car alors il en serait de même de j , pour t 
assez proche à t^; et J irait en croissant, tandis qu'il tend justement vers 
sa valeur minimum zéro. 



II. Exclusion des collisions générales d'après M. Sandman. 

, . , , , d J -, 

On a reconnu au n" precedent que, pour t assez proclie a ^i, ., garde 

toujours le même signe. Il est partant loisible d'introduire J à la place de / 
comme variable indépendante. 
Puisque on a 

d j _ jd j I d ij 

dr ^(ij~2 d'j'^'' 

on tire de (22), en éliminant cette fois 11 moyennant l'intégrale des forces vives, 

4 dJ 

Ceci posé, tirons quelques conséquences de l'hypothèse que la singularité 
de l'instant t^ soit une collision générale: J tend alors à zéro lorsqu'on fait 
tendre t h t^. 

Multiplions par dJ la formule écrite tout à l'heure, et intégrons depuis 
l'instant initial i„ jusqu'à un t<t^, mais très voisin à /,, c'est à-dire depuis la 
valeur initiale J„ de J jusqu' à une valeur J très petite, mais encore > o. 

11 vient (avec une signification évidente de J„) 

J 

^ (J'—Jl)+E(J,-J)= ildJ. 
4 , ' 

./,1 

Lorsqu'on fait tendre t à /, , et par suite J à zéro, J a une limite finie, 
bien déterminée (voir la remarque finale du n" précédent). Il en est donc ainsi 

./ 

du premier membre, et par conséquent aussi de l'intégrale | IdJ. C'est comme 

J« 
dire que la fonction î est intégràble jusqic à J = 0. 
Or on a, d'après (17), 

^ O ■'^ / ' 



Sur la régularisation du iiroblciiic des trois corps. 115 

ce qui revient à dire que, si K était une constante non nulle, î deviendrait in- 
finie, pour J = o, d'ordre non inférieur à l'unité, et alors elle ne serait point 
intégrable jusqu'à J=o. 

La contradiction disparaît seulement en supposant que K soit nulle. La 
condition K = o est donc nécessaire pour que les trois corps puissent se choquer 
tous les trois dans un même point géométrique. C'est le beau lemme de 
M. SuNDMAN, établissant, si l'on veut, que, lorsque le moment résultant des qnan- 
tiics de mouvement ne s'anmde pas, la seule singularité qui puisse se présenter dans 
le prohlhne des trois corps est un choc binaire. 



12. Voisinage d'un choc binaire 7', + i, P, .; >. Spécifications se rapportant à F,.. 

On a vu au n" lo que, dans le cas d'un choc binaire entre Pr+i et Pv+2, 
le troisième corps P,. reste à une distance finie — je veux dire ayant une limite 
inférieure >o — soit de P,.+ i que de P,+2- Il s'en suit que la force d'attrac- 
tion newtonienne 



gradp^ Il = fmr |-;j-- /-,+0— ^— /•„ + i| 



subie par P„ demeure bornée. 

Comme le mouvement du système est régulier, depuis l'instant initial, pour 
tout t<ti, la force qu'on vient d'expliciter peut être envisagée comme une fonc- 
tion (vectorielle) de t, holomorphe pour t<t^, et en outre certainement bornée, 
lorsque t s'approche indéfiniment de ;, . Une telle fonction est bien intégrable 
(depuis l'instant initial t^) jusqu' k f = ti. Dès lors l'équation du mouvement de P,. 

»n,. Ä,, = gradp 11 

nous assure que /t,., vitesse absolue — on doit entendre rapportée à G — de P,., 
tend cà une limite bien déterminée pour i = <,. Elle est à son tour intégrable 
jusqu' à /;, et il en résulte l'existence d'une limite bien déterminée pour le vecteur 

On peut dire aussi: Le corps qui ne participe pas au choc tend, pour t convergent 
à t,, vers une position limite à distance jinie, avec une vitesse (absolue) également 
finie et bien déterminée. 



110 T. I.cvi-Civita. 

13. Oidre (l'intïnitiKlt' de la vitesse. 

L'expression (iS) de II (en s'appuyant uniquement sur la circonstance que 

et restent finis) donne 

r,. + i »■.+2 

(24) Vim rA\ = fin,.+ ini,.+ -2- 

D'ailleurs [n" précédent] R,. = /,. reste fini, et par suite 

lim r,. Vr = 0. 

Multiplions l'intégrale des forces vives par '/■,., en y prenant Texpre^sion de 
î sous la forme (14). On en tire après coup 

(25) lim r,.vî = 2f{m,+ i + m,. + n), 

ce qui montre que la vitesse devient infinie d'ordre (par rapport à l'inverse de 

la distance). La vitesse v, dont il s'agit devrait être spécifiée comme vitesse 
relative des deux corps qui se choquent; mais il convient de remarquer que 
aussi leurs vitesses absolues /,+1 et /,+2 se comportent d'une manière identi- 
que. C'est ce qui résulte sans peine des formules (13), en tenant compte encore 
une fois de la circonstance que la vitesse K,. reste finie. 



14. lielatioiis asyinptotiques. — Variable auxiliaire de M. Suiidinan. - Con- 
statation qu'elle reste finie pour / tendant à /,. 

Le produit scalaire r,, Xf,. de deux vecteurs quelconques r,., v,- ne dépasse 
jamais en valeur absolue le produit r,.t'„ de leurs longueurs. Lorsque celui-ci 
tond à zéro, il en est de même a fortiori pour r,. Xf,. . En attribuant à 
r,,, /,, la signification des n"* précédents, r,.i\., à cause de (23), tend cffictive- 
mcnt à zéro, pour ; convergent à /,. D'ailleurs la dérivation de l'identité 
)"r = r,. X r,. donne 

dr;. 
^^=2r„X.„. 

11 s'en suit 

(20) liiii'j' o. 

/ = /, dt 



Sur la rôgularisatioii du iiroblènic des trois corps. 117 

La dérivation ultérieure de la même indentité donne 
d"- ri 



dt- 



^ 2 v'y + 2 r,.X ifv . 



Il convient de transformer le second membre, en profitant, pour le ])reniier terme, 
de l'intégrale des forces vives, et pour v,., c'est-à-dire, d'après (ii), pour la difference 

i^. + i-l'. + i. 
des équations du mouvement (20). 

En se rappelant que — • -— > V,. restent finis, et en remplaçant, dans 

1 et U par leurs valeurs {14) et (18), on tire d'abord 

les termes non écrits restant finis lorsque i s'approche indéfiniment de l^. 
Avec cette même entente, on a de (19) 

gradp U= / , /•,. + ■■, 
»«.,.+ 1 •'1 + 1 ri 



• pradp 11 =- - / - .; /•,, + 



et par conséquent 

/,. = gradp U — -gradp 11 = — / ^^^ , — ^- 



r,.Xifv = — J -+•••. 

Cette dernière formule et la précédente expression asymptotique de 2 v';. donnent 

à (2y) l'aspect 

, ,, d- ri niv + i + niv+o Y 

le terme additionnel X pouvant être regardé comme une fonction de I, holo- 
morphe pour t intérieur à l'intervalle {t„, /,), et finie même pour t s'approchant 
indéfiniment de <, . L'intégrale 



118 T. I,evi-Civita. 

I A' (// 

/o 

est donc bien déterminée. 

D'après (26), il en est de même pour 



I dt'-'^^ = [dtl 



drî 
(Uli se réduit à la valeur initiale de , ' • 

at 

Dans ces conditions, l'équation (27') montre aussitôt que, en posant 

(28) du. = '^^, 

r,. 

on définit (à ujie constante pris) une fonction m,, croissant avec t et tendant vers une 
valeur limite finie pour t = ti. 



CHAPITRE II. 

Transformations canoniques suggérées par le mouvement 
parabolique. 

I. Formules symétriques se rapportant à la méthode de Jacobi. 

Soit donné un système canonique 

dpi OH dxi i)H ,. 

(1) dt=-Jz,' ITt^Vp, (' = i.3>---.'^). 

dont la fonction caractéristique H {p^, p^, . . ., p„; x^, x^, . . ., .v„) est supposée 
indépendante de <. Si l'on regarde, dans H, toute pi comme la dérivée par- 
tlW 

Xi 

Jacobi en posant 

(2) H = const. =-= E . 



tielle y d'une fonction IF(.t, , a.-_,, . . ., .r„), on forme l'équation de Hamilto' 



La définition classique d'intégrale complète de cette dernière équation in- 
troduit explicitement E et n — i autres constantes arbitraires ((,,((,,..., (o,_i . 



Sur la régularisation du problème des trois corps. 119 

Sous forme plus symétrique, il convient de nommer, avec Poincaré,' inté- 
grale complète toute fonction 

ir (.!•,, X._, . . ., Xn\ il, i';, . . ., in) 

des Xi et de n constantes ;,-, douée des propriétés suivantes: 
1° c'est une solution de (2), c'est-à-dire qu'en' l'introduisant dans E celle-ci 
devient une fonction .V)(i\, i\, . . ., in) des seules ; et par suite une constante; 
2° elle contient les n constantes i" essentiellement, c'est-à-dire de telle manière 
que (dans le domaine des valeurs qu'il y a lieu de considérer) le détermi- 
nant hessien 

^-^' Il ,. . , 

ne s'annule pas. 
Moyennant une telle U', les 2 n équations 

(3) djr~ '' '<rxi^^' (r = i,2,...,n) 

définissent l'intégrale générale du système (i), en fournissant les r, et les j)i 

comme fonctions des 2 m argument i',-, ra"«: les 1,- doivent être regardés comme 

des constantes d'intégration, les tï; comme des fonctions linéaires de t; d'une 

manière précise on a 

il y) 
(4) ^' = -,/}. ' + »;'. 

en désignant par r,- des nouvelles constantes arbitraires. 



2. Mouvement central parabolique. — Équation en W (lu'il 
convient d'envisager. 

Un point matériel P de masse égale à l'unité est attiré par un centre fixe 
suivant la loi de Newton. Les équations canoniques du mouvement ont pour 
fonction caractéristique l'énergie totale. En l'exprimant à l'aide des coordonnées 
cartésiennes du mobile (rapportées au centre) Xi, x., x-, et des conjuguées p,, p.., p^ 
(composantes de la vitesse), on a 

(5) • H = ^^(pi+pl+pl)- ^' 

où k est la constante d'attraction et r = 1 1 x'i + xl + xl\ la distance OP. 
' Pp. 10—13 des »Leçons de mécaniqvie céleste», déjà citées à la page 106. 



120 T. I.evi-Civita. 

La nature de la trajectoire dépend, comme on sait, de la valeur (constante 
pour chaque solution) prise par la fonction H elle-même. 

Les mouvements paraboliques correspondent à la valeur H = o. Fixons- 
nous sur cette détermination, et considérons le système différentiel que l'on ob- 
tient de (i) (pour » = 3, avec l'expression (5) de H) en changeant la variable 
indépendante t d'après la position 

(6) dl = rdu. 
On a 

cl Pi i)H dxi dH ,. 

,= — '", ' , = '■ , (1 = 1,2,3). 
du (Ixi du (I Pi 

Pour les solutions paraboliques, le long desquelles // = 0, les seconds mem- 
bres peuvent s'écrire 

_iUjB) d{rH)_ 
il Xi <l Pi 

Ces solutions vérifient partant également le système canonique 

. , dpi HrH) dxi n(rH) .. . 

(7) du=~ .ix, ' du- »Pi (^ = ^'^>3). 

([ui diffère à double titre du système originaire, ayant été altérées soit la variable 
indépendante que la fonction caractéristique. C'est une transformation que j'ai 
employé ici même ' il y a déjà quelques années pour la régularisation du pro- 
blème restreint. On peut bien l'appeler transformation de Darboux-Sundman, 
puisque on y combine une propriété des faisceaux conservât ifs de trajectoires 
signalée par Darboux avec le changement de variable indépendante dont s'est 
.servi M. Sundman dans son mémoire couronné. - 

Toutes les solutions du système (7) peuvent être représentées — dans la 
manière rappelée au n" i — moyennant une intégrale complète de l'équation 

(8) l r(p\ +pl +pl) = const. = ^(;,, i,, if,). 

Dans les expressions intégrales des xt, p, (provenant de la résolution des éqtui- 
tions, qui correspondent aux (3) pour le problème qui nous occupe), les con- 
staTites i', , i',, ;., doivent être censées soumises à la liaison 

(9) ^(ii-i=,i.)==^-, 

pour rendre H=o, condition caractéristique des 00^ solutions paraboliques. 



Loco citato (dans la nute (j; do la page 99), p. 515. 
Loco citato (ilans la note (i) de la page loo), p. 127. 



Sur la régularisation du jirolileme dos trois foqis. 121 

3. Coiistructio» (l'une intégrale homogène de degré • 

En coordonnées polaires r, tv (colatitiide), fp (longitude), l'équation (8) s'écrit 

r {idW\- I 10 W\- I i<)W\-\ 

8' {{■, + •. . + ^^-^T- hr U = fronst- 

^ ' 2\\drl r-\(hci r- sm^ w\()(f j ^ 

On reconnaît aisément qu'elle admet des intégrales indépendantes de f/, 
de la forme 

W==Vrf{tv). 

En effet, en substituant dans (8') 1 r f(ir) à la place de W, il vient 
'\'r-+(W\^ const. 

On y satisfait en prenant 

/ = 2 l'^i sin IV, 

où l'on entend par 5 une constante positive. La valeur constante du second 
membre de (8') est alors ;. 

On a trouvé de la sorte une intégrale 

(10) W = 2 Vi r sin - iv 

contenant matériellement la seule constante S; mais on peut sans peine faire 
apparaître le degré de généralité qu'il nous faut. Il suffit de remarquer que 
(puisqu'on n'a fait aucune hypothèse à l'égard de l'orientation des axes) il est 
parfaitement loisible de regarder comme arbitraire la direction de l'axe polaire 
Ox^, c'est-à-dire de la demi-droite à partir de laquelle on compte la colatitude ?r. 
En tenant compte de cela, rapportons nos formules à des coordonnées non 
spécialisées par rapport à la demi-droite en question, désignant par /., , /.,, /^ ses 
cosinus directeurs. On aura en conformité 

/., a;. +)..^x.i + Â3X, 

cos V! = ' 

r 

et If renfermera, outre i', les cosinus /., c'est-à-dire essentiellement trois con- 
stantes arbitraires. Pour le mettre en évidence, considérons le vecteur | ayant 

Aciii matJiemntica. 42. Iraprimù le 24 nnveinlirf l:il?. "' 



122 T. I.evi-Civita. 

pour longueur i' et pour cosinus directeurs /.,, u, ).^, et exprimons W à l'aide 
des composantes 

ii = ^/..- (ï = I,2,3), 

continuant toutefois à écrire ; au lieu de \VJ\ +^5+^3!. On a de la sorte 



(lo') If = ^2^ r l''i — cos?c= K2 1/i'r — 2'i'' r»' 

1 

ce qui est bien une intégrale de (8') contenant d'une manière essentielle les 
trois constantes i, , i.., i^. Je ne m'arrête pas à justifier cette dernière affirma- 
tion, qui apparaîtra évidente dans la suite d'après les expressions explicites des 
Xi, fi. Je me borne à faire remarquer que, comme il résulte de (10'), W demeure 
régulière et différente de zéro, pourvu seulement que ne s'annulent pas à la 
fois toutes les Xi[r = o), ni toutes les ii{S. = o), ni enfin toutes les différences 
^i — i'j (f*os w = i). 

Puisque la substitution de la valeur (10) de W dans le premier membre de 

(8') donnait pour résultat ;, il s'en suit que, pour l'intégrale complète (10') 

explicitée tout à l'heure, 

(II) K^iiui:,i.) = \i, 

c'est-à-dire, en tenant compte de (9), 

(9') | = |K|f+I[Ty-| = 2A-. 

Voilà la relation devant exister entre les constantes d'intégration if,, i%, ;% (et le 
coefficient de l'attraction h) lorsqu'il s'agit des solutions paraboliques. 



4. Signification des constantes i', et des paramètres ra",. 

Les équations définissant le mouvement, d'après les formules générales (3) 
et l'expression (10') de W , sont 

, , ()W i iXi i,\ .. . 

(13) ,y,r, ^ irlr ~'i)^^'' ('-i>2.3). 

ces dernières pouvant évidemment être rem])lacées par 



Sur la régularisation du i>rulilèmc îles trois corps. 123 

(m) rp, = i'ra'i, 

qui résultent après coup de la comparaison entre (12) et (13). 

Occupons nous à présent de faire ressortir de ces équations les propriétés 
bien connues du mouvement parabolique, et l'interprétation soit des constantes 
i, que des paramètres -cj",-. Pour cette discussion il y a quelque avantage à in- 
troduire des vecteurs permettant de remplacer nos six équations (12) et (13) par 
deux relations vectorielles équivalentes. 

On a déjà défini le vecteur | (ayant pour composantes les i,) constant en 
grandeur et direction: la grandeur, d'après (9'), est 2t, assurément non nulle, 
et on verra bientôt quelle est l'interprétation géométrique de la direction. En 
attendant associons à | un vecteur -üi de composantes tn",; et en outre, suivant 
l'usage, r de composantes x^, a-,, Xj et v de composantes jj, , p.^, p.^, qui détermi- 
nent respectivement la position et la vitesse du point mobile. 

Dès lors les équations (12) et (13) se résument vectoricllement comme il suit: 

(12') ^|r-^.|| = tjr, 

et donnent lieu à 

(14') ri^ = i'-nj', 

évidemment équivalente aux (14). 

En tenant compte de la forme générale (4) des paramètres nr, (puis(jue on 

a actuellen^.ent, à cause de (11), .v> = il, on reconnaît le vecteur t^^ comme une 

fonction linéaire de t, ayant — ^. | pour coefficient de t. C'est un vecteur parallèle 

à I; par suite, si l'on forme le produit vectoriel ï A rs, t disparaît. Donc 

(15) |AV=C, 

en désignant par c un vecteur constant. 

D'autre part, en multipliant vectoricllement (à gauche), la (12) par | et la 
(13') par r, on a 

|At;r= lyiï^r), 
r A V = — j|. (/• A|), 



124 T. Lcvi-Civita. 

d'où 

Ceci exprime la constance de la vitesse aréolaire r /\ v , propriété fondamen- 
tale de tout mouvement central, qui devait naturellement être implicite dans la 
représentation intégrale (12), (13) du mouvement parabolique. La constatation 
que le mouvement est plan découle classiquement de l'intégrale (vectorielle) des aires 

r /\ V = c, 
d'où résuite l'équation du plan 

cX/" = 0. 

Les vecteurs | et tu^ appartiennent eux aussi au plan d'après (15). Quant 
à la trajectoire, sa nature géométrique descend aisément de (12'), en tenant compte 
de (10'). Cette dernière peut s'écrire à l'aide des vecteurs I et r: 

(10") H''- = 2(ir-|X/-), 

après quoi le carré (scalaire) de (12') donne 

(16) tir==[, 

en représentant manifestement par ttf la longueur du vecteur t^. 

La multiplication scalaire de la même (12') par | donne d'ailleurs 

z.^'m = (;; ^ /• — ;»•) , 
c'est-à-dire, ayant égard à (10"), 

(17) |x-w= ^ W . 
Il s'en suit 

i'- -ra-- — (c X -cr)- = t^ -cT- — - W-, 
4 

ou bien, à cause de (16) et (10"), 

i'- -nr^ — (I X -ra")- = i' r — ^ (i r—'lXr)-^ ^ (i r+lXr). 

En se ra])pc]ant que w représente l'angle des deux vecteurs | et r et remar- 
(piant d'autre part que le premier membre de la dernière équation ne diffère 
pas du carré du vecteur ^ A ro =. c, on a enfin 



Sur la rcgularisatioii du prolilOine des trois corps. 125 

r {i + cos ic) = Z c- (c longueur du vecteur c). 

C'est évidemment Téquation polaire de la trajectoire, dans son plan, Taxe polaire 
étant dirigé dans le sens du vecteur |. 

La comparaison avec l'équation d'une parabole rapportée à son foj^er achève 
notre vérification, et nous permet en outre de retenir: 

Le vecteur constant (i',, i",, i'a) de longueur 2 k a la direction de l'axe de la 
trajectoire parabolique (son sens étant cehii qui va du foyer au sommet). Le para- 

mètre de celte parabole est la constante .c-, exprimable directement à laide des 

if,-, nfi sous la forme 



(15) .. C^=.(5At7)S 



ro", iK^ xS^ j 



5. Forme réisolue de la transformation canonique entre les deux 
sextuples' {xi,pi), (if,-, -nr,). 

L'identité 

3 3 

Yi Pi d Xi —y.ivridii = dW, 
1 1 

découlant immédiatement des (12), (13), fait voir que ces formules établissent 
une transformation canonique entre les variables primitives xi, pi et les argu- 
ments iî, tJ,-, pourvu seulement qu'on puisse les résoudre par rapport aux unes 
et aux autres. 

En substituant, dans les (12), ^. par la valeur nr- tirée de (lO), on a en 

premier lieu 

(I) Xi = tu"- i",- —zU rSi (i = i, 2, 3^, 

3 
où j'ai écrit — 2 f/ à la place de W, désignant ainsi par U le trinôme ^'W.i,, 

1 
comme on le fait habituellement dans la théorie des transformations de contact: 
on a en effet, d'après (17) 

3 
(18) iJ = — ^w='çXii!{^ Yi r^i h . 



' J'emidoic, pour abréj^oi-, se.rtuple au lieu de si/sti-tiir ùr m./- ilcincula. 



126 T. Levi-Civita. 

Les formules exprimant les pi moyennant les ;,; et les -nr,-, c'est-à-dire les (ij) 
convenablement transformées, sont immédiatement fournies par les (14), dès qu'on 

y remplace " par ... On a donc le second groupe résolu 

(II) '^''=5 (' = 1.2,3). 

Signalons encore quelques formules, conséquences des (I), (II) [ou, si l'on 
veut, des originaires (12), (13)], qui nous servirons dans la suite. L'une d'elles 
n'est que (16), qu'on retrouve matériellement, en faisant le carré des (I) et les 
additionnant; un second groupe est constitué par les (14), qui résultent, peut-on 
dire, des (II) et (16); et il y a lieu enfin de fixer l'expression de r" = 75 J-|-p^ -F p^, 

(lui se déduit des (II) sous la forme - et devient " d'après (16). 

'■ Tri- r 

Le système à retenir est donc 

jr = i"ra--, 
(19) \.rpi =i-nfi {i= i, 2, 3), 

\r{p] + pl + pD = i". 

Il va sans dire que, dans toutes ces formules, r, j' et uf gardent leur signi- 
fication de longueurs des vecteurs (x-, , x.,, X3), {i',, |,, |,), (•CJ', , -nfj: "^3)» c'est-à-dire 
des valeurs arithmétiques des radicaux Vx\ +xl +xl, VS-, + S: + £], Vts] -f- -nr! -F •nr, . 



6. Inversion. — Comportement analytique. 

Notre transformation (I), (II) peut être invertie sans calcul. Il suffit de 
s'appuyer sur la circonstance que l'expression (10') de W dépend symétriquement 
des Xi et des i'j. Il s'en suit que les formules (12) et (13) sont également symé- 
triques par rapport aux deux sextuples (a-,, p,), (i',, — W,). D'après cela, dès qu'oîi 
remplace matériellement dans les (I), (II) les xi, pi par i',-, — tT,- et vice versa, on €7i 
lire les expressions résolues par rapport aux if/, — •n:',-. Il est bon d'ajouter que, 
à cause de la forme spéciale des équations dont il s'agit, le résullat peut égale- 
ment s'obtenir par Véchange des éléments correspondants des deux sextuples (x,-, pi). 

Associons cette remarque à la circonstance que les seconds membres des (I) 
sont des polynômes (de troisième degré) et les seconds membres des (II) des fonc- 
tions rationnelles ayant v^- au dénominateur. C'est assez pour pouvoir affirmer 



Sur la r('Uiil;irisntion ilu problème des trois corps. 127 

que notre transformation est birationnelle, et régnlière fonr toutes les valeurs finies 
des arguments qui n'amiulejit pas le trinôme w; + tu"! + -ax^ , ni l'analogue pl+p'i + pi ■ 
Rapportons-nous, pour fixer les idées, à la transformation directe (I), (II). 
Parmi les déterminations des arguments i',-, -nr,, il y a lieu de signaler les sextup- 
les r, formés par des valeurs nulles des W;, non toutes nulles à la fois des |,-, 
de façon que i">o. Ce sont évidemment des sextuples, non réguliers d'après 
ce qui précède, qui se trouvent pour ainsi dire plongés dans le domaine d'holo- 
morphisme sans le partager: ils forment en effet une variété à trois dimensions 
seulement, tandis que l'espace environnant en a six. Supposons de faire varier 
dans cet espace le sextuple i',, ufi et de le faire tendre à un F en suivant une 

■TTT,- 

ligne régulière. Les ru",- tendent alors à zéro de telle faron que les rapports 
admettent des limites bien déterminées ;',-, nécessairement liées par la relation 

'A + yl + /^ = I • 

Les formules (I) et (k)) montrent que les coordonnées r,-, la distance r, et 
les produits rpi, r(p\+pl+pl) demeurent, même en s'approcJiant indéfiniment d'un 
/', des fonctions régxdières des i',-, ra",-, ntdles en I'. 

Il n'en est pas ainsi des /),, lesquelles, d'après (II), deviennent en général 

infinies. On peut préciser davantage en constatant que les rapports [tires 
des (I) et (19)] et les produits 1 rpi [tirés des (II) et (19)] ont des limites hien 
déterminées. Il vient en effet, en tenant compte de ce que lim ' = ;',-, 

- 3 

(20) lim y = t-' - 2 '/i 2> c ^J ''J ' 

- 1 - 

(21) \im Vr Pi = l i" ;',- , 

les radicaux ayant leurs valeurs arithmétiques, et le symbole lim se rapportant 
à l'approche d'un /' en suivant une ligne régulière fixée d'avance. 

Dans le cas particulier où s'annule le vecteur c= | A ra", le mouvement 

parabolique devient rectiligne et les directions -^, ' coi:ncident, pouvant au plus 

différer quant au sens. On a alors 

lim t' = + ;',-, 



128 T. Levi-Civita. 

et la limite (20) de ' devient par conséquent 
(20') lim ^;= T /,-. 

Remarque. 

Par rapport aux coordonnées Xi, notre transformation canonique (I), (II) 
n'est pas ponctuelle. En effet, dans les seconds membres des (I), apparaissent 
à la fois les i; et les ra",. Il s'agit par conséquent d'une transformation de con- 
tact. Toutefois, si on l'envisage intrinsèquement, la dite transformation est bien 
ponctuelle prolongée (au sens de Lie). En effet les (II) représentent une inver- 
sion par rayons réciproques entre les pi et les tre,-; les (I) en restent subordon- 
nées par la condition que la transformation entre les deux sextuples (/?,•, a-,), 
{vfi, i'i) soit canonique. 



7. Mouvement punibolique taugeut. — Interprétation des variables i„ w,. 

Il est aisé de reconnaître la signification des variables i',, vïi liées aux r,-, 
Pi par la transformation (I), (II), lorsqu'on envisage les Xi, pi comme coordon- 
nées et composantes de vitesse d'un point mobile avec une loi quelconque. 
Il suffit pour cela d'envisager, à côté du mouvement réel, un mouvement parabo- 
lique hypothétique du même point, dû à attraction newtonnienne de l'origine. 
En se rapportant au n" 4, on supposera: 
i*^ que le coefficient d'attraction ait la valeur numérique 

k= r (//; + pi + pI) 

correspondant au sextuple .r„ pi dont il s'agit; 
2" que la parabole (trajectoire du point dans ce mouvement fictif) passe au point 
(x,, X;, a;,) en y touchant le vecteur (7),, ;?., 7J3). On l'appellera ;xjra&o/e o^«C(//a- 
Irice (à la trajectoire du point dans son mouvement effectif). 
Le mouvement parabolique tangent reste ainsi caractérisé. Les variables trans- 
formées ii, tu"; se rattachent à ce mouvement d'une manière bien évidente. 

Les i'i définissent un vecteur de longueur 2 k parallèle à l'axe de la parabole 



osculatrice dans le sens allant du foyer au sonniiet; ^. 
mètre de la parabole, etc. 



ra"; cj'2 Tij'.j 



représente le para- 



Sur la régularisation du problème des trois corps. 129 

S'il arrive que, pendant le mouvement, les |,-, tJ,- convergent vers un des 
sextuples F, considérés au n* précédent (-57'; = o,| > o), la parabole osculatrice 
devient de plus en plus mince, son paramètre tendant à zero: l'orientation de 
Taxe admet toutefois une limite bien déterminée. Le mobile tend à l'origine 
dans une direction également bien déterminée [formule (20)]. Si en particulier 

lim __:= ± lim'J (i = 1,2,3), 'e rapprochement en question a lieu justement dans 

la direction de l'axe [formule (20')]. 



S. Généralités sur l'introduction d'éléments oscillateurs paraboliques. 

La transformation canonique (I), (II) est bien remarquable à cause de ses 
propriétés régularisantes. Les paramètres |,-, tïï'i qu'elle introduit sont très étroi- 
tement liés, comme on vient de voir, au mouvement parabolique tangent. Toute- 
fois ces i',-, ty,- ne peuvent pas être envisagés individuellement comme éléments 
osculateurs paraboliques: pour se procurer de tels éléments (faisant pendant aux 
classiques éléments elliptiques), il faudrait encore en former drs combinaisons 
convenables. On y parvient plus commodément en revenant à la source de la 
transformation (I), (II), c'est-à-dire à l'équation aux dérivées partielles (S') et en 
utilisant une intégrale complète difféiente de (g), et précisément à variables 
séparées comme dans le cas elliptique. 



(,. Intégrale complète de (S ) à variables séparées. — Klénients paraboliques. 

Posons 
(22) W-=R + Gw, 

en supposant R fonction du seul argument r, et G constante. Si l'on introduit 
dans le premier membre de (S') cette expression de 11', on a 



en désignant par 

(23) l^-' = k 



la constante du second membre de (8'). 

Aeld miilhenuitca.. -ii Impriiné le H iiuvembre 19IS. 



130 T. Lcvi-Civita. 

On en tire 

î 

OÙ la limite inférieure q de l'intervalle d'intégration pourrait être arbitraire. 
11 convient toutefois (comme dans l'intégrale analogue se rapportant au mouve- 
ment elliptique) d'attribuer à g la plus petite des valeurs de r annulant la fonc- 
tion sous le signe. Il y a ici une seule racine finie; on est donc conduit à prendre 

4 <?" 
(25) «=X^- 

Puisque on sait d'avance que l'orbite est parabolique (et décrite suivant la loi 
des aires par rapport au foyer), on constate immédiatement que q représente le 
demi-paramètre: c'est en effet la plus petite distance du foyer à laquelle puisse 
se trouver le mobile (qui parcourt la courbe toujours dans le même sens). En 
suivant Poincaré/ on supposera que la droite fixe à partir de laquelle on compte 
l'angle iv, soit justement la ligne des noeuds (intersection, dûment précisée quant 
au .sens, du plan de la parabole avec le plan coordonné Ox^x^). Si l'on désigne 
suivant l'usage par d la longitude du noeud (c'est-à-dire l'angle formé par le noeud 
avec l'axe OXi), on a, d'après la définition de «•, 

cos 10= ' ' cos t) + ' ' sin 0, 



('>w , 

(26) M--'""'^' 

en entendant par / l'inclinaison (du plan de la parabole sur le plan 0.r, .r.). 

D'après cela, il y a lieu de considérer W comme dépendant des coordonnées 
cartésiennes x„ x.,, x, du jwint mobile, et des trois constantes Z, G, Il à interpréter 
comme il suit: 

Z dépend exclusivement du coefficient d'attraction, comme il résulte de (23); 

G= zlWyl définit ensuite le demi-paramètre q de la parabole; 

I) représente la longitude du noeud. 
Les équations (3), adaptées à notre W, où Z,G,0 jouent le rôle des i:,, en écri- 
vant — 'Ç, — g, Ö à la place de tJi, cT^, tJ^, donnent 

' Loi-, cit. (à la inige 106), pp. 65 — 7.1. 



Sur la rôgularisatioii ilu piülilcnie des trois corj)«. 131 

(27) 



\HZ " i)G "' fJO ^'^' 



\ ixr^' (»=i.2,3). 

Ayant égard aux équations (22), (24), (25), (36), le premier groupe s'écrit 
OW OR r* Zdr n Zdr 



(IZ tiZ 



K r» Zdr n : 



r — 4G' 



= 1/, 



()W (iR 

>rG-irG + '"^^' 

r.r ^ 6r COS 1 = — (■) , 

(If) 

et consent de reconnaître la signification des trois autres paramètres -", (j, (■). 

Tout d'abord, d'après une propriété élémentaire de la parabole: 1'- = r— (^ repré- 
sente l'abscisse de la position courante du mobile, comptée sur l'axe à partir 
du sommet. 

La seconde équation, appliquée au sommet, fait voir que g représente l'angle 
que la direction de l'axe (allant du foyer au sommet) forme avec la ligne 
des noeuds. 

Enfin la troisième équation nous montre que: 
(■J = GcosI fixe l'inclinaison. 

Les équations (27) entraînent: 

3 
2' r'<i^i—(Zd: + Gdg + (-Jdt)) = d{W-Z;— G(j) 

1 

et définissent par conséquent une transformation canonique entre le sextuple 
{pi, Xi) et les deux triplets conjugués 



(P) 






Les expressions explicites des .r,-, pi en fonction des arguments {P) s'établissent 
sans peine, soit en effectuant la résolution matérielle des (27); soit, d'une manière, 
indirecte mais plus commode (adoptée ordinairement dans le cas des éléments 



132 T. Lcvi-Civita. 

elliptiques), en ayant recours aux formules élémentaires de transformation des 
coordonnées et tirant parti de la signification des six éléments (P). 

Jomets ces développements en me bornant à faire remarquer que, à différence 
de la précédente (I), (II), la transformation entre les (a-,-, pi) et les (P) w'esi pas 
régularisante. Déjà les expressions des a:, présentent des singularités au voisinage 
d'un choc, auquel correspondent des valeurs nulles des paramètres 1', G et (■). 

Le sextuple canonique (P) est un cas limite (correspondant à la valeur zéro 
de l'énergie) des éléments elliptiques que j'ai appelés isoenergétiqnes:^ il peut rendre 
des bons services dans l'étude des perturbations des comètes. 



CHAPITRE III. 

Régularisation explicite du voisinage d'un choc binaire. 

I. Forme canonique de l'oiiicaré. 

On a rappelé, au n" 8 du Chap. I, les équations du mouvement absolu sous 
forme vectorielle, où figurent comme inconnues auxiliaires les composantes des 
quantités de mouvement. Il est bien connu qu'on leur donne immédiatement 
forme canonique, et qu'on les réduit ensuite à six degrés de liberté en mettant 
en évidence les coordonnées relatives de deux des trois corps par rapport au 
troisième.- Pour expliciter le système réduit, il me paraît avantageux d'aban- 
donner la symétrie par rapport aux trois corps, en appelant O celui auquel on 
rapporte le mouvement et les coordonnées des deux autres; P, P' ceux-ci; et 
adoptant les notations qui s'y rattachent. 

On indiquera par >«„ la masse de 0; par m, m' les masses de P, P'; par 
Xi, x'i (?' = i,2, 3) leurs coordonnées (par rapport à trois axes rectangulaires 
d'orientation fixe, ayant leur origine en 0); par pi, //,■ les composantes de la 
quantité de mouvement absolue de P et de P' respectivement; par r,r,J les 
trois distances ÖP, OP', PT'. 



' »Sopra un nuovo sistenia caiiunico <ii elementi ellittiei», Ainuüi ili Matematica, Ser. Ill, 
T. XX, 1913. Voir aussi: 

W. Dk SiTTKR, »On canouital elements», Proceedings of the K. Ak. van Wet. to Anister- 
(lain, vol. XVI, 1913, pp. 279 — 291. 

11. Amioyku, »Sur l'anomalie excentrique et l'anomalie vraie connue éléments canoniques 
irai)rès M. M. T. Levi Civn-.v et G.W. Hii.i.» et -Sur les problèmes fcndamentaux de la mécanique 
céleste», Bulletin Astronomique, T. XXX, 1913, pp. 425 — 429, et ï. XXXII, 1915, pp. 5 — 18. 

' Ou bien, en suivant J.mdui, certaines combinaisons linéaires (dépendant des niasses) de 
CCS coordonnées relatives. Xous v reviendrons au n» 6. 



Sur la régularisât ion du iirolilènie des trois coi'ps. 133 

D'après le théorème des quantités de mouvement (le barycentre étant censé 
fixe), la somme des quantités de mouvement des trois corps est nulle. Il s'en 
suit que la quantité de mouvement (absolue) de O a pour composantes 

-{pi + p'Ù- 
La force vive î du système est partant la somme 

;, }^ Ulh + P'i)' + ilh + V'.y- + (/'3 + 1>\Y] + 2^j (V\ +V\+ Vl) + ^, (P'i + V\ + Vl)\ 
d'où 

(i) î = M--- + M if] + v' + pi) + ^ i-^- + —] ip'i + p'i + j^'i) + 

+ ~ir,p'i + p2P2 + p-jp,') 

'"■0 

La fonction des forces U (formule (i8) du Chap. I), avec les notations 
actuelles, s'écrit 

^^_ll'm„vi ^ m„7n' ^ 7nm'\ 

La différence 

(3) H = 2-U, 

c'est-à-dire l'énergie du système, se présente ainsi comme une fonction des douze 
variables .r,, x',, jn, p'i. 

Le système canonique 



(4) 



dpi 


il H 


dxi 


_ ilH 


Yf 


^ dxi' 


dt 


dpi 


dp'i 


il H 


dx'i 


_ il H 


^ ~ 


()x'i 


dt 


il p'i 



(/=1, 2, 3), 



admettant H comme fonction caractéristique et (x,, /);), {x'i, p'i) comme variables 
conjuguées, définit le mouvement. C'est la forme particulièrement simple indiquée 
par PoiNCARÉ. L'intégrale des forces vives s'écrit évidemment 

(5) H=E [E constante). 



2. Transfonnatiou de Darboux-Sundinan. 

Envisageons les mouvements pour lesquels la constante E a une vak'ur fixée 
d'avance, et effectuons le j)remier pas en vue de la régularisation d'un choc 



134 J'- l-t'vi-Civit:i. 

binaire P, O. Tout à fait comme dans le cas du piol)lème restreint [voir le n" 2 
du Chap, préc], il convient de poser 

Les x" solutions du système (4) satisfaisant à la condition // = £^ vérifient 
également le système 



(7) 



(din__iiH* dxi_i)H* 

du (Ixi du dpi 

dp'i OH* dx'i^ilH* 

du Hx'i du (>p'i 



{i=i, 2, 3), 



ou 

(8) H* = r[H-E). 

Pour chacune d'elles, H* prend la valeur zéro. 

lieniarqiie. 

Soit /, l'instant du choc P, dans le sens précisé au Cliap. 1. I-e n" 14 
du même Chapitre nous permets d'affirmer que la nouvelle variable u [introduite 
mo3'ennant la position (6)] tend en croissant vers une valeur finie «,, lorsque 
on fait tendre t à ?, . Le choc binaire dont il s'agit constitue donc, même à 
l'égard du système transformé (7), une (éventuelle) singularité des fonctions in- 
connues Xi(u), piiu), x'i{u), j)'iiii) se présentant jjour une valeur finie w,, tandis 
que, pour M<«, (et assez proclie à ((,), tout est régulier. 



3. Limite du produit r{p\ + p: + pl) pour ? tendant à zéro. 

Plaçons-nous au voisinage d'un choc entre P et 0, dans l'hypothèse que 
le moment résultant des quantités de mouvement des trois corps ne s'annule 
pas. On est assuré [Chap. L n° 12] que P' reste à l'écart des deux corps ten- 
dant à se choquer, sa vitesse restant également finie. On a reconnu aussi [n" 13 
du même Chapitre] que la vitesse de P (soit absolue que relative au corps 0) 
multipliée par Vr reste finie. On pourrait en déduire aussitôt (en tenant compte 
de ce que p, , p., p^ sont composantes de la quantité de mouvement absolue) 
que le produit r{p\+pl + pl) admet lui aussi une limite finie. Mais il ne vaut 
pas le peine de faire des emprunts de l'endroit cité. On va le faire ressortir à 
iiouvuau de l'intégrale des forces vives. 



Sur la régularisation ilu iiroblème des trois corps. 135 

Posons pour abréger 






\ yzym m! ' r J ' 



(9) 



D'après (i), (2), (3), on a 

L'équation H* = (du second degré en V'i"), avec la spécification l;>u, définit 
univoquement 1 ; comme fonction holomorphe des quantités g et r tendant vers 
la limite (positive) 

^2 / ?«„ m 



1 / 2 / ?«„ m 



1 = 

m„ ' m 

lorsque g et »; convergent à zéro. Or il résulte des (q) (et de la circonstance 

rappelée ci-dessus que ,. et les p'i restent finis, ainsi que les rapports '', qui 

sont des cosinus directeurs) que g et »^ s'annulent avec r. 
On a partant 

liml''j' = ;, 

r = 

ce qui entraîne justement, à cause de la .signification de i;, et de u, (voir la 
remarque finale du n" précédent) 

, \ > • / '. ■ , , „ 2 / m , m 
(10) limr(p; + j,- + p:,) = l- -== ■ 

""" ^ + ^ 

m„ m 

C. Q. F. I). 



4. lutrodiicfioii «les variables ;,, tJj. — Holomorphisme iU" l'expression 
transformée de //*. 

Appliquons maintenant la transformation (I), (II) du Chapitre précédent 
[n" 5], en remplaçant les six arguments a-,-, /;, par les combinaisons i',-, ■cj',-; bien 
entendu sans toucher aux .r',, 7;',. 



130 T. Lcvi-Civita. 

All point de \'ue formel il y a lieu do noter qu'en transformant ainsi les 
équations (7), elles restent canoniques avec la même fonction caractéristique, et 
s'écrivent par conséquent 



(7') 



clr^i 


<IH* 


dii 


_ OH* 


lia " 


(l^i ' 


du 


(iTfi 


d p'i ^ 


il H* 


dx'i 


il H* 


du 


(Ix'i ' 


du 


ilv'i 



{i = I, 2, 3), 



où l'on doit, bien entendu, retenir H* exprimée à l'aide des arguments i",, -cT,-, x'i, p',-. 

Voyons ce qui se passe au point de vue qualitatif. 

Les formules (iq) du Chap, préc, qui sont des conséquences nécessaires des 
(I), (II), fournissent immédiatement des renseignements très importants sur la 
manière dont se comportent les i',, tJ,- dans le cas d'un choc P, 0. En associant 
ces renseignements à l'expression analytique qu'acquiert H* avec les nouvelles 
variables, on pourra ensuite reconnaître qu'il en résulte sa régularisation. 

Utilisons d'abord les formules (19) susdites, et notamment la première 



et la troisième 

r{p] + v\ + vl)='i. 

Comme on vient de voir [formule (10)], en proximité d'un choc P, O, S. tend vers 
une limite P non nidle. L'expression de r montre alors que t?*, et par conséqxient 
-nr, , -cTo, ■ra', convergent vers zéro. 

On n'a pas encore le droit d'affirmer que |, , |., i'., tendent séparément vers 
des limites bien déterminées, mais il est désormais bien sûr qu'ils restent finis. 

Nous profiterons bientôt de ces remarques. Envisageons en attendant un 
ensemble de valeurs des i',, rüi constituant le voisinage d'un de ces sextuples F 
qu'on a eu l'occasion de considérer au Chap. préc. [n° 6], et qui résultent des 
valeurs nulles des t?,, non toutes nulles à la fois de i,. Soit D un domaine 
se rapportant aux douze variables i',, rSi, x'i, p'i, caractérisé comme on vient de 
dire (voisinage d'un /') par rapport aux Si, vfi, et comprenant le voisinage d'un 
système quelconque de valeurs finies des x'i, p'i, soumises à la seule restriction 
que les x'i ne s'annulent pas toutes les trois (P' distinct de O, et par suite aussi 
de P, dès qu'on conçoit l'extension de D suffisamment petite). 

On va constater que, dans tout domaine D, H*, considérie comme fonction des 
variables i',-, -ra",-, x'i, pi , se comporte régtdiîrement. 

Pour cela, il convient de s'appuyer encore une fois sur les formules (ki) 



Sur la légiilaiisatioii du pioliU'iiie ilos trois corps. 137 

[du Cliapitre précédent] pour en tirer à première vue que r,r(p\i-'pl+pl) = ^, 
et r j)i sont, à l'intérieur d'un domaine D, des fonctions holomorphes des Si, ttT,. 

D'ailleurs, puisque r' et ./ ne s'annulent pas dans D, les rapports ,> 

sont, eux aussi, des fonctions holomorphes (des i',-, -rJ;, et des a;',). Comme on 
a de (i) 

(i') )-î='^| +—]r{p': + p':+pl)+{- + ,]rip'\ + p'I + p'I) + y^irpiPi, 

et de (2) 

(2') »• Il = / ( JHo m + m^ m' , + mm' > 

les expressions des seconds membres montrent après coup qu'il s'agit de fonctions 
holomorphes dans D, dépendant dans leur ensemble de toutes nos douze variables. 
Dès lors 

H* = r(H — È) = ri- r\\ — rE 

apparaît elle aussi une fonction holomorphe des variables i',, •üJi, x'i, p'i dans tout 
domaine D. 

C. Q. F. D. 

5. Réariilarisatioii d'ini clioc P, O. 

Supposons que, pour u tendant à ?/, (valeur certainement finie d'après la 
remarque du n» 2), les deux corps P et tendent à se choquer. Nous pouvons 
à présent compléter les constatations du n" précédent, en établissant que, pour 
n = M,, les ;, aussi convergent (comme les trr,-, a;';, p't) vers des limites bien déter- 
minées. Il suffit pour cela de faire jouer la double circonstance que, pour w, — u 
assez petit, les valeurs prises par i",, nr,, a;',, p'i (le long de la trajectoire dont 
il s'agit) appartiennent certainement à un domaine D, et que par conséquent 

fl H* 

les seconds membres des équations (7'), et notamment les — > restent holo- 

' ' lIVTi 

raorphes, par rapport aux arguments ii, x^i, x'i, p'i. Dès que, pour «<t<, et 

assez proche à ît, , ces arguments sont à leur tour des fonctions régulières de v, 

il en est autant des seconds membres susdits. 

D'ailleurs, pour n tendant à ?(,, les a;',, ^j',, ra",- tendent [n"* 3 et 4] vers des 

valeurs limites bien déterminées. 11 reste à établir qu'il en est de même pour 

les i'i, en sachant [n" 4] que i' = | l^i'; +i'! +ss I admet une limite différente de 

Arlil mnthfmiilirn. 42. Implimù le 23 îiovenllue l'IIS. l^i 



138 T. Levi-Civita. 

zéro. Cette circonstance garantit que les seconds membres des (7'), fonctions 

holomorphes de u (à gauche de w,), restent finis lorsque u converge à w,. On 

peut alors raisonner comme au n" 10 du Chap. I. Ces seconds membres, et en 

d H* 
particulier — , sont intégrables depuis une valeur quelconque !/„ (assez 

proche à w,) jusqu' à m,. On déduit donc, des équations différentielles 

dii il H* 

tu=-ör^i (^ = 1.2,3) 

elles-même, l'existence des limites pour les i'». 

D'après cela, «ne solution du système (7'), même si elle correspond à un choc 
P , 0, n'a plus rien de singulier au point de vue analytique. Il s'agit en effet 
d'une solution pour laquelle les fonctions inconnues ^;, W,, x'i, pU, en correspon- 
dance d'une valeur finie m, de la variable indépendante, prennent des valeurs 
bien déterminées tombant dans un domaine D de régularité (pour les seconds 

membres des équations différentielles). 

C. Q. F. D. 

Dès que les i,:, tïï', se comportent régulièrement même pour tt = u^, elles ten- 
dent à leurs valeurs limites suivant une ligne régulière (de l'espace |,-, -nr,). Ceci 
permet de conclure, en revenant aux anciennes variables x;, pi \n° 6, équations 
(20) et (21) du Chap, préc] que les deux corps P, tendent à se choquer sjiivant 

une direction bien déterminée (caractérisée par les limites des cosinus directeurs -'J! 

et que la vitesse de chacun d'eux, tout en devenant injinie, admet une direction 
limite. A la vérité les équations (21) (du Chap, préc.) établissent ceci pour le 
vecteur de composantes pi, c'est-à-dire pour la quantité de mouvement et par 
suite pour la vitesse absolue de P. Pour justifier à tout égard l'énoncé qui 
précède, on va constater ultérieurement que la vitesse relative de P par rapport 
à admet la même direction limite. Cette direction limite appartient alors à 
toute sorte de vitesse de P et de (absolue, ou relative d'un d'eux par rapport 

à l'autre). 

dxi 
On n'a qu'à tenir compte du groupe des équations (4) définissant les , : 

dxi (>// / I , I \ , I , ,. 

7.= , = + /5,+ Pi (i = i,2, 3). 

dt dpi \ma mr m/ 

Les p'i restent finies à l'instant du choc, mais non toutes les ;>, [d'après 
(10)]. Il s'en suit que la vitesse relative de /' par rapport à O vecteur de 



Sur la légulari.satiou du prublcmc drs trois corps. 139 

composantes " 'j a la même direction limite que la vitesse absolue du même 



point P (vecteur ayant pour composantes }■ 



6. Forme canonique de J.icobi. — Régularisation tout à fait analogue qu'où 
peut lui faire subir. 

Nous avons pris les équations du mouvement sous la forme canonique de 
PoiNCABÉ [n° i]. Il est aisé de se rendre compte qu'il n'y a rien d'essentiel à 
modifier dans les considérations de ce Chapitre si l'on préfère d'adopter les 
équations canoniques de Jacobi. 

En effet les douze fonctions inconnues figurant dans ces équations sont: 
les trois coordonnées Xi de P par rapport à 0, comme dans l'autre cas; et neuf 
autres — je continuerai à les appeler jn, x'i, p'i — qui ont une signification 
différente. Il n'est pas nécessaire de la spécifier, sauf pour les x'i- Celles-ci 
[comparez Chap. I, n" 4] sont les coordonnées de P' par rapport au barycentre 
B des deux autres corps P et 0. Les coordonnées de B par rapport à sont 

((Xi, où la constante (numérique) « n'est que la fraction Il s'en suit 

que les coordonnées de P' rapportées également à (c'est-à-dire nos anciennes 
x'i) sont données par 

« Xi + x'i ; 
et l'on a 

>■'* = 2' (« ^< + ^'l)^ 

-j^ = 2' ^(^ ~ ") ^' ~~ ^ ''■• 
i 1 

La force vive î s'exprime ici encore moyennant les fi et les ;/,, mais sans 
termes rectangles, sous la forme 

(12) '^ = :,f'ip\ + pl + vl) + ^f^'ip' +p'l-^p'l), 

les coefficients // et 11' dépendant exclusivement des masses: 

II f ^i wir , , ^^ 

H = 1 — . fi = —n ; (il/ = «i„ + m + m ). 



140 T. Lcvi-Civita. 

La fonction des forces est toujours 

im^vi vi„m' mm'\ 
(2) " = M r ^ r' + :i )' 

r' et _/ étant toutefois les fonctions (ii) des x et des x . On a bien entendu 

H^l — W, 

après quoi le système canonique définissant le mouvement s'écrit encore sous 
la forme (4), d'où l'on arrive à (7) moyennant la transformntion de Darboux- 

SUNDMAX. 

Au point de vue qualitatif, tout se passe comme précédemment: lorsque les 
deux corps P et tendent à se choquer, r tend à zéro, tandis que r' et J conver- 
gent vers une limite positive. Il s'en suit [comme au n" 3] que les arguments 
x'u p'i ont des limites finies, et [encore plus simplement qu'au n'^ 3, à cause de 
(12)] que 

zfm^m 2 / m„ m 



lim ri'p'i + pi +pl) = 



— + - 
m„ m 



La transformation (I), (II) et les raisonnements des n"-" 4 et 5 s'appliquent (sans 
qu'il soit même nécessaire d'invoquer la circonstance que les rpi sont des fonctions 
holomorphes des i'j, er,), et le voisinage du choc binaire P, reste également 
régularisé. 

7. Lo paramètro syiiiéuique / vi la rég:uliirisii<ioii complete (lu 
mouveineiit. — Corollaire. 

Considérons le produit 

r II ^ / (?H„ 7)1 + m„m' _, + m m' — \ 

comme fonction des variables i,-, W,, x'i, p'i (ces dernières n'interviennent pas). 
Ainsi qu'on l'a fait remarquer au n** 4, il .se comporte régulièrement au voisinage 
d'un choc P, O, état de choc compris, et ne s'y annule pas: en effet, pourrai), 
r\\ se réduit à fm^m. 

il s'en suit, en tenant compte de ((>), que le paramètre /, défini (à une con- 
stante inessentielle près) par la relation différentielle 

(i.î) (Il =r\[(!ii-^\\dt, 



Sur la ri'jçulaiisatiou du piolilOine ilcs trois corps. 141 

pent rendre les mêmes services que u dans le domaine susdit, avec l'avantage, 
évident à cause de sa structure sj^métrique, de s'appliquer également aux autres 
chocs binaires éventuels: partout ailleurs, cela va sans dire, la substitution de i 
à t comme variable indépendante est parfaitement légitime, puisque II demeure 
fini et > o. 

La substitution de i à u dans le système différentiel (7) (ayant égard à la 
circonstance que, pour les solutions qu'on a à considérer, H* = o) laisse subsister 

la forme canonique, pourvu qu'on remplace H* par H*. On a partant le 

système 

(14) 



Ulpi 


ri F dxi ri F 




1 di 


ri Xi ' dr (> pi ' 




dp'i 


ri F dx'iriF 


{ i — 


Jr 


ri x'i ' d 1 ri p'i 


(,' - 




rU 11 ^ 


-E), 



où 

(13) 

et l'on doit se borner aux solutions pour lesquelles F = o. 

La seconde expression de F montre immédiatement que c'est une fonction 
régulière des variables r,-, /),•, x'i, p'i tant que les positions des trois corps sont 
distinctes; au voisinage d'un cboc P, 0, la transformation (I), (II) rétablit la 
régularité, ainsi qu'il résulte de la première expression de F et des n"'* 4, 5; enfin, 
au voisinage d'un autre choc binaire {F, 0, ou P, P'), on l'égularise d'une manière 

analogue, à cause de la symétrie substantielle de i^' = (H — E) par rapport aux 

trois corps: il suffit de combiner une convenable transformation linéaire sur les 
.1-, x', p, p' (équivalente à un échange de rôle des trois corps) avec la même trans- 
formation (I), (II). 

On a donc le droit d'affirmer que le système differi-ntiel (14) est ou bien 
régulier, ou bien régularisable par une simple transformation canonique des fonc- 
tions inconnues, quelle que soit la valeur de /, c'est-à-dire pour toute la durée 
du mouvement, même au delà des chocs, s'ils en arrivent. 

Corollaire. 

Les coordonnées des trois corps, lorsqu'elles ne figurent pas directement 
parmi les fonctions inconnues, sont (d'après (1). (II) et des formules élémentaires 
de transformation de coordonnées) des fonctions holomorphes des auxiliaires servant 



142 T. Luvi-Civita. 

à régulariser. Il en résulte que les coordonnées des trois corps, leurs distances 
mutuelles et [d"après (13)] aiissi le temps t sont des jonctions du paramètre r, régulières 
pour toutes les valeurs réelles de ce paramètre, qui correspondent hiunivoquement à 
toutes les valextrs réelles du temps.- C'est la conclusion, bien connue aujourd'hui de 
M. SuNDMAN,' laquelle a nettement scellé toute une catégorie de recherches 
anciennes et modernes. 

8. Coinplénieut formel qui reste encore à élaborer. 

Considérons, pour commodité de langage, un espace S à douze dimensions 
en correspondance biunivoque avec les systèmes de valeurs des douze variables 
a"., Vi, x'i, p'i figurant comme inconnues dans les équations différentielles (14). 

Dès qu'on suppose le moment résultant K des quantités de mouvement 
différent de zéro, on peut exclure [Chap. I, n° 11] un domaine de S entourant 
(pour ainsi dire) les collisions générales. Et il devient loisible de partager par 
la pensée la partie restante de S (qui peut être atteinte effectivement pendant 
un mouvement correspondant à des valeurs déterminées de À' et de E) en quatre 
régions: trois voisinages des chocs binaires, jS,, S^, S^, et une quatrième iSo, dans 
laquelle les distances mutuelles ne descendent pas au dessous d'une certaine limite. 

D'après le n" précédent le système différentiel (14) se comporte régulière- 
ment: dans Sa déjà par rapport aux variables .r;, ;',-, x'j, p'i qui 3- figurent direc- 
tement; dans chacun des »S,. ()' = i, 2, 3) par rapport à douze combinaisons (cano- 
niques) convenables des mêmes variables. 

On peut évidemment (dans une infinité de manières) choisir 12 paramètres 
canoniques 

lih, qi, (/i = I, 2, . . .,6) 
définissant l'état de mouvement des trois corps, doués de la propriété que la 
fonction caractéristique F se comporte régulièrement, par rapport aux arguments 
rju, qii, dans toutes nos quatre régions S,. (»'=0,1,2,3). Il suffit par ex. que 
iji,; qh coïncident avec les .r,, a;',-; p,, p'i dans S^,, avec les combinaisons canoni- 
ques régularisantes dans S, , à l'exception de très petites couches tS*. de ces der- 
nières, tout près de leur frontière avec S^. Dans S*., soit les a-,-, p,-, x'i, p'i, soit 
les combinaisons qui se rapportent à Sy assurent la régularité du système (14), 
et on peut, sans la gêner jamais, imaginer à son gré une transition graduelle et 
canonique des unes aux autres. 

Ceci en concept; mais il y a lieu de désirer un choix plus concret et plus 
expressif de ces paramètres. Je me borne à signaler la question. Une idée de 



Sur la régularisation du i>ro1)lè]iie des trois corps. 143 

sa nature et des ressources formelles auxquelles il faudrait vraisemblablement avoir 
recours est offerte par ce qui arrive dans le cas particulier du problème plan. 
Pour ce cas [où les substitutions régularisantes appartiennent à un type encore 
plus élémentaire que (I), (II)], la question dont il s'agit a été effectivement 
traitée avec tous les développements qu'elle comporte.^ 
Padoue, Août 1917. 



Table des matières. 

Page. 

Tutrodiiotion 99 



CHAPITRE I. 
Relations formelles. — (Quelques résultats dus à MM. Paiiilevé et Suiulniaii. 

1. Préliminaires 102 

2. Formules de Lagraxce 103 

3. Expression de la force vive signalée par R. Ball 104 

4. Autre expression de la force vive (remontant à Jacoiîi) 105 

5. Moment résultant des quantités de mouvement 107 

6. Fonction des forces dans le problème des trois corps. — Equations vectorielles 

du mouvement. — Intégrales classiques 108 

7. Viriel 110 

8. Premier corollaire du théorème général d'existence 110 

9. Deuxième corollaire 112 

10. Existence d'une limite pour /. — Les deux seules formes de singularité possii)les: 

choc binaire et collision générale 112 

ir. Exclusion des collisions générales d'après M. Sixdm.\n 114 

12. Voisinage d'un choc binaire i',. + i, jPv + 2- — Spécifications se rapportant :i 1\. . 115 

13. Ordre d'infinitude de la vitesse 116 

14. Relations asymptotiipies. — Variable auxilairc do M. Sindhhn. — Constatation 

(prelle reste finie i)()ur / tendant à i", ll(i 

ClIAPITÜE II. 
Transformations canoniques suggérées par le mouvement parabolique. 

1. Formules symétriques se rapportant à la méthode de Jacoiu 118 

2. Mouvement central parabolique. — Équation eu W qu'il convient d'envisager . . 119 



Renvoi à la citation (2) de la page 100. 



144 T. I.pvi-Civita. 

Page. 

;. ('oiistructii)ii d'uiie intégrale lioniogéiie de ilégré 121 

4. Signification des constantes ^, et des paramètres -nr; 122 

5. Forme résolue de la transformation canonique entre les deux sextuples (.r,-,?),-), (i'j. ty,; 125 

6. Inversion. — Comportement analytique 12G 

7. Mouvement paral)oli(iue tangent. — Interprétation des variables i',-, ttfj 128 

8. Généralités sur l'introduction d'éléments osculateurs paraboliques 129 

q. Intégrale complète de (8') à variables séparées. — Eléments canoniques i)arabolii|ues 129 



CHAI'ITUK m. 

Régularisation explicita du voisinane d'iiii clioe biiiairt'. 

Forme canoni(iue de Poikcaké 132 

Transformation de Daubou.v-Suxumax 133 

3. Limite du produit '(/';+ Jjf. H-J'ij) pour r tendant à zéro 134 

4. Introduction des variables ^i, -ra',-. — Holomoriiliisnie de rexjiression transformée de JI* 135 

5. Régularisation d'un clioc P, 137 

6. Forme canonique de .Tacobi. — lîégularisation tout à fait analogue qu'on jieut lui 

faire subir 139 

Le paramètre syjnétri(iue r et la régularisation ciunplète du mouvement. — Corollaire 140 

Complément foi-mel (pii reste encore à élaborer . 14 2 



ÜBER POTENZREIHEN MIT VORGESCHRIEBENEN ANFANGS- 
GLIEDERN. 

Vox 

FRIEDRICH RIESZ 

in Kolozsvar. 

Einleitung. 

In der vorliegenden Arbeit befasse ich mich in erster Reihe mit dem fol- 
genden Problem: Wir betrachten sämtliche innerhalb und auf dem Einheitskreise 
reguläre Funktionen i{z), deren Potenzreihenentwickhing mit den vorgeschriebenen 
Oliedern 

a^ + a^z H 1- a„ 2" 

beginnt. Wir bilden das über den Einheitskreis erstreckte Integral 

I[f\-j\f{z)\\dz\=j\f{é*)\dt 
Ul-i 

tmd fragen, ob es unter den betrachteten Fimktionen eine solche gibt, für die der 
Integralwert /[/] möglichst klein ausfällt/ ]Venn ja, loelche sind die iveiteren E igen- 
scJiaften dieser Funktion? 

Unser Problem wird vielleiclit anziehender erscheinen, sobald wir es auch 
geometrisch deuten. Es sei F(z) eine Integralfunktion von /(2). Die Gleichung 

v = F(z) 

definiert eine konforme Abbildung des Kreises |2|j<i auf ein Gebiet der v-Ebene 
resp. auf ein RiEMANN'sches Flächenstück. Das Flächeustück wird durch die 
Kurve 

Acta malhematica. i2. Imprimé le 20 renier 1919. 19 



146 Friedridi Riesz. 

i, = i?'(e<') = ^(<) + i ).(<) (o<t<2n) 

begrenzt, und das Integral 

2.1 

nn- j\F{z)\\dz\=j [[i' {t)f + [,/ {tn^dt 

1*1-1 'o 

ist die Länge dieser Kurve. 

Da nun zugleich mit f{z) auch F{z), und umgekehrt, mit F (z) auch f{z) = F'{z) 
innerhalb und auf dem Einheitskreise regulär ausfallen, da ferner das Flächen- 
stück bis auf eine Verschiebung von der Wahl der Integrationskonstanten unab- 
hängig ist, speziell also die Länge der Randkurve von der Integrationskonstante 
nicht abhängt, so können wir unser Problem auch in folgender Form aussprechen : 

Wir betrachten sämtliche innerhalb und auf dem Einheitskreise reguläre Funk- 
tionen F (z), deren PotenzreihenentwicMung mit den vorgeschriebenen Gliedern 

beginnt. Gibt es unter diesen FunktioJien eine solche, für welche die Länge der Kurve 
V = F (e^^) möglichst klein ausfällt? Wenn ja, tvelche sind die weiteren Eigenschaften 
dieser Funktion? 

Unser Problem reiht sich an jene wohlbekannte Extremalprobleme für Potenz- 
reihen mit vorgeschriebenen Anfangsgliedern an, die aus den Untersuchungen des 
Herrn Carathéodory' über die PiCARD-LANDAu'schen Sätze emporgegangen sind. 
Hierher gehört auch jenes von den Herren Carathéodory und Fejér in einer 
gemeinsamen Arbeit behandelte Problem, welches sich von unserem dadurch unter- 
scheidet, dass nicht das Integral, sondern der Maximalwert von |/(2)| möglichst 
klein zu machen ist.' Dieses Problem wurde neuerdings auch durch Herrn Gron- 
WALL behandelt, u. zw. in derart elementarer Weise, dass eine weitere Verein- 
fachung kaum zu leisten wäre.' Wenn ich dennoch im letzten §. dieser Arbeit 
auf das CARATHÉODORY-FEJÉR'sche Problem zurückkehre und die in den voran- 
gehenden Untersuchungen entwickelte Methode auch auf dieses Problem anwende, 
so ist dies dadurch gerechtfertigt, weil hiedurch die beiden anscheinend weit ent- 
fernten Probleme miteinander eng verknüpft erscheinen. 

' C. Carathéodory u. L. Fejér, Vber den Ziisammenhang der Extremeti von harmonischen 
Funktionen mit ihreti Koefficienten etc., Rendiconti del Cire. Mat. di Palermo, t. XXXII (2«> seni. 

191 1), p. 232. 

' T. H. Groxwa:,!., On the maximum modidtis of an analytic function , .\mi.ilsä of imithemntics. 
20 ser., vol. 16 (1914 — '915), p. 77. 



über Potenzreiheu mit vorgescliriebenen Ant'augsgliedeni. 147 

Ich bemerke noch, dass das erste Problem, indem man darin / {z) durch 
f{z)z~"~^ ersetzt, was ja auf das Integral /[/] ohne Einfluss ist, folgendermassen 
formuliert werden kann: Die rationale Funktion 

"»_ 4- ?' 4- 4. ?n 

2"+' ^ Z'*'^ '"*' Z 

ist durch eine innerhalb und auf dem Einheitskreise reguläre Funktion in dem 
Sinne zu approximieren, dass das über den Einheitskreis erstreckte Integral der 
absolut genommenen Differenz möglichst klein ausfalle. Das allgemeinere, d. i. 
sich auf eine derartige Approximation einer beliebig gegebenen rationalen Funk- 
tion beziehende Problem lässt sich durch unsere Methode äusserst ähnlich be- 
handeln. 

§ I- 

Nehmen wir zunächst ohne Beweis an, dass es unter den Funktionen f(z), 
die sich innerhalb und auf dem Einheitskreise regulär verhalten, und deren Potenz- 
reihenentwicklung mit den vorgeschriebenen Gliedern 

a„ + Ol 2 H t-a«2" 

beginnt, tatsächlich eine gibt, für welche das Integral 



I[n= j\l{z}\\dz\ = l'\f{e'^)\dt 



möglichst klein wird. Wir bezeichnen diese Minimalfunktion mit f*(z). Wir kön- 
nen auch ohne Einschränkung der Allgemeinheit a„ 5^ o voraussetzen; denn wäre 
ao = a, = ••■ =a/;_i = o, so Hesse sich, indem man f(z) durch /(s)s~'' ersetzt, das 
Problem auf das entsprechende Problem bezüglich der Anfangsglieder 

a/c + ak+iz -\ h a„2»-* 

zurückführen. 

Es bedeute nun l ein beliebig veränderliches Parameter, p irgend eine ganze 
Zahl > n. Dann setzt die Potenzreihenentwicklung der Funktion 

/(2) = /*(2)(l+/2P)'' 

ebenfalls mit den vorgeschriebenen Anfangsgliedern an, und da auf dem Einheits 
kreise 



148 Friedrich Riesz. 

|(i +/2P)''| = (i +/.ZP) (i + Iz-P) =1 +).zP+/.z-P+ |/.|- 



ist, so wird 



f\l* {z)\\dz\<j \f* {z)\(i + AzP + lz-P + \m\dz\. 

Somit ist, wenn 

7* = /[/*], Ip= I |/*(2)|2i'Ici2|;/^= j'\f*(z)\z-p\dz\ 

gesetzt wird, die HEEMiTE'sche Form 

Ip?. + lpl + I*\>.\' 
nicht -7iegativ. Also muss ihre Determinante >^ o ausfallen, d. h. es ist 

-ipip-=-\ipV->o. 

Augenscheinlich kann aber hier nur das Gleichheitszeichen gelten; also ist genau 
Ip- l\f*{z)\zP\dz\=o 

für alle p>n. 

Dieses Resultat können wir auf folgende Weise deuten. Wir setzen darin 
2 = e'', also zP = cos pt + i sin pt, \dz\ = dt und zerlegen in reellen und imagi- 
nären Teil; dann besagt unsere Identität, dass in der FouKiEB'schen Entwick- 
lung der stetigen, nach 2 7t periodischen Funktion |/*(e'')| für alle Indices p>n 
die Koeffizienten verschwinden, mit anderen Worten: die Funktion |/*{e'')| ist 
ein trigonometrisches Polynom höchstens n-ter Ordnung. 

Kehren wir nun zur Veränderlichen z zurück! Dann lässt sich die soeben 
ausgesprochene Tatsache auch so deuten, dass die Funktion |/*(2)|2" längs des 
Einheitskreises mit einem rationalen Polynom höchstens 2 ?)-ter Ordnung P(2) zu- 
sammenfällt. Ich behaupte, dass jede innerhalb oder auf dem Einheitskreise 
gelegene Nullstelle von i*{z) zugleich eine Nullstelle von P(z) ist, u. zw. von wenig- 
stens derselben Ordnung wie für /* (2). Für Nullstellen auf dem Einheitskreise 
folgt die Richtigkeit dieser Behauptung unmittelbar aus der Identität 



PMa) = /*(2)/*(^)2=», 



über Potenzreiheu mit vorgeschriebenen Anfangsgliedern. 149 

wo /* die durch jene Potenzreihe dargestellte Funktion bezeichnet, welche aus 
der Potenzreihe für /*(z) dadurch hervorgeht, dass man die Koeffizienten durch 

die konjugiert komplexen Grössen ersetzt, und somit /* l-j die durch die ent- 
sprechende, nach negativen Potenzen von z fortschreitende Reihe dargestellte 
Funktion bedeutet. Da auf dem Einheitskreise die Werte z und -_ zueinander 

konjugiert sind, so sind es auch die Werte j* [z) und /* ; ; also ist f* {z) f* i-\ = 

|/*(3)|-. Somit besteht jene Identität tatsächlich längs des Einheitskreises, und 
da auf beiden Seiten regulär analytische Funktionen stehen, so besteht sie auch 
in der Umgebung des Einheitskreises, speziell in der Umgebung einer jeden auf 

dem Einheitskreise gelegenen Nullstelle «. Nun ist aber « = = auch NuUstelie 
von /* ~), u. zw. von derselben Ordnung wie für /*(«); somit ist auf Grund obiger 



Identität a auch für P{z) eine Nullstelle von derselben Ordnung wie für f* (z). 
Es sei nun « eine innerhalb des Einheitskreises gelegene Nullstelle k-ter Ord- 
nung von /* {z). Es bedeute l wieder ein beliebig veränderliches Parameter, h 
eine positive ganze Zahl <k. Dann ist die Funktion 



/(.) = /*(.) (x + aÄ-^) 



(2 ~ «)* 

innerhalb und auf dem Einheitskreise regulär und ihre Potenzreihe beginnt mit 
den vorgeschriebenen Anfangsgliedern. Somit ist /[/]>/[/*]. Andererseits ist 



1+^(^^1+1^!^ 



(2 — «)''' ' 



h"=i (2 "I ' i^r-1 



= /[/*] + J,,/. + ,/,./. + 2 A.',.|/.|% 
wo 



^"= lirWlFT^^J^^I 



-J 



(z — «)* ' 



l»l-l 



150 Friedrich lliesz. 

und 

-i*r-t 

gesetzt wurde. Demnach ist die HERMiTE'sche Form 



Jh l + Jh /. + 2 Kh I / 1 - 

nicht-negativ, woraus ähnlich, wie vormals für Ip, das Verschwinden von J/, 
folgt. D. h. da |/*{z)|2« = P(3) und z\dz\ = — idz ist, so wird 

) (z — ö)" 

für h =^ r, 2, ..., k; also ist a für P{z) eine Nullstelle von wenigstens i-ter Ordnung. 
Wir haben also bewiesen, dass |/*(2)|3" längs des Einheitskreises mit einem 
rationalen Polynom höchstens 2?i-ter Ordnung P{z) übereinstimmt und dass alle 
innerhalb oder auf dem Einheitskreise gelegenen Nullstellen von /* (z) auch Null- 
stellen von P{z) sind u. zw. wenigstens von derselben Ordnung wie für /*(2). 
Diese Resultate gestatten es nun, uns über die Struktur der Funktion /* (2) näher 
zu orientieren. Zunächst definiert nämlich die Identität 

PHz) = j*{z)f*{l\z^" 



die Funktion /*L) auf Grund des Prinzips der analytischen Fortsetzung für alle 
2 innerhalb des Einheitskreises: 



z^"f*(z) ~ \i*(z)] 



/m:)=,-^vä-^-"i;*t:!i/*(^)-^-"'<?^(^)/*(^). 



p 

wo Q=T^ dem über die Nullstellen von P und von /* erhalteneu Resultate ge- 
mäss innerhalb und auf dem Einheitskreise regulär ist. Demnach ist daselbst 
auch die Funktion /* M regulär bis auf den Punkt 2 •= o, der für sie ein Pol 

höchstens 2 ?i-ter Ordnung ist. Ersetzen wir durch l.', so ist also die Funktion 

2 

/*(i,') für alle ausserhalb des Einheitskreises gelegenen Punkte ç definiert; sie ist 



über Potenzreihen mit vorgescliriebeueu Anfangsgliedern. 151 

auch überall regulär und besitzt nur im Unendlichen einen Pol höchstens von 
der 2 n-ten Ordnung. Also ist /* (z) und somit auch /* (z) ein rationales Polyiiom 
höchstens 2 n-ter Ordnung. Was die Nullstellen dieses Polynoms betrifft, so sei zu- 
nächst « eine innerhalb des Einheitskreises gelegene Nullstelle k-iev Ordnung. Da 
laut Voraussetzung öq r' o ist, so ist auch u v^ o. Die Identität 

besagt nun, dass u auch für /* eine Nullstelle wenigstens von der ^--ten Ord- 
nung sein muss, u. zw. genau von der Ävten Ordnung, wenn Q{u)i*o, sonst aber 
ist ilire Ordnungszahl um eine gerade Zahl höher. Ausser den Nullstellen v. von 

\* (z) kann ferner/* M noch weitere Nullstellen innerhalb des Einheitskreises 
besitzen, nämlich die von den u verschiedenen Nullstellen ß von Q\z)\ dieselben 
sind wegen des Faktors Q^ für /* Nullstellen von gerader Ordnungszahl. Nun 
aber entspricht jeder innerhalb des Einheitskreises gelegenen Nullstelle « oder {i 
der Funktion /* M je eine ausserhalb des Kreises gelegene Nullstelle von /*(2), 

nämlich - bez. = , u. zw. sind diese Nullstellen von derselben Ordnung wie die ent- 

sprechenden Nullstellen von/*( ]. Damit haben wir gezeigt, dass die innerhalb 

und ausserhalb des Einheitskreises gelegenen Nullstellen von /* (:) nach der fol- 
genden Regel verteilt sind: Zugleich mit jeder im Innern gelegenen Nullste.lle a ist 

anch ihr Spiegelbild _ eine Nnllstelle u. zw. von derselben oder um eine gerade Zahl 

höheren Ordnung; die eventuell noch ausserdem ausserhalb des Einheitskreises auf- 
tretenden Nullstellen sind von gerader Ordnung. 

Was schliesslich die auf dem Einheitskreise gelegenen Nullstellen betrifft, so 
haben wir gesehen, dass diese auch für P{z} Nullstellen von genau derselben 
Ordnung sind; nun ist aber die Funktion P(2)2-"= |/*(2) | längs des Einheits- 
kreises reell und nicht negativ; sie kann daher dort nur Nullstellen gerader Ord- 
nung zulassen. Somit sind alle auf dem Einheitskreise gelegenen Nidlstellen von 
f*(z) von gerader Ordnungszahl. 

Zusammenfassend können wir auch so sagen: Die Funktion f*(z) ist ein ratio- 
nales Polynom höchstens der 2 n-ten Ordmuig, und ihre NuUstellen lassen sich derart 



152 Friedricli Hiesz. 

zu Paaren anordnen, dass die beiden Elemente je eines dieser Paare entiveder iden- 
tisch und auf dem Einheitskreise oder ausserhalb derselben gelegen, oder aber Spiegel- 
bilder von einander in bezug auf den Einheitskreis sind. 



§ 2. 

Bisher haben wir die Existenz einer Minimalfunktion f*(z) ohne Beweis 
vorausgesetzt. Um den Beweis zu erbringen, könnte man es mit dem folgenden, 
bei ähnlichen Problemen bewährten Verfahren versuchen. Es sei I* die untere 
Grenze der Integrahverte /[/]; dann gibt es eine Folge /, ,/j,..., für welche 
/[/„]_/*. Man kann leicht zeigen, dass entweder schon diese Folge innerhalb 
des Einheitskreises einer daselbst regulären Funktion /* (2) zustrebt, oder aber 
dies jedenfalls für eine entsprechend ausgewählte Teilfolge der Fall ist. Man 
sieht ferner auch leicht ein, dass die Potenzreihe für /* (2) ebenfalls mit den vor- 
geschriebenen Anfangsgliedern ansetzt, wie auch, dass für jeden Kreis |2| = r, 
dessen Radius r kleiner als i ist, 

ji/*(2)||f/2|</* 

ist. Es sind nämlich die Koeffizienten der Potenzreihen für die Funktionen /„ 
wie auch diese Funktionen selbst mit Hilfe der CAUCHY'schen Integralausdrücke 
leicht aus /[/„] abzuschätzen; die Funktionen selbst jedoch nur im Innern des 
Einheitskreises. Auf dem Einheitskreise, auch wenn wir die vorgeschriebenen 
Anfangsglieder in Betracht ziehen, ergibt diese Abschätzung überhaupt nichts. 
Keinesfalls tritt also durch dieses Verfahren das reguläre Verhalten von f*{z) 
längs des Einheitskreises in Evidenz. Andererseits aber haben wir dieses reguläre 
Verhalten bisher nicht nur in unserer Problemstellung gefordert, sondern auch, 
wenigstens anscheinend, in den vorangehenden Untersuchungen wesentlich aus- 
genützt. 

Lassen wir nun die Forderung des regulären Verhaltens auf dem Einheits- 
kreise selbst bis auf weiteres fallen und ersetzen wir sie durch eine allgemeinere, 
unserem Minimalproblem besser angepasste Forderung. Indem wir dann wieder 
an ein rationales Polj'nom gelangen, so wird dies, da es sich ja überall regulär 
verhält, auch eine Lösung unseres ursprünglichen Problems ergeben. 

Wollen wir unsere neue Forderung unserem Minimalproblem möglichst an- 
passen, so empfiehlt es sich, an die zweite Formulierung des Problems anzuknüpfen. 
Es handelt sich in dieser Formulierung darum, die Länge der Kurve v — F{e'') 



über Potenzreihen mit vorgeschriebenen Anfangsglicdern. 153 

(o<.^<2iT), d. h. also die totale Schivankung der Funktion F {e'') möglichst klein 
/u machen. Beschränktheit der Schwankung bedingt noch keineswegs reguläres 
Verlialten; so >,. B. sind die den Einheitskreis auf ein endliclies Polygon oder 
allgemeiner, auf ein von einer einfach geschlossenen rektifizierbaren Kurve be- 
grenztes Gebiet konform abbildenden Funktionen auf dem Rande nicht überall 
regulär, doch von beschränkter Schwankung. 

Betrachten wir also sämtliche innerhalb des Einheitshreûes reguläre und be- 
schränkte Funktionen F{z), für welche die Randwerte F{e^') existieren und eine Funk- 
tion von beschränkter Schwankung ausmachen. Die Existenz der Randwerte ver- 
langen wir im Sinne radialer Annäherung: F(re^^)-^F [e^*). Wir können jedoch 
sofort hinzufügen, dass diese Präzisierung eigentlich überflüssig ist. Es sind näm- 
lich die soeben gekennzeichneten Funktionen auch auf dem Einheitskreise, also für 
|z|<^i ausnahmslos stetig. Dies folgt keineswegs unmittelbar aus der beschränk- 
ten Schwankung, denn Funktionen beschränkter Schwankung lassen ja noch ab- 
zählbar unendlich viele ünstetigkeitsstellen zu. Nun können aber bekanntlich 
diese ünstetigkeitsstellen, wenn sie auftreten, nur solche erster Art sein. Dass 
andererseits auch solche bei den Randwerten F{e'^) ausgeschlossen sind, ist in dem 
allgemeinen Satze enthalten, wonach die Randfunktion einer regulären und be- 
schränkten Funktion keine Ünstetigkeitsstellen erster Art zulässt.' 

Zu derselben Funktionenklasse gelangen wir auch, indem wir alle jene nach 
2;T periodische Funktionen beschränkter Schwankung F [e^^) von t betrachten, 
deren FoüRiER'sche Reihe sich als eine nach positiven Potenzen von e'' fortschrei- 
tende Reihe auffassen lässt, d. i. wo die Sinuskoeffizienten die j-fachen der ent- 
sprechenden Cosinuskoeffizienten sind. In Formeln 



' A. Prixgshkim, Über ilas Verhalten von Potenzreihen auf dem Conveu/emkreisc, Sitzuiigsliev. 
(1. niatb.-phys. Cl. d. k. bay. .Vkademie d. Wiss. zu München, 1900, Heft i., p. 96-98; 1'. Katou, 
Séries trigonométriqucs et séries de Taylor. Acta inathematica 30 (1906), p. 563; E. Lin'dei.öf, Snr 
un principe général de V Analyse et ses applications a la théorie de la représentation conforme. Acta 
Soc. Scient. Fennicae, Tom. XLVI, No 4 (1915), p. 7- 

Laut mündlicher Mitleitung des Herrn L. Fejkk kann man den Satz auch durch folgende 
einfache Überlegung Ijegründen: Die Potenzreihe einer beschrankten Funktion ist auch eine 
FoiTRiER'sche Reihe für die Randfunktion und ist daber an einer Unstetigkeitsstelle er-ster Art 
<hirch arithmetische Mittel summierbar. Daraus folgt nach dem verallgemeinerten Amki-Fuo- 
BEXius'schen Satze, dass bei jeder beliebigen geradlinigen Annäherung jener Stelle aus dorn In- 
neren des Kreises die Funktion ein und demselben Grenzwerte, nämlich der Reihensumnie zu- 
strebt. Andererseits sind F{x + iy) oder, wenn es beliebt. Reell- uml Imaginarteil derselben har- 
monische Funktionen; der Grenzwert einer harmonischen Funktion an einer Unstetigkeitsstelle 
erster Art variirt aber mit dem Einfallswinkel und ist bei verschiedenen Geraden verschieden. 

Wir mochten noch bemerken, dass der Satz in den folgenden Ausführungen nicht wesent- 
lich benützt wird; jedenfalls gestattet er uns, beim Rechnen mit F{e't) auf eine gewisse 
Vorsicht zu verzichten, die bei Auftreten von l'nstetigkeitsstellen angemessen wäre. 



alheinatica. 42. Imprimé le 20 février 1919. 



■JO 



154 Friedlich Riesz. 

1 F(e^')e''''dt = o (i = i,2, ...)• 



Schreibt man in der FoDEiER'schen Reihe ' einer solchen Funktion z an Stelle 
von e'', also 2™ an Stelle von e""', so erhält man die Potenzreihe je einer Funk- 
tion F{z). Auf Grund der klassischen Resultate über die FouEiER-Reihe der 
Funktionen beschränkter Schwankung konvergiert unsere Potenzreihe nicht nur 
im Inneren dos Einheitskreises, sondern auch auf demselben u. zw. gegen die Rand- 
funktion. Da ferner diese laut obiger Bemerkung nicht nur von beschränkter 
Schwankung, sondern auch stetig ist, so ist die Konvergenz überall gleichmässig. 
Wir greifen nun aus der Gesamtheit der soeben definierten Funktionen F{z) 
jene heraus, deren Potenzreihenenlwicklung mit den vorgegebenen Gliedern 

yljZ + ^jZ^ + h J„+i2"+' 

beginnt, wo 

^, =«0, ^, = -', ..., An+ï= — ;— 

gesetzt wurde. Wir bezeichnen mit T[F] die totale Schwankung der Funktion 
F{e'') oder mit anderen Worten das Integral 



j" 



\dF\ 
1^1 = 1 



Es sei T* die untere Grenze der Werte 2'[F]. Dann gibt es eine Folge i^'^i^'j 

für welche TlFk]-—T*. Die Funktionen Fk(e^') sind in ihrer Gesamtheit von be- 
schränkter Schwankung, d. h. ihre totalen Schwankungen liegen unterhalb einer 
gemeinsamen Schranke. Ferner sind diese Funktionen in ihrer Gesamtheit be- 
schränkt; da nämlich 

ÏFk[é')dt=^o 



ist, so können weder der reelle, noch der imaginäre Teil von Fk{e'') von kon- 
stantem Vorzeichen sein und es sind daher beide Teile dem absoluten Werte 
nach <T[F/,]. 

Nach dem Satze von Helly ' enthält jede Folge, die in ihrer Gesamtheit 
beschränkt und von beschränkter Schwankung ist, eine überall konvergente Teilfolge. 



' K. IIbixy, Über lineare Funktioiialoperationen, Sitzuiigsber. d. kais. Akademie d. Wiss., 
Wien, 13d. CXXI (1912) Abt. II a, p. 285. 



über Poteiizreihen mit vorgescliiiebenuii Anfangsgliedei'ii. 155 

Wenden wir diesen Satz auf unsere Folge [F/,] an; sei JF"''} eine überall konver- 
gente Teilfolge und F*{e'') ihre Grenzfunktion; dann ist für jede Einteilung 
ta,ii,tn, ..., tr = t^ des Einheitskreises 

r-l r — \ 

2 I F* {e''m + i) — F- (e''« | = lim ^ I ^'*' {e'''"'+') — F^''^ (e''"') I < um T [FC')] = T*, 



d. h. die Funktion F* (é^) ist ebenfalls von beschränkter Schwankung und ihre 
totale Schwankung ist <^T*. Da ferner die FouRiER-Koeffizienten von F*, als 
Grenzfunktion der beschränkten Folge ^f *'}, sich als Grenzwerte der entsprechen- 
den Koeffizienten der i^'*^' ergeben, so ist auch die FoDRiER-Reihe von F* vom 
Potenzreihentypus und die entsprechende Potenzreihe für F* (z) beginnt ebenfalls 
mit den vorgeschriebenen Anfangsgliedern. Hieraus folgt auch nocli, dass die 
totale Schwankung von F*{e'') nicht kleiner sein kann, als die untere Grenze 
T*; also ist genau 

T[F*] = T*. 

Damit ist gezeigt, dass es U7iter den betrachteten Funktionen F (z) sicher eine 
gibt, für ivelche die totale Schwankung möglichst klein tvird. 



§3- 

Wir untersuchen nun die totale Schwankung der Funktion F* auf dem von 
z == I nach z = e'' führenden Bogen des Einheitskreises als Funktion der Veränder- 
lichen t. Es wird sich ergeben, dass diese Funktion — von einem linearen Gliede 
abgesehen — ein trigonometrisches Polynom höchstens 7i-ter Ordnung ist. 

Wir beginnen mit einigen Überlegungen allgemeiner Art. Es sei F(z) irgend 
eine Funktion vom betrachteten Typus, g (2) eine innerhalb und auf dem Ein- 
heitskreise reguläre Funktion. Wir bilden die Funktion 

H(z)= j^F'(z)g(z)dz==Cg{z)dF(z)=^F{z)g{z)-F(o)g(o)~ j F(z)g'{z)dz. 

Auf Grund des letzten Ausdrucks kann die Integration längs eines beliebigen, 
innerhalb oder teilweise auch auf dem Rande führenden Wege geschehen; der 
Wert des Integrals ist von dem Integration.swege unabhängig. Die Funktion H [z) 
ist beschränkt, im Kreisinneren regulär, auf dem Rande aber von beschränkter ScMcan- 
kung. Das reguläre Verhalten im Kreisinncren lässt sich aus allen der 3 Inte- 



156 



Fricihirli Itiesz. 



gralausdrücke, die Besehi'änktheit avis dem letzten unmittelbar ablesen; die be- 
schränkte Schwankung der Randfunktion ergibt sich leicht aus dem mittleren, 
wie auch aus dem letzten Ausdruck, z. B. aus dem letzteren dadurch, dass man 
bemerkt, dass Produkt und Differenz zweier Funktionen beschränkter Schwankung, 
ferner das Integral einer stetigen (oder beschränkten oder auch nur integrier- 
baren) Funktion ebenfalls Funktionen beschränkter Schwankung sind. Aus dem 
mittleren Ausdrucke ergibt sich auch der genaue Wert der totalen Schwankung 
von H (2), nämlich 

T[H] = ^\g{z)\\dF(z)\. 
1/1 = 1 

Wählen wir nämlich eine genügend dichte Einteilung z„,z^,z-,, ..., z,- = Zg des 
Einheitskreises, so ist T[H] mit behebiger Annäherung gleich der Summe 



2\H{z„.+ ^)-H{z„^\='^ 



g{z)dF{z) 



Andererseits wird das Integral 



\g{z)\\dF{z)\ 



durch die Summe 

'2 \u{z,„)\\F{z„,.^,)-F{z„,)\J2 



g(t,n) dF(z) 



beliebig genau angenähert. Ist schliesslich die Einteilung derart dicht, dass auf 
den einzelnen Bögen \g{z) — g{z,„)\<à ist, so wird die Differenz der beiden Sum- 
men <ôT[F]; also wird bei entsprechender Einteilung auch diese Differenz belie- 
big klein. Somit ist genau 

nH]==j\g{z)\\dFiz)\. 
Mi = i 



Die Potenzreihe für H (z) ergibt sich aus jenen von F' (z) und g{z) durch 
Multiplikation und gliedweise Integration. Daraus folgt sofort, dass wenn die 
Potenzreihe von F(z) mit den vorgeschriebenen C.liedern, jene von g{z] aber mit 



über Poteuzreihen mit vorgeschriebenen Aufangsgliedern. 157 

I + czP {p>n) beginnt, auch die Potenzreihe von H {z) mit den vorgeschriebenen 
Gliedern beginnen muss. Wählen wir speziell iür F (z) die Minimalfunktion i*"* (2), 
für g{z) die Funktion (i + Äzi'j-, also 

H{z)= j (i + }.zP)-dF(z), 
"(1 

so beginnt die Potenzreihe von H (z) mit den vorgeschriebenen Gliedern; daher ist 
T* = T[F*]<T[H]=^ I {i + /.zJ'){i + /.z-n\dF* {z)\ = {1 + |/. |^) T* +/.7^ + /Jp, 

ur=i 

wo jetzt 

Ip= jzP\dF*{z)\, Ij,-^ jz-i'\dF*(z)\ 

ui=i uV=i 

gesetzt ist; Ip und /p sind konjugierte Grössen. Somit ist wieder die HEEMiTE'sche 
Form 

7,,/4-/p/. + T*|/.|■- 
nicht-negativ und daher 

/p= jzP\dF*{z)\ = o, 

u. zw. für alle p > 71. 

Um dieses Resultat weiter zu verfolgen, bezeichnen wir mit V* (2) die totale 
Schwankung von F* (2) auf dem von i bis z führenden Bogen des Einheitskreises. 
Ersetzen wir in unserem Integral \dF(z)\ durch dV*(z). Die Differenz der ent- 
sprechenden Näherungssummen wird für genügend dichte Einteilung beliebig klein, 
denn sie ist 

<T[F*}-''^\F*{z„,^i)-F*{z,„)\. 

Somit ändert sich der Integral wert durch Einsetzen von dV* an Stelle von |r/7'*| 
überhaupt nicht. Also ist • 



1 zi'd V* (2) = (p = n + I, »i + 2, . . .). 



1Ö8 Friedricli Riesz. 

Führen wir noch e'' an Stelle von z ein, so ergibt sich nach partieller Integration, 
da sich V* (2) bei einmaligem Umlaufe um T* ändert, 

T*—ipi V*{e'')éPHt = o (/; = »»+ i, w + 2, ...). 

Andererseits ist 

T*=ipi —e'P'tdt 

J ITC 


und somit wird schliesslich 

I rF*(e"') tXév^dl^Q {p = n + i, n + 2, . . .)• 

"0 

d. h. der reelle Ausdruck in der eckigen Klammer ist ein (rigonometriches Polynom 
höchstens nier Ordnung. 

Der bisher befolgte Gedankengang ist bis zu gewissem Grade jenem des § i. 
nachgebildet. Wir könnten nun diesen Parallelismus weiter verfolgen und unter 
Andern zeigen, dass der Differentialquotient von F*(e*') auf dem Einheitskreise 
mit einer Funktion P[z)z~" übereinstimmt, wo P(3) ein rationales Polynom höch- 
stens 2 w-ter Ordnung ist, und dass die innerhalb des Einheitskreises gelegenen 

dF* 
Nullstellen von ~= — zugleich Nullstellen von wenigstens derselben Ordnung für 

P {z) sind. Weiter aber wäre der Parallelismus schwer zu verfolgen, da hier 

schon das reguläre Verhalten von /* {z) auf dem Rande tief ausgenützt wurde, 

dF* 
.während wir jetzt über das Verhalten von F* (2) bez. von -^ auf dem Rande 

viel weniger wissen. 

In den folgenden Untersuchungen werden wir das in diesem § erhaltene Re- 
sultat nicht voll ausnützen, sondern wir werden daraus nur einige Folgerungen 

d F* 
über das Verhalten von F* und von , ziehen. Aus der speziellen Form der 

dz 

Funktion F*(e'') folgern wir nämlich nur so viel, dass ihr Differenzenguoiient be- 
schränkt ist und dass ihr Differentialquotient nur eine endliche Anzahl von Null- 
stellen haben Jfann. Somit ist auch der Differenzenquotient von F* (e'') beschränkt, 
also ist die Frinktion F*(e'') ein Integral ihres ebenfalls beschränkten Differential- 
quotienten (dessen Existenz höchstens mit Ausnahme einer Menge vom Masse o 
schon au-s der beschränkten Schwankung folgt). Ferner kann dieser Differential- 



über Potenzreihen mit vorgeschriebenen Aufangsgliedern. 159 

quotient, dessen absoluter Wert ja fast überall, d. i. höchstens mit Ausnahme 

einer Menge vom Masse o, mit ' übereinstimmt, nur auf einer Menge vom 

Masse o verschunnden . 

Ich möchte noch bemerken, dass die beiden letzten für die spezielle Funk- 
tion F* [z) jetzt hergeleiteten und in der Folge zur Anwendung gelangenden Re- 
sultate eigentlich ganz allgemein für alle Funktionen F {z) vom betrachteten Ty- 
pus gelten, wie dies aus gewissen Untersuchungen, die ich gemeinsam mit mei- 
nem Bruder Marcel Riesz ausgeführt habe und über die wir unlängst dem Nor- 
dischen Mathematikerkongress in Stockholm berichteten, hervorgeht. Eine Bezug- 
nahme auf diese Untersuchungen allgemeinerer Art würde also diesen § über- 
flüssig machen. Doch greifen jene allgemeine Untersuchungen viel tiefer in die 
LEBESGUn'sche Integrationstheorie ein, als dies für das hier behandelte spezielle 
Problem notwendig ist. 

§4. 
Es sollen jetzt g{t) und h{t) im Intervall (o,2rr) definierte, im LEBESGUE'schen 
Sinne integrierbare, reelle oder komplexe Funktionen der reellen Veränderlichen 
t bedeuten; À ist ein beliebig komplex veränderliches Parameter. Über die Funk- 
tion g{t) setzen wir noch voraus, dass sie höchstens in einer Menge vom Masse 
o verschwindet. Wir betrachten das Integral 



/W= ) \g(t) + ).h{t)\dt 



und werden eine nohvendige und hinreiche7ide Bedingung dafür herleiten, damit 
^(o)^/(/.) sei, d. i. dass die Funktion I {'/.) ihren Minimahvert für X = o erreiche. 
Die Bedingung heisst: 

I sg g{t)h(t)dt = o, 
'o 
wo 

'^^^' \g{t)\ g(t) 
gesetzt ist. 

Nehmen wir zunächst /. als reell veränderlich an und berechnen wir /'(o). 
Der entsprechende Differenzenquotient in bezug auf l des unter dem Inte- 
gralzeichen stehenden Ausdruckes [gr+A A|, also 



160 Friediidi Riesz. 

\g{t) + kh{t)\-\g{t)\ 
I 

ist dem absoluten Werte nach ^|Ä(<)|. also kleiner als eine integrierbare Funk- 
tion; somit ist es gestattet, die Differentiation unter dem Integralzeichen auszu- 
führen. Nun ist aber der Differentialquotient von |a + /.6| für /. = o, wenn a ?^ o 

ist, gleich dem reellen Teile von &sga = . . h} Also ist /'(o) gleich dem reellen 
Teile von 

i^g{i)]i{t)di. 

'o 

Wenn also l{'i.) für /. = o ein Minimum hat, so ist der reelle Teil dieses Integrals 
gleich o. 

Lassen wir jetzt /. längs der imaginären Axe variiren, oder was auf dasselbe 
hinausläuft, ersetzen wir }i{t) durch ih{t); dann ergibt sich, dass auch der imagi- 
näre Teil unseres Integrals verschwindet. 

Wenn also /(/.) für /. = o ein Minimum hat, so verschwindet das betrachtete 
Integral vollständig, d. h. unsere Bedingung ist tatsächlich nohcendig.- 

Nehmen wir jetzt umgekehrt an, dass die Bedingung erfüllt ist. Wir zeigen, 
dass dann I{o)<I(/.) ist. Wir dürfen uns dabei auf reelle /. beschränken, denn 
durch Multiplikation von h(t) mit einer entsprechend gewählten Konstanten e'** 
lässt sich der allgemeine Fall auf diesen zurückführen. Nun ist aber der Inte- 
grandus |gr + /. A| eine konvexe Funktion von /., dasselbe gilt daher auch für den 
Integralwert / (A). Eine konvexe Funktion besitzt aber an einer Stelle, wo ihr 
Differentialquotient verschwindet, nicht nur im Verhältnis zur näheren Umgebung, 
sondern auch ein absolutes Minimum. 

Somit ist unsere Bedingung auch hinreichend. 

■ d F* (e'') 

Setzen wir jetzt für g{t) die Funktion ^- , für h(l) aber «'(/>+')' ein, 

dt 

wo p > n ist. Dann ist g{t) + Ih [t) der Differentialquotient nach t des Randwertes 

der Funktion 



Es sei luliulich a = a' + ia", b = b' + ib", so ist 



i„j_!;i r, , , i,,N. , , I, , ,,.,N,-T I . , . I, [b'{a' + Xb')+b"ia'' + Xb")1 a'b' + a"b" 
\a + Xh\ = ,{a +Xbr + (a" + ). b ')V- \a + Xb[ ,.„ = |^ p^^:^^| i^o^l^^r 

' Unter spezielleren Voraussetzungen (reelle Funktionen und reelles Parameter, endliche 
Anzahl von Zeichenwechsel) steht die Notwendigkeit der Eedinguns schon in der ersten Arbeit 
von Th. J. Stiei.tjes: Delà repirsfiitation nppioxiniative dune fonction 2>ar une aulie, Pelft 1S76, 
Oeuvres complètes, I, p. 11. 



über Potenzreilien mit vorgeschriebenen Anfangsgliedein. 161 

F(z)^F*{z) ^2"+i 

' p+ 1 

und es ist serait 

I(o) = T*<T [F] = !{'/.). 

Daher ist also 

I sg g {t)e''^P+^^' dt = {p=n+i,n + 2, ...). 
'n 

Man kann dieses Resultat auch so aussprechen: Die FouRiER'sche Reihe 
der Funktion 



idF*(t")\ 



ist vom Polenzreihentypus. Darunter verstehen wir wie bisher, dass die formal 
gebildete Fourier- Reihe, ebenfalls rein formal, als Potenzreibe in e'' aufgefasst 
werden kann. d. h. dass 



i y{t)ei'tdt = o (k=^i,2,...). 



Ich behaupte nun, dass auch die Fourier'scac Reihe der Funktion 

tn-2n + nt^^t) ^ ,ii2„^^)tg(t)^^ggçt)y ^ y,(t)g{t)e-'' 

vom Potenzreihentypus ist. 

Die Richtigkeit der Behauptung ist im folgenden allgemeinen Satze enthalten: 
Sind die Fourier- Reihen von zwei integrierharen Funktionen von Potenzreihentypus, 
und ist wenigstens eine der beiden Funktionen beschränkt, so ist auch die Fourier- 
Reihe ihres Produkts von Potenzreihentypus. 

Es sei nämlich von den beiden Funktionen (p{t) und ij'{t) z. B. cp{t) be- 
schränkt, dann lässt sich eine Folge von ganzen rationalen Ausdrücken in e'' an- 
geben, die einerseits in ihrer Gesamtheit beschränkt sind, andererseits aber fast 
überall gegen die Funktion (p{t) konvergieren. Eine solche Folge {F,„(t'')] bilden 
z. B. nach den wohlbekannten Sätzen von Fejér und Lebesgue die arithmetischen 
Mittel der FouRiER-Reihe von <i'{t). Durch Multiplikation mit t"'' ip(t) erhält man 

^) (t) P,n (e") e' ''■ ' — 7 (0 II' (t) e'' '' ' 

und da die linksstehenden Funktionen dem absoluten Werte nach alle kleiner 

Ada mathemal icn. 42. Imprimé le 21 févii.T 1919. -1 



162 P'riedrich Kiesz. 

sind als die Funktion C\H'{t)\, wo C eine passend gewählte Konstante bedeutet, 
da sie also in ihrer Gesamtheit dem absoluten Werte nach unterhalb einer integrier- 
baren Funktion liegen, so darf man gliedweise integrieren: 

2.T 2.T 

l ip(t)P,„(e")e"''dt~ f (p(t)ip(t)t''^'dt. 



t"''dt~ j (p 



Da nun aber '/' (0 vom Potenzreihentypus ist, so versehwindet das von o bis 2 tt 
genommene Integral von t'''^tl'{t) für jede ganze positive Zahl r, also verschwin- 
den auch die linksstehenden Integrale für ganze positive k und es verschwindet 
also auch der rechtsstehende Grenzwert. Somit ist 

1 </'(t)il'{t)e''--idt = o {k = i,2,...) 
'0 

d. h. die FouKiER'sche Reihe des Produkts (p(t)i}>{t) ist vom Potenzreihentypus. 
Wenden wir nun den Satz auf das Produkt 

f-{t)g{t)e-ii 

an. Da y[t) beschränkt und ihre FüURiER-Reihe vom Potenzreihentypus ist, so 
gilt nach dem Satze dasselbe für y-it). Andererseits ist die FoüRiER-Reihe der 
Funktion F*{e'') und somit auch jene ihres Differentialquotienten g{t) vom Potenz- 
reihentypus; ferner beginnt letztere mit i A^é'^, also ist auch noch die Fourier- 
Reihe von g{t)e~'' vom Potenzreihentypus. Dasselbe gilt daher auf Grund un- 
seres Satzes vom Produkt y-(t)g(t)e-'' . 
Nun ist aber 

also ist die FouRiER-Reihe des rechtsstehenden Ausdruckes vom Potenzreihen- 
typus und somit ist für alle positive ganze Zahlen k 

l e'"«"+' + *)'g(0<i« = o, 


oder, indem wir auf die konjugierten Werte übergehen, 

•2.1 



über Potenzreilien mit vorgeschriebenen Anfangsgliedern. 163 

D. li. die (potenzreihenartige) Fourier- Reilie von g{t) bricht nach dem Gliede 
vom Index 2n + i ab; dasselbe gilt somit auch für die FouRiBR-Reihe von 
F*{e'') d. i. für die Potenzreihe von F*(z). Also ist F* {z) ein rationales Polynom 
höchstens 2 n + i-ter Ordnung. 

Kehren wir endlich zum Differentialquotienten von F* {z) zurück, den wir 
mit f* (z) bezeichnen, so ist f*(z) ein rationales Polynom höchstens 2 71-ter Ordnung, 
das mit den vorgeschriebenen Gliedern 

a„ 4- a, z -f h «,. 3" 

beginnt, und für welches das Integral des absoluten Wertes I[f*] — T möglichst klein 
ausfällt. Somit besitzt unser Minimumproblem tatsächlich eine innerhalb und auf 
dem Einheitskreise reguläre Lösung. 

Die weiteren Eigenschaften der Funktion /*, d. h. die spezielle Verteilung 
ihrer Nullstellen haben wir schon in § i. erkannt. Ich möchte jedoch bemerken, 
dass wir den § i., der uns hauptsächlich zur Orientierung dienen sollte, entbehren 
könnten, da jene spezielle Verteilung der Nullstellen sich jetzt auch leicht aus 
der Tatsache ergibt, dass die FouRiER-Reihe der Funktion 

vom Potenzreihentypus ist. 

§ 5- 

Wir haben soeben gesehen, dass unser Minimumproblem wenigstens eine 
Lösung besitzt; wir wollen jetzt zeigen, dass es nur eine Lösung besitzt. 

Nehmen wir an, es gäbe zwei verschiedene Lösungen; beide wären dann 
rationale Polynome höchstens 2n-ter Ordnung mit den gemeinsamen Anfangs- 
gliedern 

«0 + «iZ + ■ • • + ««2". 

Schreiben wir die beiden Funktionen in der Form /* (2) und /* (2) + fp{z), wo also 

/*(2) =«„ -f a, 2 +...+ a„2" + a„+|2" + ' +•■•+ a^nZ^", 
(p{z) = b„+iz"+^ +--- + b2,iZ^" 

gesetzt ist. Wir bilden nun das Polynom fn^f* + uf, wo u ein beliebig ver- 
änderliches Parameter bedeutet. Dann ist laut Annahme 

/[/*] = /[/* + 7^] = /*; /[/„]>/*. 



164 FriediiL-h Kiesz. 

1st nun zunächst /< nur reell veränderlich, so ist der Integrandus im Aus- 
drucke für /[/„], also auch /[/„] selbst eine konvexe Funktion von n; ferner ist 
für ti = o und für /( = i 

■ /[/,.] = /*; 

daher ist für alle Werte von u zwischen o und i 

Es ist daher genau 

/[/,"] = ^* (o<,((<i). 

Somit ist /,, nicht nur für n = o und /( = i, sondern auch für alle u zwischen o 
und I ein Minimalpolynom, dessen Nullstellen daher nach der bekannten Art 
verteilt sein müssen. Daher sind, zunächst für o<^.<(< i, sämtliche Nullstellen 
des Polynoms 

2-" A.W /." I]) = z'"l*iz)r (^') + z"^"[f*{z),p (^) + /* Q .f (j) ]u + z'''ff{z)ri^l)u^- = 
= u(z) + ,Hz)fi + y{z)fi- 

von gerader Ordnung. Nun kommen aber die notwendigen und hinreichenden 
Bedingungen hiefür in gewissen algebraischen Relationen zum Ausdruck; diese 
Relationen bestehen also für alle Werte von u zwischen o und i und somit über- 
iiaupt für alle reelle und komplexe Werte von «. Daher sind sämtliche Null- 
stellen der Funktion 

«(2) + ii(z)fi + y(z)fi- 

für jeden Wert u von gerader Ordnung; speziell hat also die Funktion ausschliess- 
lich mehrfache Nullstellen. 

Wir unterscheiden 4 Fälle: 

i) y(z) verschwindet identisch. Dann verschwindet auch 7" (2) identisch, d. h. 
/* (2) und /* (z) + (p (z) sind nicht verschieden. 

2) Die Diskriminante der Gleichung 2-ten Grades in n 

i!{z) + iHz)tt + y(z)n- = o 
verschwindet identisch. Die Diskriminante ist 

Z)(2) = p'^(2)-4«(=);-{2) = 2*«[/*(2),^(_')-/*(^j,H2)J; 

verschwindet also D(z) identisch, so ist, ebenfalls identisch, 



über Potenzreilien mit vorgeschriebenen Anfangsgliedern. 165 

2^"/*(2)7^(^;)=2-^'7*(j)r(2)- 

Nun ist aber fp(z) durch 2" + ' teilbar, somit ist es auch das rechtsstehende Poly- 
nom und daher ist es auch das linksstehende. Andererseits aber ist a^ 7^ 0, und 
so muss schliesslich das Polynom 



22"f/'R =62» + hn-lZ + ---+ 6„+l3"-l 



durch 2"+' teilbar sein, was, da der Grad des Polynoms <n + 1 ist, das identische 
Verschwinden nach sich zieht. Also verschwindet auch <f (z) identisch. 

3) |i(2) verschwindet identisch. Dann ist 

^^"/*(2)t(^)=-2-"/*(^')'/'(2), 

woraus, ähnlich wie in 2), das identische Verschwinden von ([>{z) folgt. 

4) Es verschwinden weder y(z), noch ß{z) oder D{z) identisch. Dann besitzen 
sowohl y(z) wie /^(2) und D{z) nur je eine endhche Anzahl von Nullstellen. Das- 
selbe ist für « (2) immer der Fall. Also hat im allgemeinen für einen gegebenen 
Wert von 2 die Gleichung in it 

«(2) -I- i-i(z)n + y{z)n- = o 

zwei verschiedene Lösungen, n^ und ,«,> und welche wir von beiden in den links- 
stehenden Ausdruck eintragen, so hat die so definierte Funktion von 2 den gege- 
benen Wert zur Nullstelle, also zur mehrfachen Nullstelle. Somit genügen der 
betreffende Wert von 2 und die entsprechenden Werte /i, resp. /f, auch der 
Gleichung 

«' (z) + (i' (2) /( + y' (2) It- = ü . 

D. h. die beiden Gleichungen 2-ten Grades haben im allgemeinen ihre beiden Wur- 
zeln gemein; also ist 

«'(2)_/i'(2) /(2) 

«(2) ß{z) ;'(2)' 
oder, indem man integriert, 

ß (2) = Ci « (2) ; ;' (2) = c, i< (2) . 

Da ferner die Funktionen 2--"«(2), z--"ii(z), z-~"y(z) längs des Einheitskreises 
reell sind, so sind es auch ihre konstanten Verhältniszahlen c, und Cj. Ausser- 



166 Friedrich Kiesz. 

dem ist, da /(z) nicht identisch verschwindet, c^f^o. Indem wir nun zu den 
ursprünglichen Bezeichnungen zurückkehren, so ist also 

wo Ci und c, reell sind und c^^o. Dann aber kann 

nicht entlang der Strecke o<^((<^i konstant sein. Damit sind wir auf einen 
Widerspruch gestossen. 

§ 6. 

Wir ergänzen noch unsere Resultate durch den folgenden Satz, der gewisser- 
niassen als Umkehrung der Resultate des § i. gelten darf, und durch den die 
Bestimmung der Minimalfunktion f* (z) auf ein algebraisches Problem zurückge- 
führt wird: 

Kann man die Nullslellen des rationalen Polynoms höchstens 2 n-ter Ordnung 

/, (2) = «0 + «i 2 H \- anZ" -\ h üin z"" {a<i ^ o) 

derart zu Paaren anordnen, dass die beiden Elemente je eines dieser Paare entweder 
identisch und in diesem Falle auf dem Einheitskreise oder ausserhalb desselben gele- 
gen, oder aber Spiegelbilder von einander in beztig auf den Einheitskreis sind, dann 
ist /, (z) Lösung unseres Minimumproblems. 

Unter der gemachten Voraussetzung liegen nämlich sämtliche Pole der ratio- 
nalen Funktion 

/, (2) 

ausserhalb des Einheitskreises; auf dem Eiuheitskreise selbst hat die Funktion 
keine Nullstelle und die innerhalb des Kreises gelegenen Nullstellen sind sämtlich 
von gerader Ordnung; daher sind die beiden Determinationen von 



' ' Mi)' 



deren Randwerte gleich 



über Potenzreilien mit vorgeschriebenen Aufangsgliedern. 167 

±2"sg7, (z)= ± e'«'sg/i(e'') 

sind, im Kreisinneren und auf dem Rande regulär; dasselbe gilt auch für ihr Pro- 
dukt mit irgend einer regulären Funktion il>(z). Also ist auch das Produkt 

sg/, (e'')e'''"'/'(e''') 
Randwert einer regulären Funktion. Daher ist 

I sg/,(e'0fe''"+'"'/'(e'O<^< = — Î 1 s:gh{z)z"il'{z]dz = o. 

D. h. für die Funktionen 

9{t) = fAe''), /»(0 = e'"'+"V/'(e'-') 

ist die in § 4. hergeleitete notwendige und hinreichende Bedingung erfüllt, und 
somit ist 

\h{e'')\dt< I 1/, (e'O + e'<"+"'</'(e'')|d<, 



j.\fAe"ndt< j 



oder in der früher benutzten Schreibweise 

/[/J</[/. + ^"+'V']. 

Damit ist der behauptete Satz bewiesen. 

Wir können sämtliche Resultate in den folgenden Satz zusammenfassen: 
Unter allen innerhalb und auf dem Einheitskreise regulären Funktionen /(2), 
deren Potenzreihe mit den vorgeschriebenen Gliedern 

a,, + rt, 2 H + a„ 2" 

beginnt, gibt es eine und nur eine solche, für welche der Integralwert 

\\i(z)\\dA 

möglichst klein ausfällt. 

Diese Funktion ist vollständig charakterisiert durch die folgenden Eigenschaften : 

i) Sie ist ein rationales Pohjnom höchstens 2n-ter Ordnung; 

2) ihre Nullstellen lassen sich derart zu Paaren anordnen, dass die Leiden 

Elemente je eines dieser Paare entweder identisch sind und in diesem Falle ausser- 



168 Friedrich Riesz. 

hall) oder auf dem Einheüskreise liegen, oder aber Spiegelbilder von einander in he- 
zug auf den Einheitskreis sind. 

§7- 
Das schon in der Einleitung erwähnte UARATHÉODORY-FEJÉR'sche Problem 
lautet: Wir betrachten sämtliche imierhalb und auj dem Einheitskreise reguläre Funk- 
tionen g{z), deren Polenzreihenentwickelung mit den vorgeschriebenen Anfatigsgliedern 

Co + c, 2 + ■ • ■ + c„ z" 

beginnt. Gibt es unter diesen Funktionen eine solche, für ivelche der Maximahverl 
von \g(z)\ auf dem Einheitskreise möglichst klein ausfällt? Wenn ja, welche sind 
die weiteren Eigenschaften dieser Funktion? 

Dieses Problem steht in enger Beziehung zu dem bisher behandelten Problem. 
Als Mittelglied bebandeln wir zunächst das folgende Problem : Gegeben sind die 
Zahlen Ca.Ct, ...,€„, und wir betrachten sämtliche innerhalb und auf dem Ein- 
heitskreise reguläre Funktionen f {z), für -welche die Koeffizienten a^.a^, ...,a„ ihrer 
Potenzreihe die Gleichung 

Cn «0 + c«-i a, H 4- C,| ün = I 

befriedigen. Gibt es unter diesen Funktionen eine solche, für welche /[/] möglichst 
klein wird, und wenn ja, was sind die weiteren Eigenschaften dieser Funktion? 
Was zunächst die Existenz betrifft, so lässt sich durch fast buchstäbliche 
Wiederholung des § 2. die Existenz einer Funktion F* (z) zeigen, die innerhalb 
des Einheitskreises regulär und beschränkt, auf demselben von beschränkter 
Schwankung ist, für welche ferner die Koeffizienten A^,A.., ..., A„ + ] der Potenz- 
reiheiientwicklung die Bedingung 

CnÄt + f„_i 2^2 H \- Cain + l) An + \ = I 

erfüllen, und für welche unter allen ähnlichen Funktionen F (z) die totale Schwan- 
kung T[F] möglichst klein wird. 

Nun ist aber diese Funktion resp. ihr Differentialquotient f*{z), in bezug 
auf ihre eigenen Anfangsglieder, a fortiori zugleich Lösung unseres alten Pro- 
blems; also ist 

f*{z) =0^ + a^z -\ + a„ z" -\ h a>„ z-" 

ein Polynom höchstens 2 n-ter Ordnung, dessen Nullstellen in der bekannten 
Weise verteilt sind. 



über Potenzreihen mit vorgeschriebenen Anfangsgliedern. 169 

Andererseits aber ist jetzt auch noch, da die ao'^^i (^n nicht einzeln 

gegeben, sondern nur der einzigen Bedingung 

c„ a„ + C„ _i «1 + h C„ ttn = I 

unterworfen sind, 

gegenüber allen innerhalb und auf dem Einheitskreise regulären Funktionen 

f/i (s) = &o + 6, 3 + ■ ■ • + 6„ 2" f ■ • -, 
deren Koejfizienten der homogenen Bedingung 

Cnh„ + C„ + i?(, H h Co6n = O 

geniigen. Also ist nach § 4. für alle solche Funktionen 

I ^f{z)<r[z)\dz = i i sgf*(ei'}rp{e*i)dt = o. 

Nun sind aber speziell die Funktionen 

</)(2) = C/,_i2"-'' — ca2"-* + i (i<k<n) 
von dieser Art; somit ist 



j 



^ f* (z)[ck-^ z"-''-^ — CkZ"-'']dz = {i<k<n) 



Diese Relationen lassen sich folgendermassen deuten. Die Funkt on z"s. I* z) 
stimmt auf dem Einheitskreise mit der einen der b iden Determiiuitionen von 



?" ' 



/*(2) 

üherein, die wir durch h{z) bezeichnen. Infolge der eig ntümliohen Vert ilung 
der Nullstellen von f* (z) ist h(z) eine sol.-he rationale Funktion, deren Nullstellen 
— höchstens n an dir Zahl — innerhalb des Einheitskreises, ihn- Pole«ber. mit 
der entsprechenden Multipli/.ität, in den Spiegelbildern der Nullstellen liegen. 
Längs des Einheitskreises ist |Ä(2)| = i. Nach Einführung der Funktion h{z) 
lauten unsere Relationen: 

Acta mathemalica. 42. Imprimé le 21 février 1919. 22 



170 Friediicli Riesz. 

CA_i fh{z)z-^-''dz = Cki h(z)z-''dz (i <Ä:<«). 

Dies besagt, dass die ersten n + i Koeffizienten der Potemrcihe für h(z) mit den 
Zahlen Ca,c^, ..., d proportional sind. Die Koeffizienten resp. der Proportionali- 
tätsfaktor a lassen sich leicht berechnen. Da 

A(2) =f({C(, + C, 2 + ••■+ C„2" +•■■), /*(Z) ==«(, + rt,2 + ■••+ a„2" +■•■ 

ist, so wird 

et = « (c„ tto + c„_i a, + ■ ■ ■ + c„ a„) = ^-v- I Ä (2) /* (2) 2-» - ' rf 2 = 

1^1 = 1 

,4j}*(2)sg/*(2)^ = ^M|/*(.)||rf.H^- 

Also beginnt die Potemreihe der rationalen Funktion 

9*{z) = ~h{z) 
genau mit den Gliedern 

C(, + c, 2 H h C„2". 

Ich behaupte, dass die Funktion g* (2) eine Lösung und zwar die einzige Lösung 
des CARATHÉODORY-FEJÉE'schen Problems ist. Es ist nämlich der Maximalwert 
von |gr*(2)|, den dieser übrigens in allen Punkten des Einheitskreises annimmt, 

gleich ^^-. Andererseits besteht für jede innerhalb und auf dem Einheitskreise 
reguläre Funktion 

,7 (2) = C„ + C, 2 + f- f „ 2" + • ■ ■ 

die Ungleichung 

i=c„a, + c„_,a. + ■• + c,a„ = ^rj7(2)r(2)2-»-'d2=^~ jg(z) f*{z)z-»\dz\< 

ixi=i ui-i 

<— max 1^(2)1 ||/*(2)||(/z|-/* max |i,(î)|, 
2 71 I 2 .r 



also die Ungleichung 



max |fi'(2)|>^; 



über Pütciizit'iheu mit vorgescliriebeiieu Anfaiigsgliodeni. 171 

und zwar kann das Gleichheitszeichen nur dann gelten, wenn \(j{z) z~"\, also |^(2)| 
längs des Einheitskreises konstant und g{z)f*{z)z-" daselbst positiv resp. nicht- 
negativ ist, was nur für gr (s) = positives Multiplum von A (2) = 2" sg/* (2) zutrifft, 

also nur für g{z) = -^h<z) =- g*{z}. 

Es verdient bemerkt zu werden, dass für diese Schlussweise, speziell also 
für den Beweis der Eindeutigkeit der Minimallösung ^* (2), die tiefer liegende 
Eindeutigkeitsfrage für /* (2) nicht in Betracht kommt. 

Damit ist gezeigt, dass das CARATHÉODORY-EEJÉR'scAe Problem eine und nur 
eine Lösung g*(z) hat, und zwar ist jr* (2) eine rationale Funktion mit höchstens n 
Nullstellen, die alle innerlmlb des Einheitsheises liegen und mit derselben Anzahl 
von Polen, die, jede mit der entsprechenden 3Iultiplizität, in die Spiegelbilder der 
Nullstellen in bezug auf den Einheilikreis fallen; auf dem Einheitskreise selbst ist 
\g* (z)\ konstant. 

Kolozsvar, den 29. Oktober igi(). 



ÜBER DIE LOSUNG DER KONGRUENZ 

(f. -V lY — kP — 1 -^ o (modp^) 



A. ARWIN 



Der Versuch das Fermât' sehe Problem xp + yP = zp in zur Primzahl p prime 
ganzen Zahlen zu lösen führt leicht zur Untersuchung der Möglichkeit der Kongruenz 
{l-\-i)P — lP — i^o(mody)-), und diese ist eben der Gegenstand einer Untersu- 
chung in dieser Abhandlung. Die Ausführung, die das Problem mit sich zog und 
unten angegeben worden ist, wurde eine Folge vom Zusammenführen ganzzahliger 
Werte (mod^j) und (modp-) und von dem Verhältnis dieser Werte zu einander. 
Hierin liegt das Neue, das in dieser Abhandlung zu finden ist, wie auch in der Über- 
sicht der Natur der Lösungen, die daraus ersichtlich ist. Dass endlich wirklich solche 
Lösungen in den verschiedenen Fällen und damit Gruppen (mod f^) mit gewissen 
Eigenarten existieren können, ist ein Resultat vom reinen experimentellen Prüfen. 
Dazu sei nur bemerkt, dass die Giltigkeit von 2''~^^i(p^) für ^=1093 von 
W. Meissner beispielsweise in Archiv der Math. u. Physik 1914 angegeben 
worden ist, während das zweite Beispiel für das, was ich 'VGruppen innerhalb 
eines Systèmes (a) (mod p-)" genannt habe, nämlich die Primzahl p= 59, wohl die 
erste Primzahl zu sein scheint, die solche Gruppen besitzt, aber gar nicht so eigen- 
artig wie p = 1093 ist, sondern von vielen anderen begleitet wird, wenn diese 
auch nicht zu zahlreich sind. 

Aus der Identität 

{i + i)p — ip—i==vi{i-^i)(i" + i + iiYip(i,i) (i) 

wo /; eine Primzahl sein soll, t = i oder 2, je nachdem p = 6 w — i oder 6 w + i ist, 
geht hervor, dass sich /„(/.,1) relativ invariant für die Substitutionsgruppe 



174 A. Arwin. 

A I + /. I + /. /" 

verhält. Infolge (2) lässt sich, wie gezeigt weiden kann, /p(/., i) homogen mittels 
(;i« + ;i+i)-' = A'(Â) und [;i(/. + i)P=i(/0 darstellen, d. h . /;,(/., i) = i/v(A, ^) gilt. 
Die Lösung von fp(/.. i)~o{p) erfordert al.so auch die Zerlegung von ipp{K,Ij) 
in LinearfaktorenJ][(Ä'(/.) +Ä,. /^ (/*.)) (modp), und man erhält alle Lösungen zu 

/p(Â, i) -^0 (p) durch Auflösen jener Kongruenzen sechsten Grades K(/.) + 
+ /«,, L(Â) =0(7)), die als Invarianten für jede Substitutionsgruppe (2) betrachtet 
werden können, wo A,. ein für jede Gruppe bestimmter, charakteristischer 
Zahlenfaktor ist, der die Invariantenkonstante genannt werden mag. Man findet 

leicht, dass "". sich (mod /j) mittels solcher Invarianten K ().) + h ,■ L [/.) auf- 

/. + 1 

bauen lässt, weil ja immer die Werte /. = + i, ± 2 etc, die sämtlich -^-^ ^0 (p) 

lösen, hinsichtlich der Substitutionsgruppe (2) zusammengefasst werden können, 
und zwei Gruppen infolge des Gruppencharakters ein Element nicht gemein haben 
können, ohne identisch zu werden. Ausser den vollständigen Gruppen sechsten 
Grades existieren auch zwei Nebengruppen vom Grade 2 und 3, deren Elemente 
als Lösungen respektive aus /*+/. + i see (p), also nur für Primzahlen p = 6 n + i 
vorhanden sind, und aus 

(l-i)(l ±2)^1 + 1) _ 2_ÂM:3A1zi3A_-:L? , , („aod ;,) 

2 2 

wo p = b)i±i ist, erhalten werden können. Weil das Quadrat des letzten Aus- 
druckes sich auch für die Substitutioi A: — i + l) invariant verhält, so erhält man 



(3) 



|-(/^ -i)(/. + 2)(2A+ ^J = i^ (.) + A, L (À) (mod V) 

wo hq aus 

Ä'(i) + /(,L(i) .) (modp) 

bestimmt wird, d. h. den Wert 

Aj — — ~ (modp) (4) 

4 

erhält. Man hat also 



A + I 



I'ber die I,Osuiis der Kongruenz {/. + i)i' — /J' — i o (niody;-) 175 

Â- + /. + I)' |/ ä:(/)-^^Z,(/.) j][A'(/;i + Ä,.L(A)] [moAp) (5) 



weil die Anzahl der vollständigen Grujipen immer gleich n — i ist. Es sei noch 
bemerkt, das? es nur für die aus (5) genommenen Invariantenkonstanten ä,. 
zutrifft, dass eine Kongruenz K {'/.) + m L {'/.) ^ q (j)) überhaupt auflösbar werden 
kann. Auf dieselbe Weise lassen sich nun auch die Werte aus 

-^— - =f o (mod p-) (6) 

zu Gruppen und Invarianten zusammenführen. Als beleuchtendes Beispiel teile 
ich die folgende Zahlentabelle für p = ii mit, wo die Werte also (mod 121) zu- 
sammengefasst worden sind. 











„ 


^ 1 








E ingang - 
Elemente : 


-^' 


„ -5 


4- 


- 4- 1 
1 


-c 4- 


"1 


Invarianten 


4+ 


n . 11 


— 


— 


— 


— 


— 


— 





4 + 


. 1 1 


4 


— 30 


- 5 


4-24 


— 25 


4- 29 


7v — 4I.i 


4 + 


I . II 


15 


— 8 


— 16 


— 53 


4- 52 


4- 7 


A' — 30 . L 


4 + 


2 . II 


26 , 


14 


— 27 


— 9 


4- S 


— 15 


K — 1 9 . L 


4 + 


3- " 


37 


36 


-38 


-t-35 


— 3b 


37 


K— S..L 


4-t- 


4. II 


48 


58 


— 49 


— 42 


4- 41 


— 59 


K + 3 . L 


4 + 


5. II 


59 


— 41 


— 60 


4- 2 


— 3 


+ 40. 


A' 4- 14 •i' 


44- 


6. 11 


— ■ 5 I 


— 19 


4 50 


+ 46 


— 47 


+ 18 


A' 4- 25 . L 


44- 


7 . 1 1 


— 40 


+ 3 


4-39 


— 31 


4- 30 


— 4 


K 4- 36 . L 


44- 


8. II 


— 29 


-1- 2; 


4- 28 


+ 13 


— 14 


— 26 


A- 4- 47 ■ i 


44- 


9. II 


— 18 


+ A7 


4- 17 


+ 57 


-58 


-48 


K 4- 58 . L 


44- 

I 4- 
1 4- 


10.11 


— r 


-52 


4- 


— 30 


4- 19 


4- 5' 


A' — 52.i 


n . 1 1 
. II 


, 


I 


— 2 


4- 60 


4- Co 


— 2 


, VK-i7-L 


I 4- 


I . II 


12 


— 10 


-13 


— 28J 


4-27 


4-9- 


■K-n.L 


I 4- 


2 . 1 1 


23 


— 2i . 


— 24 


+ 5 


- 6 


4-20 


' K— '2,7.1 


1 4- 


3- II 


34 


—■32 


-35 


4-38 


— 39 


4- 31 


■K - 3; . L 


1 + 


4. II 


45 


— 43 


— 46 


— 30 


— 50 


+ 42 


K -37L 


1 4- 


5. II 


^•' 


— 54 


— 57 


— 17 


4- 16 


4-53 


K — 37 • i 


— I 4- 


n • 1 1 


— 


- 


— 


— 


— 


— 





— I 4- 


I . 1 1 


10 


-12 


- 


- 


- 


- 


{>■ + i? 


— I 4- 


2.21 


21 


— !'3 


- 


— 


- 


— 


{^ + i/-' 


— I 4- 


3- II 


32 


— 34 


— 


— 


- 


— 


iX 4- 1)' 


— 1 4- 


4. 21 


43 


— 45 


- 


— 


- 


— 


U 4- I)' 


— 1 4- 


5 . 1 1 


54 


— 76 


— 


— 


— 


- 


y + 0' 



176 A. Anvin. 

Alles in allem bilden die Elemente dieser Tabelle 6.11+6.5 + 2.5 + 3 = 109 
verschiedene zu 121 relativ prime Werte, die also mit den 7^(11°) — i = 109 über- 
haupt existierenden zusammenfallen. Weiter findet man, dass die Gruppen mit den 
Eingangelementen 4 + 11 w die Folge der Invarianten konstanten — 41 + 11 w, n = 
= 0,1,.., IG haben, d. h. dass die elf Gruppen mit dem ersten Kolonnenelemente 
4 + iiJZ. sich (med 11) zu der Gruppe 4,3, — 5,2, — 3, — 4 mit der Invariant- 
konstante — 8 zusammenziehen. Die Elemente i+iin haben dagegen alle die- 
selbe Invariante, deren Konstante =f — 4fmodii) ist, und die Werte — i + iiw 
haben die Invariante (/.+ 1)^. Ehe ich zu prüfen übergehe, in wie weit die oben 
angegebenen Eigenschaften allgemein giltig sind, will ich auf folgenden Sachen 
hinweisen. Aus 

K — 41 L~ K — 8 L + 8 . II 
K — 3oL:^=iC — 8L + 7.11 (mod 121) 

etc. 

folgt 

' 10 10 

U[Z-(4i + um)!,] :-(Z-8i)i' + (A'— 8L)'«ii ^n+---— (7) 

= {K—8L)'' (mod 121) 

Man erhält also 



A + i — l + i 



(8) 



/.10 j 

d. h. die elfte Potenz der Invarianten zu —. ^o (mod 11). Mit Hülfe der oben 

gegebenen Andeutungen kann die allgemeine Untersuchung auf folgende Weise 
durchgefürt werden. Man wähle zum Eingangelemente a + w p,?i = 0, i, .. .p — i, 
wo a einer Nebengruppe (mod p) nicht gehören darf, und führe auf diesen Kolonnen- 
elementen die Gruppenoperationen aus. Es entsteht daraus ein Gruppensystem (a) 
von W^erten, wo infolge des Gruppencharakters alle Gruppen verschieden sind, 
und kein Element zweimal in derselben Gruppe auftreten kann. Beim Über- 
gange zu (mod /5) würde nämlich eine Nebengruppe hervorkommen, was dem 
Auswähle des Elementes a wiederspricht. In diesem Systeme (a) stehen also 
6 p zu p* relativ prime und unter einander verschiedene Werte. W'ählt man 
ein Element b, das nicht in der vorigen Gruppe a liegt, und verfährt man wie 
oben, so erhält man noch 6 p verschiedene Werte, von denen keiner im System 
(a) vorkommen kann, denn beim Übergänge zu (mod p) würden sonst die Gruppen 
a und b zusammenfallen. In der Weise erhält man zu jeder vollständigen Gruppe a 



Über die Lösung der Kongruenz (/. + i V' — 'lp — i o (modp-). 177 

voQi sechsten Grade (mod/j) ein Gruppensystem (a) (mod p^). Das System, das 
(mod ja) zu der Nebengruppe dritten Grades gehört, nenne ich System (i), und 

zweiten Grades System (c). Vom Kolonnenelemente i + ?i p, ?i = o, i, . . . ^ 

ausgehend findet man, dass dasselbe Element nicht zweimal in derselben Gruppe 

ausser in i, — 2, (mod js") vorkommen kann. Man hat nur noch zu zeigen, 

dass für Eingangelemente i+?ijd, wo n<~ ist, nicht zwei Elemente dieses 

Typus in derselben Gruppe stehen können, denn sie können nur so mit einander 
zusammenstehen, dass (i + ?iip) (i +71, ja) i (modp-) gilt, d. h. ?i, + n. =o(/)), 

was ausgeschlossen sein muss, weil n, und n.2<- sind. Man erhält also von 

den Eingangelementen 1 + n p, verschiedene, vollständige Gruppen sech- 

sten Grades (modp^), und so die Nebengruppe (modjj^) selbst vom dritten Grade. 
Die Kolonnenelemente — i+np,n= 0,1,... ergeben nur zweielementige 

Gruppen, denn die übrigen Elemente können nicht zu p"- prim auftreten. 
Weil ( — i+np)a;:^i (p^) die Lösung xr:^ — {i+np) besitzt, so folgt 
(A -h I — np)(A + I + np);s(A + i)- (//) als die Invariante jener Gruppen. Sind 
in der Weise alle Werte — i + np genommen worden, so sind also für p = (>n — i, 
wo keine Nebengruppe zweiten Grades auftreten kann, alle zu p^ prime Werte 
gefunden, deren Anzahl also gleich 

6(h — i)j3 + 6- +3+2^ = (6w — 2)p— I = f/i(p-) — I 

ist, und die Zahl der Gruppen 

(n — i) p + 1- I + = n p, 

wie zu erwarten war. Das Zusammenrechnen der Elemente für p = 6n + i wird 
erst folgen, wenn das der Nebengruppe zweiten Grades (mod p) gehörige System 
(c) eingehend diskutiert worden ist. 

In der folgenden Darstellung möge mit a',*' ein Element genannt werden, das 
in 6:ter Kolonne und m + i:ter Zeile steht, und statt a'*' wird einfach a'*' geschrie- 
ben. In der Tabelle oben ging ich vom Eingangelemente a^^ =a'"-|-»H/;p aus, 
wo k gleich Eins gewählt wurde, aber doch beliebig zu wählen war. 

Actn mathemiilica. 42. Imprimé le 21 février 1919. 23 



178 A. Anviu. 

Aus 



(1) „ (2) __ , ^^ ' 



i+l "'m+1 



ergibt sich nach Subtraktion und Anwendung von 



oder auch 



Es ist aber 



oder 



und aus 






ergibt sich 

d. h. (9) lässt sich schreiben 

wo 

ist, und also [— Ä;(a'- )-] der Rest, nachdem —h (o'-*)- nach (mod/)) redu/.iert wor- 
den ist. In ähnlicher Weise können die Koloiinenwerte der übrigen Kolonnen 
bestimmt werden, so dass man das folgende Schema aller Werte erhält 



über die Lösung der Kongruenz (/. -^ iV' — ?.p — i _ o (niodj;*). 179 

a'jj' ^^ a'" + in kp, h = beliebig 
«',;> _- a'-* + 7nk,p, k, = [— k (a<2>)2J 
a''^ EzEo'^' + mfcjp, Ä;3 = — k 

(10) 

a^^ se: a'" + m i-, p, k,=[+ k (aW)=] (;r ) 

a'j^' :^ a'''' + m ^5 p , A5 = — k^ 

«','' = «'*" + mit, 2?. /S.-ö = — /fci 

In der Tabelle für 2^=11 waren k=j, «'-'^ — 30, (a''^')- ~^ goo s; — 2 (11) d. h. 
[ — i (a'-')-] = 2. Also werden die Elemente der zweiten Kolonne gleich a'fsL — 30 + 
+ 2. lim, und (a<«)ä = 576EEE4, [ + i(a<4))^] = 4, d. h. a'^'ss 24 + 4 . iim,a'j,' = 
— 25 — 4 . II m,a '^j SE20 — 2 . II »H, Werte, die in der Tabelle leicht gefunden werden 
können. Ähnliche Resultate erhält man für das Gruppensystem (i). Mit Hülfe 
dieser Resultate kann ohne weiteres eine Tabelle (mod 169) über ein System (c) 
aus den Lösungen der Kongruenz A- + Af 1^0 (13) ausgeführt werden, d. h. 
in diesem Falle haben wir ein System (3), weil 3' + 3 + 1^0 (13) ist. Die erste 
Gruppenzeile (mod 169) wird also, +3,-56, — 4, +42, — 43, + 55 (mod 169) und 
daraus nach (10) die übrigen 

a',Jj'i£+ 3 + 13 m ''',1'" +42 — 4-I3W 

«OT^s — 56 — 3 -13^1 "',t'— - — 43 + 4-13»* (169) 

a',^'^"— 4 — i3«i «m -' +55 + 3-i3"i 

Infolge des Charakters des Systems (3), aus Lösungen zu Ä^ + A+i^o (13) 
hervorgegangen zu sein, folgt, dass es für alle j» a'^J^' ^ a*,^_' ^^ a'^^j und a\^^a^^^ 
-a^ (13) gelten muss. 

Weil aber zwei Zeilen nicht dasselbe Element enthalten können ohne iden- 
tisch zu werden, und weil dasselbe Element nur zweimal in Kolonnen, die einander 
(mod 13) kongruent sind, auftreten kann, denn nur jene führen zum selben 
Werte für (modp) über, so erhält man die Zahl der doppelt vorkommenden Zeilen 
durch Lösen der diophantischen Gleichung 

d. li. 

4y + x = 3 (mod 13) 



180 A. Arwiii. 

oder 

2/ = o, I, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, g, lo, ii, 12 
a; = 3, 12, 8, 4j o, 9, 5, i, 10, 6, 2, 11, 7. 

Gelie ich also von der ersten Zeile als behalten aus, dann muss die dritte gestrichen 
werden, weil n'J' ^^ a'g' die Identität dieser Zeilen mit sich führt. Mit der dritten 
muss dann auch infolge a'[' o'g', die aus 2/^3 und x^e^^ hervorgeht, gestrichen 
werden. Mit y 4 und x o sind wir nun in der ersten Zeile wieder, und es sollen 
also folgende Zeilen als doppelt auftretend gestrichen werden 

gestrichene Zeile 

m= 3 und 4 

m = 12 » 7 
m = 8 » IG 
m = 9 » 6 

d. h. für jede behaltene Zeile müssen zwei gestrichen werden, eine Eigenschaft, deren 
Allgemeinheit für jedes System (c) auf folgende Weise dargelegt werden kann. Aus 

c',',' ; c'" + mp und c',^J - c'^' + mk,]) 
erhält man nach (10) 



belialtene Zeile 


m 


= 


m 


= I 


m 


= 2 


m 


= 5 



d. h. aus 



I + c") 
(c">)ä + c<i> +1 



■^ykiV ip-) 



Für 

y — r erhält man .1; b + rk, 

yBE^h + rk, » a; _■: b + k,{b + rk^) .^; rk] + 6(1 + k,) ip) 

yrkl + b{i + k,) » » X- rkl+b{l + k, + kl)=.r 

\ve'û, wie oben gezeigt wurde, i% _ — (i + c'") (mod />) gilt, wo 
(c(")-+ci" + i o (p) 



über die Lösung der Kongruenz [k + iV — '/.'' — i o(moilir). ]8l 

ist. Mit m = r als behaltene Zeile müssen also 77iry b + rk^ und m - rkl +b{i + k,) 
{p) gestrichen werden, d. h. nur ein Drittel der Zeilen sollen behalten werden, 
wenn die Nebengruppe zweiten Grades (mod p-) selbst nicht gerechnet wird. Man 
kann natürlich auch c"' c'^'(îJ) gebrauchen. Es lässt sich dann auch leicht zei- 
gen, dass dabei dieselben Zeilen gestrichen werden müssen. In einem Systeme (c) 

7) — I 

kommen also- vollständige Gruppen vor und das Zusammenrechnen der Ele- 

mente im Falle 'p^=6n+ i ergibt also: 
Elemente 

6p{n—i) + 6 ^~^ +2—'^^ + 3 + b'^^^ + 2 = p{p — I)— I =(f>(p-)—i, 

2 2 3 

Zahl der Gruppen 

p(n — i)-|- - 4-1+ +- 1- 1 = ?ip + 2?i+ I. 

"^' ' 2 23 

Voll ausgeschrieben sieht die Tabelle für das Sj'stem (3) (mod 169), wie auf 
der folgenden Seite angegeben worden ist, aus. 

Die Untersuchung der Invariantenkonstanten schreitet auf folgende Weise fort. 

Für ein System (a) möge ä-^^, die Invariantenkonstanten (mod />-) heissen und 
k, die der Gruppe a (mod^:»). Dann gilt für alle v, k-r^,=kr (modp), und man 
erhält, wenn die Invariante der Gruppe v in der Form ff (a|?^i, k,^), wo äv^. ■ k^^ + 
+ r„p ist, geschrieben wird, folgende Entwicklungen 

(p{a'l^_ i'k) -'- fp(a^^^ + vkp, kr^+r^p) -^ 

z(p (a'i', ir,) -f- vkp(['u(é^\kr^ + ?v?K/)'yt (a'", fc,,) o (p^) 
wo (/)'„ (a'", ÄTri) die Derivierte der Funktion f/)(a"', Avi) nach a'" als Variabel ist. 
Ähnliches gilt für r/i'/c («''*, ^rj)- 

Aus der vorigen Kongruenz erhält man 

^;fcf/^,(al'>,^^,) + ?•„V''/,(a<^^^^) o (p). (11) 

Wäre es möglich, dass in einem System (a) kr ^^ -^^r, (?'") für /< ^v gelten könnte, 
so ergäbe (11) für r,, e^Tü (p) 

iik(p'„ (a'", Ä;rj) -f rv ff'k (a'", ^ri) ^- o (p). 
Nach Subtraktion erhält man 

Ä;(,» — Î') <•/>'„ (a<",Ä'r,)-0 (p) 
d. h weil U9^v und kr^^^k^ (p) ist, ergibt sich 



182 



A. Arwiu. 



o 


+ 


r 


r 






+ 












i' ' 


_ 


III 


ITI 


III 


















: -i 


+ "" 


Ov 


ON 


Ov 






S; 












o- 


'"l 


o 

+ 


+ 


+ 






+ 












+ 




,^ 


-. 


_ 






y 












M 




1 


+ 


+ 






+ 












+ 


j.^ 


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r 


1 


r I 




II 


III 


111 


III 


III 


III 


III 


III 


III 


III 


III 


III III 


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1 


+ 


+ 


+ 


+ 


+ 


4- 


+ 


+ 


+ 


+ 


+ 


+ + 

m PO 



über die Lösung der Kongruenz (Ä-f i)^ — KP— i^=o(modj/). ]83 

(r'„{a^'\kr)-- o 

iP) 

die gleichzeitig gelten müssen, was nur für Nebengruppen zutreffen kann. In einem 
System (a) können also die hr^, in folgender Form gesetzt werden 

wo r aus der Kongruenz 

Ä;f/„(a"i,ü-,,) + »-'f'/,(a*",^ri) = o (p) 

bestimmt worden ist. Auf dieselbe Weise kann auch gezeigt werden, dass in 
einem Systeme (i) alle Invariantenkonstanten gleich werden, denn setzen wir 
(p [i,k,) :o{p) und (p(i + up,kr,);^o (p^), so ergibt sich lür kr,^ kr^-\- r„p (p') 

ip{i + u p, ÄVj + r,,p) = y (r , k,^) + iip'p'(j, kr^) + r,,p<r'k (i , ^m) « (P') 
d. h. 

fßV'P'k{i ,kr{]:^r„p[{i + n p) (2 + ," p)]" =- o (p-) 

oder r„ =0 (p) d. h. r„ = o, und es gelten also für alle diese Gruppen 

k.=-kr^r —^-^ (mod?)S) (12) 

4 

und die Invariante der Nebengruppe selbst mag 

VK{i.) + kr~^^L(/.) 
geschrieben werden. 

Weil also in einem System (a) für v ^ u auch immer A-r^siA;,,, (p-) gilt, so 

erhält man 

h-i 
\{[K{1) + t,^, L(Â)] ^^ [À'(/0 + kr^ L (l)y + L 1"^ ' i P 2 " + ■ • ■ ^ 

r 1 

= iK(k) + k,^L{i)y (r) 

wo ir, eine beliebige Invariantenkonstante innerhalb des Systems (a) ist, das also 
als Lösung aus der Kongruenz 

[K(K) + kr,L(l)y o ip-) 
erhalten werden kann. Man sieht aber leicht ein, dass schon 

[K{/.) + k,^L(/.)]^^o (7>») (13) 

dies tut, da jeder Faktor für sich o(mod/)) wird. 



184 A. Alwin. 

Ill derselben Weise kann auch das ganze System (i) und die Nebengruppe 
selbst doppelt als Lösung aus 

[VKr(X)'VkrJ.lJ)f~o (;/) (14) 

erhalten werden. 

Es sei jetzt angenommen, dass in 

(/. + i)p — /p— I = 7)A(/. + i) ß^ + }. + iy fp{/.,i) 

/^, (/.,i):^o (/)) für A a (p] lösbar wäre, d. h. dass /. a eine Lösung der Kon- 
gruenz 

{A + l)P-kP-l O (P-) (15) 

ist. Dann muss infolge des Invariantencharakters von /p(A,i) das ganze System 
die (a) Kongruenz (15) lösen. Schreiben wir also System (a) wie gewöhnlich, 
dann stehen folgende Elemente in Zeile m = o 



(i + a), — ' , , 

i+a i+a 



und in Zeile m 



I +a 



ai" I + a'> 



' a'' ^ ' I +aP i-VaP aP 

Infolge (15) kann diese Zeile auch so geschrieben werden 

Die erste Art die Gruppe m = r zu schreiben ist daraus veranlasst, dass mit a 

dP — ^ I y 

immer a'' a+vp, infolge ^- (p) als erstes Kolonnenelement auf- 

2J a ^ 

treten muss, und die zweite, wie gesagt, weil a eine Lösung zu (15) sein soll. Mit 
Hülfe der Formeln (10) findet man, dass das System (a), das (15) löst, notwendig 
die Eigenschaft haben muss, dass die Elemente jeder Gruppe zur p:ten Potenz er- 
hoben kolonnenweise in die einzige Gruppe m = v übergehen, die dabei in sich 
selbst übergeht. Ich nenne diese spezielle Gruppe innerhalb eines S\'stemes (a) 
ihre v-Gruppe und ihre Invariantenkonstante Äv,.. Das Charakteristische der Ele- 
mente einer r-Gruppe sind also die beiden Kongruenzen 



Ülier die Lösung der Kongruenz (Ä + i)'' — Xp — i ^- o (modp-). 18n 

(mod p^) (i6) 

(A + i)^-'- I 

die gleichzeitig gelten müssen. 

Nun können wir also die notwendige und hinreichende Bedingung dafür, 
dass das System (a) (15) löst, so formulieren, dass es eine v-Gruppe haben muss. 

Angenommen, dass eine v Gruppe existieren kann, was im Falle eines 
S3^stems (c) unmittelbar einleuchtet, so können folgende Entwicklungen durch- 
geführt werden. Es sei r ein Faktor in p — i von der Art, dass schon 

(mod ])-) 
(—1)^(1 +a*^'y - I 

gelten, dann ergibt sich 



für beliebiges r. Also 

( \rr rvrk ,10 / N 

«'-' I— «<*) ^ (modp^) (17) 

Auf dieselbe Weise erhält man 

(i + a'f)" — (i + a''-'> + vkpY^ : 

= (i + a^'-'}f' 1^1 f ^ -^-^, ?jj (mod p'-] 

d. h. 

(i + a'»); = (- i)'-^ (i - ^-^ ^,„, p| (mod p-) . 

DaraiH erliält man für ein beliebiges (Jruppenelement a ^^j 

= „(0)'-'^+'^ aS'.-y mk{rr + i) p 
'-:= a'-'' + Ä; [m (?• r -t 1 ) — ri; r] p 
= a<!^'-l-Ä:[(m— r)(>T+ i) + vl/j (mod ;<=) (18) 

.4'7<j Diiillii-malira. 42. Imprimé le 20 mai 1919 24 



186 A. Anvin. 

und so auch 

(— i)"(i +a',^')"""^(i + a<"i)+Ä;[(TO — r)(rr + i) + i;]/) (/--). (i8') 

Aus (i8) und (i8') ersieht man-, dass 

(- i)"(i + a"£)"^' - 1 + a'^'"^' (mod p^-] 

gilt, d. h. System (a'") löst die Kongruenzen 

{— i)'-^(i + A)"+i--Â"+i + i (niod^jä) (ig) 

für alle r. Die Werte r = i und T = p — i ergeben (15). Im Falle r = 3 d. h. 
p = 6ra + I drückt (19) eine bekannte Tatsache aus, nähmlich dass alle diese Aus- 
drücke mit (A^ + A + t)' teilbar werden. 

Weiter folgt aus (18) und (18'), weil [(7n — v)(rT+i) + v]= k, (p) eindeutig 
in Ä:, und ?« lösbar ist, wenn die eine gegeben wird (denn v und t haben 
konstante Werte im Gruppensj'steme), dass die Elemente einer Gruppe m zur 
Potenz (rr + i) erhoben wieder eine Gruppe desselben Systems bilden, wo die 
Gruppenzeile aus der obigen Kongruenz gefunden wird. Wiederholt man diese 
Operation, die man Subst. rr + I nennen kann, so werden die Gruppenzeilen wieder 
mit behaltener Kolonnenordnung permutiert und k^^^lm — v){rr + i)- + v (p). 
Nach s Substitutionen erhält man also die Gruppenzeile ks r {ni — v) {rr + i)' + v (p), 
d. h. die anfängliche, wenn (rT + i)*^! (p) gilt. In derselben Weise kann das 
System der Subst.j-T — i unterworfen werden. Dabei wird aber die Kolonnenord- 
nung verändert und die Gruppenzeile aus ki^^{v — m) (rr — i)+v (p) gefunden. 
Durch Wiederholen ergibt sich ä;^ ^ (m — v){rT — ^1)^-1-1' {p), d. h. weil (;t— i)- 
eine Substitution von Art (rr + i) ist, so haben also die Kolonnen wieder ihre 
ursprüngliche Ordnung erhalten. 

Um das eben angeführte mit Beispielen zu beleuchten, kann man sich der 
Tabelle des Systems (3) (mod 169) bedienen. Weil p = 13 die primitiven Wurzeln 
± 2 haben und r gleich 3 ist, so muss die Subst. — 3 -|- 1 == Subst. — 2 von der 
Art sein, alle Gruppenzeilen mit behaltener Kolonnenordnung zu permutieren, und 
die Elemente nach zwölf Wiederholungen wieder in der anfänglichen Zeile stehen. 
Man bestätigt dies aus 



(mod 169) 



3~-- 


— 75 in 


der Zeile 


: 8 


49~' 


^ + 29 in 


der 


Zeile 3 


75-^^ 


+ 81 » 


» 


» 


7 


29-- 


"" + 42 » 


» 


" 4 


81-2 = 


— 62 » 


» 


» 


9 


42-2 


; - + 16 » 


» 


» 2 


62-2 


+ 55 » 


» 


>> 


5 


16-- 


+ 68 » 


» 


» 6 


55-^ 


— 10 » 


» 


>> 


13 


68-- 


— 36 ■> 


» 


» II 


10-2- 


-49 » 


» 


» 


10 


36-- 


+ 3 » 


» 


» I 



über die Lösung der Kougnienz (Â + i)p — /p — 1:0 (modj)^). 187 

Die wiederholte Anwendung der Subst. 3 — 1 soll dagegen ein Element aus 
der ersten Kolonne abwechselnd in die zweite und erste Kolonne hineinlegen. 
In unserer Tabelle für p=iz ist v=ii;iz — 2 (mod 13). Setzen wir also in 
ifc, ^^ (ü — m) (rr — i) + v (13) u= — 2, rz — 1 = 2, so ist ki + i die Zeile, und 
die Werte ergeben sieh wie hier unten angegeben wird. 

Man erhält nähmlich (mod 169) 



3'^+ 9 S' 


teht i 


:m- 


m = 


und l\ 


7 


in 


der 


Zeile 


s,. 


Ko 


9^= +81 


» 


» 


= 7 


» 


= 6 


» 


» 


» 


7. 


» 


Siä-- — 30 


» 


» 


=- 6 


» 


= 8 


>> 


> 


» 


9- 


» 


30' ^ + 55 


» 


» 


= 8 


» 


^ 4 


» 


» 


» 


5. 


» 


55'^ — 17 


» 


» 


= 4 


» 


^12 


» 


» 


» 


13. 


>> 


17' = — 49 


» 


» 


— 12 


» 


-- 9 


» 


» 


» 


10, 


» 


49'= + 35 




» 


= 9 


» 


- 2 


» 


» 


» 


3. 


» 


35'— + 42 


» 


» 


= 2 


» 


.'. 


>> 


» 


» 


4. 


» 


42^=4-74 


>> 


» 


= 3 


» 


t 


>> 


» 


» 


2, 


» 


74^= + 68 


» 


» 


= I 


» 


- 5 


» 


>> 


» 


6, 


>> 


68^=- + 61 


>> 


» 


= 5 


» 


--: 10 


» 


'> 


» 


II. 


» 


6i«=4- 3 


» 


>> 


= IG 


>> 


-1- 


» 


» 


>> 


I, 


» 



Die Subst. 3 + 1=4 soll nur Werte aus der ersten Kolonne geben und, da 
4"ssi (13) ist, so werden die Grup])enzeilen in zwei Zj^klen mit sechs Reihen in 
jedem Zyklus verteilt etc. 

Zuletzt sei noch folgendes hinzugefügt. Vorausgesetzt, dass eine v-Gruppe 
existiert, so findet man, dass das ganze System (a) die Kongruenz 

(Âa^+Â'^ + i)3 + /«,JA"(AP+ i)P^o (mod;j=) (20) 

löst, denn sie hat die sechs Lösungen A'';:^ a + t;p, — , etc. (/)'), die infolge 

' a + vp 

{a + vp)P-^ ^1 etc. ip-) alle sechs lösbar werden, das ganze System (a) ergebend. 

Aus der Formel 

[K (/) + hrJA^y = K (X)p + h^^ L (X)P + p [K {).) + Jh^L{/.)] x ß) 

geht hervor, dass das System (a) ebenfalls die Kongruenz 



188 



A. Ar« ill. 



(/.ä + /. + l)'/' + Af„À(A + l)*P: 



(P') 



löst, weil K {}.) + hr ^, L (I) i^- o (mod p) für das System giltig ist. Also löst das 
System (a) auch ihre Differenz, die, wenn /(A+i)::^« gesetzt wird, infolge (15) 
sich so schreiben lässt 

{aP 4- i)' + hr,.a-P r- (« + i)'^ + Af,, irP (mod p-) . (21J 

Trifft es überhaupt zu, dass //-('"' ^ i (7;-) ausfällt, dann wird 

(ft+i)'' — «'' — i: o (med /J-) (22) 

d. h. wenn das System (A.,)eine v-Gruppe hat, deren Invariantenkonstante h?~^^^i 
(p-) genügt, so nniss /, (As + i) :^«s (mod p) wieder ein System (ccg) mit einer 
t;-Gruppe geben, von deren Invariantenkonstante aber nichts ausgesagt werden kann. 
Was endlich die Existenz der v Gruppen betrifft, so haben wir gesehen, 
dass im Falle eines Systems (c) immer t;-Gruppe vorbanden ist, im Falle eines 
Systems (i) zeigt 2'"'^hsi (1093^), dass v-Gruppe vorhanden sein kann, und 
im Falle eines Systems (a) gibt p = 5g ein sehr lehrreiches Beispiel, denn es 
kommen nämlich hier zwei verschiedene w-Gruppen vor, was gar nicht immer 
unter den mit v-Gruppe versehenen, doch ziemlich seltenen Primzahlen der 
Fall ist. Man hat die Gruppen 

16, h, i^ iS 

(59) (23) 



4. 15. —5. —12, + II, 
3, 20, —4, —15, + 14, 



21. Ji,^^ 4 



Hier sind: 



3.9^ 


3+ 5 


59 


453^ 


4+ 5 


59 


550- 


5+- 5 


59 


JJÔ5 


11 — 24 


59 


I2-''-'~ 


12 — 24 


59 


14'»= 


14—19 


59 


15^«- 


15 — 19 


59 


l6'9 = 


16 — 19 


59 


20'9 = 


20 — 14 


59 


2159 = 


21 — 14 


59 


iS'SüE 


18 + 27 


59 



(59^) 



(24) 



über die Lösung der Kongruenz ß -\- i/ — Xp — i o (niod^^-) 189 

Die respektiven v-Gruppeii sind 

3-'' --3 + 5-59 , _ _^ 4^»-_4+5.59 

so ^, . ^^«-^4 + 17-59; ,.„ ^ Ä,„- 18-32.59 (59-' 

469:^4 + 5.59 5-° ^5 + 5-59 

und im letzten Falle wird A,^, aus 



[4 + 5 • 59' + 4 + 5 • 59 + iP + /'■„ (4 + 5 • 59) (5 + 5 • 59)' ^o (592) 
bestimmt d. h. 

(21 — 14.59)'' + Ä,,, (20 — 14.59)2 o (59^). 

Schon daraus ersieht man nach den obigen Werten (24), dass 
Är„- I (mod 59^) 

gelten muss, was ja auch der Fall ist. Es sollen also die /1(/1 + i)e_« (5g), 
wo  ein Element der Gruppe /h^-- iS (59) ist, wieder Gruppen bilden, die als 
System («) nach (21) und (22) wieder u-Gruppen haben. In der Tat erhält man, 
dass 4.5-20, II. 12- 14 und 15.162^4 (mod 59) sind. 



Zusatz. 

Endlich wollen wir noch zusehen, unter welchen Bedingungen 

(1+ ly—kP—i i, (mod p^) 

lösbar werden kann. Von demn oben gezeigten ausgehend, sieht man ein, dass sie 
die Form 

l-iaP^-a + mp + tip^ 

(mod p^) 

{a + i)PE^a + 1 + mp + np^ 

haben müssen, denn 

(a + mp + np^ + i)'' — (a + mp + np^)P — i^ o (mod p^) 

gibt 

(a 4- i)'' — a/' — I + 7Hp*((a + i)''-i — aP-') -o (?)') 

d. h. 

(a + i)P— a^ — I -:o (7;'). 



190 A. Arwiu. 

Von den Lösungen (mod p-) ausgehend, sieht man ohne weit res ein, dass sie die 
obige Form haben müssen. Im Falle p=Sg ergibt sich 

3^" 3 + 5 • 59 + 34 ■ 59* 

4^ä :^ 4 + 5 . 59 — 17 . 59= (mod 59=*) 

5''' = 5 + 5-59 + 18.59' 

Es existieren also keine Lösungen zu 

(A •+ I )■■" — A*ä — I :sE o ( mod 59' ) 

Die Kriterien der Lösungen (mod p^) werden nicht mehr so cinfacli und üVjer- 
sichtlich. 



BIBLIOGRAPHIE. 



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Koma. 
SiBiRANi, FiLiPPO, Riassunto-foimulario di geometria analitica, algebra, calcolo 
infinitesimale, calcolo vettorialc e meocanica razionale. — IV + 575 pp. 8. 
1915. Lire 12: — 

1. Sistemi di coonl. e loro trasformazioni. Geometria nelle forme di i)rima 
specie. Rappreseutaz. analitica delle curve piane, superficie e curve gobbe. La retta 
nel piano e il puuto come inviluppo d. rette per esse. Curve piane speciali. Le coniclie. 
II piano n. spazio e il punto come inviluppo di piani per esse. La retta n. spazio. 
Alcune superficie e curve störte speciali. Le quadriche. Proiettività fra forme di 2:a 
specie, di 3:a specie. — 2. Congruenze. Calcolo combin. c sue applicaz. Probabilit;i. 
Sostituzioni. Determinanti. Sistemi di cquaz. lin. I numeri reali e la corrispondenza 
fra essi e i segmenti. Numeri complessi. Limiti. Le série. Prodotti infin. c frazioui 
continue. Geueralità s. funzioni. Funz. raz. intere. Primi teoremi suUe equaz. algcbr. 
Funz. simmetricbe d. radici. Risultato-eliminaz.-diseriinin. Sostituzioni lin.-trasformaz. 
nelle equaz. Equazioni biuomie, cub. e biquadrat. Risoluzioiie alg. delle equaz. Separaz. d. 
radici. Risoluzioni num. d. equaz. — 3. Altre nozioni gen. sulle funz. Continuitàediscontin. 
Infinitesimi ed infiniti. Integrale def. Derivate e differenz. d. funz. d'una variabile. Deriv. e 
dift'erenz. d. funz. di piii variabili. Integrazione indef. Integrali di funz. avcnti punti di infin. 
ed integrali estesi ad intervalli infiniti. Integrali d. funz. di piii variabili. Funz. implicite. 
Formule abbrev. del Taylor-espressioni che si presentano sotto forma indeterm. Crescenza e 
decresc. d. funz.; massimi e minimi. Serie di funz.-ser. di potenze. — Sviluppi in série 
d. funz. Funz. trascend. dement. Applicazioni d. calcolo alle linee piane. Applicaz. 
d. calcolo alle linee störte, alle superficie. Equaz. differenz. Sistemi di equaz. difi'. 
Equaz. alle derivate parziali. Element! d. calcolo d. variazioni. — 4. Definizioni cd 
operaz. sui vettori. Punti o vettori funz. di variab. numericlie. Funz. di un punto. 
Applicaz. geom. ed analit. d. teoria d. vettori. — 5. Cinematica d. punto. Jloti fiuiti 
di un sistema rigido e loro composiz. Analisi d. moto istant. di un sist. rigido. Meto 
contin. di un sist. rig. Principi fondament. d. statica. II princ. dei lavori virtuali. 
Equilibrio d. sistomi articolati e d. fili. La dinamica d. punto matcriale libero. Geö- 
lte/« mathemalica. 42. Imprimé le 25 avril l'.ilü. 1 



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metria d. masse. Jl priiic. d'Alembert c le cquaz. gen. d. diiianiica. Teor. gen. sul 
moto di un sist. e loio applicaz. Dinaniica d. sist. rig. Moto cd cquil. relative. 
Attraz. ue^Ytoniana. Statira d. iliiidi. Dinaniica d. fluidi. Tavola d. abbrev. Indice. 

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Birkeland, Richard, Lserebok i Matematisk Analyse. Differential- og Integral- 
regning. Differentialligninger. Tillseg. — XII + 500 pp. 8, 1917. Kr. 22:50 
inbund. 

Diflerential- og Intcgralregn. : Oni funktioner av en variabel. Satser om störrelser 
som kan nœrrae sig nul (uendelig smaa st0rrelser). Grundlteggende begreper i different, 
regn. Grundltegg. Begreper i integralregn. Beregn. av arealer og buela;ngder. Inte- 
gratioDsregler. Om li0iere deriverte og differentialer. Krunining av plane kurver. Om 
rrekker. IJtvikl. av en funkt, i potensrœkke. Om maksimum og min. av en funkt, av 
en variabel. Übest, uttryk. Element, begreper i analyt. rumgeometri. Andengratsflater. 
Om flater. Part, deriverte. Om kurver i ruramet. Volumberegn. Dobbelintegraler. 
Flate- og kurveintegraler. Trippelintegraler. Beregn. av legemers tyngdjiunktcr. ïrœg- 
lietsniomenter. Greens og Stokes integralsatser. Best, integraler. Naar funktionen und. 
integraltegnet blir uendelig el. naar grœnserne blir uendel. store. Derivat, und. inte- 
graltegn. Potensrœkker efter potenser av to variable. Analyt. funkt. Planimetre og 
integrafer. — Differentiallign.: Indled. Bcmerkn. Eksistensbevis f. ordin. diff. lign. 
av f0rste orden. Forskjell. typer av diff. lign. av ftirste orden, som lar sig Ipse ved 
kvadratur. Diff. lign. av n:te orden uten and. led. Lin. diff. lign. av n:te orden mad 
and. led. Simultane (samtidige) diff. lign. av forste orden. Partielle diff. lign. av forste 
orden. Trigonom. el. Fourierskc nekker. Elks, paa part. diff. lign. av h0iere orden 
end forste. — Tillœg: To- og treradedc determinanter. Ombytn. av de variable i 
dobbel- og trippelintegraler. Nogle elementer av imaginterteorien. Endel bemerkn. om 
konf. avbildn. Integraler av kompl. funktioner. Cauchys formel. Taylors riekke. 

Cambridge University Press. 

( 'ambridge. 
CuLLis, C. E., Matrices and determinoids. (University of Calcutta. Readership 
Lectures.) Vol. 2. — XXIII -f 555 pp. 8. 1918. 42 .sh. 

Compound matrices. Relations between the elements a. minor determinants of a 
matrix. Some properties of square matrices. Ranks of matrix products a. matrix 
factoi's. Equigradent transformations of a matrix whose elements are constants. Some 
matrix equat. of the sec. degree. The extravagances of matrices a. of spacelets in 
homogeneous space. The paratomy a. ortliotoiny of two matrices a. of two spacelets 
of homogen, space. Ai)pendiccs. Index. 

Geikie, Archibald, Memoir of John Michell. — 108 pp. 8. 1918. 

Introduct. Biographical sketch. Scientific work: Condibntions to geology. Con- 
tribut. to physics. Coiitribiit. to astronomy. Index, 



Bibliogra]iliie. 3 

Plummer, H. C, An introductory treatise on dynamical astronomy. — XIX 
+ 343 pp. 8. 1918. 18 sh. 

Tlie law of gravitation. Introduct. iiropositions. Motion nuder a central attrac- 
tion. Expansions in elliptic motion. Relations between two or more positions in an 
orbit a. the time. The orbit in space. Conditions for the determination of an elliptic 
orbit. Déterminât, of an orbit. Method of Gauss. Déterminât, of parabolic a. circular 
orbits. Orbits of double stars. Orbits of spectroscopic binaries. D\namical principles. 
Variation of elements. The disturbing function. Absolute iierturbatioiis. Secular per- 
turbât. Secular inequalities. Jlethod of Gauss. Special perturbations. The restricted 
problem of three bodies. Lunar theory I. l-unar theory II. Precession, nutation a. 
time. Libration of thee moon. I'ormulae of numer. calculation. 

VVhittaker, E. t., a treatise on the analytical dynamics of particles and rigid 
bodies. With an introduction to the problem of three bodies. 2:nd ed. — 
XII 4- 432 pp. 8. 1917. 15 sb. 

Kincmatical preliminaries. The equations of motion. Principles available for the 
integration. The soluble problems of particle dynamics. The dynamic, specification of 
bodies. The soluble probl. of rigid dynamics. Theory of vibrations. Xon-holonomic 
systems. Dissipative syst. The principles of least action and least curvature. Hamil- 
toniau syst, and their integral-invariants. The transformat. -theory of dynamics. Pro- 
perties of the integrals of dynamical syst. The reduction of the probl. of three bodies. 
The theorems of Brans and Poincare. The general theory of orbits. Integration by 
trigonometric series. 



Carnegie Institution of Washington. 

Washington. 

Strömberg, Gustaf, A determination of the solar motion and the stream-motion 

from radial velocities and absolute magnitudes of stars of late spectral 

types. (Contributions from the Mount Wilson Solar Observatorj'. No. 144.) 

(Reprint, from the Astroph3'sical Journal, vol. 47, 1918.) — 31 pp. 8. 1918. 

Diirr'sche Buchhandlung. 

Leipzig. 
Schmidt, Max, C. P., Altphilologische Beiträge. H. 1. — 82 p. 1903. M. 1:20. 

Gauthier-Villars & Cie. 
Paris. 
Lecornu, Léon, Cours de mécanique. T. 3. — 665 pp. 8. 1918. Fr. 25: — . 

Bésislance d. matérianx: Questions relevant uniquement de la statique rationnelle. 
Principes de statique graphique. Calcul d. efforts moyens. — Relat. entre 1. efforts et 



4 ]!il)liof;raiilii('. 

1. ilùlormatioiis. Coetticiuiit de sOcurité. Traction et coiiii>ressioii. Probléiiie géu. 
Emploi du tiiéorèiiie du travail virtuel. — Applications. Flexion d. poutres. Pièces 
annulaires. Calcul d. ressorts. Équilibre d'une plaque. — Flambement. Systèmes 
hyperstat. Principe du travail minimum. Tensions d"uu assemblage réticul. Travées 
solidaires. Équilibre d. voûtes. — Équilibre d'un massif de terre. Action d'une charge 
posée sur un plan horizont. Poussées d. terres. — Probl. dynamiques. — Kecherclies 
experiment. — Hydraulique: Généralités. Hydraulique proprem, dite. Mouvement sans 
perte not. de charge. Mouvem. avec perte de charge. Pertes locales. Pertes graduelles. 
Tuyaux. Canaux. — Action d'un liquide sur un solide. — Pneumatique. Lois d. 
écoulements gazeux, llésist. de l'air. — Procédés de mesure. — Thcnnodi/namiquc : 
Principes foudament. Principe de l'équivalence. Principe de Carnot. — Transformations 
irréversibles. Fluides homogènes — Étude spéciale d. gazes. — Etudes spec. d. vapeurs. 
Écoulement d. fluides élast. Mélanges combustibles. Propagation d'une onde plane. 
Théorie d. machines: Propriétés gén. Préliminaires. Couple moteur et couple résistant. 
Volant. Régulateurs. P'reins. Eftorts intér. dans une machine. Similitude dans 1. machines. 
Classificat. d. récepteurs. — Moteurs hydrauliques. Roues liydratd. Turbines. Moteurs 
thermi(iues. Généralités. Moteur à combustion externe. Machines à vapeur. Turbines 
à vap. Moteurs à combust, interne. — Notions d'aviation: Équilibre de l'aéroplane. 
Virage. Stabilité. Stabilisât, automatique. Hélice. 

d'Ocagne, Maurice, Cours de géométrie pure et appliquée de TEcole Polytech- 
nique. T. 2: Cinématique appliquée. Stéréométrie. Statique graphique. 
Calcul graphique. Calcul grapho-mécanique. Nomographie. — 364 pp. 8. 
Fr. 18:—. 1918. 

Ihèorie d. mécanismes: Généralités. Transformateurs cinémat. Transformat, de 
rotations avec rapport de vitesses constant. Engrenages. Transformateurs de rotat. 
avec rapport de vitesses variable. Transformat, de rotat. en translation. — Transforma- 
teurs géométriques. Systèmes articulés plans. Syst. articulés gauches. — Cinématique 
iiraphique. — Stéréométrie: Généralités. Voûtes en berceau simples. Arches biaises. 
Appareil orthogonal. Appareil hélicoïdal. Voûtes en berceau composées. Voûtes div. — 
Slafiiitic graphique: Notions prélimin. Définition et usage du dynamique et du funi- 
culaire. Déterminât, graph, d. moments. Applicat. à la détermination d. réactions et 
d. forces intérieures. Déterminât, d. réactions d. appuis. Déterminât, d. forces intér. 
dans 1. syst, réticulaires. Méthode d. sections. Méthode d. nœuds. Diagrammes réci- 
proques. — Applicat. à la déterminât, d. forces élastiques dans 1. pièces chargées. — 
Calcul graphique: Résolution graph, d. équations. Intégration graph. Quadratures 
graphiques. Notions fondament. s. 1. courbes intégrales. Construction graph, d. courbes 
intégrales. Usage d. quadratures graph, en statique graph. Intégration graph, d. é(iua- 
tions différentielles du premier ordre. — Calcul grapho-mécanique: Principes géométri- 
ques et cinémat. sur lesquels repose ce mode de calcul. Intégromètrcs. Intégraphes. 
Nomographic: Représentation d. fonctions d'une seule variable. Équat. à deux variables. 
Nomogrammes à entre-croisement. Équat. à trois variables. Equat. à plus de trois 
variables. Nomogrammes à alignement. Equat. :\ trois variables. Équat. à plus de 
trois variables. Applicat. gén. de la méthode d. points alignés à la résolution d. 



Iiililio,i,n-a|ilii(_'. 5 

triangles spliOriijues. •— Ai)i)cndice: Sur lu dcscriiition mt caiiiiiue d. courljes algébriques 
de degré quelconque. Sur la statique graphique d. systèmes de l'espace. Sur l'intégrât, 
grapho-niécanique de Téquat. de Kiccati au moyen du plauimètre hachette. Errata et 
addenda. Index. 

Oppermann, Alfred, Note sur le quadrilatère complet. — 27 pp. 8. 1918. 



Jul. Gjellerups Forlag. 

Kobenhavn. 
Hjelmslev, J., Laerebog i Geometri, til Brug ved Den Poiytekniske Laereanstalt. 
2:det Afsnit. — 100 pp. 8. 1918. 

Tcorctlsk Infinitesimal ffeometri: Plane Kurver. Aliuind. l'rincippcr. l)cn kouvcksc 
15ue. Hjulliniernes Teori. Variable Kurver. Prakt. Anvendelser. Indliyllingskurvcr. — 
Runikurver og deres Tangentflader. Den simple Bue. Rumkurvers analyt. Fremstilling. 
Kurver paa Cylinder-, Kugle- og Keglefladcr. Tangentflad. til en simjiel Bue. Buer med 
monoton Krumning. Krumniugens Aendring ved Udfoldn. Simple Rumkurvers projekt. 
Egenskaber. — Vindskave Flader. Almiud. Bemœrku. Vindskave Keglesnitsflader. 
Konoider. — Fladers Krumuiug. Indled. Undersögelser. Aualyt. Bestemmelse af nogle 
spec. Kurver paa en Flade. Meusnier's Teorem og beslffgt. Sietninger. Xornialsnitenes 
Krumning. Indhyllingsflader. Krumningslinier. 



G. J. Goschen'sche Verlagshandlung. 

Berlin >t Leipzig. 
BüRKLEN, 0. Th., Formelsammlung und Repetitorium der Mathematik, enthaltend 
die wichtigsten Formeln und Lehrsätze der Arithemetik, Algebra, algebra- 
ischen Analysis, ebenen Geometrie, Stereometrie, ebenen u. sphär. Trigono- 
metrie, math. Geographie, analyt. Geometrie d. Ebene u. d. Raumes, der 
Differential- u. Integralrechnung. 3:e Aufl. Neudruck. (Sammlung Göschen. 
51.) — 227 pp. 8. 1917, M. 0: 80. 

Jäger, Gustav, Theoretische Physik. I: Mechanik und Akustik. 4:e verb. Aufl. 
Mit 24 Fig. (Sammlung Göschen N:r 76.) — 167 pp. 8. 1916. M. 0: 80 geb. 

Lehrbücher d. Mechanik u. Akustik. Mechanik eines Masseiipunkts. Mechanik 
starr. Körper. Mechanik nichtstarrer Punksystemc. Elastizitätstheoric. Hydromechanik. 

Akustik. 

Rose, Max, Einleitung in die Funktionentheorie. (Die komplexen Zahlen und 
ihre elementaren Fuktionen.) (Samml. Göschen 581.) 2. verb. Aufl. — 135 
pp. 8. 1918. M. 1:25 geb. 

Das Rechnen mit komi>lexen Zahlen. Funkt, einer konii)!cx. Veriuulerliciien. 
Kciiieu m. komplex, (iliedcrn. im bes. l'otenzrcihen. Spec. Potenzrcihen. KonC. Abbildung. 



Ü Bibliographie. 

Simon, Max, Analytische Geometrie der Ebene. 3:e verbess. Aufl. Xeudr. Mit 
52 Fig. (Samml. C4öschen N:r 65.) — 195 pp. 8. 1917. M. 1:— geb. 

Kdordinaten u. Punkt. Die gerade Linie. Der Punkt als Träger der sich in ihm 
scliueidenden Geraden. Parallel-Koordinaten-Transforniation. Der Kreis. Die Kegel- 
schnitte. Die Parabel. Die Ellipse. Die Hyperbel. Höhere Kurven. Die Cissoide 
des Diokles. Cassinisclie Kurven od. l.eminskaten. Die Spirale des Archimedes. Die 
Zykloide od. Kadlinic. 

Sturm, Ambros, Geschiebte der Mathematik bis zum Au.sgange des 18. Jahrhun- 
derts. 3:e Aufl. Mit 7 Fig. (Samml. Göschen N:r 226.) — 155 pp. 8. 1917. 
M. 1:— geb. 

Altertum: Ägypter u. Mosopotamicr. Griechen. Voreuklid. Zeit. Dlütepcriode. 
^'achklassische Periode. Römer. Inder. — Mittelalter: Araber. Die Zeit d. Abazistcn 
u. Algoritlimiker. Die Zeit d. Wiedererwachens d. Mathematik in Europa. Die Zeit 
d. Aufschwunges d. Mathematik in Deutschland. — Neuzeit: Die Zeit d. Aufschwunges 
d. Algebra. XVII. Jahrhundert. XVIII. Jahrhundert. Keg. 

WiELEiTNER.H., Algebraische Kurven. Neue Bearb. II: Allgemeine Eigenschaften. 
(Samml. Göschen 436.) — 123 pp. 8. 1918. M. 1:25 geb. 

Schnittpunkte zweier Kurven. Polareigenschaften. Die Pliickcrschcn Formeln. 
Die Hessesche u. verwandte Kurven. Rationale Kurven. Biration. Kurven. Birationale 
Transformation. Kurven dritt. Ordnung. Kurven viert. Ordnung. 



Helwingsche Verlagsbuchhandlung. 

Hannover. 
Kiepert, Ludwig, Grundiiss der Differential- und Integral-liechnung. Ï. 2: In- 
tegral-Rechnung. ll:e verm. Aufl. d. gleichnamigen Leitfadens von Max 
Stegemann. Mit 186 Fig. — XXIV 4- 1020 pp. 8. 1918. M. 15: — 

Allgcm. Begriffe u. Fundamentalsätze d. Integral-Rechn. Integration durch Substi- 
tution. Integral, durch Zerlegung. Partielle Integral. — (|)uadralui- d. Kurven. Ku- 
batur d. Rotationskörper. Rektifikat. d. ebenen Kurven. Komplanation d. Rofatious- 
tlächen. Rektitikal d. Raumkurven. — Integration d. gebrochen, rational, Funktionen. 
Integral, d. irrat. Funkt. Tiicorie d. bestinunten Integrale. Kubatur d. körper u. Koni- 
planat. d. krummen Oberflächen. Mehrfache Integrale. Berechn. d. Masse, d. stat. 
Momente, d. Triigheils-Momente u. d. Schwerpunkts-Koordinaten. Theorie d. Euler'schen 
Integrale. Integral, d. Ditl'erenliale d. Funktionen v. melirer. Veränderlichen. Kurven- 
Integrale. — Theorie d. gewöhnl. Differontial-<Tleichungen erst. Ordn. u. erst. Grades. 
DitVcrential-Gleichungeu erst. Ordu. u. höher. Grades. Gewöhnl. T>it(. Gleich, höher. 
Ordnung. Lineare Diff. Gleich, m""' Ordnung. Lineare T)\fl. Gleich, zweiter t>rdn. 
Simultane Difï. Gleich. Integration durch Reihen. Näherungsmethoden zur Intégrât, 
gewöhnl Difï. Gleich. Tafeln. 



Bibliogvapliie. 7 

Tabelle der wichtigsten Formeln aus der Differential-Rechnung. Sonderabdruck 
zu Kiepers Grundriss der Difjerential-Rechnung. 12:te vollst, umg. u. verm. 
Aufl. des gleichnamigen Leitfadens von Max Stegemann. — 49 pp. 8. 1912, 

Tabelle der wichtigsten Formeln aus der Integral-Rechnung. Sonderabdruck zu 
Kieperts Grundriss der hitegral- Rechnung. ll:e verb. u. verm. Aufl. des 
gleichnamigen Leitfadens von Max Stegemann. — 67 pp. 8, 1918. 

Tabelle der wichtigsten Formeln aus der Integral-Rechnung. Sonderabdr. zu 
Kieperts Grundriss der Integral- Rechnung. 11. verb. u. verm. Aufl. d. 
gleichnamigen Leitfadens von Max Stegemann. — 69 pp. 8. 1918. 

Ulrico Hoepli. 

Milano. 

Berzol.ari, Luigi, Geometria anaiitica. 1 : II metodo delle coordinate. Con .54 

incis. (Manuali Hoepli 388—389.) — XV + 409 pp. 8. 1911. Lire 3: — 

Prclimiuari. Coordinate nelle forme fondamentali ili prima specie. Trojezioni 
ortogon. sopra una retta. Applicaz. alla trigonometria plana o sferica. Coordinate nel piano 
punteggiato. Equaz. di una retta. Equaz. di curve piane. Coordinate n. piano rigato. 
Coordinate nello spazio punteggiato. Equaz. di un piano. Equaz. di una retta. Equaz. 
di superficie o di curve. Coordinate n. spazio di piani. Birapporto di quattro elementi 
di una forma di prima specie. Gruppi armonici. Coordinate proJett, e projettivitii n. 
forme di prima specie. Coordinate projett. omogeneo nelle forme di seconda specie. 
Projettività tra forme di sec. specie. Coordinate projett. omogcnee n. forme di terza 
specie. Projettività tra due spazi. 

PiNCHERLE, Salvatore, Algebra complementare. Prima parte: Analisi algebrica. 
Ed. 3. (Manuali Hoepli 141.) — 174 pp. S. 1917. Lire 1:50. 

I segmenti. I vettori. I numcri interi, reali, complessi. Limiti. Le radiei. 
Calcolü combinat. Applicaz. del calcolo combinat. Le série. 1 prodotti infiniti. Le frazioni 
continue. Le série di poteuzc. l'unzionc csponcnzialc. Eunz. circnlari. Tcoria doi logaritmi. 

GriU'sche K. u. K. Hof buchhandlung Julius Benkö. 

Budapest. 
Schneider, Robert, Die Beweisführung für die Richtigkeit des Fermatschen 
Satzes. Eine mathematische Studie in 3 Teilen mit üb. 100 Tabellen. Bd. 
1, 2. — 1: 90 pp. 8. 1918. M. 10:—; 2: 57 pp. Fol. 1918. M. 10: — 

1. Das Verhältnis der auf d. 2. Potenz bcfindl. ganzen Zahlen zum rechtwinkl. 
Dreiecke. Die Klassifizierung d. potenziert, ganz. Zahlen u. d. ziffcrmäss. Nachweis 
d. Eermat'schen Satzes aus d. Schlussendung d. potenz. ganz. Zahlen. Der zitferniäss. 
Nachweis d. Ferm. Satzes aus d. sechszift'. Endung sowohl als aus d. der vierziö'. Endung 
u. dem zweiziff. Anfang derjenigen potenz. Zahlen, deren Exponent eine Primzahl ist. 



8 Tiihliogr.aphie. 

2. Fortsei/, der Entwickelungs- u. Ausiirbeitungstabellen mit Zaliloii der T.. 11.. 
13., 17. 11. l'.l. l'olcii/. auf 57 losen lüattcni, in einer Mappe. 

Carl Kroll. 

Jierlin S 14. 

Otto, Friede. Aug., Herausforderung an alle Mathematiker der Welt oder die 

Lösung der Fermatsclien Probleme. — 96 pp. 8. 1918. M. 5: — geh. 

Ilerausfoideiung an alle Matliematiker d. Welt. Die Teilbarkeit d. Zahlen. Die 
binom. Lehrsätze. Der erweit. Fermatsche Satz. Die Quadratzahlen. Das reclitwinkl. 
Zahlendreieck. Die Gleichung x^ + 2/^ = £-. Die Eigensch. d. Gleich, .t' + y' = z'. Die 
Unmöglichkeit d. Gleich, x"' + ?/" = .r™, für d. Fall, dass keine d. Grundzahlen .r, ;/ u. e 
durch die ungerade Primzahl m teilbar ist. Die bisher. Einzelbeweise d. gross. Feim. 
Satzes. — Die Wolfskehlstiflung. Die unbest. Gleich. Die Gleich, ax" + 1 = »/-. Der 
allg. Beweis d. gross. Ferm. Satzes. Verschied. Sätze, Beweise usw. Die Polygonalzahlen. 

A. H. Kruyt. 

Amsterdam. 
KoRTMULDER, R. J., De logische grondslagen der Wiskunde. Proefschrift ter 
verkrijgning van den graad van doctor . . . universiteit te Leiden . . . III + 135 
pp. 8. 19](>. F. 2:—. 

Jos. Kösel'sche Buchhandlung. 
Kempten u. München. 
Deckert, Adalbert, Einführung in die Vektor-Rechnung. (Sammlung Kösel.) — 
IV + 84 pp. 8. 1916. M. 1: 95 geh. 

Begrift" d. Vektors. Projektionen v. Vektoren. Vereinig, u. Zerlegung v. Vektoren. 
Vektoren in einem rechtwinki. Aclisensystem. Einf., skalare u. vektorielle Produkte. 
Besond. Fälle. Projektionen v. Vektorprodukten. Das eb. Vieleck. Rauminhalt d. 
Pyramide. A[BC]. Vektorprod. [A[BC]]. [AB] [CD]. [[AB] [CD]]. Anwend. d. 
liifinitcsimalrechn. Der Operator \?. Einwirk. v. v ^^^ ^iu. Vektor. Besond. Fälle. 
IJeb. die Divergenz. Der Satz von Gauss. Définit, d. Grösse div. Besond. Fälle. Der 
Operator y'. Der Operator curl. Besond. Fälle. Uniform, einig, schwieriger Ausdrücke. 
Définit, v. curl. Der Satz v. Stokes. Anwend. V eine Funkt, v. t. x. y. z. Bes. Fall. Der 
Satz V. Green. Zusammenslell. v. Ergebnissen. 

Matematisk Forening. 

Köbcnhavu. 
Andersen, A. F., Bohr, Harald, & Mollerup, Johs., Xyere Undersogclser 
over Integralregningen. Tre foredrag lioldt i Matematisk Forening Koben- 
havn. - 63 pp. 8. 1917. 



Bibliographie. 9 

Bohr, H.: Eii PunktniiBugdes Maal. Andersen. A. F.: Det lîiemaiin"ske Integral- 
begreb. ^NIhllerup, Jobs. Det Lebesgue'ske Integralbegreb. 



Ing. 6. Moravek. 

(Selbstverlag des Verfassers), l'rag, II — 360. 
Moravek, G., Allg. einf. Beweise der Gültigkeit des letzten Fermat'schen Satzes 
über die unbst. fileicliung: z" = x" + y". 4 pp. 8. Juli 1918. 



John Murray. 

Albemarle Street. London. 
Report oj the Brilùh Association for the advancement of science. 1917. — 264 pp. 
8. 1918. 



Reuther & Reichard. 

Berlin W. 35. 
KuNTZE, Friedrich, Denkmittel der Mathematik im Dienst der exakten Dar- 
stellung erkenntniskritischer Probleme. (Philosoph. Vorträge, veröffentl. 
von d. Kantgesellschaft, hrsg. E. Cassirer, M. Frischeisen-Köhler & A. 
Liebert. N:r 3.) 31 pp. 8. 1912. M. 1:— . 

Henry, Victor, Das erkenntnistheoretische Raumproblem in seinem gegenwärtigen 
Stande. Mit 7. Fig. (»Kantstudien». Ergänzungshefte im Auftrag d. Kant- 
gesellschaft, hrsg. H. Vaihinger, B. Bauch & A. Liebert. N:r 34.) — 98 pp. 8. 
1915. M. 3: 20. 

Vorbemerk. Literaturverzeichn. Problemstellung. Einzelaxiomatisclie Untersuchung 
d. erkenntnistheoret. Raumproblems. Der erkenntnistheoret. Charakter d. einz. in d. 
geometr. Axiomen dem Raum zuerkannten Grundeigenschaften. 



G. E. Stechert & C:o. 
New York. 
DE LA Vallée Poussin, Ch.-J., Cours d'Analyse Infinitésimale. T. 1. 3:e éd., 
considérablement remaniée. (Photogr. reprint.) — 452 pp. 8. 1914. 4: 50 Dol. 

Introduction. Déiivation d. fonctions explicites d'une variable. Formule de Taylor. 
Applicat. diverses. Fonctions explicites de plusieurs variables. Fonct. implicites. 
Changement de variables. Intégrales indéfinies. Méthodes classiijues d'intégrat. Théorie 
élément, d. intégrales définies. Intégrale de Riemann. Intégrale de I.ebesgue. Formules 
fondament. de la théorie d. courbes planes. Formules fondament. de la théorie d. 
surfaces et d. courbes gauches. Calcul d. aires, d. arcs et d. volumes. Évaluation 
approchée d. intégrales définies. Des séries. 

Ada mit/hemalica. -12. Imprimé le 2.') avril I91!l. -J 



10 Bibliograpliii'. 

B. G. Teubner. 

Leipzig; ct Berlin. 
Ahrens, W., Mathematische Unterhaltungen und Spiele. 2. verm. u. verb. Aufl. 
Bd. 2. Mit 128 Fig. — X + 455 pp. 8. 1918. M. 14:— geh., M. 15:— geb. 

Magisclin Quadrate. Eulersclic Quadrate. Anordnuiigsprobleme: A'erscliiedene 
Anordnungen. Kirkmans Scliulmädchen-Problem. Das Josephsspiel. Brücken u. Laby- 
rintlie. Das Hamiltonsclie Dodekaederspiel. Das Farben-Karten-Problem. Das Boss 
Puzzle oder Fünfzehner-Spiel. Das Dominospiel. Zeit u. Kalender. Geometr. Konstruk- 
tionen durch Falten v. Papier. Seltsame Verwandtschaften. Nachträge u. Berichtig, zu 
Bd 1, 2. G. Pölya: »Ueber die »doppelt-periodischen» Losungen des n-Damen-Problems.» 
Literarischer Index. Reg. 

Berichte und Mitteilungen, veranlasst durch die Internationale Mathemat. Unter- 
richtskommission, hrsg. von W. Lietzmann. 2:e Folge. 111. — VIII -}- 99 pp. 
8. 1917. M. 4:— geh. 

Titel u. Inhaltsübersicht zur erst. u. zweit. Folge d. Ber. u. Jlitteilungen. — E. 
& K. Köbnek: Gesamtregister d. Schriften d. deut. Unterausschusses d. Internat. Math. 
Unterrichtskonimission. Vorbemerk. Inhaltsverzeichnis d. Gesaratregisters. Inhalt d. 
einzelnen Hefte, zum Teil in Tabellen. Alphabet. Sachregister. — W. Lietzmann: Zusam- 
menstellung d. bis Ostern 1917 auf Veranlass, d. IMLTK im Auslande veröft'eutlichten 
Arbeiten. — F. Klein & W. Lietzmann : Zum Abschluss d. Berichte u. Mitteilungen. 

BiEBERBACH, LuDWiG, Differential- und Integralrechnung. Bd 1: Differentialrech- 
nung. — VI + 130 pp. 8. 1917. M. 2:80 kart. — Bd 2: Integralrechnung. — 
VI -f 144 pp. 8. 1918. M. 3:40 geh. (Teubners Leitfäden f. d. Math. u. 
Teohn. Hochschulunterricht.) 

Bd 1. Der Funktionsbegritf. ' Der Zahlbegriti'. Unendliche Reihen. Stetige Funk- 
tionen. Ditfereutiulrechn. Einige einfache geom. Anwend. Die Taylorsche Formel. 
Unbestimmte Formen. Beispiel einer stetig, nirgends differenzierbaren Funkt. Funkt, 
von zwei Variabein. 

Bd 2. Die Autgaben, d. liitegralrechn. Tlicoric d. unbestimmten Integrale. Be- 
stimmte Integrale, t'b. die numer. Auswertung von bestimmt. Integralen. Bogenlänge 
u. Krümmung. Darstellung von Funkt, durch Reihen u. bestimmte Integrale. Doppel- 
integrale. Die Verwend. d. komplexen Zahlen. Reg. Berichtig. 

BoREL, Emile, Die Elemente der Mathematik. Vom Verfasser genehmigte deutsche 
Ausgabe, besorgt von Paul St.\ckel. Bd 1: Arithmetik u. Algebra, nebst d. 
Elementen d. Differentialrechnung. 2. Aufl. Mit 56 Fig. u. 3 Taf. — XVI -i 404 
pp. 8. 1919. M. 11:— geh., M. 12:— geb. 

Arithmetik: Dezimale Zählung. Addition u. Subtraktion. Multiplik. d. ganz Zahlen. 
Division. Teilbarkeit. Grösster gem. Teiler u. kleinst, gem. A'ielfachos. Primzahlen. 
Gewöhnl. Brüche. Dezimalbrüche; angenilh. Quotienten. Quadrat; (^Uuidraiwinzel. — 



Bibliographie 11 

Algebra: Ainvend. d. Bui-hstabcn. Posit, u. uegat. Zalileii. Aiiwciul. il. posit, u. ucgat. 
Zahlen; gleichförm. Beweg. Anfangsgründe d. aig. Rechn. Gleichungen n. Ungleichheiten 
erst. Grades. Aufgaben erst. Grades. Untersuch, d. Binoms erst. Grades; graph. Darstell. 
Gleich zweit. Grades. Aufgaben zweit. Grades. Untersuch, u. graph. Darstell, d. Verlaufs 
d. gebroch. lin. Funktion. Grundbegriffe d. Diff. -rechn. Reihen u. Logarithmen; Zinses- 
zinsen. — Lösung d. Aufgaben: Arithm. Alg. 

Brill, Alexander, Das Relativitätsprinzip. Eine Einführung in die Theorie. 
3:e AufL (AbhandL ii. Vorträge aus d. Gebiete d. Mat., Nat.-wiss u. Tech- 
nik. 3.) — IV + 48 pp. 8. 1918. M. 2:-. 

Vorw. Die Forderung. Geometrie d. Bewegung. Dynamik d. mater. Punktes. 
Einsteins Theorie d. Gravitation. 

CoHN, Emil, Physikahsches über Raum und Zeit. 3:e .AufL (Vorträge u. AbhandL 
aus d. Gebiete d. Math., Nat.-wiss. u. Technik. 2.) — 31 pp. 8. 1918 M. 1:20 geh. 

CzuBER, Emanuel, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Bd. 1. -i.e 
Sorgfalt, durchges. Aufl. — XII + 569 pp. 8. 1918. M. 16:— geh., M. 18:— geb. 

Entwicklung d. Zahlbegriffs. Variable. Funktionen. — Der Differentialquotient u. 
das Differential. AUgem. Sätze üb. Differentiation. Differentialquotienten d. element. 
Funkt. AUgem. Sätze üb. d. Zusammanhang einer Funkt, m. ihrem Differentialquot. Die 
höh. Differentialquotitenten u. Differentiale. Transformât, d. unabhäng. Variablen. — Part. 
Difterentialquotienten u. Differentiale. Das totale Differential. Difterentiat. zusamman- 
gesetzter u. impliz. Funktionen. Transformât, d. Variablen. — Reihen m. konstanten 
Gliedern. Reihen m. var. Gliedern. Die Formeln u. Reihen v. Taylor u. Maclaurin. 
Die elem. Funktionen einer komplex. Variablen. Die unbest. Formen. — Max. u. Minima 
d. Funkt, einer Var. Max. u. Minima d. Funkt, mehr, unabhäng. Variablen. Max. u. 
Minima v. Funkt, mehr, abhäng. Var. — .\nwend. d. Differentialrechn. auf d. Unter- 
suchung V. Kurven u. Flächen: Die Tangente u. die Normale. Asymptoten. Gestalt einer 
Kurve in d. Umgeb. eines Punktes. Verhalten zweier Kurven in d. Umgeb. es. gemeinsam. 
Punktes. Länge es. Kurvenbogens. Bogendiff. Krümmung eb. Kurven. Die sing. Punkte eb. 
Kurven. Einhüllende Kurven. — Das begleit. Dreikant er. Raumkurve. Erste u. zweite 
Krümmung. Tangenten u. Tangentialebenen. Normalen u. Nornialebenen er. krumm. Fläche. 
Einhüll. Flächen. Die Polarfläche er. Raumkurvc. Krümmung v. Kurven auf krumm. 
Flächen. Spez. Kurven auf krumm. Flächen. 

Fricke, Robert, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung und ihrer An- 
wendungen. Bd. 1: Differentialrechnung. Mit 129 Fig., 253 Aufgaben ii. 
einer Formeltabelle. — XII + 400 pp. 8. 1918. M. 14:— geh.. M. 15:— geb. — 
Bd 2: Integralrechnung. Mit 100 Fig., 242 Aufgaben u. einer Formcltabelle. 
— V + 413 pp. 8. 1918. M. 14:— geh., M. 15:— geb. 

1. Zahlen, Variable und Funktionen. Die Differentiation d. l'unktionen einer 
Variablen. Wiederholte Differentiat. d. Funkt, einer Variablen. Die Differentiat. d. 
Funkt, mehrerer Variableu. — Methoden d. Berech. d. Funktionen: Näherungsdarstel- 



12 luljliograjiliie. 

liin^'eii mittelst ganzer Funktionell. Konvergenz d. iiiienill. lieilien. Berechn. d. Extrem- 
werte d. Funkt. — Auwend. d. Differentialreclin. : Untersuchung d. ebeuen Kurven. 
Untersuchung d. Flächen u. Kurven im Räume. Untersuchung d. Bewegungen. 

2. Das unbestimmte Integral. Das best. lutegi'al. Integrationen bei mehreren 
Variablen. — Anwend. d. Integralrechn.: Geometr. Anwendungen d. Integralrechn. 
I'liysikal. Anwend. d. Integralrechn. Fouriersche Reihen u. liarmonische Analyse. — Lösung 
V. Diti'erentialgleichungen: Gewöhnl. Differentialgleichungen erst. Ordn. Gewöhnl. Diffe- 
rentialgleichungen luili. Ordn. Partielle Differentialgl. Komplexe Zahlen u. Funktionen. 

KoENiGSBERGEE, Leo, Weierstrass' erste Vorlesung über die Theorie der elliptischen 
Funktionen. Sonderabdr. aus d. XXV. Bde Heft 10 — 12 d. Jahresberichts 
d. Deut. Mathematiker- Verein. ~ 32 pp. 8. 1917. M. 2:40 geh. 

LiETZMANN, W., Was ist Geld? (Math.-Phys. Bibl., hrsg. von W. Lietzmann u. 
A. Witting. 30.) — 55 p. 8. 1918. M. 1:—. 

Das Geld im Einzelbesitz: Münzgeld. Papiergeld. Einnahme u. Ausgabe. Vermögen. 
~ Das Geld u. der Staat: Bargeldverkehr. Bargeldloser Verkehr. Der Staat. — Das 
Geld in d. Welt: Das Währungsmetall. Arbeit u. Boden. — Lit. 

LiETZMANN, W., & Trier, V., Wo steckt der Fehler? Trugschlüsse und Schüler- 
fehler. 2:e verm. u. verb. Aufl. Mit 29 Fig. (Math.-Physik. Bibliothek, hrsg. 
von W. LiETZMANN u A. Witting. 10.) — IV + 53 pp. 8. 1917. M. 1:— geh. 

Luckey, P., Einführung in die Nomographic. T. 1.: Die Funktionsleiter. Mit 24 
Fig. (Math.-Physik. Bibliothek, hrsg. von W. Lietzmann u. A. Witting. 
28.) — IV + 43 pp. 8. 1918. M. 1:— geh. 

Die Kunst, Rechnungen zu vermeiden. Die Doppelleitcr als Dai-stell. einer Funkt, einer 
Vcränderl. Einf. Leitern. Die logarithm. Leiter. Der Grundgedanke d. Rechenschieber. 

Maennchen, Philipp, Geheimnisse der Rechenkünstler. 2:e Aufl. (Math.-Physik. 
Bibliothek, hrsg. von W. Lietzmann u. A. Witting. 13.) — 50 pp. 8. 1918. 
M. 1:— geh. 

Müller, Kmil, Lehrbuch der darstellenden Geometrie für Technisciie Hochschulen. 
Rd 1. 2:e Aufl. — XIV 4- 370 pp. 8. 1918. M. 16 geh. — ; M. 18:— geb. 

Kinleit. Unendlich ferne (od. unoigentliche) Elemente. Bezeichn. -weise u. Abkiir- 
ziingen. — Abbild, durch zugeordn. Xormalrisse: Benennungen u. Sätze üb. zugooidn. 
Nornialrisse. Seitenrisse. Drohungen. Das Weglassen d. Rissachsen. Die Grundaufgaben 
Uli. Lagenbeziehungen. Schattenbestimni. f. ebenfläch. Körper in zugeordn. Normalrissen. 
Affinität. Massaufgben. — Kurven u. Flächen. Lösung sie betreff. Aufg. in zugeordn. 
Xormalrisscn: AUgeni. iib. Kurven. Allgein. Üb. krumme Flächen. Kurven zweit. Ordn. 
Kegel- u. Zylindertlächon, allgem. aliwickelbarc Flächen. Kugelfiäclic. Drebtiächon. Schraub- 
Häclion. Windschiefe, u. graph. Flächen. Sariivcrzeichn. Xamenvcrzeiclin. 



Bibliograiiliie. 13 

Neuexdorff, R., Praktische Mathematik. T. 2.: Geometrisches Zeichnen. Projek- 
tionslelire. Flächenmessung. Körpermessung. (Aus Natur u. Geisteswelt., 
Bd526.) — 10t pp. 8. 1918. M. 1:50 geb. 

Salmon, George, Analytische Geometrie der Kegelschnitte. Nach d. freien 
Bearb. von Wilhelm Fiedler neu hr.sg. von Friedrich Dingeldey. 7:e 
Aufl. T. 2. — X + 445 pp. 8. 1918. M. 13:— geh.; M. 14:— geb. 

Lineare Systeme vou Kegelsclinitteii. Projekt. Eigenschaften d. Kegelschnitte. ISe- 
sond. homogene Gleichungsformen zweit. Grades. Die allgem. liomog. Gleichung zweit. 
Grades. Invarianthentheoric d. binären Formen. Invarianteutheorie d. Kegelschnitte. 
Analyt. Grundlagen d. Jletrik. \on d. reziproken Verwandtschaften. Von d. Methode 
d Projektion. Literaturnachweis. Nachträge u. Bericlit. 

ScHUDEiSKY, A., Projektionslehre. Die rechtwinklige Parallelprojektion u. ihre 
Anwend. auf d. Darstellung technischer Gebilde nebst einem Anhang üb. d. 
schiefwinkL Parallelprojektion in kurzer, leicht fasslicber Behandlung für 
Selbstunterricht u. Schulgebrauch. (Aus Natur u. Geisteswelt Bd. 564.) — 
83 pp. 8. 1918. M. 1:50 geb. 

Sereet-Scheffers, Lehrbuch der Differential- und Integralrechnung. Ursprüngl. 
Übersetzung des Lehrbuches von J. A. Serret, seit der dritten Aufl. gänzlich 
neu bearbeitet von G. Scheffers. 6. u. 7. Aufl. Bd. 1: Differentialrechnung. 
Mit 70 Fig. XVII + 670 pp. 8. 1915. geh. M. 13:—; geb. M. 14:—. 

Einleit. Begriffe: Von d. Zahlen. Von d. Funktionen. Der Begrift' d. Grenze. 
Die Begriffe + œ uud — oo. Stetigkeit. Das Rechnen m. Grenzwerten. — D'iffcrcn- 
tialiuotient einer Funkt, v. einer Veränderl: Die abgeleit. Funkt. Differentiation ent- 
wickelter algebr. Funktionen. Anwend. Difterentiat. v. zusammengesetzt. Funktionen. 
Dift'erentiat. d. Logarithmus u. d. Exponentialfunkt. Differentiat. d. Kreisfunkt. Differentiat. 
d. unentwickelten Funkt. — Höhere Diff'erenliahßiotienfcn, partielle Diff.-quot. ii. voll- 
ständige Differentiale. — Differentiat. unentwickelter Funktionen: Unabhängigkeit v. 
Funkt, u. Gleichungen. Ableitungen u. Differentiale unentwickelt. Fuidit. Die Elimination 
willkürlicher Konstanten. Die Eliminât, willkürl. Funkt. Einführung v. neuen Veränderl. 

— Entwicklung d. Funkt, in Potenzreihen: Über unendl. Reihen überliaupt. Der Tay- 
lorscbe Satz für Funkt, v. einer Värenderl. Reihenentwicklungen spez. Funktionen. Rei- 
henentwickl. nach posit, u. negat. Potenzen. Bestimm, v. Grenzwerten. Der Taylorsche 
Satz f. Funkt, v. mehrer. Värenderl. — Theorie d. Maxima u. Minima: Funktionen 
V. einer Veränderl. Anwend. Funkt, v. mehrer. Veränderl. Anwend. — Theorie d. ebenen 
Kurven: Kurve, Tangenten u. Normalen. Homogene Koordinaten. Singulare Punkte. 
Differentialquotient d. Fläche u. d, Bogenlänge. Krümmung d. eben. Kurven. Polarko- 
ordinaten. Einhüllende Kurven. Oskulierende Kurven. — Anwendungen d. Theorie d. 
eben. Kurven: Die Fläche u. das Bogenelement d. Kegelschnitte. Krümmung d. Kegel- 
schnitte. Die gemeine Zykloide. Epi- u. Hypozykloide. Einige and. bemerk.-wertc Kurven. 

— Theorie d. Raumkurren u. Flächen: Tangenten, u. Normalen. Bogenelement einer 
Kaumkurve. Torsion er. üaumkurvc. Einhüllende Flächen. Polarfläche, Evoluten u. Evol- 



14 Fiil)lio;,'riiiiliie. 

veiilcu. liei'iiliiiiiig luilicr. Ordii. zwischen Kurven u. Flächen. — FJächenlcuncn u. 
FlädienfamUien : Die Krümmungsradien es. Flächenpunktes. Die Dui)insehen Indikatrizen. 
llauptkrümmuiigsradien u. Krümmungsmass er. Fläche. Dreifache orthogon. Fläclicnsj'- 
stcme. Höhen- u. Fallkurvcn.' .Flächenfamilien. — Element. Funktionen einer komplexen 
Veränderlichen: Allgem. iii). komplexe Zahlen. Unendl. Reihen, m. kompl. Gliedern. 
Analyt. Funkt. Einige besond. F'unkt. — Theorie d. Partialliruchzcrlegung: E.xisteuz d. 
l'artialbruchzerlcg. Ausführung d. Partialbruchzerleg. lîeelle Partial bruehzerlegung. — 
tieschichtliche Anni. Sachreg. Berichtigungen. 

Sïoi-z, Otto, & Gmeiner, J. A., Theoretische Arithmetik. 1. Abt.: Allgemeines. 
Die Lehre von den rationalen Zahlen. 2:e Aufl. umgearb. von J. A^"TON Gjiei>'ER. 
(Dritte Aufl. der Abschnitte I — IV des 1. Teiles d. Vorlas, üb. Allgem. Arith- 
metik von 0. Stolz.) (B. G. Teubners Samml. von Lehrbüchern . . . d. math. 
Wiss., Bd. IV. 1.) — VI + 148 pp. 8. 1911. geb. M. 5:20. 

Kinleit. Begriff d. Grösse u. Zahl. Die uatürl. Zahlen. Analyt. Theorie d. rational. 
Zahlen: Theorie d. Rechengesetze. Die ration. Zahlen. — Synthetische Theorie d. 
rational. Zahlen. Die systemat. Brüche. Übungen. Sachenreg. 

Timerding, H. E., Der goldene Schnitt. Mit 16 Fig. (Math. -Physik. Bibhothek, 
hrsg. von AV. Lietzmann u. A. Witting. 32.) — 57 pp. 8.1919. M. 1: — geh. 

VViELEiTNER, H.: Der Begriff der Zahl in seiner logischen und historischen Ent- 
wicklung. 2:e durchges. Aufl. 5. bis 8. Tausend. Mit 10 Fig. (Math.-Phj-sikal. 
Bibliothek, hrsg. von W. Lietzmann u. A. Witting. 2.) — 58 pp. 8. 1918. 
M. 1:— geh. 

Die natürl. Zahlen u. die Null. Die uegat. Zahlen. Die Brüche. Die Irrational- 
zahlen. Die imag. Zahlen. Weiterführ. Literatur. Inde.x. 

Vandenhoeck & Ruprecht. 

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(iRELLiNG, KuRT, Die philosophische Grundlagen der AA'ahrschciniichkeitsrechnung. 
— 36 pp. 8. 1910. M. 1:70. (Sonderabdr. a. d. Abhandl. d. Fries'schen 
Schule, N. F., Bd 3., H. 3.) 

Das Problem. Der Gegenstand d. Wahrscheinlichkeitsurteile. Philos, u. inathcmat. 
Wahrscheinlichkeit. Das Mass d. Wahrscheinlichk. Die Grundsätze d. Wahrschein- 
lichkeitsrechnung. 

KowALEWSKY, MtcHAEL, Über die Antinomienlehre als Begründung des trans- 
zendentalen Idealismus. — 72 pp. 8. 1918. M. 2: 40. (Sonderabdr. a. d. 
Abhandl. d. Fries'schen Schule, N. F., Bd 4., H. 4.) 

lOiuleit. Allgemeines üb. d. transzemlentalen Idealismus u. il. .Vntinomienlehrc 
als seine Begründung. Kritik d. Kantischen Antinomien. Kritik d. spateren Beweise 
d. transzendent. Idealismus. Zwei Beweise d Idealität d. Zeit. Schluss. l'b. einige 
Versuche, die Antinomien v. Standjiunkte d. transzendent. Realismu.s aufzulösen. 



Bibliograpliie. 15 

Friedrich Vieweg & Sohn. 

lîraunsclnveig. 
Einstein, A, Über die sjDezielle und die allgemeine Relativitätstheorie, gemein- 
verständlich. (Sammlung Vieweg, Tagesfragen aus d. Gebieten d. Naturviss. 
u. d. Technik. H. 38.) — IV +70 pp. S. 1917. M. 2:80 geh. 

Holborn, L., & Scheel, Karl, Vier- und fünfstellige Logarithmentafeln nebst 
einigen physikalischen Konstanten. 2:e Aufl. — 24 pp. 8. 1914. M. 0: 80 geh. 

Timerding, H. E., Die Analyse des Zufalls. Mit 10 Abb. (Die Wissenschaft. 
Sammlung v. Einzeldarstellungen aus d. Gebieten d. Naturwiss. u. d. Technik, 
Bd 56.) — VIIT+168 pp. 8. 1915. M. 5:— geh.; M. 5:80 geb. 

Der Begriff d. Zufalls. Die statistische Metliode. Stationäre Zalileiireilien. Das 
»Gesetz d. grossen Zahlen». Die Tlieorie d. Glücksspiele. Die math. Analyse statio- 
närer Reihen. Das Urnenscliema. Nalienuigsformehi. Die statist. Theoi'ic d. Zufalls. 
Die genetische Theorie d. Zufalls. 



Librairie Vuibert. 
Taris. 
Baire, René. Théorie des nombres rationnels, des limites et de la continuité. 
2:e édition. — 59 pp. 8. 

Introd. — Définition d. nombres irrationnels. Bornes sup. et infér. d'un ensemble. 
Limite d'une suite de nombres. Valeurs approchées d'un nombre. Différence de deux 
nombres. Théorèmes sur 1. limites. Xotions de fonction et de continuité. Fonctions 
d'arguments rationnels. Principe d'extension. Extension du calcul algébr. Théorèmes 

sur 1. fonctions contin. Fonctions inverses. Définit, d. fonctions V'.r, "*i ^^ i ^^S •*'• 

Delens, P , Problèmes d'arithmétique amusante. — VIII + 164 pp. 8. 1914. Fr. 2: — 

Avant-propos. Caractères de divisibilité. — 1. Trouver un ou plusieurs chiffres 
effacés d'un nombre inconnu lorsqu'on connaît 1. chiffres restants. — 2. Trouver le 
résultat d'une suite d'opérations effectuées sur d. nombres inconnus quelconques, sans 
demander aucun renseignement. — 3. Deviner un ou plusieurs nombres pensés. — 
Recréations avec d. dés, avec d. dominos, avec un jeu de cartes. — Note s. 1, extrac- 
tions de racines. 

Rebière, A., La vie et les travaux des savants modernes d'après les documents 
académiques. 3:e édition, ornée de portr., rev. et augm par E. Goursat. 
VIII + 472 pp. 8. 

L'Académie d. Sciences: La science antique. Les grands précurseurs. L'ancienne 
Acad. d. sei. L'Institut et l'Acad. d. sei. depuis 1795. Les prix et 1. lauréats. Les 
documents académiques. Les secret, perji. — Les mathématiciens et 1. astronomes: 



If) lühliograiiliio. 

Cassini. Huygliens. Newton. I.eibniz. Les trois Hoinoulli. Etiler, riairaut. ])'Aleml)ert. 
I.agrauge. Ilerschel. Monge. Laplace. Delambre. ]^egendre. Carnot. Fouiier. Gauss, 
l'oncelet. Caucliy. Cliasles. Le Verrier. Bertrand. Hermite. Poincan'-. — Les 
]>liysicicns et les chimistes. ^- Les naturalistes. 

Vogt, H., Solutions des exercices proposés dans les Eléments de Mathématiques 
Supérieures. — 276 pp. 8. 1913. 

Compléments d'algèbre. Géométrie analjt. Dérivées et différentielles. Théorie 
d. écpiations. Applications géométriques. Calcul intégral. Equations différentielles. 



Nicola Zanichelli. 

Bologna. 
Enriques, Federigo, Conferenze suUa geometria non-euclidea, pei' cura del Dott 
Olegario Fernandez. 46 pp. 8. 1918. L. Si- 
ll jirinio libre d. elemcnti e le jiromesse d. geometria d'Eurlide. 1 iirincii)i d. 
geometria gen. indipendeute dal postulate d'Einlide. La nietrica-iiroiettiva e la imli- 
mostrabilitiï d. postulato d'Euclide. 



SUR L'INTEGRALE DE LEBESGUE. 

l'Ai; 

FRÉDÉRIC RIESZ 

à Koi.nzsvÂiî. 

(Extrait dune lettre à M. G. Mittag-Leffler.) 

L'été dernier, quand nous parlions des idées de M. LeeesüX'e, vous m'avfz 
aimablement invité à voua donner, pour les Acta mathematica, quelques détails 
au sujet d'une note que j'ai publiée antérieurement (Comptes rendus, le 4 mars 
1912) et dans laquelle j'ai indiqué comment je m'imagine l'introduction de l'inté- 
grale indépendamment de la théorie de la mesure. Les voilà; mais avant tout, 
permettez-moi de vous rappeler que ce n'est pas moi le premier qui ai tâché de 
refondre l'œuvre admirable de M. Lebesgue, que c'était plutôt la lecture d'une 
note de M. Borel sur ce sujet (Comptes rendus, le 12 février 1912) qui m'a 
donné l'occasion d'exposer mes idées sur la même question. Depuis-là, peu après, 
M. Borel a développé sa méthode dans un mémoire détaillé qu'il faisait paraître 
dans le Journal des mathématiques (6^ série, t. 8, p. 159). En étudiant ce 
mémoire, je vois de nouveau que le point de vue que j'adopte diffère beaucoup 
de celui de M. Borel; moi, je tiens à définir l'intégrale aussitôt que possible, 
pendant que M. Borel commence par introduire la mesure, seulement que, au 
lieu de la définir suivant M. Lebesgue, il se sert de la définition qui est son 
propre et qui conduit aux ensembles moins généraux que l'on appelle, avec 
M. Lebesgue, les ensembles mesurables B. Sans doute, cette définition a ses 
avantages quand il s'agit de certaines questions délicates, comme par exemple 
dans l'étude approfondie des ensembles de mesure nulle; mais on ne doit pas 
oublier que le grand mérite de la théorie de M. Lebesgue consiste en ce qu'elle 
est comprehensive sans être sensible, c'est à dire qu'elle permet d'ajourner les 
questions délicates sans les abandonner. A cet égard, je dois préférer une 
autre idée de M. Borel (Comptes rendus, le 14 et le 28 février 1910) dont 
j'ai pris connaissance seulement après la publication de ma note; elle consiste à 



192 Frédéric Riesz. 

définir l'intégrale en négligeant d'abord un nombre fini ou une infinité d'inter 
valles dont la somme est arbitrairement petite et puis faire tendre cette somme 
vers zéro. Il faut regretter que M. Borel ne continuait pas de développer cette 
idée féconde, sur laquelle on pourrait baser effectivement une théorie élémentaire 
telle que je l'ai en vue; d'ailleurs, l'idée fut reprise récemment avec succès par 
M. Hahn (Monatsberichte i. Math. u. Phys., 1915, p. 3). Une autre définition 
où la mesure n'intervient pas, est due à M. Perron (Sitzungsberichte, Heidel- 
berg 1914, 14. Abb.); il s'y agit d'une généralisation très subtile, mais un peu 
artificielle, de l'idée classique d'envisager l'intégration comme l'inverse de la 
differentiation. Enfin, je me rappelle d'avoir parcouru incidemment, pendant 
mon dernier séjour à Stockholm, une note de M. Young sur le même sujet qui 
est imprimée dans les Comptes rendus de 1915 ou de 1916; malheureusement, à 
cause de la guerre, ces Comptes rendus ne se trouvent pas actuellement à notre 
bibliothèque. 

Dans ce qui suit, je ne parlerai que des fonctions d'une seule variable; 
mais j'ajoute que, pour l'intégration des fonctions à plusieurs variables, on n'aura 
presque rien à changer. 



En commençant d'exposer ma méthode, il me faut tout de suite avouer que 
je n'ai pas l'intention d'écarter complètement la mesure. Au contraire, le point 
le plus essentiel de ma méthode consiste à faire intervenir dès le commencement 
une classe particulière d'ensembles mesurables, savoir les ensembles de mesttre 
mâle. On y entend, d'après M. Lebesgde, les ensembles qu'on peut enfermer 
dans un nombre fini ou une infinité dénombrable d'intervalles de manière que 
la somme des longueurs soit arbitrairement petite. Il découle immédiatement 
de cette définition que tout ensemble compris dans un ensemble de mesure nulle 
est lui-même de mesure nulle et que la somme d'un nombre fini ou d'une infinité 
dénombrable de tels ensembles, c'est à dire l'ensemble que l'on obtient en les réniiis- 
sant, l'est aussi. En particulier, chaque ensemble fini ou dénombrable de points 
est de mesure nulle. 

C'est tout ce qu'il nous faudra savoir sur ces ensembles particuliers. 



Envisageons maintenant une infinité dénombrable d'ensembles E,, E,, ■ ■ -, 
appartenant à l'intervalle a& et formé chacun d'un nombre fini d'intervalles 
que l'on peut supposer de ne pas empiéter les vms sur les autres. Désignons par 



Sur l'intégrale de Lebesgue. t93 

l„ la longueur totale de l'ensemble En — on pourrait aussi l'appeler mesure de 
E„ — c'est à dire la somme des longueurs des intervalles dont il se compose. 
De plus, considérons l'ensemble E* des points communs à une infinité d'entre 
les ensembles En- Je dis que E* ne peut cire de mesure nulle que si ;„ — o. 
Pour le voir, considérons d'abord le cas particulier où chaque ensemble E„ 
contient tous les suivants. Dans ce cas, la suite des l„ étant décroissante, elle 
tendra vers une limite déterminée positive ou zéro, et pour voir que c'est précisé- 
ment vers zéro qu'elle tend, il suffit de montrer que l'hypothèse queZ„ > ô> o, pour 
tous les n, aboutit à une contradiction. Or, l'ensemble E* étant de mesure 
nulle, il peut être enfermé dans un nombre fini ou une infinité dénombrable 
d'intervalles tels que leur somme soit inférieure à (î et on pourra aussi s'arranger 
que chaque point de E* soit intérieur à un au moins de ces intervalles; en effet, 
on pourrait, s'il était nécessaire, dilater tous les intervalles sans que leur somme 
cesse d'être inférieure à ô. Ces intervalles ne recouvriront complètement aucun 
des ensembles E„, puisque dans le cas contraire il existerait d'après un théorème 
bien connu de M. Borel, un nombre fini d'entre eux ayant la même propriété; 
mais c'est impossible, leur somme étant inférieure à (î et la longueur totale de 
E„ y étant supérieure. C'est à dire que, en excluant de E„ les points intérieurs 
aux intervalles où nous avons enfermé l'ensemble E*, il reste encore un certain 
ensemble fermé En- Or, les ensembles fermés En dont chacun contient les 
suivants, admettent au moins un point compris dans chacun d'eux; ce point 
étant compris dans tous les E„, il l'est aussi dans E*; mais, d'autre part, en 
définissant les ensembles E„, nous avons supprimé tous les. points de E*. Voici 
la contradiction annoncée. 

3- 

AUons maintenant au cas général ! Si les In ne tendaient pas vers zéro, il 
existerait une infinité d'ensembles E„ dont les longueurs totales l„ surpasseraient 
une certaine quantité ö>o. Alors en désignant par E", l'ensemble qu'on obtient 
en réunissant les ensembles E,n, Em+i, - - -, En{m<n) et par /", la longueur totale 
de cet ensemble, on aurait aussi, pour m quelconque et pour n suffisamment 
grand lm> ö. C'est à dire que, en désignant par ).,„ la limite de la suite croissante 
I'm {m fixe, 71— «oo), on aurait ?.m> à pour tous les m. 

Soit £ une quantité positive inférieure à ô, d'ailleurs quelconque, et choisissons 
successivement les indices n, <^Wj<W3... de sorte qu'on ait pour tous les m 

r« > ;im — 1 • 

m "^ '" 2'" 
Ada malhematica. 42. Imiuimé le C septembre 1919. -•* 



194 Frédéric Riesz. 

Désignons par £''"' la partie commune des ensembles E"\ E"\ ...,E"^' et par 
/''"' la longueur totale de £'"". Je dis qu'on a 

Um) yö — e 

et cela pour tous les m. Cette inégalité suit immédiatement, à plus forte raison, 
de l'inégalité plus précise 

?'"">A,;. — e(i — -- 



que nous allons vérifier par récurrence. En effet, comme /<" = /"', l'inégalité 
est vraie, par hypothèse, pour m = i ; supposons qu'elle le soit encore pour m — i ; 
il faut montrer qu'elle subsiste pour m. Or, l'ensemble ^f""' est la partie com- 
mune de £!"•-" et de a"'" pour lesquels on a, par hypothèse, 



Z("'-i) > ;.„,_! - £ ji - -^l-_\ , T"» > l„ 



et qui sont tous les deux compris dans l'ensemble E"^^ dont la longueur totale 
ne dépasse pas la limite /.,„_i. Par conséquent on a 

lin.) > H,n-X) + in^ _ l^_^ y ^^^ _, - £ (l J^U ^-^ - 4 - U = „. - 



ce qu'il fallait montrer. 

L'inégalité que nous venons de démontrer, indique que les longueurs totales 
Z'"*' des ensembles jB'""' dont chacun contient les suivants, restent supérieures à 
une quantité (î' = (î— e>o; d'autre part, l'ensemble des points communs à tous 
les ^*""' étant compris dans E*, sera de mesure nulle, mais ce sont précisément 
les hypothèses correspondant au cas particulier déjà traité et qui nous ont 
conduit à une contradiction. 



4- 
Le résultat que nous venons d'obtenir, suffit complètement pour introduire 
l'intégrale, et c'est seulement pour éviter double emploi que je fais déjà ici une 
remarque qui nous sera essentielle dans la suite; il s'y agit de ce que j'ai dé- 
montré, en réalité, un peu plus que le fait annoncé. En effet, après avoir 
déduit de l'hypothèse que l„ ne tend pas vers zéro, l'inégalité lm>à, j'ai fait 
voir comment cette inégalité aboutit à une contradiction, sans qu'il nous aurait 



Sur l'intégrale de Lebesgue. 195 

fallu retourner à l'hypothèse faite. C'est à dire que nous avons démontré, en 
réalité, que l'hypothèse que l'ensemble E* soit de mesure nulle, entraîne la relation 

^m — o (m — cx= ) , . 

ou bien, ce qui revient au même, la relation 

Im — 'O (m— >(x>, ?!. — oo); 

cette relation comprend, pour m = n, la relation /„ — o. (D'ailleurs, on aurait pu 
aussi déduire la relation /",—^0 de cette dernière relation bien qu'elle ait une 
forme plus particulière; en effet, l'hypothèse faite sur la suite {i?„J est également 
remplie pour toutes les suites (^Äm).) 

Ces résultats s'étendent presque immédiatement à un tableau infini à double 
entrée {Eih); on aura seulement à préciser le sens qu'il faudra donner aux nota- 
tions E*, E'm, Im et A„,. Quant à l'ensemble E* , convenons qu'il soit formé des 
points appartenant à une infinité d'entre les ensembles Enc, en exigeant de plus 
que tous les deux indices croissent indéfiniment. C'est à dire que les points de 
E* sont caractérisés par le fait que pour m quelconque et pour chaque point 
appartenant à S*, il existe des ensembles Eiu avec i^ni, k>^m qui le contien- 
nent. Par E'm nous, entendrons l'ensemble formé en réunissant tous les ensembles 
Eik(i = m, . . ., n; k = m, . . ., n); V'n est la longueur totale de .E"t et A,„ désigne la 
limite de C quand n va à l'infini. Ces conventions faites, les raisonnements du 
numéro précédent s'appliquent entièrement au cas considéré et fournissent des 
résultats analogues à ceux que nous venons d'obtenir. 

Je vais énoncer nos résultats sous la forme que j'en aurai besoin, la rela- 
tion particulière /„ — o pour le cas d'une suite et la relation plus générale C—o 
pour le cas du tableau. 

Lemme particulier: Éta7it donnée une infinité dénombrable d'ensembles Ei, 
E^, . . ., compris dans le même intervalle et formé chacun d'un nombre fini d'inter- 
valles, soient ?, , Zj , . . . leurs longueurs totales et soit E* V ensemble des points apparte- 
nant à une infinité d'entre eux. Si l'ensemble E'* est de mesure nulle, on a, n 
allant à l'infini: 

/„— o. 

Lemme général: Étant donné un tableau à double entrée {Ejk] d'ensembles du 
type considéré, soit E* l'ensemble des points tels que, pour chaque point et pour 
chaque nombre m, il existe des ensembles Eik avec i >m, k>m gui le contiennent; 
de plus, soit Em l'ensemble formé en rétmissant les ensembles Eiu {i, k = m,ni + x, ...,7i) 



196 Frédéric Riesz. 

et soit I'm sa longueur totale. Si l'ensemble E* est de mesure nulle, on a, m et n 
allant à Vinjini: 

C — o. 

Bien entendu, ces deux' lemmes sont compris dans des théorèmes connus 
appartenant à la théorie générale de la mesure; ainsi, par exemple, le premier 
est compris dans un théorème de M. BoREL (Comptes rendus, le 17 décembre 
1903), mais il peut aussi être regardé comme cas particulier du théorème fonda- 
mental de M. Lebesgue concernant l'intégration terme à terme des suites bor- 
nées. Pour nous, il s'agissait seulement d'établir ces lemmes indépendamment 
de la théorie généi'ale. D'ailleurs, quant au premier lemme, il fut déjà établi 
avant Lebesgue par Akzelà pour le cas particulier où il n'y a aucun point 
appartenant à l'ensemble E* (Memorie 1st. Bologna 1899, p. 131). 

5- 

Pour définir Tintégrale, je commence par les fonctions particulières appelées 
fonctions simples et définies comme il suit: on jjartage l'intervalle ab{a<b) en 
un nombre fini de segments et on fait correspondre à chaque segment une 
quantité constante; quant aux points de division, on y peut attacher des valeurs 
quelconques; d'ailleurs, ces dernières n'importent pas au point de vue de l'inté- 
gration. Pour ces fonctions simples, on définira l'intégrale comme d'ordinaire 
en ajoutant les produits de chaque segment et de la valeur correspondante. 

Soit maintenant [(pn{x)) une suite injinie de jonctions simj)les, bornées dans 
leur ensemble et tendant presque partout, c'est-à-dire sauf peut-être pour un ensemble 
de mesure nulle, vers une fonction limite f(x). Je dis que les intégrales des (f„(x) 
tendent vers une valeur limite et que celte limite est toiijours la même pour deux 
suites tendant vers la même fonction f{x). Pour le voir, considérons d'abord le 
cas particulier où f{x) = o sur tout l'intervalle. Désignons par iJ,, l'ensemble 
formé par les intervalles où \rp„{x)\>s, s étant une quantité positive arbitraire- 
ment choisie, et soit In la longueur totale de cet ensemble. Les fonctions ffn{x) 
étant bornées dans leur ensemble, leur module reste inférieure à une constante 
G. Alors le module de l'intégrale de <Pn{x) sera inférieure à 

lnG + s{b — a), 

et comme les hypothèses de notre lemme particulier sont remplies pour les en- 
sembles E„, la quantité /„ tend vers zéro. C'est-à-dire que, pour Ji suffisamment 
grand, l'intégrale de fp„(x) sera, en valeur absolue, inférieure à la quantité ar- 
bitrairement petite E(b — a). Donc l'intégrale tend vers zéro avec ■ 



Sur l'intégrale de Lebesgue. 197 

Le cas général se ramène immédiatement au cas particulier que nous venons 
de considérer, et cela en remarquant que, dans le cas général, ce sont les suites 
(ffmix) — fftiix)} qui tendent presque partout vers zéro; 7n et n y peuvent aller 
à l'infini de toute sorte possible, indépendamment l'un de l'autre. On en con- 
clut, en appliquant le résultat particulier établi, que la différence des inté- 
grales de q^m et de (pn tend aussi vers zéro et il s'en suit, d'après le critère 
général de Cauchy, que l'intégrale de (p^ tend vers une limite déterminée. 
Quand il s'agit de deux suites distinctes [fp,,] et [rp'„] tendant presque partout 
vers la même fonction /(a:), on n'aura qu'à appliquer le même raisonnement à 
la suite {rp„ — cp'n] ; on en conclut que les intégrales des fp,, et des (/'„ tendent 
vers la même limite. 

Après le résultat que nous venons d'établir, la définition de l'intégrale est 
immédiate. Appelons fonction somniable tovte fonction f{x) du tyjje considéré, c^ est- 
à-dire qui est la limite — presque yartout — d'une suite bornée de fonctions sim- 
ples fpn{x). Comme valeur d'intégrale, nous y attachons la limite de l'intégrale des 
ffni^); d'après ce que nous venons de voir, cette limite existe et elle est parfaitement 
déterminée par la fonction f{x), indépendamment du choix particulier de la suite 
approchante. 



On pourrait être tenté d'appliquer le même procédé une seconde fois, en 
espérant de définir ainsi l'intégrale pour une classe de fonctions plus large. Je 
dis que le procédé ne fournira rien de nouveau. D'une façon précise, je dis que 
la fonction limite d'une suite bornée de fonctions sommàbles qui converge presque 
partout, est elle-même une fonction sommahle et que, de plus, la suite peut être 
intégrée terme à terme. 

Démontrons d'abord le lemme suivant, qui n'est qu'un cas particulier d'un 
théorème important de M. Eqoeoff (Comptes rendus, le 30 janvier igii): Si une 
suite \fpn{x)} de fonctions simples converge presque partout dans l'intervalle ab, on 
peut enlever de cet intervalle un système (fini ou dénombrable) d'intervalles tels que 
leur somme soit aussi petite que l'on veut, et que d'autre part, la convergence devienne 
imiforme sur l'ensemble qui reste. 

Pour le voir, soient e une quantité positive arbitrairement petite et p un 
nombre entier positif, d'ailleurs quelconque, et désignons par Eu, l'ensemble où 

\<pi{x)—(pk{x)\}^-- Les (p tendant presque partout vers une limite déterminée, 

l'ensemble E* correspondant au tableau {Eu;] sera de mesure nulle; car les points 
où les (p convergent n'y appartiennent pas. Il s'en suit, d'après notre lemme 



198 Frédéric Riesz. 

généra], que /"— o; donc il y a un premier indice m,, tel qu'on ait ZJÎ, < pour 

m^nip et pour tous les n>nip. Considérons le système d'intervalles que l'on 
définira en prenant d'abord les intervalles dont se compose l'ensemble EZ = Em,„, 
puis les intervalles formant l'ensemble Em'^^ — Em, puis ceux formant l'ensemble 
-Ë'm*^ — EZ^^ et ainsi de suite. En prenant un nombre fini quelconque de ces 
intervalles, ils seront compris, pour n suffisamment grand, dans l'ensemble E", 
et comme ils n'empiètent pas les uns sur les autres, leur somme ne surpassera pas la 
longueur totale l"i de cet ensemble. C'est-à-dire que, pour m = m,p, la somme de 

tous les intervalles choisis sera inférieure à — D'autre part, ces intervalles ren- 

2.1" r î 

ferment tous les ensembles Eih tels que i>^mp, k>^mp. Faisons maintenant par- 
courir à p tous les entiers positifs, en gardant la même quantité donnée i; la somme 

des intervalles correspondants sera inférieure à —-1 1 = «• Excluons tous ces 

intervalles; sur l'ensemble qui reste, la convergence des (f„ vers leur limite sera uni- 
forme. En effet, on y a \fpi{x) — (pk{x)\<- pour tous les i, k>^mp. 

Voilà une conséquence immédiate du lemme établi. Soit {(pn{x)) une suite 
bornée de fonctions simples, convergeant presque partout vers la fonction f{x), 
et soit e une quantité positive arbitrairement donnée. Sans restreindre la géné- 
ralité, on peut admettre que les (p^ soient comprises entre les bornes supérieure 
et inférieure de f{x); s'il n'en était pas ainsi, on remplacerait la valeur de f/>„(a:), 
partout où elle surpasse la borne supérieure de f{x), par cette borne elle-même 
et on ferait la modification analogue pour la borne inférieure. Cela étant, en- 
levons de l'intervalle ah un système d'intervalles dont la somme < e et tels que 
la suite converge uniformément sur l'ensemble qui reste. Alors on aura sur cet 
ensemble et pour n suffisamment grand |/(a:) — (Pn{x)\<E. D'autre part, comme 
il est permis d'intégrer terme à terme, la différence des intégrales de / et de (/-„ 
sera aussi, pour n suffisamment grand, aussi petite qu'on voudra, par exemple 
<«. C'est-à-dire qu'on peut, pour chaque fonction sommahle f{x), choisir une 
fonction simple (p{x) de sorte qu'elle soit comprise entre les deux bornes de f(x), qtie 
de plus la différence des intégrales de f(x) et de <p(x) soit inférieure à e et enfin 
que la différence elle-même des deux fonctions soit inférieure à a, sauf peut-être 
pour un ensemble de points qtie Von peut enfermer dans des intervalles dont la 
somme est inférie\ire à s. 

Pour démontrer maintenant le théorème annoncé, soit {/„(.i)î une suite 
bornée de fonctions sommables, tendant presque partout vers la fonction g(x). 



Sur l'intégrale de Lebesgue. 199 

Faisons correspondre à chaque fonction f„{z) une fonction simple tf'„{x) d'après 
la loi que nous venons d'établir, en y posant £ = --■ Je dis qu'on a, presque 
partout. /n(a;)^ f/i„(a;) — o. En effet on peut, pour chaque indice ■«, enlever de 
l'intervalle «6 un système d'intervalles dont la somme < — . de sorte que, sur 

2" 

l'ensemble qui reste, on ait \fn{x) — rp„(x)\<—^^- Enlevons les intervalles corres- 
pondant à ri = fc + i, k + 2,...; leur somme sera inférieure à ^ . j + ^+2 "*" 
+ ••• = — j- Sur l'ensemble qui reste on aura pour tous les n, à partir de n = ifc+ i, 

\ln{x) — '/'„(.x)! < -^' par conséquent, fn{x) — (p„{x) y tend vers zéro. C'est-à-dire 

que les points où cette différence ne tend pas vers zéro, peuvent être enfermés 

dans des intervalles dont la somme est inférieure à -j. et comme k est arbitraire 

cette somme peut ftre rendue arbitrairement petite. Par conséquent, ces points 
d'exception, s'il en existe, forment un ensemble de mesure nulle. Il s'en suit 
que les cp„ tendent presque partout vers la même limite que les /„, savoir vers 
g'(a;). De plus, les cpn(x) restant par hypothèse entre les mêmes bornes que les 
/„(a:), ils sont bornés dans leur ensemble. Donc g{z) est la limite, presque 
partout, d'une suite bornée de fonctions simples; elle est par conséquent sommable. 
Enfin, son intégrale est la limite des intégrales des </'„(a;), ou bien, ces intégrales 

étant égales, à — près, à celles des /„(a;), ces dernières intégrales tendent aussi 

vers l'intégrale de gix). Le théorème annoncé est donc démontré. 

7- 

Jusqu'ici il s'agissait toujours des fonctions sommables bornées; pour arriver 
aux fonctions sommables non bornées, on pourrait, au lieu d'exiger de la suite 
{fn{x)} d'être bornée, faire quelque autre hypothèse plus générale; en tout 
cas, il faudrait choisir cette hypothèse de sorte qu'on puisse en conclure la 
convergence des intégrales. Voilà une telle hypothèse: supposons que l'intégrale 
de fp„{x), prise sur un nombre fini d'intervalles dont la longueur totale est 
suffisamment petite, soit elle-même aussi petite que l'on voudrait et cela indé- 
pendamment de n. Sous cette hypothèse, les raisonnements faits pour les suites 
bornées s'appliquent presque sans modification et conduisent précisément à toutes 
les fonctions sommables au sens de Lebesgue. Cependant, du moins à première 



200 Frédéric Ries/. 

vue, riiypotlièse proposée pourrait paraître un peu artificielle, et il me semble 
plus naturel d'aller une voie qu'on a suivi déjà bien des fois quand il s'agissait 
d'étendre l'intégrale à des fonctions non bornées. Tout d'abord, introduisons 
les fonctions mesurables; nous' appelons ainsi chaque fonction f{x), bornée ou non, 
qui est la limite — presque partout — d'une suite, bornée ou non, de fonctions 
simples. Lorsque la fonction mesurable f{x) est bornée, elle est aiissi sommable; en 
effet, si la suite correspondante {ffnix)} n'était pas bornée, on pourrait la modifier, 
comme nous venons de voir, en remplaçant la valeur de «/'„(a;), partout où elle 
ne serait pas compris entre les deux bornes de f{x), par la borne plus proche. 
Donc chaque fonction mesurable et bornée est sommable; inversement, à plus 
forte raison, chaque fonction bornée et sommable est mesurable. Lorsque la 
fonction mesurable /(:i-) n'est pas bornée, désignons par f{z;c,d), où c<d, la 
fonction égale à f{x) partout où c <f{x) <d, égale à c partout où f{x)^c et à 
d partout où f(x)>d. Soit [f,i(x)] une suite de fonctions simples tendant presque 
partout vers f{x); alors les fonctions correspondantes <f„(x; c, d) formeront une 
suite bornée de fonctions simples qui tend presque partout vers j{x;c,d). Par 
conséquent, la fonction bornée f{x\ c, d) sera sommable. Cela étant, faisons 
tendre c vers — oo et cZ vers + co et cela de toutes les manières possibles; si alors 
l'intégrale de f(x; c, d) tend toujours vers la même limite finie déterminée, nous 
attacherons cette limite comme valeur d'intégrale à la fonction f{x) et nous 
convenons de dire que la fonction non bornée f{x) est sommab'.e. On voit 
aisément qu'une condition nécessaire et suffisante pour qu'il en soit ainsi, 
consiste en ce que l'intégrale de f{x; c, d) soit une fonction bornée des para- 
mètres c et d. 

Posons en particulier c^o ou d = o; il s'en suit que la 'partie posi- 
tive et la partie négative d'une fonction sommable sont aussi sommables et que, 
par conséquent, le module \f{x}\ Vest aussi; inversement, lorsque pour une fonc- 
tion mesurable f(x), le inodule \f(x)\ est sommable, la fonction elle-même est aussi 
sommable. 

Il sera bien de fois utile de voir si une fonction est mesurable, avant de 
s'occuper de la question si elle est sommable. On a évidemment les règles 
suivantes qui découlent immédiatement de la définition: la somme, la différence, 
le produit et dans le cas où le diviseur ne s'annule pas, le quotient de deux 
fonctions mesurables le sont également. Mais il y a plus: la limite d'une suite de 
fonctions mesurables qui converge presque partout, sera elle-même une fonction mesu- 
rable. Ce fait ressort des raisonnements du numéro précédent qui se simplifient 
même, puisque maintenant n'interviennent plus les hypothèses dont on avait 
besoin potir intégrer terme à terme. 



Sur l'intégrale de I.ebesgue. 201 



Les propriétés principales des fonctions sommables découlent, grâce aux 
définitions données, presque immédiatement, par passage à la limite, des proprié- 
tés analogues des fonetiojis simples; permettez que je n'entre pas dans les détails. 
Je me contente d'indiquer que, entre autres, la somme et la différence de deux 
fonctions sommables le seront aussi et que leurs intégrales s'obtiennent par addi- 
tion et par soustraction des intégrales relatives aux deux fonctions, que de plus 
le produit de deux fonctions sommables dont l'une est au moins bornée, est 
aussi sommable, enfin que f{x) étant sommable dans deux des intervalles 
ab,bc,ac (a<h<c), elle le sera aussi dans le troisième et que l'intégrale prise 
sur ac est la somme des deux autres. Cela suffit pour pouvoir dire quelques 
mots sur la mestire des ensembles. Vous savez certainement comment on peut 
définir la mesure après avoir introduit l'intégrale: soit E un ensemble et soit 
f{x) la fonction égale à i pour les points x appartenant à cet ensemble et égale 
à o ailleurs. Si la fonction f{x) est mesurable et par conséquent sommable dans 
un intervalle quelconque contenant E, elle l'est évidemment dans chaque inter- 
valle et son intégrale est la même sur tous les intervalles qui contiennent E. 
Alors nous dirons que l'ensemble E est mesurable et nous y attacherons comme 
mesure m(E) la valeur de l'intégrale considérée. A chaque ensemble mesurable 
correspond de cette façon une certaine fonction sommable caractéristique ne 
prenant que les valeurs o et i , et en appliquant à ces fonctions les résultats 
trouvés, on aura les théorèmes principaux sur la mesure. Ainsi par exemple, 
désignons par /(a;), /„(a;) les fonctions caractéristiques qui correspondent aux en- 
sembles E , E„ et pour fixer les idées, supposons que tous ces ensembles soient 
compris dans l'intervalle ab. A l'ensemble complémentaire C(E) de E par rap- 
port à l'intervalle ab correspond une fonction égale à i — f{x) sur cet intervalle 
et égale à o ailleurs; donc C(E) est mesurable et on a m(E) + m(C(E))=b — a . 
À la partie commune des ensembles £,, . . ., E„ correspond le produit /, (a;) . . . fn{x); 
à la partie commune d'une infinité dénombrable d'ensembles £,, jEJ,, . . . corres- 
pond le produit infini /,(a;)/2(a;) . . .; or, produit et limite de fonctions mesura- 
bles étant elles-mêmes mesurables, les ensembles considérés sont mesurables. Dans 
le cas particulier où chaque ensemble E„ contient les suivants, la valeur du 
produit infini n'est autre que la limite de f„{x), alors son intégrale sera la 
limite de celle de /„(.r), c'est à dire qu'elle sera la limite de m{E„); donc dans 
ce cas, la mesure de la partie commune est fourme par la limite de m(E„). 
D'autre part, réunissons un nombre fini ou une infinité dénombrable d'ensem- 
bles Ei,E^,...; quant à l'ensemble qui vient, il y correspond la fonction 

Acta mathemalica. 42. Imprimé le 8 seiit-iubre 1919. -'' 



202 Frédéric Ricsz. 

I — (i — /, (x) ( I — /2 (x) ) . . . , et cette expression se réduit à /, (a;) + /2 (x) H dans 

le cas particulier où le produit de deux fonctions /„(x) à indices différents s'annule, 
c'est-à-dire lorsque les ensembles sont sans points communs; par conséquent, 
r ensemble-somme est mesurable et de plus, dans le cas particulier où il n'existe pas 

des points communs, on a m(E^ + E.,-\ ) =m{Ei)-<rm{E^)-\ . 

Entre les ensembles et les fonctions mesurables, il y a encore une relation 
très intime qui joue un rôle important dans la théorie de M. Lebesgce; elle 
consiste en ce que, pour j(x) mesurable et pour c quelconque, les ensembles oie 
f{x) > c, f{x)>c, l(x) < c, f{x) <c, f(x) = c, sont mesurables et que, inversement, lors- 
qu'il en est ainsi, la fonction f(x) est mesurable. Qu'il nous suffise de prouver la 
première partie de cette assertion, sans insister sur la réciproque. Alors on 
pourra se borner évidemment, sans restreindre la généralité, au cas où c est 
positif et à l'ensemble pour lequel f{x)>c. Or, la fonction caractéristique de 

cet ensemble est la limite de la suite des fonctions „fn{x; o, c) (w — 00); ces 

fonctions étant mesurables, il en sera de même quant à leur limite. 



9- 

On définira d'une manière tout analogue l'intégrale d'une fonction f{x) sur 
un ensemble E, n'importe que fix) soit défini seulement dans E ou bien sur 
un intervalle ou dans un ensemble quelconque contenant E. A ce but, envisa- 
geons la fonction f{x) égale à g{r) sur E et s'annulant ailleurs; si elle est som- 
mable dans un des intervalles contenant E, elle le sera aussi dans tous ces 
intervalles et son intégrale ne dépend pas du choix particulier de l'intervalle. 
Lorsqu'il en est ainsi, nous dirons que f{x) est sommable dans E et nous y 
attacherons comme intégrale l'intégrale de /i(a;) prise sur l'un quelconque des 
intervalles considérés. Cette définition semble de ne faire aucune hypothèse à 
l'égard de l'ensemble E; observons qu'on ne restreindra pas la généralité en 
supposant E mesurable; en effet, même si l'ensemble E lui-même n'était pas 
mesurable, la partie où f{x) 7^ a le sera certainement puisqu'elle se confonda vcc 
l'ensemble où la fonction sommable f,{x)^o. 

Lorsque f{x) est sommable dans E, elle l'est aussi dans chaque sous-ensemble 
mesurable. En effet, désignons par g{x) la fonction caractéristique correspondant 
au sous ensemble; alors le passage de l'ensemble entier au sous-ensemble revient 
à multiplier la fonction sommable /i(.r) par la fonction sommable et bornée (/(a-), 
ce qui ne touche pas la somniabilité. En particulier, lorsque f{x) est sommable 
dans l'intervalle ab, il l'est aussi dans chaque sous-ensemble mesurable. 



Sur l'intégrale de Lebesgue. 203 

Au point de vue que nous venons d'adopter, les considérations du numéro 
précédent peuvent être regardées comme correspondant à la fonction f{x) = i, en 
effet, la mesure d'un ensemble n'est autre que l'intégrale de cette constante 
prise sur l'ensemble. On se démande, si les résultats acquis au numéro précédent 
subsistent encore, lorsqu'on y remplace la mesure des ensembles qui intervien- 
nent, par l'intégrale d'une fonction sommable quelconque par rapport à ces en- 
sembles. La réponse sera affirmative, comme on voit immédiatement pour les 
fonctions bornées, pour lesquelles on n'aura presque rien à changer dans les 
raisonnements; pour les fonctions non bornées, tout revient à observer que lors- 
qu'on remplace f(x) par la fonction bornée f(x;c,d) et qu'on choisit convenable- 
ment les quantités c et d, l'erreur commise relative aux intégrales considérées 
sera, pour toutes ces intégrales, aussi petite que l'on voudra; bien entendu, on 
suppose que la fonction soit sommable dans un ensemble E comprenant tous 
les ensembles considérés. En effet, supposons d'abord f{x) positif; dans ce cas, 
l'erreur commise en remplaçant f(x) par f{x; o,d) ne surpassera pas, pour aucun 
des ensembles, l'erreur relative à l'ensemble E. Or, le cas général se ramène 
au cas considéré en décomposant f{x) en ses deux parties positive et^ négative. 
Des résultats que l'on obtient de cette manière, énonçons le suivant: Lorsque 
El, E^, ... sont des ensembles mesurables sans points communs et que de plus, f{x) 
est sommable sur l'ensemble Ei + E-,-\ , l'intégrale par rapport à cet ensemble- 
somme vient en ajoutant les intégrales relatives aux ensembles En. Dans le même 
ordre d'idées, on arrivera aussi au théorème suivant qui est un des plus utiles 
dans la théorie de M. Lebesgue: Lorsque VensemHe E varie de sorte que m{E) tende 
vers zéro, il en est de même pour l'intégrale sur E de toute jonction f(x) qui est 
sommable dans un ensemble contenant E. 



Je terminerai ces lignes en faisant une remarque presque évidente relative 
à l'intégrale au sens de Riemann. Vous avez certainement observé que la défini- 
tion de l'intégrale dont je viens de me servir, est quelque sorte de généralisa- 
tion de celle de Riemann. En effet, l'expression 

m— 1 

k = 

qui intervient chez Riemann, peut être envisagée comme donnant l'intégrale de 
la fonction simple Tnix) dont les valeurs constantes sur les intervalles (.n, a/. + i) 



204 Frédéric Kiesz. 

soDt choisies egales à l'une des valeurs prises par f(x) sur le même intervalle. 
Quant aux points .ta, on y peut supposer, pour plus de simplicité, <pn{xk) = i{xk). 
Lorsqu'on passe à la limite, en faisant tendre vers zéro le plus grand des inter- 
valles, ces fonctions simples <pn(^) tendent certainement vers j{x) partout où 
f {x) est continu. D'autre part, pour les fonctions intégrables au sens de Riemann, 
les points de discontinuité forment un ensemble de mesure nulle; donc il vient 
que les fonctions (p{x) considérées tendent presque partout vers /(.r). Mais il y 
a plus; pour tout point de continuité x^, la convergence des '/•„(a,) vers f{x) est 
unijorme aux eiivirons de x^. Cela veut dire, avec M. Pringsheim, que, étant 
donnés le j)oint x„ et la quantité positive e arbitrairement petite, il y corres- 
pond un certain voisinage de a,-,, et un indice v de sorte que les inégalités 
l/(^) — fPn(^)\<^ soient vérifiées pour les n^r et pour tous les points x appar- 
tenant au voisinage; ou ce qui revient au même, la relation a-,, — x^ entraîne 

toujours <Pn{Xn)-^f{Xa). 

Par conséquent, tonte jonction intégrable au se7is de Riemann peut être appro- 
chée par une suite bornée de jonctions simples convergeant presque partout et cela de 
sorte, que la convergence soit unijorme presque partout, c^est à-dire aux environs de 
chaque point x, sauj peut-être pour un ensemble de mesure nulle. (Il s'en suit que 
la convergence est uniforme sur chaque ensemble fermé qui reste après avoir 
exclu les points d'exception par un système d'intervalles; mais il n'est pas per- 
mis d'en conclure que la convergence doit être uniforme sur tout l'ensemble 
complémentaire des points d'exception; cela revient à ce que, en général, l'ensemble 
complémentaire ne sera pas fermé.) 

La réciproque est vraie: Lorsque une jonction j(x) est, presque partout, égale 
à la limite d'une suite bornée de jonctions siinples ipn{x) et si, de plus, la conver- 
gence est unijorme presque partout, la jonction j{x) est intégrable au sens de Rie- 
mann. En effet, de l'hypothèse faite il vient que la fonction j{x) est bornée 
et que ses points de discontinuité forment un ensemble de mesure nulle, puisque 
j{x) est sûrement continu en chaque point a-, où la convergence est uniforme 
et les fonctions <p„{x) sont continues. C'est-à-dire que tous les points de discon- 
tinuité de j{x) se trouvent parmi les points i) où la suite ne converge pas (en- 
semble do mesure nulle), 2) où la convergence n'est pas uniforme (ensemble de 
mesure nulle), 3) les points de discontinuité des <Pn{x) (ensemble dénombrable). 
Or, les propriétés caractérisant les fonctions intégrables d"après Riemann sont 
précisément d'être bornées et d'être continues presque partout. 

Je profite de l'occasion pour faire quelques indications concernant l'origine 
de cette notion de convergence uniforme aux environs d'un point, dont vous 
venez de voir une application qui en prouve l'utilité. Je me l'ai formée, sans en 



Sur l'intégrale de Lcbesgue. 205 

cliercher roriginc, en étudiant l'approximation d'une fonction par des polynômes 
(Jahresbericht d. deutschen Math.-V., igo8, p. 199); presque en même temps 
M. Young, dans un travail où il analysait cette notion dont il s'est servi déjà 
auparavant, déclara de ne pas être sûr où elle puisse se trouver pour la pre- 
mière fois (Proceedings of the London Math. Soc, ser. 2, vol. 6, p. 29). Le 
rapporteur de ces travaux pour les Fortschritte der Mathematik, M. Faber, 
nous reproche (1908, p. 468, 472) de ne pas savoir que la notion se trouve déjà 
chez Weierstrass (Œuvres 2, p. 203); seulement, au lieu d'examiner soigneusement 
le texte original de Weierstrass, il se contente d'invoquer le témoignage de M. 
Pringsheim (Encyklop. d. math. Wiss., II'-, p. 33, 34; édition française, p. 68). 
Il est vrai que M. Pringshbim qui d'ailleurs s'est servi de cette notion déjà en 
1894 (Math. Ann., 44, p. 64, 65, 80), en fait noblement cadeau à Weierstrass, 
mais en regardant le texte cité de Weierstrass, vous verrez qu'il s'y agit seule- 
ment de la convergence uniforme au sens ordinaire; la seule différence consiste 
à ne pas exiger cette uniformité à la fois pour le domaine entier que l'on envi- 
sage, mais exclusivement pour un domaine suffisamment petit entourant le point 
x„. C'est-à-dire que la définition de Weierstrass exige seulement qu'il existe 
un certain voisinage de x„, déterminé une fois pour toutes, de sorte que, à chaque 
quantité positive s, on puisse faire correspondre un nombre v tel que les inéga- 
lités \f{x) — fn(x)\<E soient vérifiées pour tous les n^v et pour tous les points 
X appartenant au voisinage considéré. Au contraire, dans la définition que nous 
employons, comme le fait observer aussi l'édition française de l'Encyclopédie, le 
choix du voisinage dépend en général de la quantité «, de sorte qu'il pourra se 
réduire, pour £ — 0, au point .t„. 

Il s'en suit que, jusqu'à d'autres indications, c'est M. Pringsheim lui-même 
qu'on devra honorer comme l'auteur de cette notion utile. 

Kolozsvàr, le 19 février 1917. 



SUR L'ALLURE DES FONCTIONS DE GREEN ET DE NEUMANN 
DANS LE VOISINAGE DU CONTOUR.' 



PAUL LEVY 



Introduction. 



§ I. Il est utile, dans bien des questions, de connaître l'allure des fonc- 
tions de Green ou de Neumann dans le voisinage du contour. En désignant 
par d)^ la valeur d'une de ces fonctions pour les points A et B, on peut se 
poser à ce sujet le problème suivant: 

Problème A. Former mie jonction (p^ telle que la difference d^j^ — (('^ soit 
une fonction holomorphe des points A et B. 

Dans le cas où on ne saura pas résoudre ce problème, on peut du moins 
essayer de résoudre cet autre problème: 

Problème B. Former une fonction (f<f^ telle que la différence dy^ — 'f'n soit finie, 
ainsi que toutes ses dérivées jnsqiCa un ordre donné. 

Dans le cas du plan, la résolution du problème B est immédiate, si on 
utilise la notion de représentation conforme. ^ En effet, si on connaît une repré- 
sentation conforme du contour étudié C sur un cercle, on en déduit ai.sémcnt la 
valeur exacte de 0)^. Or la fonction qui définit cette représentation conforme 
peut être définie facilement par son développement en série dans le voisinage 
d'un point M du contour; en prenant pour M le point du contour le plus voisin 
de B (ou, pour conserver la symétrie, celui pour lequel la somme il/ .4 -l-J/wB est 

^ Les principaux résultats de ce travail ont été résumés dans une note présentée à lAca- 
demie des Sciences le 6 avril 1914- 

- Voir sur ce sujet les observations de I\I. IIauamaud à la suite de ma noie citée. 



208 Paul Levy. 

minima), et en limitant ce développement à un nombre convenaMe de teimes, 
on obtient une fonction (f^ qui résout le problème B. 

Si on cherchait à résoudre par cette méthode le problème A , il faudrait 
introduire une infinité de coefficients. Le résultat obtenu serait très peu satis- 
faisant, tant à cause de sa complication qu'à cause du fait que la fonction obtenue 
fff. ne serait autre que O^. Or une solution du problème B ne peut présenter 
d'intérêt que si la fonction obtenue est beaucoup plus simple que la fonction 0»^. 

Il est possible d'obtenir à ce point de vue une solution tout-à-fait satis- 
faisante, qui a déjà été indiquée par JVI. E. E. Levi.' Je la rappellerai dans la 
première partie de ce travail. La fonction par laquelle le problème A est ainsi 
résolu est définie par une intégrale prise le long du contour C. Je résoudrai 
aussi le problème A pour la fonction de Green d'ordre deux. 

Dans le cas de l'espace, la nature analytique des fonctions de Green et de 
Neumann est beaucoup moins simple. M. Gisotti a déjà obtenu la solution du 
problème B pour la fonction de Neumann.^ Il ne considère, il est vrai, les 
valeurs de la fonction de Neumann (que nous désignons par j'^ dans la suite 
de ce travail), que quand le point B vient en un point ß du contour, et l'expres- 
sion asymptotique qu'il donne de /^ est telle que les dérivés d'ordre supérieur 
au premier de la différence entre cette expression et /^ ne restent pas finies. 
Mais d'une part la méthode qui! a employée peut être étendue au cas où l'on 
désire une expression asymptotique de y^ telle que la différence entre cette 
expression et yy^ ait ses dérives finies jusqu'à un ordre donné quolcon([ue. D'autre 
part la connaissance de.s valeurs de j''^ entraîne la connaissance de y'j^ par l'applica- 
tion de la formule de Green. D'aillleurs les valeurs de yy^ sont seules impor- 
tantes pour les applications. On peut donc dire que le mémoire de M. Gisotti 
résout notre problème B, pour la fonction de Neumann. 

' EocENio Elu Levi. Sur Tapplication des équations intégrales au problème de Rifinann, 
[Nachrichten von (1er Kgl. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, 1908] et I problrmi 
dei valori al contorno per le equazioni lineari tolahncnte elUtiche alle derivatc parziali [yiemor'ye AeWa, 
Societa italiana delle Scienze, 1909I. 

Kn publiant nia note des Comptes Rendus, et même en rédigeant le présent travail, 
j'ignorais les résultats de M. E. E. Levi. Lorsque j'en ai eu connaissance, je n'ai pas supprimé 
la première partie de ce travail, qui pourtant ne contenait plus de résultats nouveaux que dans 
le chapitre IV. Il m'a semblé qu'elle était nécessaire dans un exposé complet de la question 
(jue j'étudiais, et d'ailleurs mon exposition est assez différente de celle de M. K. E. Levi. 

' Umberto Gisotti. Les eotuportamento délia funzione di Neumann in pnnti prossimi al con- 
torno [Rendiconti del circolo inateinatico di Palermo, lOii, 1° semestre]. Il y a d'ailleurs une 
erreur dans la formule finale de ce travail. La formule qui doit être substituée à celle de 
M. CisoTTi sera indiquée à la fin dn § 3;. 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 209 

•La seconde partie du présent travail contient une solution du problème B 
pour les fonctions de Green et de Neumann. Cette solution est complètement 
différente de celle de M. Cisotti. La nature de cette solution sera indiquée dès 
le § 2 de cette introduction. 

Quant au problème A, il ne semble jias qu'on puisse en obtenir dans le 
cas de l'espace de solution satisfaisante. Il est facile, en considérant les expres- 
sions des fonctions de Green ou de Neumann qui résultent de la théorie des 
équations intégrales, de voir d'où provient la différence entre ce cas et celui du 
plan. Dans le cas du plan en effet, le noyau de l'équation intégrale qu'on a à 
considérer est une fonction holomorphe; il en est donc de même du noyau 
résolvant, et il en résulte que, si l'on cherche à simplifier la solution en négli- 
geant les termes holomorphes, on peut obtenir un résultat très simple, que 
nous obtiendrons plus loin par une autre méthode. Dans le cas de l'espace au 
contraire, le noyau de l'équation intégrale est un noyau singulier; non seule- 
ment cette circonstance rend moins simples les formules par lesquelles on peut 
obtenir la solution, mais elle modifie la nature analytique de cette solution, au 
point qu'on ne peut plus obtenir de simplification en négligeant les termes 
holomorphes. 

Les mêmes circonstances se présentent si l'on essaie d'employer des métho- 
des différentes. La méthode de Robin donne la fonction de Neumann sous la 
forme d'une série telle que, si on consent à faire une erreur dont les dérivées 
d'un ordre supérieur à un nombre donné p deviennent infinies, il suffit de consi- 
dérer un nombre fini de termes de cette série. C'est sur cette remarque que 
repose la méthode de M. Cisotti. Mais le nombre de termes à considérer aug- 
mentent indéfiniment avec p, de sorte qu'on n'obtient encore aucune solution 
acceptable du problème A. 

§ 2. Les fonctions de Green et de Neumann sont telles que, si on les a 
obtenues sous une forme quelconque, il est généralement facile de vérifier que la 
fonction obtenue est bien la fonction de Green ou de Neumann. De même, si 
on a obtenu sous une forme quelconque une fonction (/^ résolvant un des pro- 
blèmes A et B, il est facile de vérifier cette propriété de <pj^. C'est sur cette 
vérification que reposent les méthodes qui seront développées dans ce mémoire. 

Le principe de cette vérification exige la connaissance de quelques théo- 
rèmes généraux sur la nature analytique des fonctions harmoniques définies par 
certaines conditions aux limites. Malgré le caractère intuitif de ces théorèmes, 
des démonstrations sont évidemment nécessaires, et ces démonstrations tiendront 
une place importante dans ce travail. 

Aein mathenialica. ■12. Impiimé le 9 seiilembru I0]9. -' 



210 Taul Levy. 

Ceux de ces théorèmes qui seront établis dans la première partie ont pour 
but d'établir que certaines fonctions sont holomorphes. Ce sont des généralisa- 
tions de théorèmes de Bruns' et de MM. Schwarz et Hadamard.- 

La généralisation, consistant seulement dans l'introduction d'un paramètre, 
n'introduisant pas de modification dans les raisonnements, il suffirait de renvoyer 
le lecteur au mémoire de M. Hadamard. J'ai préféré consacrer le Chapitre I 
de la première partie à la démonstration de ces théorèmes, afin que ce mémoire 
se suffise à lui-même. 

Les théorèmes généraux qui sont nécessaires dans la deuxième partie seront 
établis dans le Chapitre II de cette partie. Ils n'ont pas été démontrés antérieure- 
ment, du moins à ma connaissance. 

Je démontrerai ces théorèmes généraux par la voie la plus simple et la 
plus naturelle qui repose sur l'emploi des équations intégrales, au sujet des- 
quelles j'établirai dans le Chapitre I de la deuxième partie quelques résultats 
nouveaux. Il serait assez facile, pour les théorèmes de la première partie, de 
ne pas utiliser la théorie de ces équations, mais cela allongerait un peu l'exposi- 
tion. Ce serait au contraire plus difficile pour les théorèmes généraux de la 
deuxième partie. 

Une fois ces théorèmes obtenus, il m'a paru intéressant d'éviter une nouvelle 
application de la théorie des équations intégrales, et de chercher systématique- 
ment tout ce qu'on pouvait déduire de la méthode de vérification à laquelle j'ai 
déjà fait allusion, et dont le principe découle très simplement des théorèmes 
généraux. 

Cette méthode oblige à introduire a priori des fonctions harmoniques ayant 
des singularités convenables. L'étude de ces fonctions sera l'objet d'un chapitre 
spécial. Les expressions asymptotiques cherchées des fonctions de Green et de 
Neumann s'obtiennent ensuite sous forme de séries formées avec ces fonctions 
harmoniques et dont il est facile de déterminer successivement les coefficients. 

' H. Bbuxs. — Ueher einen Satz aus der PotenHalthcorie [Journal für die reine und ange- 
wandte Mathematik, Band 8i (1876)]. Voir aussi l'élégant exposé de M. Ekharu Schmidt; Be- 
merkung zur Potentialtheorie [Mathematische Annalen, Band 68 (1910)]. 

■ Jaccjuks Hadamard. — Mémoire sur le prohlhne d'analyse relatif à l'équilibre des plaques 
élastiques ettcastrécs. [Mémoires présentés par divers savants ù l.-Vcadoinie des Scienco< do l'Institut 
de France, t. XXXITI (1908)]. V. ])p, 25 — 27. 



Sur rallure des fouctioiis de Green et île Neumauu dans le voisinage du contour. 211 

Première partie. 
Le problème A pour le plan. 

CHAPITRE I. 
Théorèmes généraux sur les fonctions harmoniques. 

§ 3. Etablissons d'abord le théorème suivant, que nous appellerons dans 
la suite théorème de Bruns, bien qu'en réalité il généralise un peu un théorème 
de Bruns. 

C étant une courbe analytique régulière jermée, ti(s, '/.) étant wie jonction de 
l'arc s et d'un paramètre X, holomorphe sur toute la courbe C et pour l<yl, les 
potentiels de simple couche et de double couche de densité fi{s. A) sont dans toute 
la région intérietire à C et pour l < yl des jonctions holomorphes de k et des 
coordonnées du point attiré. Ces jonctions sont prolongeâmes à l'extérieur de et 
restent holomorphes tant que la distance du point attiré a C ne dépasse pas une 
valeur convenablement déterminée. 

Désignons par M le point du contour C défini par la valeur s de l'arc, et 
par Q la distance de ce point au point attiré A. Les potentiels considérés dans 
l'énoncé sont définis à l'intérieur de C par les formules 

Ui{A, A) = i a {s, '/.) log ds, 
c 

d log ^ 
L\{A,l)= I ii{s, l) — ^ ds. 

c 

Formons les deux' fonctions harmoniques de A, Ji(A, '/.) et J2{A, /.) définies 
par les conditions de Cauchy 

/,(j/,/o = /<(., A), -rf^— = -; 

. ,lr -X dfJM, k) , ,^ 

Ces fonctions existent, d'après le théorème de Cauchy-Kowalewski, et sont 
holomorphes tant que /. < ^J et que la distance du point A au contour ne dé- 
passe pas une valeur convenablement déterminée e'. Nous prendrons pour e un 
nombre quelconque inférieur à e'. 



212 Paul J.évy. 

Les potentiels f/, et C/, étant holomorphes en tout point intérieur à G, il 
suffit de démontrer que ces potentiels ou leurs prolongements sont holomorphes 
en tout point A^ dont la distance à C ne dépasse pas e. Or un pareil point 
peut être entouré d'un contour /', coupant C en deux points, et tel que les 
fonctions /, et /, soient holomorphes à l'intérieur de F et sur ce contour. Appe- 
lons C, l'arc de C intérieur à /" et i", l'arc de /' extérieur à C. Appliquons la 
formule de Gbekn au contour fermé constitué par Cj et F,, et d'une part aux 
fonctions /2 et log ç, d'autre part aux fonctions /, et log q, ç étant la distance 
du point 31 qui décrit le contour à un point fixe A intérieur à C. En comp- 
tant les normales positivement dans un sens convenable, il vient 

Cl A 

r«(., ;o^!°^rf.= /Tiog o^i'M. f)_/,(j/. A)^-^'L.. 

/ a 71 /L "'* an _] 

Cl h 

A l'aide de ces formules, on peut transformer les expressions de C/, et î/, de 
manière à représenter ces fonctions par des potentiels de simple couche et de 
double couche situées sur l'arc de C extérieur à F et sur F,, et dont les densités 
sont fonctions holomorphes de l. Ces fonctions sont donc prolongeables dans 
toute la région intérieure k F et sont, en tout point intérieur à ce contour, et 
en particulier au point considéré .4,, des fonctions holomorphes des coordonnées 
du point attiré et de X. Le théorème énoncé est donc démontré. 

On peut aisément, comme l'a fait observer M. Hadamard, le généraliser en 
remplaçant log q par la solution fondamentale d'une équation aux dérivées par- 
tielles quelconque du type elliptique. La formule de Green, sur laquelle repose 
le raisonnement, doit être remplacée par la formule de réciprocité relative à 
cette équation. 

§ 4. Dans un autre ordre d'idées, nous aurons besoin du théorème suivant, 
presque évident, mais assez important par la suite pour qu'il soit utile d'insister 
sur sa démonstration. 

Lorsque le point attiré A vient en iin point a du contour, la fonction ° ^ 

se réduit à une fonction holomorphe de a et de M. 

Pour démontrer ce théorème, observons d'abord que si une fonction h{s, a) 

est holomorphe, et si le quotient , -"—L est fini, il est holomorphe. En effet, 
en posant 

5 + </ = ^, « — = 1], 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 213 
h(s, a) se réduit à une fonction holomorphe de i" et jj, 

H{S, <;) = HA^} + rH,(S) + r,'HAi) + ■■-, 

l'hypothèse que '~^s= — ^^ reste fini entraîne //„(^'j = //,(i') = o, et par 

suite ce quotient est holomorphe. 

Désignons maintenant par s et a les longueurs d'arc déterminant les posi- 
tions des points M et «, et par p la distance du point « à la tangente an con- 
tour C en 31. La fonction étudiée — j- Pst (au signe près, s\ p et dn sont 

an 

comptés positivement dans le même sens) égale à ^ . Or ^; et ç- sont des fonc- 
tions holomorphes de s et (7 (par définition du contour régulier les coordonnées 
de 31 et o sont des fonctions holomorphes de s et a, et il suffit de former les 
expressions de p et q^ pour vérifier que ces fonctions sont holomoiphes). Les 

quotients - — ——.. et - — ——r„ étant finis, représentent des fonctions holomoiphes. 
(s — <;)* (s — a)- 

Ce dernier ne s'annulant pas, puisque pour ç = o sa valeur est i, leur quotient 

V 
j est bien holomorphe. 

§ 5. Nous pouvons maintenant démontrer le théorème fondamental de 
MM. Schwarz et Hadamard, que nous énoncerons de la manière suivante. 

Si une fonction harmonique du point A et d'un paramètre l. se réduit, quand 
A décrit un contour régulier C, à une jonction holomorphe de ce point et de X, cette 
fonction est une fonction holomorphe de A et de A, non seulement à F intérieur de C, 
mais aussi à Vextérieur, tant que la distance du point A au contour G ne dépasse 
pas une valeur convenablement déterminée. 

Appelons f{A, l) la fonction considérée, et /(5, A) sa valeur en un point 31 
de C, défini par la valeur s de la longueur d'arc. Cette fonction peut être re- 
présentée à l'intérieur de C, d'après Neumann et M. Fredholm, par un poten- 
tiel de double couche de densité ,«(s, A), et il suffit, d'après le théorème de 
Bruns, de démontrer que //(s, l) est une fonction holomorphe de s et de/. Or 
la densité /<(«, Â) est définie, en conservant les notations du § 4, par l'équation 
intégrale 

,xu ((/, A) + / — j^ '^ /( (5, ).) ds = /(o-, /.) 



214 Paul Levy. 



dloe 



dont le noyau - , est une fonction holomorphe de s et a. Alors, d'après les 

formules de M. Fredholm, le noyau résolvant est aussi une fonction holomorphe, 
et il en est de même de la fonction inconnue /((s, /.). 

Ce théorème est susceptible de généralisations indiquées par M. Hadamard. 
Ainsi il s'applique si la fonction f{A, l) au lieu d'être définie par la suite de ses 
valeurs sur C, était définie par la suite des valeurs de sa dérivée normale. Seule- 
ment, comme elle ne serait définie qu'à une constante additive près, qui pourrait 
dépendre de X, il faut ajouter une hypothèse supplémentaire, par exemple que 

I f(s, k)ds 
c 

soit une fonction holomorphe de l. D'autres généralisations s'obtiennent en 
remplaçant l'équation de Laplace par l'équation JJu = o. Dans ce cas (en 
considérant le problème aux limites correspondant au cas des plaques élastiques 
encastrées), il faut faire à la fois les deux hypothèses que la fonction considérée 
et sa dérivée normale soient fonctions holomorphes de s et /. Enfin, si au lieu 
d'un paramètre A, on introduisait plusieurs paramètres, les théorèmes considérés 
resteraient exacts. 



CHAPITRE II. 

La fonction de Green ponr le plan. 

§ (i. La fonction de Green, que nous désignerons par g'jj, est définie par 
les conditions qu'elle s'annule quand A est sur le contour C, et que la différence 

Cß — log (r désignant la distance AB) soit à l'intérieur de C une fonction 

harmonique du point A. Il est bien connu que c'est une fonction symétrique 
de A et B, et que la connaissance de cette fonction permet de résoudre le pro- 
blème de DiRiCHLET par la formule 

(X) nA)^^_J lffiM)ds, 

ds étant toujours l'élément d'arc décrit par le point M , et la dérivée normale 
étant comptée positivement vers l'intérieur. 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Xeumann dans le voisinage du contour. 215 

Nous ne considérerons que des contours réguliers. Le théorème de M. 
Hadamard (loc. cit., p. 27), d'après lequel la singularité de la fonction de Green 
dans le voisinage d'un point du contour dépend seulement de la partie du contour 
voisine de ce point, permettrait aisément d'obtenir des généralisations relatives 
aux contours dont une partie seulement est régulière. 

Introduisons une fonction qui jouera un rôle important tant dans la suite 
de ce Chapitre que dans les suivants. C'est la fonction définie, lorsque A et B 
sont intérieurs à C, par la formule 



li^^ rd(iog^e:)rf,, 

° 27r / an 

C 

Q et Q désignant les distances respectives de A et B au point il/. 

La formule de Green appliquée au.\ fonctions log q et log q' donne 

;', d logo' , /\ ,d log o j 

c G 

de sorte que /^ peut encore s'écrire sous les deux formes 
^ j I r, d log p' , 

(2) ^B-Z,j^Ogç^-^ds, 

C 

c 

Etudions ce que deviennent cette fonction et sa dérivée normale quand A 
vient en un point a du contour. La formule (2'), d'après les propriétés connues 
des potentiels de double couche, donne à la limite 



•% = ->o,r.yJ,o,/J^ä.. 



en conservant les notations r et q quand A vient en a. Cette dernière inté- 
grale, considérée comme fonction de B, est un potentiel de simple couche, dont 

la densité — ^— est une fonction holomorphe des points il/ et a. Ce potentiel, 
dn 



21 G Paul Levy. 

d'après le théorème de Bruns, est lui-même une fonction holomorphe des points 

a et J5. Donc 1"^ est la somme de log - et d'une fonction holomorphe. 

De même la formule (2) donne, d'après les propriétés de la dérivée normale 

des potentiels de simple couche, en désignant par ^ une dérivée normale 
au point a, 

dl% _d logr I r dlog Q d lo g q' 
du dua n: j dua du 

à 

Cette intégrale, considérée comme fonction de B, est un potentiel de double 

couche dont la densité , ° - (qui se déduit de — 5-^ en échangeant les rôles 
dua dn ^ 

des points 31 et a) est holomorphe. D'après le théorème de Bruks, c'est une 
fonction holomorphe des points a et B. Donc la dérivée normale de Ijj+ log > 
A venant en un point a du contour est une jonction holomorphe des points a et B. 

§ 7. Nous pouvons maintenant démontrer le théorème qui constitue le ré- 
sultat essentiel de ce Chapitre, et qui est le suivant. 

La fonction de Green i/^ est la somme de log- — /^ et d'u7ie fonction holo- 
morphe des points A et B. 

Commençons par observer que gji+ logr+/^, considéré comme fonction de 
A, le point paramétrique B étant intérieur au contour, est une fonction harmoni- 
que. En effet la somme des deux premiers termes est harmonique, d'après la 
définition de la fonction de Green, et l'intégrale /^ qui est un potentiel d'une 
simple ou d'une double couche [d'après (2) ou (2')] est harmonique. 

D'après le théorème fondamental du § 5, il suffit donc de vérifier que 
gg+ log r-f /^ se réduit sur le contour à une fonction holomorphe de a et B. 
Or le premier terme s'annule, par définition de la fonction de Green, et la 
somme des deux derniers se réduit bien à une fonction holomorphe, d'après les 
propriétés de /^ que nous venons d'établir. 

Ce théorème étant établi, en formant la dérivée normale de la fonction 
holomorphe ^y^ + log r + /},, et en utilisant ce que nous savons sur la dérivée 
normale de 7yj, nous obtenons le résultat suivant, relatif à la fonction qui inter- 
vient dans la formule (i): 



Sur ralhire des fondions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 217 

La jonction -, est la somme de 2 — j et d'une fonction Jiolomorphe.^ 

dna dUa 

§ 8. Il est à remarquer que, dans les raisonnements précédents nous n'avons 
utilisé aucune autre propriété de la fonction de Green, que celles qui consti- 
tuent sa définition. 

Dans l'application des théorèmes de Bruns et de M. Hadamard, nous 
n'avons pas utilisé le fait que les fonctions considérées dans ces théorèmes peu- 
vent être prolongées extérieurement à C. Kn reprenant à ce point de vue les 
raisonnements précédents, on constate que les fonctions if^ et g^ sont prolonge- 

ables à l'extérieur de C, et que les fonctions fif^ + log r + Iß et -^ — (g'^ + 2 logr) 

sont holomorphes tant que A et B ne s'éloignent pas, extérieurement à C, à 
une distance de ce contour supérieur à une valeur convenablement déterminée. 
Les résultats du § 7 peuvent être appliqués à la détermination de la fonc- 
tion de Green, par la méthode d'approximations successives indiquée dans ma 
thèse.- Il faut en effet, pour appliquer cette méthode, prendre comme première 
approximation une fonction différant de g^ par une fonction holomorphe. On 
voit que, contrairement à ce que je pensais en exposant cette méthode, une telle 
fonction peut être obtenue bien simplement. 



CHAPITRE III. 
La fonction de Neumann pour le plan. 

§ 9. La fonction de Neumann relative au contour C et aux points A et 
B, que nous désignerons par y^, est définie par les conditions que, si on la 

considère comme fonction du point A , la différence y'^ — log soit harmonique 
à l'intérieur de C, que sa dérivée normale sur le contour ait la valeur constante 
-j- (L désignant la longueur du contour), enfin que sa valeur moyenne sur le 

' La méthode du texte est une méthode de vérification. Le lecteur obtiendra aisément, 
en s'inspirant de celle qui sera appliquée à l'étude de la fonction de Green dans l'espace, une 

méthode permettant d'arriver aux mêmes résultats sans introduire a priori la fonction Iß. 

' Paot, Lévt. — Sur les équations intégrodi/férentielles définissant des fonctions de lignes 
f Paris, Ganthier-Villars, 191 1 et Journal de l'Ecole Polytechnique, 191 5). V. § 51. 

Acta mathematica. 42. Imprimé le 9 septembre 1919. ''^ 



218 Paul I,évy. 

contour soit nulle. Il est bien connu que c'est une fonction symétrique des 
points A et B, et que son introduction permet de résoudre le problème de 
Neumann par la formule 

c 

En introduisant toujours la fonction /^ étudiée § 6, nous allons démontrer 
le théorème suivant: 

La jonction de Neumann /^ est la somme de log -+ 1 ß et d'une fonction holo- 
morphe des foinls A et B . 

La différence y^ — log — H /^ étant, d'après les définitions des fonctions 

y'ß et /j5 une fonction harmonique de ^ , il suffit, d'après les théorèmes généraux 
de § 5, de vérifier que sa dérivée normale sur le contour est une fonction holo- 
morphe du point considéré du contour et de B, et que sa valeur moyenne sur 
le contour est une fonction holomorphe de B. 

Or la dérivée normale de la différence considérée est bien une fonction 
holomorphe, puisque celle du premier terme a, par définition de y^, une valeur 
constante, et que celle du second terme est holomorphe, d'après les résultats du § 6. 

D'autre part la valeur moyenne de cette différence sur le contour est bien 
une fonction holomorphe de B. En effet on peut .négliger /^ dont, encore par 
définition, la valeur moyenne est nulle. D'après les résultats du § 6, la diffé- 
rence considérée devient, sur le contour la somme de 2 log r et d'une fonction 
holomorphe de i? et de a. La valeur moyenne de cette fonction sur le contour 
est évidemment une fonction holomorphe de B, et celle de 2 log r l'est aussi 
d'après le théorème de Bruns. Le théorème énoncé est donc établi. 

Les valeurs de la fonction de Neumann quand un des points vient sur le 
contour sont particulièrement importantes à cause du rôle qu'elles jouent dans 
la formule (3). Le point A venant en un point a du contour, le théorème pré- 
cédent devient, d'après ce que nous avons établi sur 7^: 

La fonction j'", est la somme de 2 log - et d'une fonction holomorphe des points 
a et B. 

Les remarques du § 8 relatives à la fonction de Grekn, s'appliquent à la 
fonction de Neumann. 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 219 

CHAPITRE IV. 

La fonction de Green d'ordre deux pour le plan. 

§ 10. Considérons la fonction de Green d'ordre deux, G'^. Elle est définie 
de la manière suivante: considérée conome fonction de A, elle est la somme de 

r' log — et d'une fonction biharmonique et elle s'annule sur le contour ainsi que 

sa dérivée normale. 

J'ai démontré dans ma thèse' que la différence G^ — ?-gr^ est holomorphe. 
Par suite: 

La fonction G^ est la somme de r- log r- 1^ et d'une fonction holomorphe 

des points A et B. 

Voici une démonstration directe de ce résultat. 

Observons d'abord que l'expression G^ — r^log +r^7^ est une fonction 
biharmonique de A) en effet C^ — r* log - l'est par définition de G^, et r-/^ 

l'est en vertu de ce théorème, dont la vérification est immédiate, que le produit 
de r- par une fonction harmonique est une fonction biharmonique. 

Il suffit donc, d'après les théorèmes généraux du § 5, de vérifier que cette 
expression se réduit, quand A vient en un point a du contour, à une fonction 
holomorphe de a et de B, et qu'il en est de même de sa dérivée normale. 

Pour la fonction elle-même, c'est évident, puisque G^ s'annule par défini- 
tion et que 7^ — log - devient sur le contour une fonction holomorphe de a et 

B, d'après le § 6. 

Quant à la dérivée normale, celle de G^ s'annulant, d'après la définition 
de cette fonction, elle s'écrit 

9 d ,jA , \ , dr .yA , , ^ , dr 
'dn-^^^-^''^'^ + ^~'dn'J^B+^ogr) + 2rj-. 

Elle est donc également holomorphe, d'après les résultats du § 6, et parce que 

dr 

r^ — . qui est au signe près la distance du point B k ]a tangente au contour en 

a, est également holomorphe. La résultat énoncé est donc établi. 

' Loc. cit. § 35. — Les notations employées dans le travail cité étant différentes de celles 
du travail actuel, le résultat rappelé dans le texte était énoncé sous une f urine un peu différente. 



220 I^aul Levy. 

Il est intéressant de connaître aussi les valeurs, quand A vient en a, de 
z/ G't et de sa dérivée normale, ces quantités jouant dans le problème de déter- 
mination d'une fonction biharmonique par ses valeurs au contour et celles de sa 

dérivée normale le même rôle que . — (7^ pour le problème de Dirichlet ou 

y"j pour le problème de Neumann. 

Pour cela partons de l'expression îi=r^g'ji qui ne diffère de G'^ que par 
une fonction holomorpbe. En prenant des axes de coordonnées passant par B, 
et parallèles à la tangente et à la normale au contour C au point a vers lequel 
nous voulons faire tendre A, et appelant x et y les coordonnées de A, il vient 



(4) 






Quand A vient en a, ces formules deviennent, en vertu des propriétés élémen- 
taires de la fonction de Green, 

aria dria oa dria dUa 

k désignant la courbure du contour C au point a et a la valeur de s en ce point. 

Or, d après le § 7, -j — ne diffère que par une fonction holomorpbe de 2— t > 

CE /frfl et //(j 

c'est-à-dire de — -~. Donc, en négligeant des termes bolomorpbes, les expressions 
(4) deviennent 



j- fi ,.ï fi fi 

ou enfin, en appelant p la distance du point ß à la tangente au contour C en 
a, et en observant que y = — p, 



V 



8it 



Sur rallure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 221 

Comme m ne diffère pas de G'^^ que par une fonction holomorphe nous ob- 
tenons les résultats suivants: 

L'expression z/aG'^ est la somme de — 8 -,- et d'une jonction holomorphe des 

points a et B. 

cl It ly^ 1)^ 

L'expression -, — JaGj. est la somme de i6 , ^-8ä;— ^ et d'une fonction holo- 
^ dna ^ r^ r- 

morphe des poi^its A et B. 

§ II. On peut évidemment concevoir d'autres applications des principes 
qui précèdent. Toutefois le champ des généralisations n'est pas aussi vaste qu'un 
examen superficiel pourrait le faire penser. 

On a en effet observé le rôle essentiel que jouait cette circonstance que 

est sur le contour une fonction holomorphe des deux points dont dépend 

cette expression. Cette expression étant le noyau de l'équation intégrale dont 
dépend la résolution du problème de Dirichlet, on voit qu'il ne faut s'attendre 
à pouvoir généraliser nos résultats que dans les questions dépendant d'équations 
intégrales à noyaux holomorphes. Or la plupart des problèmes aux limites rela- 
tifs à des équations du type elliptique autres que l'équation de Laplace condui- 
sent à des équations à noyaux non holomorphes. Tel est le cas par exemple 
pour le problème de Dirichi.et relatif à l'équation 

J u + ku = o. 

Dans le cas de l'espace, on rencontre la même difficulté, comme nous l'avons 
déjà observé. S'il n'est pas possible d'étendre au cas de l'espace nos résultats 
essentiels, on pourrait se demander si l'on peut généraliser du moins les rela- 
tions simples qui existent entre les fonctions g^, y'^ et ö^. Nous allons voir 
qu'il n'en est rien. 

D'après les résultats des § 7 et 9, la fonction g^ + y^—2 log est holo- 
morphe. On doit donc se demander, dans le cas de l'espace, si la fonction 

Çg + y'^ est holomorphe. Or s'il en était ainsi, il en serait de même, ^ et ß 

venant en deux points a et 6 de la surface, de l'expression 






qui ne diffère que par une constante de — 2 , = -„> p étant la distance 

^ 1 ^ dua r r" 



222 Paul Levy. 

de b au plan tangent à la surface considérée en a. Or cette expression n'est 
manifestement holomorphe pour aucune autre surface que le plan. 

On peut aussi se demander si le fait que G^- — r^Qß soit holomorphe est 
exact dans le cas de l'espace. Or, s'il en était ainsi, l'expression 

serait holomorphe. Or nous verrons plus loin que -^ g'^ est la somme de -|- 

et d'une expression qui est au plus de l'ordre de grandeur de -> quand B est 

voisin de a. Il en résulte que l'expression (5) est la somme de ^ et d'une 

quantité infiniment petite. La valeur limite de - dépendant de la manière dont 
B tend vers a, cette expression ne peut pas être holomorphe. 



Deuxième partie. 

Le problème B pour l'espcace. 

CHAPITRE I. 

Sur la composition des fonctions singulières. 

§ iz. Avant d'établir les théorèmes généraux dont il a été question dans 
l'introduction et qui feront l'objet du Chapitre II, il faut établir quelques résul- 
tats préliminaires sur certaines équations intégrales à noyaux singuliers et sur 
la composition de ces noyaux. Avant même d'établir ces résultats, nous éta- 
blirons quelques lemmes relatifs aux fonctions singulières que nous aurons à 
considérer. 

Voici les notations que nous emploierons dans tout ce chapitre. 

Nous considérerons deux points A et B fixes dans une aire plane S, et un 
point M mobile dans cette aire. Nous appellerons d S l'élément d'aire décrit par 
le point il/, il et »; ses coordonnées, x et y celles de A,x' et y' celles de B,q,q' 
et r les distances 31 A, IIB et AB, 2 la portion de l'aire. iS intérieure à une 
circonférence de rayon r aj^ant pour centre le milieu de AB,^' la portion de 
Taire S extérieure à cette circonférence, et If, et ^2 l^s portions de l'aire .If situées 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 223 

respectiviment, par rapport à la droite q = q' (perpendiculaire à AB en son milieu), 
du côté de A et du côté de B. Enfin K représentera toujours un nombre indé- 
pendant des points A et B, qui d'ailleurs ne sera pas le même dans les diffé- 
rents énoncés qui vont suivre, ou même dans les différentes parties d'une même 
démonstration. 



Lenime I. ' — L'intégrale 






K I 

adinet itne limite supérieure de la forme -^^^f^^ si a + ß > 2, de la forme K log si 

a + ß = 2, et de la forme K si a + ß <2. 

En effet, q' étant > - dans la région ^', nous augmentons / en remplaçant 

-; par -. Nous augmentons encore cette intégrale en remplaçant le champ d'inté- 
gration X par la couronne circulaire <q<1, l désignant la plus grande distance 
de deux points de l'aire S. La nouvelle intégrale obtenue, 






admet évidemment les limites supérieures indiquées dans l'énoncé. 

Leinme II. — Si ct< 2, Vintégrale 

I - i'(^^' 

V- 

admet une limite supérieure de la forme -^^^^^^^^2' 

' Ce lemine et le suivant, que l'on jirésente en général sous une forme un peu différente, 
sont ceux sur lesquels repose la théorie classique de l'itération des noyaux singuliers des équa- 
tions intégrales. Ayant besoin de compléter cette théorie au point de vue de l'étude des déri- 
vées des noyaux itérées, nous ferons un fréquent usage de ces leniines. 



224 Paul Levy. 

En effet, nous augmentons /, en remplaçant -, par son maximum dans la 

région 2,, puis en remplaçant cette region par le cercle ç<2r. La nouvelle inté- 
grale obtenue s'écrit 

2r 

/• dç _ K 

"^ j 'ça-i- ^a + ß-2- 


On aurait de même une limite supérieure de l'intégrale analogue à la précé- 
dente mais prise dans le champ 2^. Nous savons donc limiter supérieurement, 
dans les différentes portions de l'aire S, les intégrales de fonctions ayant une 

IT- 

limite supérieure de la forme -^-^^' pourvu que, dans les régions considérées, 
l'intégrale de cette limite supérieure ait un sens. 

§ 13. Considérons une fonction f{A,B) qui soit finie et continue dans la 
région S ainsi que toutes ses dérivées tant que les points A et B sont distincts. 
Supposons qu'un nombre h soit tel que, dans toute région S' intérieure à <S et 
sans point commun avec son contour, et même si ^ et £ sont très voisins, la 

fonction f{A,B) soit finie si h< o et infinie au plus comme -,, si k > 0, et que de 

plus, quel que soit l'entier positif «, toutes les dérivées d'ordre r de /(^,£) soient 

finies si h+i<o et infinies au plus comme ,,^^ si h + i>o. Supposons enfin 

que, si A < 2, quelle que soit la fonction holomorphe iu{A), les fonctions 

(i) i [f{A,3I)ioiM)dS, i ff{M,A)io{M)dS, 



.V 

soient holomorphes.' Nous dirons qu'une fonction vérifiant toutes ces conditions 
est singulière d'ordre <h. 

Si de plus le module de f(A,B) admet une limite supérieure de la forme 

-j^y et que, quel que soit l'entier positif i, les modules de toutes les dérivées 

d'ordre i de f{A,B) admettent une limite supérieure de la forme -^— ^ nous dirons 

que cette fonction est singulière d'ordre <h au se7is strict. Cette définition n'est 

' Cette dernière hypothèse est peut-être une conséquence nécessaire Jes précédentes, au 
moins de certaines hypothèses moins restrictives en apparence. Mais il serait phis long de 
résoudre cette question que de vérifier directement, dans les applications que nous avons en 
vue, «lUc cette hyi)othose est bien réalisée 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Xeumaun dans le voisinage du contour. 225 

évidemment plus restrictive que la précédente que si /^<o. Si Ä>o, les deux 
définitions sont identiques. 

Une fonction f{A,B) sera dite singulière d'ordre (h) o\\ régulière d'ordre { — h), 
(au sens strict ou non), si, quelque petit que soit «, elle est singulière d'ordre 
<% + £, mais non d'ordre <h — s.' 

Si une fonction f{A,B) est singulière d'ordre {h), une quelconque de ses 
dérivées d'ordre i est singulière d'ordre {h + i) au plus. Nous allons même établir 
qu'elle est d'ordre {h + i) exactement. Il suffit d'établir ce résultat pour i = i 

et pour la dérivée ~ Pour cela nous supposerons cette dérivée d'ordre 

(fc+i) et nous établirons que k = h. 

Considérons à cet effet une circonférence ;' de centre B et de rayon fini 
indépendant de B. Par le point A, supposé voisin de B, menons une parallèle 
à l'axe des x, qui coupe y en deux points; soit Ai celui de ces deux points qui 
est le plus voisin de A. En désignant par D un symbole de dérivation quel- 
conque, d'ordre /, on a 

DnA,B) = Df{A„B) + Jz)'lii^^-^d:r. 

Or Df(Ai,B) est fini sur tout le cercle y. Par hypothèse, D ' ' — ^ est fini si 

Ä; + /+i<o, et dans le cas contraire, devient infinie moins vite que t.^^^.j^ ' 

quelque petit que soit e. On déduit alors de la formule précédente, par un calcul 
facile, que Df(A,B) est fini si k + j<o, et dans le cas contraire devient infini 

moins vite que i^.-,^ ' quelque petit que soit e. Donc f{A,B) est une fonction 

singulière d'ordre (k), et on a bien k = h. 

Considérons maintenant une fonction f{A,B), régulière d'ordre (h), c'est-à- 
dire singulière d'ordre ( — h), h étant positif. Soit i le plus grand entier inférieur 

' On pourrait introduire une notion plus précise, en appelant fonction singulière d'ordre h 
une fonction singulière d'ordre <.'< dont au moins une dérivée d'indice assez élevé i devienne 
effectivement infinie comme — — .■ Mais, pour tirer de cette notion un parti utile, il faudrait 

fh + z 

modifier un peu nos premières définitions. Ainsi, dans la définition des fonctions singulières 
au sens strict, il faudrait remplacer -^., dans le cas où h + i<o, par -^~-. log -• Comme 

' ^ J-A + » j.* + » j. 

dans la suite de ce chapitre, la notion de fonction singulière d'ordre (h) nous suffira, il est inutile 
d'introduire des termes logarithmiques dans nos définitions. Dans le chapitre III, nous donne- 
rons dans le même ordre d'idées des définitions un peu différentes. 

Acta mathematica. 42. Imprimé le 10 septembre 1919. ^•' 



226 Paul Levy. 

à h (h>i>^h — i). La fonction f (A , B) et ses dérivées d'ordre <^{ par rapport 
k X et y sont finies. On peut donc trouver un polynôme P{A,B) d'ordre i en 
X et y, k coefficients fonctions de B, et tel que la différence 

fAA,B) = f{A,B)-P{A,B) 

s'annule quand A est en B ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre i par rapport à 
X et y. Or toutes les dérivées d'ordre i + i de fi(A,B) par rapport k x et y. 

qui sont les mêmes que celles de j{A,B) sont inférieures en module à ^^,_^ ^^» 

quelque petit que soit e. Les dériviées d'ordre i de /, {,A,B) peuvent alors être 
obtenues en intégrant les précédentes le long de la droite B A, et on trouve 
qu'elles sont inférieures en module à r''~'~^, quelque petit que soit c. On limite 
de même successivement les dérivées d'ordres i — i, i — 2,..., i de f,{A,B) et 
cette fonction elle-même, et on constate ainsi qu'elle est régulière d'ordre (A), au 
sens strict. Nous avons donc établi le résultat suivant: 

Toute fonction régulière d'ordre (h) est la somme d'une fonction régulière d'ordre 
(h) au se7is strict, et d'un polynôme en x et y de degré inférieur à h dont les coeffi- 
cients sont des fonctioris finies et continues de B. 

On peut évidemment dans cet énoncé échanger les rôles des points A et B. 

§ 14. Dans la théorie des équations intégrales, on appelle composition l'opé- 
ration qui consiste, étant données deux fonctions f{A,B) et cp(A,B), à former 
la fonction 

(2) F(A,B)= I i f(A,]\I)(f{M,B)dS. 



//'- 



Les fonctions singulières que nous considérons sont par définition telles 
qu'en les composant avec une fonction holomorphe dépendant d'un seul des points 
A et B, on obtienne toujours une fonction holomorphe. Bien entendu ces fonc- 
tions doivent être singulières d'ordre inférieur à 2 pour que l'opération de com- 
position ait un sens. 

Nous allons maintenant démontrer le théorème suivant, relatif à la compo- 
sition des fonctions qui sont toutes les deux singulières. 

Si les fonctions f(A,B) et fp(A, B) sorit si?igulières d'ordres respectifs {h) et (k) 
inférieurs à 2, la fonction 

F{A,B)= i j f(A,M)(f(M,B)dS 
s 

est singulière d'ordre {h + k — 2) au plus. 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 227 

Vérifions d'abord que les intégrales analogues aux intégrales (i) formées 
avec F{A,B) sont holomorphes, si oj{A} est holomorphe. Considérons l'une 
d'elles, par exemple 

(3) n(A)= 1 i F{A,3I)iü{M)dS. 

' s 
En posant 

w^ lA) = l Çcp {A , 31) m (31) dS, 
^ s 
elle s'écrit 

Q(A)= j ff(A,3I)(o,(3I)dS. 

Puisque par hypothèse les intégrales du type (i) formées avec /(^ , 5) et (/'(J , 5) 
sont holomorphes, la fonction w, [A) et par suite la fonction fi (A) sont holomorphes. 
Il faut maintenant établir l'existence des dérivées de F{A,B) et trouver 
des limites supérieures de leurs modules. Etudions dans ce but une des dérivées, 
que nous représenterons par 

(4) Dl:)F{A,B), 

D étant un symbole de dérivation d'ordre i par rapport à x et y, coordonnées de 

A, et jD un symbole de dérivation d'ordre j par rapport à x' et y/', coordonnées de 

B. La limite supérieure que nous cherchons doit être finie B\h + k + i + j — 2 < o, 

et dans le cas contraire de la forme -^ -; . . . .. — 53-' « étant aussi petit qu'on 

veut. Plusieurs cas sont à distinguer suivant les valeurs de / et j. 
Premier cas. h + i <2, k + j <2. 
On peut écrire dans ce cas 

(4') DDF{A,B)= i i Df{A,3I)l^fp{3I,B)dS, 

''s 

la dérivation étant légitime, puisque l'intégrale obtenue est absolument et uni- 
formément convergente. La fonction Df\A,M) admet en module une limite 

K 

supérieure de la forme -^^^:^-> e étant aussi petit qu'on veut, si h + i>^o, et est 

finie si Ä + t" < o. De même '^(p(3I,B) admet en module une limite supérieure 

17 

de la forme T^ipipi' si k + j>o, et est finie si k + j <o. Les lemmes I et II nous 



228 Paul Levy. 

montrent alors que l'expression (4'), dans le cas où h + k+i + j — 2>o (ce qui 

n'est possible que si h+i>o, k + j>o), est inférieure en module à ,, + ^ + i^j_2+c ' 

£ étant aussi petit qu'on veut et K convenablement choisi. Dans le cas contraire 
elle est finie. C'est bien la limitation que nous voulions obtenir. 

Deuxième cas. h + i > 2, k + j <2. 

La dérivée étudiée (4) peut dans ce cas s'écrire 

(4") D'hF{A,B) = D \ { i{A,M)(r,{M,B)dS, 



la fonction ip^[A ,B) =^(p(A,B) étant singulière d'ordre (Jc + j). 

Montrons d'abord que nous pouvons supposer cette fonction singulière d'ordre 
{k + 'j) au sens strict, si ^ + / < o. En effet le cas général se ramène à ce cas en 
ajoutant à <Pi{M,B) des termes de la forme 

ip(B)i-,f, 

les fonctions (/' (B) étant finies. Cela revient à ajouter à l'expression (4") des 
termes de la forme 



ip(B)D j j f{A,M)^'^ifdS, 



qui sont finis, puisque la fonction sur laquelle on effectue l'opération D est holo- 
morphe comme étant de la forme (i). Nous voyons donc bien que pour trouver 
une limite supérieure de l'expression (4"), il suffit de la trouver dans le cas où 
cp^{A,B) est une fonction singulière d'ordre (k + j) au sens strict. 

Décomposons maintenant le champ d'intégration S en deux champs, .J, + J 
et ^i. Bien entendu, bien que la définition de ces champs (§ 12) montre qu'ils 
dépendent de A, nous pouvons les considérer comme fixes lorsque nous effectuons 
la dérivation D. 

L'expression (4') se présente alors comme la somme de deux termes. Le 
premier terme 



IP 



Df{AJl)1}cp{M,B)dS 
, + -' 
est inférieur en module à 

k 



fh 



,li + i+eg' k+j+e 



dS, 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann daus le voisinage du contour. 229 

et les lemmes I et II nous en donnent une limite supérieure qui est bien de la 
forme voulue. 

Il reste à étudier le terme 

(5) D jjf{A,31)<rAM,B)dS. 

Posons i = »1 + «2, ï'i étant le nombre entier tel que i <h + i, <2. Remplaçons 
f/ij (M,B) par son développement en série de Taylor limité aux termes de degré t.. 
autour d'un point A^, de coordonnées x^, et yç,. Nous supposerons que A„ coïncide 
avec A, mais nous écrirons tout de même Aa, pour indiquer qu'en effectuant la 
dérivaton D on n'a pas à tenir compte des termes qui contiennent A„. 

Nous avons donc de nouveau deux sortes de termes à distinguer, les premiers 
termes de ce développement, et le reste. Considérons d'abord les premiers termes, 
de la forme 

(6) X(A,,B){^-x,)''(,i-y,)ß, {a + ß<i,-i), 

X(Aa,B) étant une fonction singulière d'ordre (k+j + a + ii) au sens strict. Les 
termes correspondant de (5) peuvent s'écrire 

(7) X{A,,B)D j j f(A,M)(^-x,)-(,i~y,)'^dS 

^ s 

— X(A,„B) j 1 Df(A,M)(S-x,)"(,i-yo)''dS. 

L'intégrale prise dans le champ S, étant de la forme (i), a ses dérivées finies. 
Le produit de sa dérivée par X{Ao,B) est donc infini au plus comme une fonction 
singulière d'ordre (k + j+ a + (i), et si on observe que 

on voit qu'on a bien pour ce ternie la limitation voulue. Dans l'autre intégrale 

de la formule (7), la fonction intégrée a son module mferieur a /,^.,_„_ ,j^ri" 

L'intégrale, en vertu des lemmes I et II, et de ce que A + i — « — /^>2 est donc 

infinie au plus comme ,^ + i_„_^_2+, - Son produit par X (A^, B) est donc infini au 

plus comme une foncton d'ordre {h + k + i + j—2). Nous avons donc pour tous 
les termes de l'expression (7) la limitation voulue. 



230 I'aul Levy. 

Considérons maintenant le reste do la série de Taylor. 11 est la t-onime de 
2, + I termes de la forme 

la fonction X(M,A„,B) étant inférieure au module maximum des dérivées d'ordre 
i, de cpi{M,B) quand M décrit la région 2^, c'est-à-dire ayant une limite supérieure 

de la forme -r-^ — -. — . e étant aussi petit qu'on veut. Les termes correspondant 

fk+j -^i^ + e I -1 I 

de (5) s'écrivent 

I 1 X [M ,A„,B) D i {A,M){'^-x,)-(r — y,)^dS, 

cette intégrale ayant bien un sens, puisque la fonction intégrée est infinie en A 
d'ordre {h + i — u — /ï = /i + z'i < 2). Le lemme II nous donne alors de cette in té- 
grale une limite supérieure de la forme -f^^-^^^f ^ , _ ^^ ^ - Nous avons donc finale- 
ment obtenu la limite supérieure cherchée pour tous les termes qui constituent 
l'expression (4"). 

Troisième cas. h + i < 2, k + j>2. 

Ce cas se traite évidemment comme le précédent, en échangeant les rôles 
des points A et B. 

Quatrième cas. h+i}^2, k + j}^2. 

Ce cas se traite aisément par les mêmes procédés que le second. On décompose 
le champ S en trois champs 2', 2, et 2^. Pour l'intégrale relative au champ 2', 
le lemme I nous donne sans difficulté la limitation cherchée. Les deux autres 
intégrales se déduisant l'une de l'autre par l'échange des points A et B, ii suffit 
d'étudier l'une d'elles, par exemple celle qui est étendue au champ 2i. Le procédé 
employé pour l'étude du deuxième cas s'applique dans ce but sans modification, 
car il ne tenait aucun compte de l'hypothèse k + j <2. 

Ayant obtenu dans tous les cas la limite supérieure cherchée, nous avons 
démontré le théorème énoncé. 

§ 15. Les résultats précédents se prêtent à quelques généralisations. On peut 
observer que, pour limiter supérieurement une dérivée de F {A,B) d'ordre 71 = i + j 
nous n'avons introduit à aucun moment dans les calculs des dérivées de f(A,B) 
et de (p{A,B) d'ordre supérieur à »t. Donc: 

Si les fonctions f(A,B) et (p{A,B) et leurs dérivées jusqu'à Vordre n admettent 
en module les limitations indiquées pour des jonctions singidières d'ordres respectifs 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 231 

(h) et (k) inférieurs à 2 et leurs dérivées, si de plus ces fonctions vérifient la condition 
auxiliaire relative aux intégrales du type (i), la fonction 



F{A,B)=^ f{A,M)q(3I,B)dS 



et ses dérivées jusqu'à Vordre n admettent en module les limitations indiquées pour 
une fonction singulière d'ordre {h + k — 2), et de plus cette fonction vérifie la condition 
auxiliaire relative aux intégrales du type (i). 

II n'est pas même nécessaire de supposer l'existence des dérivées d'ordre 71 + 1 
de f(A,B) et (p{A,B). 

On peut observer encore, d'après les raisonnements du § 14, que si l'on veut 
une limitation des dérivées d'ordre n de F {A,B) par rapport aux coordonnées de 
A seulement, il suffit de connaître les limitations des dérivées de f {A,B) et (f{A,li) 
jusqu'à l'ordre n et par rapport aux coordonnées de A seulement. 

On peut aussi remplacer les hypothèses relatives aux intégrales (i) par des 
hypothèses moins restrictives, et cela de deux manières différentes. 

D'une part, si on veut étudier les dérivées de F{A,B) par rapport aux 
coordonnées de A seulement, il suffit de faire des hypothèses sur la première 
de ces intégrales, 



i\ 



f{A,M)io{M)dS, 



qui dans ce cas intervient seule dans les raisonnements du § 14. D'autre part, 
l'hypothèse relative à ces intégrales peut, si l'on vent étudier seulement les déri- 
vées de F{A,B) jusqu'à l'ordre n, être remplacée par l'hypothèse moins restrictive 
que ces intégrales admettent des dérivées finies et continues jusqu'à l'ordre n. 
11 suffit même de supposer qu'il en est ainsi lorsque io{A) est un polynôme de 
degré n — i. 

Cela suffit pour qu'il en soit de même lorsque io(A) est une fonction finie 
et continue ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre w, et même lorsque c'est une 
fonction finie et continue ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre n — i, et que ses 
dérivées d'ordre n—z sont uniformément continues à la Lipschitz, avec un expo- 
sant u>h—i. [Nous disons qu'une fonction ii(A) est uniformément continue 
à la Lipschitz avec un exposant u lorsqu'on a 

\ii{B)—Ll{A)\<Kr'', (o <a< i). 



232 Paul Levy. 

K étant indépendant de A et B.] Si, en effet, w(^) vérifie ces conditions, vj(M) 
peut être regardée comme la somme d'un polynôme en 'é,i] de degré n — i et 
d'une fonction admettant une limite supérieure de la forme ^p" -'+<'. Chaque 
intégrale (i) est alors la somme de deux termes: pour le premier, les dérivées 
d'ordre n existent par hypothèse: pour le second on peut les former par la règle 
de Leibniz. D'ailleurs ces dérivées sont bien des fonctions continues. 

§ i6. Nous pouvons maintenant appliquer les résultats précédents aux équa- 
tions intégrales. Nous allons démontrer le théorème suivant: 

Soit (p{A) une jonction ayant des dérivées finies et continues jusq^ià Vordre n. 
Soit f{A,B) une jonction admettant, ainsi qxie ses dérivées jusqu'à Vordre n par 
rapport aux coordonnées de A les limitations indiquées pour une jonction singulière 
d'ordre {h) injérieur à 2 et ses dérivées. On suppose de plus que Vintégrale 

(8) hj{A,M)M[M)dS 

soit finie et continue ainsi que ses dérivées jusqu'à Vordre n lorsque la jonction (o{3I) 
est holomorphe. On suppose enjin que Véquation intégrale 

(9) ip{A)+ jjj{A,3I)tl'{M)dS = cf{A) 

's 

admette une solution et une seule. Cette solution admet des dérivées jusqu'à l'ordre 
n ji7iies et continues. 

On sait, en effet, que l'équation (g) peut être remplacée pour la détermination 
de la fonction inconnue >l' {A) par une quelconque des équations 



(10) il>{A)+ ji{A,M)ip{M)dS = fpi(A) 1 = 1,2, ....), 

' ,s 
où 

JAA,B)^j(A,B), ji[A,B)^- |T/.-^, {A,M)j{M,B)dS, 

' s 

(r,(A)=fp{A), ,ri{A) = cri-i {A)- ffjiA,M)ffi-, {3I]dS. 

D'après le théorème du § 15, les fonctions ji(A,B) et leurs dérivées jusqu'à 
l'ordre n admettent les limitations indiquées pour les fonctions singulières d'ordre 



Sur ralliiro des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 233 

(h + ih— 21). Donc pour i assez grand (si par exemple k — i pour i = n + 2) 
toutes ces dérivées seront finies. Mais alors d'après les formules de M. Fredholm, 
le noyau résolvant Fi(A,B) de l'équation (lo) admet aussi des dérivées finies et 
continues jusqu'à Tordre n. 

D'autre part, d'après les hypothèses relatives à l'intégrale (8) et d'après les 
remarques finales du § 15, les fonctions (pi{A) sont finies et continues ainsi que 
leurs dérivées jusqu'à l'ordre n. Il en est alors de même de la fonction 'p(A), 
définie par la formule 



ip{A)^cpi{A)+ I Fi(A,3I)fri{M)dS, 

C. Q. F. D. 

On verrait de même, d'après les remarques finales du § 15, que si les dérivées 
de (p(A) sont finies et continues jusqu'à l'ordre n — i seulement, et si les dérivées 
d'ordre n — i sont uniformément continues à la Lipschitz avec un exposant «>/«■ — i, 
il en est de même pour les fonctions (fi {A) et par suite pour ^'{A); la différence 
ip(A) — fp{A) a même des dérivées d'ordre »i. 

Il est aisé de généraliser le théorème précédent en remplaçant les inté- 
grales doubles par des intégrales de surface; c'est sous cette forme que nous 
aurons à l'appliquer. 

On peut encore généraliser tous les résultats de ce chapitre en remplaçant 
les intégrales doubles par des intégrales multiples d'ordre p (ou par des intégrales 
simples). La condition h < 2, qui a joué un rôle essentiel doit être alors remplacée 
par la condition h<p (ou h<i dans le cas des intégrales simples). 

§ 17. Voici enfin une extension dans un autre ordre d'idées. Si (p{A) est 
holomorphe et si f{A,B) est une fonction singulière d'ordre {h), {h < 2) au sens du 
§ 13, il résulte de ce qui précède que la fonction *p(A) définie par l'équation (9) 
a toutes ses dérivées finies et continues. Mais est-elle holomorphe? 

Pour résoudre cette question, nous allons montrer que tous les résultats qui 
précèdent restent exacts lorsque les coordonnées des points A et B peuvent prendre 
des valeurs imaginaires. Il en résultera bien que i}'{A), fonction de deux variables 
complexes dont les dérivées sont finies et continues est holomorphe. 

Nous définirons un point imaginaire A par les intersections Ai et /1. des 
droites isotropes passant par ce point avec la partie réelle du plan. Il faut que 
A puisse décrire l'aire S et une portion voisine du plan imaginaire. Cela revient 
à dire qu'on peut prendre pour ^, et A^, tous les systèmes de deux points intéri- 

Acla mnthemalcii. 42. Imprimé le 16 septembre 1919. •"' 



234 Paul Levy. 

eurs à S, tels du moins que la distance AiA^ ne soit pas trop grande. Le point 
B sera défini de même par deux points réels J5, et /?,. M sera bien entendu réel. 
En appelant toujours r, (i, q' les distances AB, M A, MB, on a 

\r^ = A, B,X A,B„\o^ = M A,X M A,,\(j^ = 31 B,x 31 B,. 

Il faut d'abord généraliser les lemnies 1 et II. L'intégrale considérée dans 
ces leiunies, 

'r ds 

est inférieure en module, d'après l'inégalité de Schwarz, à 



i/rr ^ rr^.^Aä 

y JJ 3IA1xMBiJJ 3IA':xMB'l 

Considérons par exemple le cas où a<2,ji<2,a + ß>2. Dans ce cas, les lemmes 
I et II, tels que nous les avons établis au point de vue réel, nous donnent pour 
l'expression précédente, l'intégration étant étendue à toute l'aire »S, la limite supérieure 



./ 



K 



A.BI^^^-^XA.BI^"-' '•«+"-' 

On étudierait de même les autres cas. La seule complication mais qui n'introduit 
aucune difficulté réelle, est que la division de S en trois aires, 2', 2', et 2^, ne 
suffit plus, et qu'il faut diviser iS en un plus grand nombre d'aires partielles. 
Mais dans chaque cas on aura sans peine la limitation dont on aura besoin. 

Les raisonnements des § 14 à 16, malgré cette complication, restent appli- 
cables au cas actuel. Le résultat que nous avons en vue est donc établi lorsque 
les dérivées d'ordre i du noyau f(A,B) admettent des limites supérieures de la 

IT' 

forme -j,^> et lorsque ce noyau vérifie la condition auxiliaire relative à l'intégrale (8). 

Une remarque doit être faite au point de vue de l'application de ce résultat. 
Supposons qu'on veuille l'appliquer au cas où on remplace l'aire S par une aire 
qui ne soit pas plane. Pour transformer les intégrales de surface que l'on aura 
à considérer en intégrales doubles, il faut représenter l'aire S sur une aire plane 
(S). Les points A et B, dont la distance est r, sont ainsi représentés par des 
points (A) et {B}, dont la distance est (r). Pour les points réels, ret (r) s'annul- 
lent en même temps et sont du même oi'dre de grandeur. Il n'en est plus de même 
au point de vue imaginaire. Il ne peut même en être de même pour aucune 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 235 

représentation plane de »S, car il n'existe pas en général de courbe tracée sur S 
telle que la distance de deux points quelconques de cette courbe soit nulle. Donc 

l'existence d'une limite supérieure de la forme — n'entraîne pas l'existence d'une 

limite supérieure de la forme ^ ■ Nous ne pouvons pas appliquer le résultat 

précédent. 

Mais nous pouvons le généraliser. En effet, comme nous l'avons fait pour 
le plan, nous pouvons définir un point imaginaire A de S par deux points réels 
Al et A-i dont la distance à A soit nulle. Nous pouvons de même définir B par 
deux points réels 5, et B^. La formule 

\n\ = AiB,xA,B, 

relative au plan n'est plus exacte, mais les deux membres restent du même ordre 
de grandeur, ce qui suffit pour que tous nos raisonnements s'applic^ient. 

On peut de même remplacer r^ par une fonction de J et £ qui soit le produit 
de deux facteurs holomorphes imaginaires conjugués s'annulant sans que leurs 
dérivées premières s'annulent quand A et B sont confondus; en d'autres termes 
on peut remplacer f' par une fonction holomorphe de A et B qui s'annule, ainsi 
que ses dérivées première?, sans que ses dérivées secondes s'annulent, quand A 
et B sont confondus, et qui soit réelle et positive quand A et B sont réels. 



CHAPITRE IL 
Théorèmes généraux sur les foiictioiis harmoniques. 

§ i8. Le théorème de Bruns démontré dans la première partie s'étend 
sans difficulté au cas de l'espace. Le mémoire de M. E. Schmidt (cité en note, 
§ 2) est d'ailleurs relatif au cas de l'espace. Au contraire l'extension des résul- 
tats de M. Hadamard exposés § 5 ne peut se faire qu'en utilisant les résultats 
du § 17, et en observant que la condition auxiliaire relative à l'intégrale ((S) se 
trouve bien vérifiée, en vertu du théorème de Bruns, dans l'aijplication qu'on a 
à faire de ces résultats. Grâce à ces résultats, ceux de M. Hadamard peuvent 
aussi s'étendre au cas d'équations aux dérivées partielles du type elliptique les 
plus générales. 

J'établirai dans ce chapitre des résultats d'une nature un peu différente. Il 
s'agira simplement de limiter supérieurement les modules des dérivées, jusqu'à 



236 Paul Levy. 

un ordre fini, de fonctions harmoniques définies par certaines conditions aux 
limites. 

La suite des idées sera la même que dans le chapitre I de la première partie. 
Je commencerai par établir des propriétés du potentiel. J'en déduirai les pro- 
priétés cherchées par l'emploi des équations intégrales et des théorèmes du 
chapitre précédent. 

Considérons une surface fermée S ayant en chaque point un plan tangent 
déterminé, et telle que les coordonnées d'un point M de cette surface soient des 
fonctions de deux paramètres u et v, ayant toutes leurs dérivées finies et con- 
tinues jusqu'à l'ordre p + i, p étant > o. Appelons /< (M) ou simplement /( une 
fonction de u et v finie et continue ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre p. 
Appelons r la distance AM.^ Nous allons établir le théorème suivant: 

Le potentiel 



IP 



{dS désignant l'élément d'aire décrit par itf sur la surface S) et ses dérivées jusqu'à 
Vordre p, ont en valeur absolue des lignites supérieures finies. 

Il suffit évidemment de démontrer ce théorème pour les points voisins de 
S, car il est évident pour les autres. 

Considérons donc un point A voisin de S sur une normale PA à cette sur- 
face en un point P. Considérons un cylindre de révolution d'axe PA et de rayon 
R assez petit pour que toute parallèle à PA intérieur à ce cylindre coupe S en 
un point voisin de P et un seul; ce rayon R, pourvu qu'il soit assez petit, peut 
être supposé indépendant du point P de la surface. 

Appelons 2 la partie de »S voisine de P et intérieure à ce c\'lindre. Posons 



'Jï'r 



dS. 



II est évident que Ü — F et toutes ses dérivées admettent des limites supérieures 
indépendantes des points P et A. Il suffit donc de limiter supérieurement V et 
ses dérivées. 

Prenons le point P comme origine d'un système de coordonnées rectangulaires, 
l'axe des z étant PA. Appelons i',>;,i,' les coordonnées de 31, 2 l'ordonnée de J. 
D'après les hypothèses faites sur S, 'Ç admet des dérivées par rapport à i" et 1,, 



' Les notations ne sont pan identiques à celles du chapitre précèdent. Il n'était pas facile 
d'employer dans tout ce travail un sy.'itènie uni(iuo de notations. 



Sur l'allure des fonctious de Green et de Xeumann dans le voisinage du contour. 237 

finies et continues, jusqu'à l'ordre p + i. On peut donc déterminer un polynôme 
Ç, en i' et r, de degré p, tel que l'on ait 



en posant ^ = 1^^* + »;^, et K étant un nombre convenablement déterminé, qu'on 
peut supposer indépendant de P, pourvu qu'il soit assez grand. De même on 
peut déterminer un polynôme //j en i' et >;, de degré j) — i, et tel que 

1,(1 — /(,|< A'oP. 

Appelons .2', l'aire décrite par le point M^ de coordonnées i, i,, ,,, quand 31 
décrit Faire 2, dSi l'élément de cette aire, et r, la distance ^J^i. Posons 

D'après le théorème de Bruns, F, est holomorphe, dans le voisinage de AP, de 
chaque côté de P, et par suite toutes ses dérivées par rapport aux coordonnées 
de A sont finies. On peut donc leur assigner des limites supérieures, qui sont 
des fonctions continues des coefficients des polynômes ç, et /(,, tant que ces 
coefficients sont finis. Or ils ont des limites supérieures indépendantes du point 
P. On peut donc limiter supérieurement toutes les dérivées de F,, et nous 
n'avons plus qu'à étudier la différence V — F, . 
Or cette différence peut s'écrire 

(II) v~v,=jß{f-f,)dsd,i+jy^^udsd,i+jj),j,i^-^jd^d,j, 



en posant 

/ = 



et les intégrales doubles étant étendues dans le champ 

^ä + ,f < B^. 

Nous voulons limiter supérieurement les dérivées d'ordre < p de l'expression 
(il). On n'a pas évidemment, en calculant une telle dérivée, à tenir compte de 
ce que le point P dépend de A. Donc on peut l'écrire, D désignant une opéra- 
tion de dérivation. 



238 Paul Levy. 

(12) D{V~V,)=jji,{f-f,)D^^_dldr+ij(fi-u,)f,D^^dSd,^ + 

Il est facile d'obtenir des limitations de toutes les quantités qui interviennent 
dans cette formule. On a d'abord aisément, en vertu des hypothèses faites, et 
pourvu que R soit assez petit et K assez grand 

\li\<K, \ii,\<K, \it-u,\<KçP, 
\f\<K, 1/, l</r, \f-f,\<KQP, 

I r\ r''+i — qP'^^' 
Il reste à limiter D D . Posons 

on a, par le théorème de la moyenne, 

Dl-D} = {î;-;,).r{A,m. 

r 1 1 

M' étant compris entre 31 et J/,. r' désignant la distance A M', 'p(A, M') est une 
dérivée de -7 d'ordre p + i, de sorte que 

et par suite 

d'-d'\<^. 

r )\ I Q 

Nous avons donc ainsi une limitation pour chacune des quantités qui inter- 
viennent dans la formule (12). De ces limitati ns résulte que 

\D(V-V,)\<K Cl ''^'' = 2 n KR. 



Cette formule achève do démontrer le théorème énoncé. 

§ ly. On peut généraliser de diverses manières le résultat précédent. 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 239 

On peut d'abord restreindre les hypothèses faites. On peut remplacer l'iiypo- 
thèse de l'existence des dérivées d'ordre 73+1 de ^ et des dérivées d'ordre p de 
de ti par Thypothèse moins restrictive que les dérivées d'ordre p de ^' et les 
dérivées d'ordre p — i de u sont uniformément continues à la Lipschitz, (au sens 
indiqué § 15), avec un exposant quelconque positif et < i. 

§ 20. On peut aussi remplacer le potentiel de simple couche par un potentiel 
de double couche. Mais les dérivées de ce potentiel ne seront certainement finies 

T 

que juscj^u'à l'ordre p — i. Cela tient à ce que -^ est une fonction singulière 

d'ordre (2), au sens du § 13, tandis f{ue - était une fonction singulière d'ordre (i); 
en d'autres termes, au lieu de 

K 



^J<,P... 



on a seulement 



I dnrPrP+2- 

Si le point attiré A est en un point « de la surface S, le potentiel de double 
couche W a une valeur IF», tandis que les limites de W quand A tend vers « 
d'un côté ou de l'autre de S sont des quantités We et Wi différentes de Ws. les 
différences étant ±2^fi{a). Ws est une intégrale où la fonction intégrée est 
singulière d'ordre (i) seulement. Il en résulte que, les hypothèses du § iS étant 
vérifiées, Ws admet des dérivées finies jusqu'à l'ordre p. C'est aussi une con- 
séquence des théorèmes des §§ 14 et 15. Il en résulte qu'il en est de même de 
We et Wi, puisque it («) a des dérivées d'ordre 71 finies et que We et IF, ont les 
valeurs IF,, ± 2 /t a {a). 

Si on remplace les hypothèses du § iS par les hypothèses moins restrictives 
du § ig, IFs a bien encore des dérivées d'ordre n finies et continues, tandis que 
We et IFi n'en ont évidemment plus. 

Des remarques analogues s'ajjpliquent aux dérivées normales du potentiel 
de simple couche. 

Il est évident que les résultats précédents peuvent s'étendre au cas où on 

remplace par la solution fondamentale d'une équation aux dérivées partielles 

quelconque du type elliptique. En effet, le théorème de Bruns reste applicable, 
et la solution fondamentale considérée est bien encore singulière d'ordre (i). 



240 Paul Levy. 

Ces résultats sont également vrais dans le cas du plan, les solutions fonda- 
mentales considérées étant alors des fonctions singulières d'ordre (o). 

Ils se généralisent aisément dans le cas où les hypothèses des §§ i8 et 19 
sont vérifiées sur une partie seulement de la surface S. 

Enfin, on peut supposer que /( dépende d'un paramètre /. Les dérivées 
considérées peuvent alors être prises par rapport à /., et les ordres qui figurent 
dans les différents énoncés indiquent dans ce cas le nombre total des dérivations 
effectuées par rapport à À et les autres variables. 

§ 21. Considérons maintenant une fonction harmonique f {A), définie par 
les valeurs / (M) qu'elle prend sur la surface S. Nous allons établir le théorème 
suivant: 

Si on connaît %ine limite supérieure des valeurs absolues de f {M) et de ses 
dérivées jusqu'à Vordre p, on peut en déduire i( l'intérieur de S ime limite supérieure 
des modules de f (A) et de ses dérivées jusqu'à l'ordre p — 2. 

Si nous formons f (A) par la méthode de M. Fredholm, il suffit d'après le 
théorème du § 18, d'établir que la densité /; (il/) du potentiel de double couche 
qui représente f (A) a des dérivées finies jusqu'à l'ordre p. 

Or, cette densité est définie par l'équation 



d- 
2 TT II (a) + I j f,(M)J^^dS--f{a}, 



r désignant la distance uM, et la dérivée 7 étant relative au point il/. 

dn ^ 

Le résultat cherché nous sera alors donné par le théorème du § ib, pourvu 

d], 

que nous démontrions que la fonction , vérifie bien les conditions imposées à 

dn 

f{A,B) dans l'énoncé de ce théorème. 

Ces conditions sont de deux sortes. Il y a d'abord les conditions relatives 

à l'ordre de grandeur de f(A,B) et de .ses dérivées par rapport aux coordonnées 

< P 

de A. fei la surface S est analytique, les dérivées de tous les ordres de , + ,, 

P étant la distance de « au plan tangent en M, vérifient ces conditions. Si les 
coordonnées de « ont seulement des dérivées finies jus(iu"à Tordre ;). les dérivées 



Sur rallure des fonctions de Green et de Neumium dans le voisinage du contour. 241 

de -j- jusqu'à l'ordre p vérifient bien encore ces conditions. Les hypothèses du 
§ 19 sont donc suffisantes pour qu'il en soit ainsi. 

Il faut enfin vérifier C£ue la fonction v- vérifie l'hypothèse auxiliaire relative 
à l'intégrale (S) c'est-à-dire cjue l'intégrale 

■d^ 



jjdn"^''^'' 



a des dérivées finies et continues jusqu'à l'ordre p, le point attiré étant sur S; il 
en est bien ainsi, cette intégrale n'étant autre que le potentiel W» considéré § 20. 
Le théorème énoncé est donc démontré. 

§ 22. Terminons ce chapitre par la généralisation du résultat précédent. 

On peut remplacer l'hypothèse faite sur f{M) par l'hypothèse moins restric- 
tive que cette fonction admette des dérivées d'ordre 7J— i, uniformément conti- 
nues à la LiPSCHiTz avec un exposant <i. 

On peut remplacer l'hypothèse relative à f{31) par l'hypothèse analogue 

di(M) 
relative à — ^ (c'est-à-dire remplacer le problème de Dirichlet par celui de 

Neumann). La méthode s'applique. Au lieu du potentiel de double couche, nous 
devons introduire un potentiel de simple couche. Donc /(J) a ses dérivées finies 
jusqu'à l'ordre p. 

Nos résultats s'étendent au cas d'une équation aux dérivées partielles quel- 
conque du type elliptique, car le principe de la méthode de M. Feedholm reste 
le même, le caractère analytique du noyau reste le même également, enfin les 
résultats du § 20 subsistent. 

Nos résultats s'étendent aussi au cas du plan. 

Enfin on peut supposer que i{A) dépend d'un paramètre ).. Si on connaît 
une limite supérieure des dérivées de j {M) jusqu'à l'ordre total p par rapport à 
l et aux variables dont dépend M, on peut en déduire une limite supérieure des 
dérivées de /(.-1) jusqu'à l'ordre total p — i par rapport à /. et aux coordon- 
nées de A. 



iialhemiUica. 42. Imprimé le 18 septembre 1919. 



242 Paul Levy. 



CHAPITRE III. 
Sur une famille de fonctions harmoniques. 

§ 22. Nous allons étudier dans ce chapitre une famille de fonctions harmoni- 
ques, à l'aide desquelles nous obtiendrons ensuite aisément la solution du pro- 
blème B de l'introduction. 

La fonction • r désignant la distance du point x, y, z k l'origine, est har- 
monique. En l'intégrant par rapport à z, on obtient successivement les fonctions 
également harmoniques 

, r + z 
w„ = log > 



, r+z 
■ z log r, 



-^- log ^^-•^»■2 + ^e^ 

4/ « 4 4 

— ^— log [~z-~^-] r+ Q-z, 



en posant 



Q^ = Z^ + i/ 



et a étant une constante arbitraire introduite pour rendre les formules homogènes, 
mais qu'on peut supposer égale à i. 

Nous allons montrer qu'en continuant ainsi, on obtient une infinité de fonc- 
tions harmoniques, dont la foime générale est 

(13) «p = /p ((>,3) log ~— + rgp-i(Q,z) + hp{Q,z), 

en désignant par fp,gp-i,hj, des polynômes homogènes en ç et j de degrés égaux 
à leurs indices respectifs, et où ne figurent que des puissances paires de q.^ 

' On peut observer que la partie .algébrique de n„ est un polynôme homogène en ■ et r. 
C'est sous cette forme que j'avais défini «_ dans ma note citée des Comptes Rendus. Il est 
préférable, pour une étude plus détaillée, de séparer les ternies rationnels et les autres, et de 
mettre en évidence p' au lieu de »•'." Il nous arrivera, pour simplifier l'éciiture, de ne pas écrire 
les arguments des fonctions /, (7 , /1, lorsque ces arguments seront .0 et r. 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 243 

Supposons obtenue la fonction Mp_i; nous allons former Up. Deux cassent 
à distinguer suivant la parité de p. 

Premier cas: p pair. Posons 

fp{Q,z)=A,ZP + A,Q'-zP--'+---+ ApQP, 
hp{Q,z)^-C,ZP+C,Q'zP-^+ ■■■ +OpQP. 

En identifiant , ^* et 
dz 

(14) «p_i = /p_ 1(5,2) log —— + rgp-2{Q,z) + hp^i(ç,z), 

on voit d'abord, en égalant les termes non algébriques, que 



(15) fp-i(Q,z) = 



dz 



ce qui détermine A^, A.,,..., Ap^2 mais pas Ap. Il vient alors 




l)z 



^'=/._,.og4^.;.[/,+=„_, + v+,',^-ffj]+^ 



Il reste à identifier les termes algébriques de cette expression et ceux de 
l'expression (14). Identifions d'abord les termes qui ne sont pas rationnels en z, 

qui sont le produit de ; par un polynôme, il vient 

(16) (q^- + z')gp_o=^ tp + zgp-i + {Q' + z')''-^, 

et en égalant les coefficients des termes correspondants des deux membres, en 
commençant par ceux du plus haut degré en z, on obtient successivement B„, 
B,, . . .,Bp-2 et Ap. Pour achever l'identification, il reste à écrire que 

(17) ^P-'==l)f' 

ce qui détermine (?„, C^. ■ • •> C'p-2- I-'G coefficient Cp reste indéterminé. 

Il reste à écrire que Up est une fonction harmonique. Or nous pouvons 
déjà affirmer que 



244 I'aul Levy. 

zlUp , 

7T~ - = J %lp-\ = o, 

(iz ^ 

c'es.t-à-dire que J Up est indépendant de z. Or on a 

(l8) JUp = l0g--^Jfp + ffp-2, 

J ip et <Pp—2 étant algébriques, homogènes, de degré p — 2. Il en résulte que 

J tp = 

et que (pp — 2 ne dépend pas de z. Pour le calculer nous pouvons faire 2 = 0, donc 
r = Q, et (pp — 2 étant homogène et ne contenant pas a est de la forme 

J Vp = rpp~2 = K çP-^, 

K étant une constante. 

Or K contient le coefficient indéterminé Cp. Il en résulte que la formule 
précédente est de la forme 

J Up^{K' + f-Cp)ûP-'^, 

K' étant bien déterminé. Nous pouvons donc, p étant >o, déterminer Cp de 
manière à annuler J Up. 

Deuxième cas: p impair. Posons 

fp{ü,z) = A„zP + A._o-zP-^+ ■■• + Ap-iQP-'^z, 
gp-i{Q,z) = BoZP-^ + B.Q-zP-'^ f ■■■ +Bp^içP-\ 
hp{Q,z)-='CozP + C,o^zP-^-+ ■■■ +Cp_içP-'z. 

Le calcul est analogue au précédent. Toutes les formules où les coefficients 
A, B, C n'interviennent pas explicitement restent exactes. La formule (15) déter- 
mine cette fois tous les coefficients A. La formule (16) détermine tous les coeffi- 
cients B. La formule (17) détermine tous les coefficients C. 11 n'y a donc cette 
fois aucun coefficient indéterminé lorsqu'on a écrit que iip a pour dérivée Vp-\. 

Il faut établir que Up est harmonique. Comme dans le cas précédent, J Up 
ne dépend pas de 2. La formule (18) montre alors que fp est harmonique, et 
que (pp-i est de la forme Kqp—^; cette fois K est bien déterminé. Nous avons 
donc, quel qui soit 2, 

Jv„--= Ko''--. 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 245 

Mais Up ne contenant pas d'autre radical que r, il est impossible que J Up con- 
tienne le radical q à une puissance impaire. (Pour préciser ce raisonnement, nous 
n'avons qu'à remarquer que Up est holomorphe pour r = o,2;>o, et que qP-- 
n'est pas holomorphe dans ces conditions.) La formule précédente montre donc 
que K = o, et par suite Up est harmonique. 

Nous avons donc établi pour toutes les valeurs entières >o de p l'existence de 
jonctions harmoniques de la forme (13). Ces fonctions sont telles que 

Les polynômes fp sont aussi des fonctions harmoniques. 

Il faut observer que Vp n'est bien déterminé que si l'on tient compte de la 
formule (19). La condition Jup = o ne détermine en effet une fonction hormoni- 
que de la forme (13) qu'à un facteur constant près et à un multiple près de fp- 

§ 24. Il est nécessaire pour la suite d'étudier particulièrement l'allure de 
ces fonctions pour 2 = 0. Elles se réduisent, si p est pair, à 

(20) Up{x,y,o) = Aqp \og^ + CçP, 

et si p est impair, à 

(21) Up{z,y,o) = BoP 

(en supprimant les indices des symboles Ap,Bp-i et Cp). 

Je dis que si p est pair. A n'est pas nul, et si p est impair, B n'est pas nul. 

Cette propriété étant vérifiée pour m„ et Mj dont les valeurs ont été écrites 
plus haut, nous pouvons la supposer vraie pour «p_2, de sorte que, si p est pair, 

Up-2 (x,y,o) = ctQ''-^ log ^ +yQ''--, («^o), 

et si p est impair, 



La formule 



Up-2{x,y,o)=ßQP-', (,^5^0) 



(P Vj, O- «p '>- Up 

+ -ird- = — -JTzf = — Mp-2 



donne, quand on annule z, 



246 I'aul Levy. 

J? A^ — a , 
si p est pair et 

p^B = -ß 
si p est impair. Ces formules établissent le résultat énoncé. 

§ 25. Pour les fonctions Up, l'origine n'est pas un point singulier isolé, 
puisque, pour »- + 2 = 0, c'est-à-dire pour la partie négative de l'axe des 2, ces 
fonctions sont singulières. Mais si nous considérons une surface fermée 2, 
passant à l'origine et n'ayant aucun point commun avec la, partie négative de 
l'axe des 2, l'origine est le seul point singulier à l'intérieur de 2' ou sur cette 
surface. 

De plus, si l'axe des 2 n'est pas tangent à l'origine à la surface 2, ce que 
nous supposerons, on a, à l'intérieur de 2", 

(22) r + z>kr, 

k étant un nombre positif suffisamment petit, mais bien déterminé. Il en résulte 
qu'à l'intérieur de .2, la fonction Wp et ses dérivées admettent en valeur absolue 
les limitations suivantes, analogues à celles des fonctions régulières d'ordre (/)) 
au sens strict considérées § 13: 

1° La fonction Wp admet en valeur absolue une limite supérieure de la forme 

KrP\oa-y K étant un nombre convenablement déterminé. 

2° Quel que soit l'entier positif /. les dérivées d'ordre i de Up admettent eu 

valeur absolue une limite supérieure de la forme KrP~' log . si i < p, et de la 

forme —7-1, ai i> p. 

On s'en assure en observant que le coefficient de log dans Up étant un 

polynôme d'ordre p, la partie non algébrique ne subsiste que dans les dérivées 

d'ordre <p. Cette partie non algébrique étant le produit de log ~ par un 

polynôme homogène de degré p — i en x, y et z, admet, à cause de l'inégalité (22), 
la limitation indiquée. La partie algébrique qui est rationnelle et homogène de 
degré p — i en x, y et r et qui n'admet au dénominateur que les facteurs r et 
r + z admet aussi, quel que soit t, la limitation indiquée. 

Modifiant un peu les définitions du § 13 nous dirons qu'une fonction qui 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 247 

admet à l'intérieur de 2, ainsi que ses dérivées, les limites supérieures indiquées 
pour Up, est régulière d'ordre p, au sens strict (ou singulière d'ordre — p).* 

Si ces limitations sont valables, dans le cas où les limites supérieures indi- 
quées sont infinies, et si celles des limites supérieures indiquées qui sont infini- 
ment petites peuvent être remplacées par des quantités finies, la fonction consi- 
dérée sera dite régulière d'ordre ;), au sens large. 

Nous appliquerons aussi ces définitions à des fonctions d'un point de la 
surface 2, c'est-à-dire de deux variables seulement. 

Une dérivée d'ordre { d'une fonction régulière d'ordre p est une fonction 
régulière d'ordre p — i. 

Toutes les dérivées des fonctions itp sont des fonctions régulières, au sens 
strict, d'un ordre (positif, nul ou négatif) égal à leur degré d'homogénéité. 

§ 26. Théorème. Elavt donnés deux entiers positifs ou nids a et a' et un en- 
tier ß positif, nul ou négatif, et tel que le nombre ?i = « + «' + ß soit > — i, o?» peut, 
par une combinaison de fonctions Up en nombre fini et de leurs dérivées, foi mer une 
fonction harmonique, régidihe d'ordre n au sens strict, et se réduisant à x^y^'çi^ 
pour 2 = 0. 

En posant x+iy = ^, x — iy^^rj, on est ramené à démontrer le même 
théorème pour ^"/,"'(1^, les conditions imposées aux exposants «,«' et ß restant 
les mêmes. En remplaçant ^ t] par q- un nombre suffisant de fois, on peut 
annuler un des coefficients u ou a'. Supposons que ce soit u'. On est donc 
ramené à ^"-q^ avec a^o, « + /^^ — i- 

Distinguons maintenant plusieurs cas. 

Premier cas. ß impair. Alors le nombre p = ß+2a ne peut avoir la valeur 
— I que pour a=o, ß = — i, et dans ce cas la solution est donnée par la fonc- 
tion — En dehors de ce cas p est un nombre positif impair, et il résulte de la 

r 

formule (21) que la solution est donnée, à un facteur constant près, par la 

fonction —, — -■ 

orj'^ 

Deuxième cas. ß pair >o. Alors p = ß+2a est un nombre pair > o. La 
fonction /p se réduisant dans ce cas pour z -= o k A qp, \a. solution est donnée, à 

un facteur constant près, par la fonction -h-^' 



' Ces définitions diffèrent de celles du chapitre I, d'une part parce que nous avons rem- 
placé la notion de fonction singulière d'ordre (A) par la notioij plus précise de fonction singulière 
d'ordre h, d'autre part parce que la condition auxiliaire relative aux intégrales (i) ne joue plus 
aucun rôle, enfin parce que le point singulier est sur la frontière de la région dans laquelle les 
fonctions sont régulières, sauf en ce point. 



248 Paul Levy. 

Troisième cas. ß fair < o. Alors p = ß + 7.u est iin nombre pair positif. En 
posant p = 2 y la formule (20) donne 

A. / '" t\ 

7tp (z, y,o)= — ^P' »/■ log - + log ' + C SP' rP' . 

Observant que a>p', on voit que la solution est donnée, à un facteur constant 

d" tip 
près, par -^J"- 

Le théorème énoncé est donc établi dans tous les cas. 

Théorème. Etant donnés trois entiers positifs ou 7ivls a, a' et ß dont le dernier 
est 'pair, on peut, par une combinaison de jonctions Vp en nombre fini et de leurs déri- 
vées, former une fonction qui soit hannoniqiie, régulière d'ordre n = a + u' + ß au sens 
strict, et se réduise à x" 2/"' Q'^ log q pour z = o. 

Par le même changement de variables que précédemment, on est ramené à 
démontrer le même théorème pour ^^Q^logq. En posant toujours p = /;? + 2 a, la 

solution est donnée par une combinaison linéaire convenable des fonctions .-. f 
' drf- 

et ';k. 

§ 27. Nous allons appliquer les résultats précédents à un problème de déve- 
loppement en série. 

Considérons une surface S, passant à l'origine des coordonnées et qui soit 
tangente au plan 2 = 0. Nous la supposerons d'abord pour simplifier analytique 
au voisinage de l'origine, et ne coupant pas la partie négative de l'axe des z, et 
nous prendrons comme axes des x et des y les directions principales de cette 
surface. On a alors sur S au voisinage de l'origine 

(23) z = ^(a,a:2 + a,?/2)+^(6,a:3 +^h^x'^y f 36, xy- +b,y^)+ ■■■■ 

On sait le rôle que joue dans la théorie des fonctions harmoniques la fonc- 
tion, déjà considérée dans le chapitre précédent, 

r 2 

dn r^ 

la dérivée t— étant relative à l'origine et comptée positivement vers l'intérieur 
de S. Quand le point .4, de coordonnées x,y,z vient sur S, cette fonction se 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 249 

réduit à une fonction de x et y singulière d'ordre i seulement. On peut donc penser 
qu'il existe une fonction singulière d'ordre i seulement, harmonique, et égale sur S 

à -^- Nous allons montrer qu'elle existe en effet, et la représenter par un développe- 
ment en série de fonctions régulières d'ordres croissants. 

La fonction ^ a pour valeur principale sur »S au voisinage de l'origine 

T.a^x'^ + a^y^ 

D'après le § 26, on peut former une fonction harmonique, régulière d'ordre — i 
à l'intérieur de S, égale à la précédente pour 2 = 0. Cette fonction est 

-^. a|+a.;i a, — Oj a;- — y^ 

U —i = H , — , — r^- 

4 r 4 r(r + z)^ 

Posons 

Cetta fonction se réduit sur S à une fonction de x et y régulière d'ordre o. Elle 
diffère infiniment peu sur ä et à l'origine, de la fonction 

al—alx-—y^ («i — aj' {x^ — y^)^ i 6„ a:° + 3 6, a;^ y + 3 6, .r y' + b, 
8 if "^ 8 ç* 6 Q^ 

D'après le § 26, on peut former une fonction harmonique, élémentaire, régulière 
d'ordre o à l'intérieur de S, égale à la précédente pour z = 0. Soit [/„ cette fonction.' 
Posons 

Cette fois R,, sera infiniment petit sur S au voisinage de l'origine. On formera 
sa valeur principale,^ et on cherchera à former une fonction C/, qui n'en diffère 
que par des infiniment petits d'ordre supérieur au premier. On continuera de 
même indéfiniment. 

' Cette fonction est algébrique, car la partie non algébrique, si elle existait, serait néces- 
sairement, étant donnée la forme des fonctions «p, de la forme o log {r + z), a étant une con- 
stante, et deviendrait infinie. Or elle doit prendre sur S der valeurs finies. 

' Nous devons entendre ici par valeur principale d'une expression infiniment petite une 
expression plus simple qui n'en diffère que par des infiniment petits d'un ordre supérieur au 
moins il'une unité. Ainsi nous ne pouvons pas négliger x devant xlogp. 

Acta mathemalica. 42. Imprimé le 18 septembre 1919. 32 



250 Paul Levy. 

Je dis que toutes les fonctions Up ainsi définies sont des fonctions régulières 
d'ordre p, au sens strict, formées par des combinaisons linéaires des fonctions «p 
étudiées § 28 et de leurs dérivées en nombre fini. Je dis de plus que la différence 

se réduit sur la surface S à une fonction de a; et î/ régulière d'ordre p + 1 au 
sens strict. 

Comme il en est bien ainsi pour p = — i, nous pouvons supposer que ce 
soit vrai pour p — i. La fonction Rp—\ se réduit donc au voisinage de Torigine 

sur la surface S à une fonction de x et y très petite comme »Plog -. De plus 

elle est la somme de " et d'un nombre fini de fonctions u„ et de leurs dérivées. 
,.3 j- 

Elle est alors de la forme 

P {x, y, z) log + ' V , / ' 

P et Pi étant des polynômes, car dans toutes les fonctions iip et dans leurs déri- 
vées, le coefficient de log est un polynôme en x,y et z et la partie algébrique 

est rationnelle en x, y et r, et ne peut contenir au dénominateur d'autres facteurs 
que r et r + z. Remplaçons maintenant 2 par sa valeur (23). Etant donné que 

l'expression précédente est de l'ordre de grandeur de »-^log-, sa valeur princi- 
pale (au sens indiqué ci-dessus, en note) est 

T, , NI r + zP,(x,y,r) 
P, (:»:,?/) log -— + /^)^. 

Pj et P. étant des polynômes homogènes de degrés respectifs petp + ce+ji. On 
peut encore l'écrire, 

en négligeant des termes de l'ordre de grandeur de çP + '. 

Il reste alors, d'après le § 26, une fonction harmonique, régulière d'ordre p 
au sens strict, égale à l'expression précédente pour 2 = 0, formée avec les fonc- 
tions Up et fp et leurs dérivées en nombre fini. Soit Up celte fonction. 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 251 
Considérons la différence 

Rp = Rj,_, - Up = ^^3 (t7_, + f7„ + • • ■ + Up), 

et étudions ses valeurs sur la surface S\ elle peut s'écrire 

i?p_i — Up(x,y,o) — ZY.Up{x, y, Ç) , 

où 'Ç est compris entre o et z. Or i?p_i — Up{z,y,o), par la manière même dont 
la fonction Up a été formée, est au plus de l'ordre de grandeur de «?'+' log . Il 

en est de même de l'autre terme, puisque z est de l'ordre de q- et que — - est 

de l'ordre de qp~^ log - au plus. Donc Rp est de l'ordre de grandeur de qP+^ log - 

ou très petit par rapport à cette expression. 

D'autre part, en remplaçant z par son développement (23) dans 

Rp--^,-{U-, + U, + --- + Up), 

cette fonction se présente sous la forme d'une série d'expressions de la forme (24), 
homogènes et de degrés croissants. La première de ces expressions doit être de 
degré p + i, d'après ce que nous savons sur l'ordre de grandeur de -Rp. En déri- 
vant Rp sous cette forme, on obtient aisément des limites supérieures de ses déri- 
vées, et on constate que Rp se réduit sur la surface S à une fonction de x et y 
régulière d'ordre p + 1 au sens strict. En particulier les dérivées de cette fonc- 
tion jusqu'à l'ordre p sont infiniment petites à l'origine. 

Ces valeurs de Rp sur la surface S étant finies, il existe une fonction harmoni- 
que Rp égale à Rp sur S. La fonction 

rp (A)=U-,+ U,+ ■■■ + Up + Rp 

est, par la manière même dont Rp est défini, harmonique, égale sur Sa—, et 

indépendante de p. 

Il reste à montrer qu'elle est bien singulière d'ordre i, c'est-à-dire que ses 

dérivées d'ordre i sont infinies au plus comme ^r— , . Cela résuite de la formule 

(25) écrite pour p=i + i, où les fonctions U sont singulières d'ordre <^i, tandis 
que Rp, fonction harmonique égale sur S à Rp, c'est-à-dire à une fonction de 



252 Paul Levy. 

X et y ayant ses dérivées finies jusqu'à l'ordre p, a, d'après le § 21, des déri- 
vées finies jusqu'à l'ordre p — x=i. 

Comme Up a aussi ses dérivées jusqu'à l'ordre i finies et continues, on voit 
que, pour avoir une expression asymptotique de ff{A) telle que l'erreur ait ses 
dérivées jusqu'à l'ordre i finies et continues, il suffit de former la somme 

(26) U^,+ U, + U,+ ■■■+Ui. 

Cette somme, d'après la forme des fonctions Up, comprend une partie non algé- 

V ~\~ z 
brique qui est le produit de log par un polynôme en x, y et 2, et une partie 

algébrique, qui se compose uniquement de termes rationnels en x, y, 2 et r, les 
dénominateurs ne pouvant pas contenir d'autres facteurs que retr + z. On peut 
évidemment, en la calculant négliger tous les termes holomorphes qui figurent 
dans les fonctions U, et par suite négliger les polynômes Jip qui figurent dans la 
définition des fonctions Vp et négliger aussi les polynômes fp introduits dans la 
démonstration des théorèmes du § 26. 

Nous avons jusqu'ici supposé la surface S analytique au voisinage de l'origine, 
en d'autres termes que z est une fonction holomorphe de xety. Mais, pour que 
le résultat précédent subsiste, il suffit que 2 admette les dérivées jusqu'à l'ordre 
î + 3 finies et continues, et que les dérivées d'ordre i + 3 soient continues à la 
LiPSCHiTZ à l'origine, c'est-à-dire telles que, en désignant par Dz une quelconque 
de ces dérivées, on ait 

\Dz\<Kq'', (o<«<i). 

§ 28. Nous allons appliquer les mêmes principes au problème suivant: former, 
par un développement en série analogue à celui qui vient d'être obtenu, une jonction 
H>[A), harmonique, singulière d'ordre 0, ayant sur la surface S la même dérivée normale 

que - , à une constante près. 

Si on représente le développement de 2 par 

2 = 22 -f Zj H -f- 2p + • • • 

Zp étant un polynôme homogène de degré p en x et y, la fonction considérée 
§ 27 était 

(^ I _ z _ z^ + z,-] +Zp-i 

dn r r' r' 

La dérivée normale que nous considérons maintenant est 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 253 



(27) 



d I 
duA r 



X dz y dz z 
r^ (ix r^ dy r' 



V 



1 + 



\dx] 



Zj + 2Z3 H h (p — l) 2p + ■ • 



-y. 



dx, 



+ 



Le principe du développement en série étant le même que celui du § 27, 
nous n'avons qu'à insister sur la différence essentielle qui consiste dans le rem- 
placement du problème traité § 26 par le suivant: 

étant donnée une jonction w (x, y), somme de termes de la forme 

h X"- y"' ç'^ log h c x" y^' q^ , 

où a, a', y, y' sont des entiers positifs ou nids, ß un entier pair positif ou nid, ö un 
entier quelconque, et oii 

a + a' + ß = y + y' + o = n, 

former une fonction harmonique, régulière d'ordre w + i , et dont la dérivée normale 
sur S diffère de w {x, y) par des termes qui sont au plus de Vordre de grandeur 

de ç"+i log - . 

Nous savons, par le § 26, trouver un fonction harmonique, régulière d'ordre 
n, égale à w [x, y) pour 2=0. Soit v [x, y, z) cette fonction. Comme elle est fonc- 
tion linéaire des fonctions Up et /p et de leurs dérivées en nombre fini, nous 
pouvons remplacer dans son expression chaque fonction Up ou fp par la fonction 
ayant un indice plus élevé d'une unité, et nous obtenons une fonction F [x, y, 2) 
harmonique, régulière d'ordre n + i, et telle que 



de sorte que 



• nV{x,y,z) 
dz 

V dV { x,y,z) -\ 
L Oz \z 



V {X, y, z) 



= w{x,y). 



La dérivée normale de V sur S peut alors s'écrire 



dV 

dUA 



OF 

' dz 



'"[1/- 



(lz\ 



OVdz^ irVOz 
dx i)x ihj (ly 



l/-(S 



+y 



254 Paul Levy. 

Comme ^r— > ^r- et-T— sont au plus de Tordre de grandeur de r" log -. on voit 

dx (II) àz r 

qu'elle diffère de — = v par des termes qui sont au plus de l'ordre de grandeur 

de »" + ' log ^. c'est-à-dire de ç"+' log — D'autre part la fonction i(x, y, 2) diffère 
elle même de w{x,y) par l'expression 

d v{x,y,L,) 

" di; 

{, étant compris entre o et 2), qui est aussi du même ordre de grandeur. Donc 
la fonction F répond à la question. 

Nous pouvons alors former i/'(v4) par son développement en série. La partie 
principale de l'expression (27) étant 

la, x^ + a^y^ 



si nous la prenons pour fonction tv, nous obtenons, par la méthode qui vient 
d'être indiquée, la fonction 

„ ^ a,+a, r + z a , — a,x^-~y- 
4 a 8 {r + zf 

qui est barraonique, singulière d'ordre o, et telle que 

an A \r 

se réduise sur S à une fonction de x et y singulière d'ordre o. Prenant la valeur 
principale de cette fonction comme fonction w on formera F,, et ainsi de suite. 
Posons 

c^n-.r.-^»-^' — ^^-^- 

La fonction lip, qui est bien définie sur la surface S, est, par la formation même 
des fonctions F une fonction de x et y régulière d'ordre p. Il existe donc une 
fonction lîj, harmonique à l'intérieur de S et telle que sur la surface on ait 

d R„ _ 
,-=/!:»+ const. 
an A ^ 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 255 

Cette fonction est définie à une constante près. Rp ayant ses dérivées finies et 
continues jusqu'à l'ordre p — i, il en est de même de Rp, d'après le § 22. La formule 

i?;, = Fp + 1 + i?p + 1 + const. 

montre alors que Rp a même des dérivées d'ordre f finies et continues. 
Il est alors évident que la fonction 

ip{A) = \\+V, + --+Vp + Rp 

vérifie bien les conditions imposées à */'(.4), et que, pour en avoir une expression 
asymptotique telle que l'erreur reste finie ainsi que ses dérivées jusqu'à l'ordre p, 
il suffit de former la somme 

F„+F, + ---+Fp. 

Les remarques faites sur l'expression (26) s'appliquent à cette somme. 



CHAPITRE IV. 
La fonction de Green pour l'espace. 

§ 2g. La fonction de Green g'^ relative à une surface fermée S et aux points 
A et B est définie par les conditions qu'elle s'annule quand A est sur S et que 
la différence g'^ (r désignant la distance des points A et B), soit à l'intérieur 

de S une fonction harmonique de A. On sait que c'est une fonction symétrique 
des points A et B et que son introduction permet de résoudre le problème de 
DiRiCHLET par la formule 

(28) f{A)=j-ÇÇ^^-aM)ds, 

4^'^.IJ dn 
s 

dS étant l'élément de S décrit par le point M et la normale étant comptée posi- 
tivement vers l'intérieur. 

j A 

Nous allons exprimer _^ à l'aide de la fonction (p{A) étudiée dans le cha- 
dn 

pitre précédent (§ 27). Cette fonction dépendait non seulement de (A), mais du 

point M de la surface pris comme origine de coordonnées. Nous devons donc 

maintenant la représenter par (f'(A,31). Elle n'a été définie que si la normale 

extérieure k S en M peut être prolongée jusqu'à l'infini sans rencontrer à nouveau 



256 Paul Levy. 

la surface S. Mais cela ne diminue en rien la généralité des résultats que nous 
obtiendrons dans ce chapitre, car on sait, d'après M. Hadamard, que la singu- 
larité de g^ dans le voisinage d'un point AI ne dépend que de la partie S voisine 
de 31. II suffit donc, si la condition indiquée n'est pas vérifiée, de remplacer S 
par une autre surface, vérifiant cette condition, et coïncidant avec S dans le 
vosinage du point M. 

Considérons l'intégrale 

p{A,M)j{M)dS. 

La fonction rp(A,M) étant singulière d'ordre i seulement, cette intégrale est 
absolument et uniformément convergente, et par suite continue quand A vient 
sur la surface, comme il arrive pour un potentiel de simple couche. 
Il en résulte que l'intégrale 



X/I&^"<'''*]''^- 



où Q désigne la distance AM, représente une fonction hormonique de A, égale 
quand A vient en un point a de S k 



^fM + ff[ll-9iaJI)]dS=..fia). 



En comparant la solution du problème de Dirichlet qui résulte de cette remarque 
à celle qui est donnée par la formule (28), il vient 

j A 

Cette formule ramène l'étude asymptotique de —^ à celle de (f{A,'M), qui a fait 

dn 



être représenté par 



l'objet du § 27. Nous voyons en particulier que, avec une erreur finie, ^ ^'^ peut 

dn 



Q jj _22 a, +«2! a, — a^ X- — y- 

dn ~'~ ç" 2 Q ^ Q(Q + zy 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Xeumann dans le voisinage du contour. 257 

l'axe des z étant normal à »S en il/, les axes des a: et y étant tangents aux lignes 
de courbure, a^ et a, désignant les courbures principales de la surface S en M. 
{q remplace la lettre r des formules du § 27, car nous appelons maintenant q la 
distance AM.) 

% 30. La fonction ^ étant connue, gr^ est donné par la formule 
dn 

A I I fMS'.Vl ,0 

" r ^'tJ :' dn ç 
û' désignant la distance BM. Elle s'écrit d'après (29) 






,dS+ -'-- if[A,M) ,d8, 



ou encore 



(30) ^-l-irjjLk^^^^jj'^^^''''?'' 

S b- 

puisque, d'après la formule de Green, 

1 d 1 I rf i\ ,„ 

-j--} j -]dS = o. 

gdriQ Q dn Qi 

On est donc ramené à l'étude d'un potentiel de simple couche de densité 
<p[A,M). Si on remplace (p(A,M) par sa valeur asymptotique f/_i, l'erreur faite 
sur (p{A,M) est finie, et il en est de même, d'après le § 18, de l'erreur faite surr/^. 

Que pouvons-nous dire maintenant de l'erreur faite quand on remplace <p{A,M) 
par la valeur asymptotique plus précise 

rp{A,M)-Bp=^ Ü-1+U0+ ■■■ + Up, 

obtenue § 27? On voit aisément que ce qui a été dit § 27 sur l'ordre de grandeur 
des dérivées des fonctions Up et i?p par rapport aux coordonnées de A s'applique 
aux dérivées par rapport aux paramètres dont dépend 31 sur la surface S. En 
effet une dérivation par rapport à ces paramètres introduit deux sortes de termes; 
d'une part ceux qui proviennent de ce que les coefficients du développement (23) 
de z en série de Taylor dépendent du point M ; ces termes, moyennant des hypo- 
thèses convenables sur la régularité de la surface S, ne peuvent avoir un ordre de 

Acta malhemaiica. 42. Imprimé le 19 septembre 1919. •'•^ 



258 Paul Levy. 

singularité plus élevé que ceux dont ils proviennent. D'autre part nous avons 
des termes provenant de ce que les axes de coordonnées, et par conséquent les 
quantités x,y,z et r qui interviennent dans l'expression des fonctions Up et par 
suite des fonctions Up, dépendent du point M et du plan tangent en M; ces 
termes peuvent être d'un ordre de singularité supérieur d'une unité à Tordre des 
termes donc ils proviennent. Donc, chaque dérivation -augmentant au plus l'ordre 
de singularité d'une unité, Up + \ et Rp ont leurs dérivées d'ordre p finies, et leurs 

dérivées d'ordre /j + 1 inférieures en module à K log > K étant indépendant des 

points A et M. 

Considérons une dérivée d'ordre p de Bp-, désignons la par J[)i?p(^,il/). Du 

fait que ses dérivées premières soient inférieures en module à log résulte 

aisément que 

\D Rp{A,M) — D Rp{A,M ,) \ < Kd\og^^< Kd", 

d désignant la distance MM^, a un exposant arbitraire entre o et i, et K un 
nombre indépendant des points A, M et M^. Les dérivées d'ordre p de Rp, tant 
par rapport aux coordonnées de A que par rapport aux paramètres dont dépend 
M sont donc uniformément continues à la Lipschitz au sens du § 15. 

Il résulte alors des § 18, 19, et de la remarque finale du § 20, que l'erreur 

s 

faite sur g^, a ses dérivées d'ordres p + z tant par rapport aux coordonnées de A 
que par rapport à celles de B, finies et continues. 

Nous avons ainsi complètement résolu le problème B de l'introduction pour 
la fonction de Green. 

§ 31. On peut se demander s'il est possible de trouver des expressions 
asymptotiqucs en termes finis des intégrales qui figurent dans les expressions 
obtenues. 

Cette question peut d'ailleurs être envisagée de deux manières différentes. 

1° Noua pouvons considérer un point P àe S et chercher l'expression asymp- 
totique de g^ au voisinage de P. Une pareille expression ne peut être obtenue 
en termes finis que pour des surfaces particulières. En effet une expression en 



Sur l'allure des fonctions de Green et de Neumann dans le voisinage du contour. 259 

termes finis ne peut contenir qu'un nombre fini de paramètres caractérisant la 
forme de la surface S au voisinage de P. Il y aura donc nécessairement une 
surface S^ distincte de S pour laquelle elle ait la même valeur. Prenons B voisin 
de P, situé sur une des surfaces S et S^ et intérieure à l'autre, et faisons tendre 
Ä vers B. La valeur de g^ relative à une de ces surfaces est nulle tandis que 
la valeur relative à l'autre surface devient infinie. La même expression asymp- 
totique ne peut donc convenir à ces deux fonctions. 

Une expression asymptotique de la nature indiquée peut seulement être 
obtenue si les distances des points A et B entre eux et à la surface S ne sont 
pas simultanément très petites par rapport à leur distance au point P. 

2° On peut supposer que le point P dépende d'au moins un des points A 
et B; l'expression asymptotique peut alors être obtenue en termes finis. Mais 
il faut observer que le fait que P dépende d'un des points A et B rend une telle 
expression très peu apte à être utilisés dans les calculs, et que ce ne sera une 
fonction harmonique que d'un des points ^ et £ au plus. 

Il semble donc préférable de s'en tenir à l'expression asymptotique obtenue 
sous forme d'intégrale définie, qui est une fonction harmonique des points A et 
B et semble bien être dans la nature des choses. 

§ 32. A défaut d'une expression asymptotique de g^ en termes finis, on 
peut donner une limite supérieure des dérivées de cette fonction. Il est facile 
d'en obtenir contenant à la fois r et les distances des points A et iî à la sur- 
face S. Ce qui est surtout intéressant est d'en avoir une qui ne dépende que 
de r. Dans le plan, la représentation conforme donne aisément ce résultat. Dans 
l'espace il faut avoir recours à des considérations différentes. 

Nous allons démontrer que, Dg'^ étant une dérivée d'ordre p de la fonction 
de Green", on a 

(31) \Dgi\<jf^,: 

K étant un nombre indépendant des points A et B. 

Bien entendu, si A et B sont voisins d'un même point de la surface, il faut 
que la surface soit suffisamment régulière au voisinage de ce point. Il suffit cer- 
tainement que Tune des coordojniées d'un point de la surface ait par rapport 
aux autres des dérivées finies et continues jusqu'à l'ordre p+2. 

Démontrons d'abord le résultat énoncé lorsque B est en un point 31 de la 
surface, g^ étant fonction harmonique de B et s'annulant quand B est sur la 



260 Paul Levy. 

4 .... "■9 m , .■ 

surface, la valeur de Dn',, en M est fonction linéaire de — ; — et de ses dérivées 
-'^^ dn 

jusqu'à l'ordre p — i au plus. D'après la formule (29) et ce que nous savons sur 

(p{A,M), la limitation indiquée est exacte en M, et l'on a 

1^41 <, II. 

ou encore 

en posant h^= g'^ . 

Considérons maintenant Dh^^ comme une fonction harmonique de B. Son 
module maximum est atteint sur la surface, et la formule (32) donne 

K 



\Dhi\< 



dP+i' 



d étant la distance de ^ à la surface. Si alors d n'est pas petit par rapport à 
r, si par exemple r < 10 d, on a bien 

K 



\D9i\<\DJ4\^\Dl\<^^^, 



La formule (31) s'établit de même si la distance c?, de, ß à la surface S n'est pas 
très petite par rapport à r. 

Il reste à traiter le cas ou d et di sont très petits par rapport à r. La 

limitation cherchée étant exacte pour les dérivées de - il suffit de l'établir pour 

les dérivées de 

'dgf 



" ^ TT I I an Q 



Si ^ et ß étaient sur la surface cette intégrale serait analogue aux intégrales 
singulières étudiées § 14 et 15. Or dans le cas général les mêmes procédés s'ap- 
pliquent sans modification essentielle. On se rappelle en effet que ces procédés 
consistaient dans une transformation de l'intégrale étudiée en une somme de 
plusieurs termes. Pour les uns, la dérivée que l'on voulait former était finie, 
car ces termes étaient des intégrales du type (i). Pour les autres on pouvait former 



Sur l'allure des fonctions de Green et de JS^euniann dans le voisinage du contour. 2()1 

la dérivée en question par la règle de Leibniz et l'intégrale obtenue étant abso- 
lument et uniformément convergente, les lemmes du § 12 fournissaient la limita- 
tion cherchée. 

Or ici, le même procédé de décomposition de l'intégrale en plusieurs termes 
s'applique, les rôles des points singuliers dans le champ d'intégration étant joués 
par les pieds a et 6 des perpendiculaires abaissées de A et B sur S. 

Pour les termes de la première catégorie, le même procédé s'applique encore. 
En effet l'hypothèse relative aux intégrales (i) est bien vérifiée. Elle revient à 
dire que le potentiel 



et l'intégrale 



,n)l2nl^''>'' 



qui n'est autre que la fonction harmonique égale à f (A) sur le contour, ont des 
dérivées finies jusqu'à l'ordre p à l'intérieur de S si /(i/) a des dérivées finies 
jusqu'à l'ordre p + i. Il en est bien ainsi d'après le chapitre .11. 

Quant aux dérivées calculées par la règle de Leibniz, si elles sont absolu- 
ment convergentes quand A et B sont en a et b, elles le sont a fortiori dans le 
cas général. On ne peut en effet que les augmenter en rein plaçant respective- 
ment les quantités q et q' qui figurent aux dénominateurs des fonctions intégrées 
par les distances de M aux droites Aa et Bb, ou, ce qui revient au même au 
point de vue de l'ordre de grandeur, par les distances de M a a et b. La limite 
supérieure fournie par les lemmes du § 12 est alors de la forme 

r.P+i' 

r^ désignant la distance ab. Mais d et d^ étant très petits par rapport a, r, 
est très voisin de i, et on obtient une limite de la forme 

K 

La formule (31) est donc établie dans tous les cas. Observons que de cette 
formule, si on l'avait établie par un procédé différent de celui employé ici, il 



262 Paul Levy. 

serait aisé de déduire une nouvelle démonstration très simple du théorème du 
S 21. Mais ici cela constituerait un cercle vicieux. 



CHAPITRE V. 
La fonction de Neumann pour l'espace. 

§ 33. La fonction de Neumann Y ^ relative à la surface S et aux points 
A et B est définie par les conditions que, si on la considère comme fonction de 

A, la différence F^ soit harmonique à l'intérieur de S, que sa dérivée normale 

ATT 

sur la surface ait une valeur constante (nécessairement égale à — ^ , la quantité 

désignée par S étant l'aire de 8), enfin que sa valeur moyenne sur la surface soit 
nulle. On sait que c'est une fonction symétrique des points A et B et que son 
introduction permet de résoudre le prolslème de Neumann par la formule 

(33. „..^.-Ljjyi-^«,,, 

■S 

lorsque les valeurs de , données sur la surface vérifient la condition nécessaire 
an 

(3.) /l'"-^.-'"^- 



Nous allons exprimer 7^ à l'aide de la fonction i/'(^) définie et étudiée 
dans le chapitre précédent (§ 28). D'après une remarque déjà faite pour la fonc- 
tion de Green, cela ne restreint en rien la généralité des résultats que nous 
obtiendrons de supposer que la surface S vérifie les hypothèses faites dans le 
chapitre précédent pour les définitions des fonctions r/- (^4) et (/' (.4). Nous n'avons 
défini </'(^) qu'à une constante près, nous définirons cette constante par la con- 
dition que la fonction ^'(A) , q étant la distance de A au point il/ de la sur- 
face pris comme origine pour la définition de 1/ (A), ait une valeur moj'enne nulle 
quand A décrit la surface S, M restant fixe. Enfin comme ^'(A) dépend du 
choix du point il/, nous représenterons cotte fonction par il' {A, M). 



Sur Tallure des fonctions de Green et de Xeumann dans le voisinage du contour. 263 
Considérons l'intégrale 

(33) jïnAM'M],s. 

La fonction ip(A,M) étant singulière d'ordre o, ses dérivées par rapport aux 
coordonnées de A sont singulières d'ordre i, et par suite infinies au plus comme 

• Donc la fonction représentée par l'intégrale (35) et ses dérivées premières sont 
ç 

continues quand A traverse la surface S, comme il arrive pour un jiotentiel de 

simple couche (mais non pas pour ses dérivées). 

Considérons alors l'intégrale 



ùjJ[l-'''^^'-'Y'l>- 



Elle représente une fonction harmonique du pointa. Sa dérivée normale, quand 

A vient sur le contour, prend la valeur -, — Enfin sa valeur moyenne sur la 

surface S est nulle. Cette fonction est donc égale à f(A). 

En comparant cette expression à celle de f(A) qui résulte de la formule 
(33), il vient: 

r^=^-2</'(^,i»/) + «/\(^). 

La fonction i/\ (A) est une fonction harmonique; elle ne peut devenir infinie qu'en 
M, et comme elle ne dépend pas de M, elle est finie à l'intérieur S et sur S; il 
en est de même de ses dérivées premières. Sa dérivée normale sur la surface est 
nulle et enfin sa valeur moyenne sur la surface est également nulle. Elle est donc 
nulle, et on a 



(36) Y^='^-2if>(A,M}. 

Cette formule ramène l'étude asymptotiquo de Y^ à celle de il'(A,M), qui a 
fait l'objet du § 28. Ainsi nous voyons qu'avec une erreur finie, 7^ peut être 
représenté par 



264 Paul Levy. 

(37) — 2F„=- ■— — ' log (o + z) + -!^ 



Si on veut obtenir une expression asymptotique telle que l'erreur ait ses 
dérivées du premier ordre finies, il faut d'après les résultats du § 28, former 

^-F„-2F, 
Q 

et par suite calculer i»,. Mais nous pouvons, dans ce calcul, négliger les termes 
algébriques. En effet la partie algébrique de Fj est une fraction rationnelle 
homogène du premier degré en x, y, z et ç dont le dénominateur est de la forme 
q" {q + zy, a et ß étant des exposants convenables. Ses dérivées sont alors de la 
même forme, mais homogènes et de degré o; elles sont donc finies. Nous n'avons 
donc à calculer dans f\ que le coefficient de log (q + z), qui est nécessairement, 
d'après ce que nous savons sur les fonctions F, un polynôme homogène du 
premier degré en x, y, z. 

D'après le § 28, il faut donc calculer la valeur principale de 

quand A est voisin de M. En faisant le calcul, on trouve 

22 ç* ~ Q^' 

«3 désignant l'ensemble des termes du troisième degré dans le développement de 
z en série de Taylor. 

Il faut maintenant, à chacun des termes de cette expression, faire corres- 
pondre une fonction harmonique régulière d'ordre i, formée à l'aide des fonctions 
Up et fp et dont la dérivée normale ait pour valeur principale le terme considéré. 

A I correspond ainsi la fonction harmonique 2. A ^ correspond la fonction 

4oa;*^T^ï 2«» + 8/.' 
dans laquelle la partie non algébrique 

(-4t-4-6t^'- /.)'og(?+2) 
u z* (' X- 2 



Sur l'allure des fonctions de Green et do Neumann dans le voisinage du contour. 265 
est nulle, comme on le vérifie aisément, les valeurs de /,,/3,/.-, étant 

De même à - correspond une fonction harmonique algébrique, et il est de même 

pour — j— qui a une même valeur principale que ji — j — -, ■ Nous pouvons 

donc négliger tous ces termes, puisque nous ne cherchons que la partie non algé- 
brique de Fl et l'expression (38) se réduit à 

z., _ I ha x^ + ■^h^x-y + ^ h, X y- + h, y^ 
çs 3 f 

La fonction liarmonique, dont la dérivée normale est équivalente à cette 
expression est 

(3 b. - K) -^ +{2b.- K) ^^ ^ + (3 &. - b.) -jyl +(26,- h) ^^ ^■. 

Il nous faut former la partie non algébrique de cette expression, qui est la même 
que celle de V^. Les vakurs de /, et /, étant 

_ 2- _ .r^+ y- 

, _ 2* _ 2' (x^j±y-) (x^ + 2/^ 
'' 24 8 ^64 

on trouve cjue cette partie non algébrique est 

8 

Donc finalement, avec une erreur dont les dérivées premières sont finies, on 
peut représenter Yfj par l'expression 



2 a, +«,, , > a, — a,x- — y- ib„ + b, , b^ + h-, \ , , , 



Aclii malhpmalica. 42. Imprimé le 8 décembre 1019. 



.■Î4 



266 Paul Levy. 

On jjont transformer un peu cette expression en observant que, si on appelle 
C la somme des courbures principales de la surface S, on a en .1/ 

^ . . ilC , , , OC , 
■ » ■ dx ''y 

En posant aussi a, — a.^==E, l'expression asymptotique de 3'^* devient' 

2 C, , , , Ex' — y' i/ dC (IC\, , 
— log ç + 2 + r 7^7,— - « -1- + 2/ 7- log (o + c . 

§ 34. Ayant étudié 7^, on peut définir 3''^ par la formule 

^ Il r 4/f / / -' Mdn S j I o' 

" .V ■ .i 

qui permet d'étudier la singularité de la fonction de Neumann. Cette formule 
peut encore s'écrire, d'après la formule (31)) 

(J9) Yi-'i--' fff-^,dS---^ ("(Vm,.!/);^ US-l i'\'\dS. 

li r 4'V 'dnoQ 2,1 I ! ' dno S j ! o 

s ' i' " " i- 

On peut, pour l'étude asymptotique de 3'^, négliger la dernière intégrale, qui 
est holomorphe. 

Par des raisonnements analogues à ceux qui ont été exposés pour la fonction 
de Green, on verrait que, si dans la formule (39) on remplace i!<{A,M) par son 
expression asymptotique 

¥, + ¥,+ ■■■ + Vp, 

l'erreur qui en résulte a ses dérivées jusqu'à l'ordre p finies et continues. 

Enfin le pjicédé par lequel nous avons limité supérieurement les dérivées 
de la fonction de Green s'applique au cas actuel, et on trouve que la formule 
(31) est exacte sans modification pour la fonction de Neumann. 

' C'est cette formule qui doit remplacer celle du travail cité de M.'.Cisotti, qui contenait, 

en outre, de.9 termes qui, avec, nos notations, s'écriraient 

24 (r + zy 16 

JXapros cotte formule, la dérivée normale do î'd "c resterait pas finie. Nous savons d'ailleurs 
que, quel que soit le nombre de fonctions V que Ion calcule, la partie non algébrique de l'ex- 
pression obtenue est le produit de log (r + r) par un polynôme eu .r, 1/, z. L'expression de 

M. Ciso-rn n'est p;is réd-irtible à uuo pareille forme. 



Sur ralluro des fonctions Je Green et de Neumann dans le voisinage du eontour. 267 



l'ahle (les matières. 

Page 

Introduction 207 

Première partie. Le problème A pour te plan 211 

Chapitre I. Théorèmes généraux sur les fonctions harmoniques 211 

Chapitre II. La fonction de Green pour le plan 2li 

Chapitre III. La fonction de Neumann pour le plan 217 

Chai)itre IV. La fonction de Gkeïn d'ordre deux pour le jilau 219 

Beii.ciètnc partie. Le problème B pour l'espace 222 

Chapitre I. Sur la composition des fonctions singulières 222 

Chapitre II. Théorèmes généraux sur les fonctions harmoniipies 235 

Chapitre III. Sur uue famille de fonctions harmoniques 242 

Chapitre IV. La fonction de Green pour l'espace 255 

Chapitre V. La fonction de Neumann pour l'espace 2ß2 



?^^ 



GASTON DARBOUX. 

(1842— 1917).^ 

Par 
DAVID IIILBERT 

à GOETTIXGOK. 

S'il est vrai qu'au nombre de ceux qui ont donné au développement des 
mathématiques en France pendant le dernier tiers du 19" siècle son cachet par- 
ticulier Henri Poincaré a brillé du plus vif éclat, Gaston Darboux n'a pour- 
tant pas occupé une position moins dominante. Le rôle qu'il a joué ne dépen- 
dait pas seulement de la richesse de sa production scientifique; sa brillante 
carrière, ses talents d'organisateur, son enseignement ainsi que toute sa person- 
nalité y ont eu également une part importante. 

Dans les années i860 à 1870, une spécialisation extrême régnait en France 
tout comme en Allemagne, dans le domaine des mathématiques. A côté de Serret, 
Bouquet, Bonnet et d'autres, Chasle.s et Hermite étaient les représentants 
les plus marquants des sciences mathématiques: Chasles comme pur géomètre, 
Hermite comme pur analyste. Ce furent alors Darboux et Camille Jordan, 
son aîné de quelques années, qui par leurs idées rattachèrent l'une à l'autre 
les deux disciplines, et aplanirent ainsi les voies qui allaient mener la nouvelle 
génération à une façon plus libre d'envisager les sciences mathématiques. Les 
résultats produits par cette nouvelle orientation, qui finit par provoquer 
pour ainsi dire une transformation de la science, furent décrits par Darboux 
lui-même, en igo8, au Congrès international des Mathématiciens à Rome, où il 
fit une comparaison entre le caractère des mathématiques du 19'^ et celui du 
20^ siècle. Tandis que le 19'^ siècle, dans sa première moitié tout au moins, s'était 
contenté d'achever les tâches que les deux siècles précédents lui avaient léguées, 
le 20® siècle, au contraire, offrait aux recherches mathématiques des perspectives 



' Traduction du discours prononcé le 12 mai 1917 à la séance publique annuelle de l'Aca- 
démie des Sciences de Goettingue (Nachrichten der K. Gesellschaft der Wissenschaften zu Göt- 
tingen, igi/, p. 71). 



270 David Hubert. 

absolument nouvelles et leur présentait des domaines entièrement inexplorés. 
»Rien n'arrête», poursuit Darboux dans sa conférence, »les esprits ardents et 
curieux du 20^ siècle; ils ne craignent nullement de s'attaquer aux bases même 
de l'édifice que tant de travaux, si longuement poursuivis, avaient paru é 
sur des fondements inébranlables. Et non contents d'imprimer ainsi à notre 
science les directions qu'ils estiment les meilleures, ils ont la prétention d'appor- 
ter les contributions les plus originales et les plus précises à cette branche essen- 
tielle de la Philosophie qui a pour objet propre l'origine, la nature et la portée 
de nos connaissances.» Darboux assure de plus, d'une manière explicite, qu'il 
approuve ces tendances de la jeune génération. 

Pendant l'automne de l'année 1861, Darboux passa les examens d'admission 
à l'Ecole Polytechnique et à l'Ecole Normale, et obtint chaque fois la première 
place; il se décida pour TEcole Normale. Le fait qu'un jeune homme si riche- 
ment doué renonçait à l'épée et au manteau brodé des officiers ou des ingénieurs de 
l'Etat pour préférer l'humble titre de Professeur et les fonctions plus modestes qui 
s'y rattachent, ne s'était pas encore présenté et provoqua un étonnement géné- 
ral; J. J. Weiss, célèbre à cette époque comme critique de Goethe, consacra 
un article à cet événement dans le Journals des Débats (20 novembre 1S61) — 
cet écrivain jugeait manifestement que quand une chose i^areille se passe au 
moins une fois sur notre planète, il y a lieu de la relever pour la postérité de tous 
les temps. Dès le début, Darboux, qui était d'origine modeste et avait perdu 
son père de bonne heure, a joui de la protection des savants les plus influents 
du monde scientifique parisien. En 1S64, année où parut sa première publica- 
tion mathématique {Sur les sections du tore), et peu après qu'il eut quitté l'Ecole 
Normale, Pasteur fit en sorte qu'il y obtint une place de répétiteur, grâce à la- 
quelle il lui fut possible de rédiger sa thèse sur les surfaces orthogonales. Lors- 
qu'il eut ensuite passé son doctorat, en juillet 1866, devant Chasles, Serret et 
Bouquet, deux années seulement s'écoulèrent jusqu'au moment où Joseph 
Bertrand lui procura la nomination de professeur suppléant de Physique mathé- 
matique au Collège de France; en même temps Bouquet le fit nommer professeur 
de mathématiques supérieures au Lycée Louis-le-Grand. Et depuis lors, charges et 
honneurs lui échurent en croissant; i! fut pendant la dernière partie de sa vie secré- 
taire perpétuel de l'Académie des sciences de Paris, et mourut dans la demeure 
réservée au titulaire de cette charge dans le Palais Mazarin. Il était Membre corres- 
pondant de notre Société de Goettingue depuis 1879 et Membre étranger depuis iqoi. 

Darboux était avant tout et de nature géomètre mais en même temps il 
avait la tendance d'emprunter les objets de ses recherches autant que possible 
à tous les domaines des mathématiques, imprégnait ceux-ci de doctrines géomé- 



Gaston Darboux. 271 

triques et les fécondait par elles. C'est à cause de cela que déjà parmi les tra- 
vaux de sa jeunesse il s'en trouve trois qui ne sont pas purement géométriques: 
le premier est le mémoire Sw les équations mix dérivées partielles (Ann. Éc. 
Norm. VII, 1S70), dont Sophus Lie reconnut tout de suite l'importance; ce 
mémoire établit la méthode d'intégration des équations linéaires aux dérivées 
partielles du second ordre qui porte aujourd'hui le nom de Daeboux; la méthode 
en question constitue le développement conséquent de la théorie de Monge — 
Ampère, dans laquelle on déduit de l'équation aux dérivées partielles considérée 
une suite d'équations du même type telle que l'intégration d'une seule de ces 
équations entraîne celle de toutes les autres. Les deux autres travaux doivent 
leur origine à l'étude que fit Darboux dos recherches de Riemann sur les séries 
trigonométriques; l'un est le mémoire Sur la théorie des fonctions discontinues 
(Ann. Ec. Norm. IV, 1S75), où figurent pour la première fois les valeurs limi- 
tes connues sous le nom d'intégrales par excès et par défaut de Daebodx, et 
qui contient en outre un nombre considérable de résultats sur la théorie des 
fonction.H d'une variable réelle, que Weierstrass exposait à cette époque dans 
ses leçons, mais n'avait pas encore publiés. Ce mémoire eut une influence 
décisive sur l'introduction de la rigueur moderne en France. Finalement, le tra- 
vail intitulé: Mémoire sur l'apjjroximation des jonctions de très grands nombres 
(Journ. Liouv., 3^ sér., t. 4, 187S) remonte à certains recherches de Laplace et 
les rattache à la théorie des séries de Fourier: l'auteur y évalue les coefficients 
de la série de FocRiER qui répond à une fonction analytique d'une variable 
réelle ayant des singularités réelles données, et applique ensuite les résultats 
obtenus aux fonctions particulières les plus diverses ayant de l'importance pour 
les applications. Poincaré a fait un usage fréquent de ce dernier travail de 
Darboux, par exemple à l'occasion de l'évaluation des termes d'ordre supérieur 
de la fonction perturbatrice. Le vrai géomètre apparaît chez Darboux dans 
l'écrit Sur une classe remarquable de courbes et de surfaces algébriques et sur la 
théorie des imaginaires (Paris 1873). Cet écrit, où Darboux introduit les coor- 
données pentasphériques, se meut dans le même ordre d'idées que les recherches 
de même date de M. Félix Kleix et de Sophus Lie, avec lesquels Darboux 
fut aussi, pendant les années 1S69— 70, personnellement lié. 

Darboux a enseigné la Mécanique à la Sorbonne durant les années 1S73 — 
1878, époque d'où datent une série de contributions nouvelles à cette partie de 
la science. Pour la plupart elles ont été réimprimées comme notes dans la 
Mécanique de Despeyrous; mentionnons ici les recherches sur les axiomes du 
parallélogramme des forces, qui ont été prises comme point de départ entre 
autres par M. Schimmack, dans sa thèse présentée à Goettingue; ensuite, les 



272 David Hilbcrt. 

etudes sur certains mécanismes articulés, où Darboux fait connaître par exemple 
sa réalisation extrêmement élégante d'une description mécanique du plan; et 
enfin, la découverte d'un mode de mouvement d'un corps solide où tous les points 
décrivent des ellipses, et qui est en même temps le seul mouvement qui jouisse 
de la propriété que les différents points du corps décrivent des courbes planes 
situées dans des plans non parallèles et ne pouvant être engendrées par le glisse- 
ment du corps sur un plan. Une autre découverte de Darboux importante pour 
la Mécanique est sa solution profonde du problème de construire les surfaces 
dont toutes les lignes géodésiques sont des courbes fermées. L'étude que Dab- 
Boux a faite de cette question forme le point de départ des deux thèses présen- 
tées à Goettingue par M. Otto Zoll (ic,oi) et par M. Paul Funk (1911). 

La partie principale de l'oeuvre de Darboux appartient au domaine de la 
théorie des surfaces. Dans ce domaine comme dans les autres recherches où il 
s'occupe de géométrie, il ne manque pas de faire aussi un usage courant de for- 
mules analytiques et, en particulier, de l'instrument analytique fourni par 
l'emploi des a.xes coordonnés, en s'imposant toutefois, comme il le dit lui-même, 
la règle que, »la recherche doit être vivifiée et inspirée sans cesse par l'esprit 
géométrique, qui ne doit jamais cesser d'être présent». Darboux a donné une 
vue d'ensemble des résultats relatifs à la théorie des surfaces qui furent le fruit 
de ses investigations dans ses Leçons sur les systèmes orthogonaux et dans son 
grand ouvrage en quatre volumes sur la Théorie des surfaces. Ce dernier ouvrage 
n'a pas seulement conquis une place centrale dans la littérature sur le sujet au- 
quel il est spécialement consacré, mais il est devenu en même temps un instru- 
ment pour l'étude de toutes les doctrines qui se trouvent actuellement au pre- 
mier plan dans les mathématiques, telles que la Mécanique, le calcul des varia- 
tions, la théorie des équations aux dérivées partielles, la théorie des invariants, 
doctrines dont personne avant Darboux n'a conçu et fait ressortir l'enchaîne- 
ment organique avec plus de pénétration et de clarté que lui. Cette circon- 
stance, dont seule l'époque la plus récente — celle qui vit la découverte de la 
théorie de la gravitation par M. Einstein — nous apprend à apprécier pleinement 
la portée, a pour conséquence que la Théorie des surfaces de Darboux est main- 
tenant une pièce d'inventaire aussi indispensable dans la bibliothèque de 
tout mathématicien que, pour donner d'autres exemples, le Cours d'Analyse de 
M. Camille Jordan, ou le Trait(' d'Analyse de M. Picard et la Mécanique céleste 

de POINOARÉ. 

Le géomètre allemand Weisgarten, connu par ses travaux pleins de mérite 
sur la théorie des surfaces, a donné, dans les Fortschritten der 31athematik (Bd. 
19, 25, 29), une analyse détaillée et pénétrante des deux ouvrages t]c Darboux 



Gaston Darboux. 273 

cités ci-dessus. Nous devons nous contenter ici de nommer quelques sujets 
isolés choisis parmi les vastes et riches matières exposées dans la Théorie des 
surfaces: 

Livre I. Théorie cinématique des courbes et des surfaces, avec emploi du 
trièdre mobile. Réduction de Pétude des déplacements à un et à deux para- 
mètres d'un corps solide à l'intégration d'équations de Riccati. 

Livre IL Théorie des coordonnées pentasphériques et leur application à la 
théorie générale des cyclides. 

Livre IIL Ici l'auteur développe, d'une façon qui n'a pas été surpassée 
jusqu'à ce jour, la théorie des surfaces minima; c'est dans cet exposé que pour 
la première fois les résultats de Monge d'une part, et ceux de Weteestrass et 
de M. Schwarz de l'autre sont réunis avec les doctrines de Lie en un tout 
organique. 

Livre IV. Théorie des congruences de droites. Relation des surfaces foca- 
les de ces congruences avec la méthode de transformation des équations linéaires 
aux dérivées partielles du second ordre qui est due à Laplace, et généralisation 
de la méthode imaginée par Riemann, à propos du problème de la propagation 
des ondes sonores. 

Livre V. Étude du calcul des variations. 

Livre VI. Ici figure le chapitre classique qui traite du plus court chemin 
entre deux points d'une surface, ainsi qu'une étude des notions de représentation 
géodésique et de courbure géodésique. 

Livre VIL Paramètre différentiel de Beltrami et théorèmes de M. Wein- 
garten. Géométrie sur les surfaces à courbure constante négative. 

Livre VIII. Déformation infiniment petite et représentation sphérique. Sur- 
faces dont les lignes de courbure sont planes. 

En terminant, nous voulons encore dire quelques mots pour rappeler les 
hautes capacités administratives et organisatrices de Darboux. Dakboux a été 
pendant dix ans Doyen de la Faculté des Sciences; en remplissant ces fonctions, 
il a dirigé, au milieu des plus grandes difficultés, la construction de la nouvelle 
Sorbonne, et s'est acquis la reconnaissance de la Faculté comme aucun autre 
doyen avant lui. En outre, il a réorganisé, en qualité de membre du Conseil 
supérieur de l'Instruction Publique, l'enseignement des mathématiques sur des 
bases nouvelles, et parmi les idées et les efforts de M. Félix Klein il y en a 
beaucoup qui tirent leur origine de l'influence inspiratrice de Darboux. Il a 
aussi avec beaucoup d'ardeur consacré son énergie à l'Association internationale 
des Académies scientifiques. 



42. Impriimi lo S dû 



DARBOUX'S ANTEIL AN DER GEOMETRIE' 



L. r. EISENHART 

in l'iîlNCKTOX. 

Gaston Darboux wurde 1842 in Nîmes geboren, einer den Mathematikern 
interessanten Stadt, weil liier von iSig bis 1S31 Geegonnk seine »Annales» her- 
ausgab und überdies einen grossen Einfluss auf die Entwicklung der Geometrie 
ausübte. Mit achtzehn Jahren ging Darboux nach Paris, an dessen geistigem 
Leben er 57 Jahre lang einen hervorragenden Anteil nehmen sollte. Als Student 
an der Ecole polytechnique und später an der Ecole normale fiel er durch seine 
ungewöhnliche mathematische Befähigung auf. Sein seltenes Geschick in der 
Darstellung sichterten ihm bald einen Ruf als Lehrer, und so bekam er frühzeitig 
erstrebenswerte Ämter. Im Jahre 1880 wurde er Chasle's Nachfolger auf dem 
Lehrstuhl für höhere Geometrie an der Sorbonne, vier Jahre später wurde er 
Membre de l'Institut, und 1889 übernahm er die Pflichten eines Doyen de la 
Faculté des sciences. Nach Bertrand's Tode im Jahre 1900 wählte man ihn 
zum ständigen Sekretär der Académie des Sciences, ein Amt, das er mit grosser 
Gewissenhaftigkeit bis zu seinem Tode verwaltete. Wir können auf die zahllosen 
Ehrungen, die man ihm erwies, und auf die Ämter, die er im Laufe der Jahre 
übernahm, nicht näher eingehen, wir wollen uns vielmehr seiner Lebensarbeit auf 
dem Gebiete der Geometrie zuwenden. 

Bereits während seiner Studienzeit an der Ecole normale, im Jahre 1864, 
veröffentliche er in den »Nouvelles Annales»* seine ersten Abhandlungen. Es 
ist interessant, dass wir bei genauerer Betrachtung dieser beiden Abhandlungen 
in ihnen bereits Keime seines späteren Lebenswerkes finden. Die erste behandelt 
die ebenen Schnitte des Wulstes. Es wird gezeigt, dass die Kurve von der vier- 

' Übersetzung der am 6. September 1917 vor der vereinigten Sitzung der »Americuu Ma- 
thematical Society» und der »Mathematical Association of America« in Cleveland gehaltenen 
Vorlesung (Bulletin of the American Mathematical Society, vol. 24, 1918, p. 227). 

• Her. 2, t. ;, 1864, p. 156, 199. 



276 I'. 1'. Kiseiiliait. 

ten Ordiiiiiig ist mit den unendlich fernen, imaginären Kreispunkten als Doppel- 
punkten, dass i6 Brennpunkte im Sinne Plücker's vorhanden sind, von denen 
vier reell sind und auf einem Kreise liegen, dass eine homogene, lineare Relation 
besteht zwischen den Abständen jedes Kurvenpunktes von dreien dieser Brenn- 
punkte, und dass eine Inversion in bezug auf jeden dieser Brennpunkte als Pol 
die Kurve in ein Cartesisches Oval transformiert. 

In der zweiten Abhandlung betrachtet Darboux den Schnitt einer Kugel 
mit einer Fläche zweiter Ordnung. Durch die Scbnittkurve gehen vier Kegel 
zweiter Ordnung. Die Tangentialebenen des Kegels sehneiden die Kugel in 
Kreisen, die die Kurve doppelt berühren. Diejenigen vier dieser Ebenen, die auch 
die Kugel berühren, bestimmen vier Kreise vom Radius Null, die die Kurve dop- 
pelt berühren und auf einem Kreise liegen. Die Entfernungen je dreier von ihnen 
von jedem Kurvenpunkte stehen in homogener linearer Relation zueinander. Die 
Kurve hat daher i() Brennpunkte, die zu je vieren auf vier Kreisen liegen, von 
denen sich je zwei orthogonal schneiden. Darboux hat diesen Kurven und ihren 
durch Transformation entstehenden Kurven den Namen zirkuläre Kurven gege- 
ben. Sie sind sphärisch oder eben und von der vierten Ordnung. Speziell sind 
die ebenen Schnitte des Wulstes und das Cartesische Oval zirkuläre Kurven, 
ebenso die Cissoide, die Lemniskate, die Kreiskubik und andere bekannte Kurven. 

Im Jahre 1872 veröffentliche Darboux seine erste grössere Arbeit »Sur une 
classe remarquable de courI)es et de surfaces algébriques et sur la théorie des 
imaginaires». Sie besteht aus fünf Teilen, deren einer sich mit der Diskussion 
der zirkulären Kurven beschäftigt. 

Als Darboux auf der Ecole Normale war, wurde er mit den Schriften La- 
me's, Dupin's und Bonnet's über dreifach orthogonale Systeme von Flächen be- 
kannt, einem Gebiete, mit dem sein Name für immer verknüpft bleiben wird. 
Das beste Beispiel eines orthogonalen Flächensystems waren damals die konfo- 
kalen Flächen zweiter Ordnung. Schon viele Jahre früher hatte Kummer sich 
mit Scharen von ebenen Kurven beschäftigt, die durch eine Gleichung f{x,y,a) = 
definiert sind, wobei a der Parameter der Schar ist, und durch jeden Punkt 
der Ebene zwei Kurven der Schar gehen, die sich orthogonal schneiden. Er 
fand, dass die Kurven dieser Scharen die Eigenschaft haben, konfokal zu sein. 
Um dieses Ergebnis zu verallgemeinern, suchte Darboux die dreifach orthogo- 
nalen Flächensysteme, bei denen jede Fläche durch eine einzige Gleichung defi- 
niert wird, die den Parameter '/. enthält. Er fand, dass die Schar durch die 
Gleichung 

(i) (.X- + y- + z-y + 3_.^.s 4- ' T «ä + ' ■*_ z^ — h = o 



Darboux's Anteil an der Geometric. 277 

definiert ist, worin «,,>',;' und A Konstante und /. der Parameter des Systems 
sind. Jede Fläche eines so definierten Systems, die von Darboux später Zykli- 
den genannt wurden, bat die folgenden Eigenschaften: sie ist von der vierten 
Ordnung und hat den unendlich fernen Kreis als Doppelkurve; sie wird von 
jeder Kugel in einer zirkulären Kurve geschnitten; auf fünf verschiedene Arten 
ist sie die Einhüllende einer zweifachen Schar von Kugeln, deren Mittelpunkte eine 
fixe Fläche zweiter Ordnung beschreiben, und die eine fixe Kugel orthogonal 
schneiden; endlich schneidet jede der doppelt berührenden Kugeln die Fläche 
in zwei Kreisen. Diese Ergebnisse wurden der französischen Akademie der Wis- 
senschaften am I. August 1864' vorgelegt. Am gleichen Tage verkündete Mou- 
tard der Akademie die Entdeckung desselben Systems. Er war mit dem Stu- 
dium von Flächen beschäftigt, die durch Inversion in sich selbst transformiert 
werden, und fand, dass die Flächen vierter Ordnung mit dem unendlich fernen 
Kreise als Doppelkurve auf fünf verschiedene Arten in sich selbst transformierbar 
sind. Während er die Krümmungslinien dieser Flächen suchte, fand er das drei- 
fache System der Zykliden. 

Nach der Entdeckung dieses orthogonalen Sj'stems stellte Darboux das 
lineare Element des Raumes durch die Parameter eines solchen Flächensystems 
dar und fand, wie im Falle der konfokalen Flächen zweiter Ordnung, dass die 
Schnittkurven auf jeder Fläche ein isometrisches System von Kurven bilden. 
Das berühmte Theorem von Dupin, dass drei Systeme orthogonaler Flächen ein- 
ander in Krümmungslinien schneiden, hat Darboux durch die folgende Ergän- 
zung erweitert: 

Wenn zwei orthogonale Flächenscharen sich in Krümmungslinien schneiden, 
existiert eine dritte Schar, die zu den beiden ersten orthogonal ist. 

Mit Hilfe dieses Theorems konnte Darboux die Bedingung dafür aufstellen, 
dass eine Flächenschar, die durch die Gleichung f/'(a;,î/,z) =« definiert ist, einem 
dreifachen System angehört. Es muss <p eine Lösung einer partiellen Differen- 
tialgleichung dritter Ordnung mit zwei unabhängigen Variabcln sein, doch wurde 
diese C41eichung wegen ihrer komplizierten Form nicht ausgerechnet. Darboux 
veröffentlichte diese Ergebnisse 1866 in seiner klassischen Abhandlung »Sur les sur- 
faces orthogonales»,- die er später als Dissertation vorlegte. Diese Abhandlung 
enthält auch die Bestimmung eines orthogonalen Systems, dessen Krümmungs- 
linien eben sind, und den unrichtigen Satz, dass die dreifache Zyklidenschar (i), 
die das System konfokaler Flächen zweiter Ordnung als speziellen Fall enthält, 



' Comptes Rendus, t. 59, 186.1, p- 240. Die liinzellieiten wurden in den Aniiales de 
l'Ecole Normale, t. 2, 1865, p. 55—69 veröffentlicht. 

- Annales de l'Ecole Normale, t. 5, 1866, ]>. 97 — ifi. 



278 I'. P. Eiseuhart. 

das einzige Beispiel eines dreifachen S3'steDis isometrisciier Pläehen ist. Darboux 
hat in einer späteren Abhandlung diesen Irrtum richtig gestellt. 

Im Jahre 1872 nahm Gayley das Problem der orthognalen Systeme in An- 
griff und gab der Differentialgleichung des dreifachen Systems die Form, die jetzt 
mit seinem Namen verknüpft ist, und die deshalb besonders wertvoll ist, weil 
sie in einfacher Weise die Bestimmung spezieller orthogonaler Systeme gestattet. 
Darboux gewahrte schnell den Wert der CAYLEY'schen Arbeit. Einerseits unter- 
suchte er die ÜAYLEY'sche Gleichung analytisch und dehnte sie auf n Variable 
aus, andererseits wandte er diese Gleichung auf die Bestimmung orthogonaler 
Systeme an, bei denen die Flächen einer Schar zweiter Ordnung sind, oder bei 
denen die Flächen einer Schar eine Symmetrieebene haben, sowie auf orthogonale 
S\'stemc, die eine gegebene Fläche enthalten, und in ihrer Gleichung vier willkür- 
liche Funktionen einer einzigen Variabein führen. Diese Sj'steme wurden im ersten 
und zweiten Teile seiner zweiten grossen Abhandlung über orthogonale Systeme 
veröffentlicht.' Im dritten Teile verallgemeinerte er die LAMÉ'schen Gleichungen 
auf den w-dimensionalen Raum und untersuchte gewisse hierauf bezügliche spe- 
zielle Aufgaben. Die letzten fünfzig Seiten dieser Abhandlung beschäftigen sich 
mit der Bestimmung orthogonaler Systeme isometrischer Flächen, einer Aufgabe, 
die er gelöst zu haben glaubte. Er fand andere Systeme als die Zykliden, doch 
können wir uns auf weitere Einzelheiten nicht einlassen. Wir haben uns mit 
diesen beiden Abhandlungen eingehender beschäftigt, weil sie für die Entwicklung 
der Theorie der orthogonalen Systeme so wichtig sind und unter den Arbeiten 
Darboux's einen hervorragenden Platz einnehmen. Zwanzig Jahre später ver- 
öffentlichte er seine »Leçons sur les systèmes orthogonaux et les coordonnées curvi- 
lignes»,- die vicies aus der oben erwähnten Theorie enthalten. In der zweiten 
Abhandlung finden sich auch Bemerkungen über dreifach konjugierte Flächen- 
systeme, die später von Guichard und Tzitzeica untersucht und ausführlich 
von Darboux in der zweiten, 1910' herausgegebenen Auflage des oben erwähnten 
Werkes diskutiert worden sind. Hier und in späteren Abhandlungen lieferte 
Darboux weitere Beiträge zur Theorie der orthogonalen Sj^steme. 

Seit der Zeit, da Gauss die krummlinigen Koordinaten einer Fläche ein- 
führte, und die absolute Invariante des linearen Elements entdeckte, das die 
Krümmung der Fläche misst, haben sich die Geometer mit der jetzt noch iinge- 



' Annales de l'Ecole Nüiniiile. sér. 2, t. 7, 1878, p. 97—151, 227 — 261, 275 — 349. 

• Eine ausfürliche Inhaltsangabe dieses Werkes TN'urde von E. 0. Lovkït im Bnllolin •.<( 
the .'Vnierican Mathematical Society, vol. 5, 1899, p. 185 — 202 veröffentlicht. 

° Eine Übersicht dieser Ausgabe von Wu./.cyxski ist im lUilletin of the .\nuMiiaii Mathe- 
matical Society, vol. 20, 1914, p. 247—253 veröffentlicht. 



Darboux's Anteil an dor Geometrie. 279 

lösten Aufgabe beschäftigt, alle Flächen mit einem gegebenen IJnieneltment zu 
finden, d. h. mit dem Problem der abwickelbaren Flächen. Darboüx zeigte 
1872,1 dass die rechtwinkligen Punktkoordinaten einer Fläche mit gegebenem 
Linienelement die Lösung einer partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung 
AMPÈEE'schen Typs sind, sowie dass, wenn eine Lösung dieser Gleichung bekannt 
ist, zwei andere durch Quadratur gefunden werden können, und dass diese drei 
Lösungen die Koordinaten einer Fläche mit dem gegebenen Linienelcment sind. 
Moutard und Ribaucour, die die abwickelbaren Flächen Ende der sechsziger 
Jahre untersuchten, zeigten, dass, wenn zwei abwickelbare Flächen gegeben sind, 
sofort zwei andere Flächen S und S^ gefunden werden können, deren rechtwink- 
lige Koordinaten x,y,z und x\,yi,z, die Bedingung 

(2) dxdXi + dydy^ + dzdz, = o 

erfüllen. 1S73 teilte Darboux der Société mathématique de France mit,- dass 
die Aufgabe der infinitesimalen Deformation einer Fläche S gleichbedeutend ist 
mit der Bestimmung der Flächen ä,, deren Koordinaten die Gleichung (2) erfül- 
len. In seinem bekannten Werk »Leçons sur la théorie générale des surfaces»^ 
zeigte er, dass, wenn die Gleichung (2) für eine Fläche S integriert worden ist, 
die infinitesimale Deformation von S für Glieder jeder Ordnung ein Problem der 
Quadratur allein ist. Weingarten' führte die Lösung der Gleichung (2) auf die 
Integration einer linearen partiellen Differentialgleichung zweiter Ordnung zurück, 
deren Gleichung der Charakteristiken die asymptotischen Linien der gegebenen 
Fläche bestimmt. Sind die letzteren parametrisch, so hat die Gleichung die Form 

(3) -,- ;- = (( (U,V)&. 

Stehen zwei Flächen S und Sg in einer solchen Beziehung zueinander, dass ihre 
Tangentialebenen in entsprechenden Punkten parallel sind, und die asymptotischen 
Linien einer jeden Fläche einem konjugierten System auf der andern entsprechen, 
so nennt man die Flächen assoziiert. Dieser Gedanke rührt von Bianchi her,^ 
der nachwies, dass die Bestimmung einer zu einer gegebenen assoziierten Fläche 
gleichbedeutend mit der Integration der Gleichung (2) ist. Nach Feststellung 



' Sur une classe remarquable etc., p. 14, 181. 

' Disse Mitteilung wurde nicht veröffentlicht. 

' T. 4, p. 5. Wir werden diese Schrift künftig immer als »Leçons' zitieren. 

■* Grelle, Bd. 100, 18S6, p. 296—310. 

■'' I.ezinni di geometria differenziale, Pisa, 1S9.1, p. 279. 



280 - L. r. Eisenhart. 

des reziproken Charakters der Beziehungen zwischen S und S, und zwischen 
S und S„ fand Darboux neun andere Flächen, die sieh aus jeder Lösung der 
Gleichung (2) ergaben; alle zwölf Flächen bilden ein geschlossenes System. 

Wir würden uns eine grosse Nachlässigkeit zu schulden kommen lassen, 
wenn wir nicht auf die reizvollen Kapitel im vierten Bande der »Leçons» hin- 
wiesen, in denen Darboux das Abrollen einer abwickelbaren Fläche auf einer 
andern behandelt und dabei auf die geometrischen Gebilde eingeht, die von 
Punkten, Linien usw. erzeugt werden, die mit der rollenden Fläche fest verbun- 
den sind. Auch Ribaucour hat an der Entwicklung dieses Gebietes Anteil und 
ebenso in der letzten Zeit Bianchi. Als besonders schönes Beispiel aus dieser 
Theorie zitieren wir den folgenden Satz: S und S, seien zwei abwickelbare 
Flächen; rollt S auf /S, , so schneidet eine Kugel mit dem Radius Null, deren 
Mittelpunkt fest mit S verbunden ist, die gemeinsame Tangentialebene der beiden 
Flächen in einem Kreise; diese Kreise bilden ein zirkuläres System. 

Die Idee der sphärischen Darstellung einer Fläche stammt von Gauss. Die 
Kriimmungslinien einer Fläche werden auf der Kugel durch ein orthogonales 
Kurvensystem dargestellt. Darboux beschäftigte sich gelegentlich mit der Auf- 
gabe, die Flächen zu bestimmen, deren Kriimmungslinien auf der Kugel durch 
ein gegebenes orthogonales System dargestellt werden. Er nannte dieses Problem 
die Aufgabe der sphärischen Darstellung. Durch die Benutzung der einfachen 
Ausdrücke für die rechtwinkligen Koordinaten eines Kugelpunktes in Parametern 
in bezug auf die imaginären Erzeugenden zeigte er, dass die Aufgabe auf die 
Lösung einer Differentialgleichung von der Form {3) zurückführbar ist. Er 
schrieb mehrere Abhandlungen über spezielle Formen dieser Gleichung, über 
die geometrische Bedeutung dieser Untersuchungen und über Moutard's L'nter- 
suchungen der Gleichung (3). 

Moutard hatte bekanntlich gezeigt, dass eine Zyklide viertel- Ordnung auf 
fünf verschiedene Arten die Enveloppe einer zweifachen Schar von Kugeln ist, 
die zu einer fixen Kugel S orthogonal sind, und deren Mittelpunkte eine 
Fläche zweiter Ordnung beschreiben. Er hat ferner gezeigt, dass die fünf Flächen 
zweiter Ordnung, die auf diese Weise mit der Zyklide assoziiert sind, konfokal 
sind, und dass je zwei der fünf Kugeln S einander rechtwinklig schneiden. 
Bei der Mitteilung seiner Entdeckung des orthogonalen Systems von Zykliden 
wies Moutard darauf hin, dass für alle Zykliden dieses Systems diese fünf Kugeln 
und diese fünf Flächen zweiter Ordnung dieselben sind. Unter Benutzung dieser 
Ergebnisse zeigte Darboux,' dass die Gleichung des Systems in der Form 



' Sur une classe remarquable etc., p. 134. Der vierte und fünfte Teil geben eine Darstel- 
(lor Goometrio der Zvkliileu. 



l)ar1)ou\'s Anteil an der (Toometrie. 281 

gesobrieben werden kann, worin Si die Potenz des Punktes in bezug auf die 
Kugel Si ist, R, ihr Radius, ai eine Konstante und /. der Parameter des Systems. 
Da diese Gleichung notwendig dritten Grades ist, ist der Koeffizient von /.^ iden- 
tisch Null. Wir Iiaben daher die Identität 

<5> i É 



Si 
für jeden Punkt des Raumes. D.arboux sah in dem Ausdruck „ . der den obigen 

Bedingungen unterworfen ist, einen neuen Koordinatentyp, der für gewisse Auf- 
gaben recht praktisch ist. So wurden die pentasphärischen Koordinaten ent- 
deckt. Ein sie enthaltender wichtiger Satz ist der folgende: Wenn fünf partielle 

Losungen x,, . . . x, einer Gleichung von der l<orm -. — „— = ^7, — I- ß^r + ^^"^ 
° ' ° " duov du ov 

die Bedingung 2 .r J = erfüllen, so sind die a;; die pentasphärischen Koordinaten 
einer Fläche, auf der die parametrischen Kurven die Krümmungslinien sind. 
Wenn speziell die obige Gleichung auf die Form (3) reduzierbar ist, ist die Fläche 
isometriscli. Hieraus haben Darboux und Guichaed wichtige Folgerungen ge- 
zogen. 

Aus den GAUss'schen Gleichungen folgt, dass die nichthomogenen Koordi- 
naten einer Fläche x,y,z in bezug auf ein konjugiertes System m = const., 
ü = const, eine Gleichung der LAPLACE'schen Form erfüllen, 

^ ' (luov du ov 

die man die Punktg'eichung des Systems nennt. Darboux lenkte die Aufmerksam- 
keit auf die Tatsache, dass jede Funktion (p{x,y,z) im allgemeinen ein konjugiertes 
System bestimmt, das man durch die Lösung einer gewöhnlichenDifferentialgleichung 
erster Ordnung zweiten Grades findet. Die entsprechende Gleichung (6) lässt 
dann sowohl die Lösung rp als auch die Lösungen x,y und z zu. Besonders sind 
die Krümmungslinien jeder Fläche durch die Eigenschaft charakterisiert, dass sie 
das konjugierte System bilden, für das (p = x- + y- + z' ist. Güichard hat diese 
Betrachtung verallgemeinert und die bemerkenswerte Klasse von konjugierten 
Systemen n, betrachtet, die durch die Eigenschaft definiert sind, dass die Punkt- 

Actii iimlliemalica. 4i. Imiuimé le 17 di-coinbre I!il9. •''' 



282 L. r. Eisenhart. 

gleichung eines solchen Systems n — i Lösungen /,,... /„_i zulässt, und dass 
X- + y- + z- — t] — ... — <;,_, auch eine Lösung i.^t. 

Dakboux ist ein so erfolgreicher Forscher in der Differentialgeometrie ge- 
wesen, dass man vielleicht auf den Gedanken kommen Isann, seine geometrische 
Arbeit beschränke sich auf dieses Gebiet. Diese Vermutung wird sofort durch den 
Hinweis widerlegt, dass der grösste Teil seiner Behandlung der zirkulären Kurven 
und der Zykliden sich nicht der differentialen Methode bedient. Wir erwähnen 
auch seine Untersuchungen der PoNCELET'schen Polygone und ihre Verallge- 
meinerung auf Polygone, die Ellipsoiden ein- und umbeschrieben sind, sowie 
einige Untersuchungen über die Wellenfläche. Es ist eine interessante Tatsache, 
dass seine bereits erwähnte erste Abhandlung und seine letzte, »Principes de 
géométrie analytiques», die gerade erschienen ist,' sich nur mit finiter Geometrie 
befassen. 

Im Jahre iS68 veröffentlichte Beltbami- seine fundamentalen L^ntersachun- 
gen über die Geometrie Lobatschevvsky's, Bolyai's und Gauss' in geodätischen 
Kurven auf einer pseudosphärischen Fläche. Was Cavley in seinem »6. Memoir 
on Quantics» für die unendlich fernen Gebilde in der euklidischen Geometrie 
getan hatte, zeigte Klein drei Jahre später'' für die nichteuklidische Geometrie. 
Diese neuen Gedanken machten auf Darboux einen entscheidenden Eindruck. Er 
benutzte Cayley's Messungen in der Theorie der Zykliden, wie sie in seiner 
ersten Abhandlung dargeboten werden, und in einer angehängten Note behandelt 
er die geodätischen Kurven und Krümmungslinien in CAYLEY'scher Geometrie. 
Diese Gedanken sind vollständiger im letzten Kapitel des dritten Bandes seiner 
Leçons entwickelt und werden dort auf die Bestimmung von Flächen angewen- 
det, auf denen ein konjugiertes System von Kurven existiert, deren Tangenten 
zugleich Tangenten einer Fläche zweiter Ordnung sind. Einer der fünf Teile der 
Principes de géométrie analytique bietet eine sehr klare Darstellung der Gay- 
LEY'schen Geometrie, in der auch die Verschiebungen und die Trigonometrie be- 
handelt werden. Aber aus unbekannten Gründen beschränkte Darboux seine 
Untersuchungen auf den euklidischen Raum, und er hat daher keinen Anteil an 
der Entwicklung der nichteuklidischen Differentialgeometrie. 

Darboux war ein lebhafter Verfechter des Gebrauchs imaginärer Elemente 
in der Geometrie. Er glaubte, dass ihr Gebrauch in der Geometrie ebenso not- 
wendig sei wie in der Analv'sis. Er dachte dabei an den Erfolg, mit dem sie 



' Diese Abhandlung ist in der Tat eine erweiterte Aiiso:al>e der ersten. Per V> 
dieser Zeilen will deninäfhst eine ausfürliche Inhaltsangabe veröffentlichen. 
- Giornale di Matheiuatiohe, t. 6, iS68, p. 284—312. 

■' ('lier die soij;. nichteiiklidische Oonnietrie. ^tath. Annalen, T.d. |, 1S71, p. 57;— (v 



Darljoux's Anteil an der Geometrie. 283 

ill der Lösung des Problems der ]\Iiiiiuialflächen verwendet worden sind. Von 
Anfang an benutzte er in seinen Abhandlungen die isotropisclie Linie, die Kugel 
mit dem Radius Null (den isotropischen Kegel) und die allgemeine isotropische 
abwickelbare Fläche. In seiner ersten Abhandlung über orthogonale Flächen- 
systeme zeigte er, dass die Einhüllende der Flächen eines solchen Systems, wenn 
sie durch eine einzige Gleichung definiert ist, eine isotropische Abwickelbare ist. 
Wir haben Beispiele des Gebrauches dieser Elemente in der Tlieorie der abrol- 
lenden Flächen und in der Lösung des Problems der sphärischen Darstellung 
gegeben. Ein anderes treffendes Beispiel liefert das folgende Theorem, das eine 
allgemeine Methode zur Gewinnung von Flächen mit ebenen Krümmungslinien 
in dem einen System darstellt: Wenn eine abwickelbare Fläche D über eine ab- 
wickelbare Fläche Z), so rollt, dass alle Punkte einer Erzeugenden gleichzeitig 
zur Berührung kommen, so wird eine isotropische abwickelbare Fläche, die fest 
mit D verbunden ist, durch sukzessive Berührungsebenen längs Krümmungslinien 
der Fläche geschnitten, die sie enthält. 

In der Darstellung der Lebensarbeit eins so fruchtbaren Mathematikers, wie 
es Darboux war, kann man nur die Ergebnisse seiner Untersuchungen, nicht 
aber ihre Einzelheiten darstellen. Es wäre jedoch nicht zu verantworten, wenn 
wir nicht auch noch auf seine Methoden eingehen wollten. Darboux rühmt an 
CoMBESCüRES, dass er der erste gewesen ist, der die Betrachtungen der Kinema- 
tik auf die Untersuchungen in der Flächentheorie angewendet hat, woraus dann 
die Verwendung beweglicher Koordinatensysteme von selbst folgt. Darboux 
hat uns jedoch die Tragweite dieser Methoden erst eindringlich vor Augen geführt, 
hat sie systematisch dargestellt und entwickelt. Diese Darstellung findet sich 
in den ersten beiden Bänden seiner Leçons mit Anwendungen auf die Erörterung 
spezieller Flächentypen und orthogonaler Systeme. Die Methode ist ausgibig von 
seinen Schülern benutzt worden, und sie wird sicher von jedem Bearbeiter der 
Differentialgeometrie herangezogen werden, der mit den Methoden dieser Diszi- 
plin vertraut ist. 

Darboüx's Genie beruhte auf einer seltenen Vereinigung von geometrischer 
Vorstellungskraft und analytischem Geschick. Ihm waren alle, die nur geome- 
trisches Raisonnement bei der Behandlung geometrischer Probleme verwendeten, 
ebenso unsympatisch, wie alle, die glaubten, dass diese Fragen rein analytisch 
gelöst werden müssten. Seine geometrischen Beweise für die Sätze über die rol- 
lenden Flächen sind ebenso rein, wie sie einfach und schön sind. Nicht weniger 
glänzend sind seine verschiedenen Zurückführungen geometrischer Probleme auf 
eine gemeinsame analytische Basis und ihre Entwicklung und Lösung von einem 
gemeinsamen Gesichtspunkt aus. Manchmal finden wir in seinen Untersuchungen 



284 I- I'- Eiseiiliart. 

cine V^ereinigung beider Methoden. Diese Erscheinung tritt in verschiedenen 
Teilen seiner Abhandlungen zu Tage, besonders in einer von ihnen, in der er das 
Problem löst, die zweifache Schar von Sphären zu finden, für die die Korre- 
spondenz zwischen den beiden Teilen der einhüllenden Fläche konform ist.' 
Er zeigt durch geometrische Betrachtungen, dass die Krümmungslinien auf den 
beiden Teilen korrespondieren, und dann mit Hilfe der Analysis, dass sie isome- 
trische Flächen sind. Hier M'ird die Transformation isometrischer Flächen gezeigt, 
die BiANCHi die Transformation Z),„ genannt hat, sowie die assoziierte Defoima- 
tion der Flächen zweiter Ordnung. Wir glauben jedoch trotzdem, dass Darboux's 
Interesse mehr in der infinitesimalen Geometrie lag. Für jemanden, der ein so 
ausgesprochenes analytisches Geschick hat, ist das nur natürlich. Die Entdek- 
kungen, mit denen Darboux die Analysis bereicherte, während er geometrische 
Probleme zu lösen versuchte, können wir hier weder erörtern, noch auch nur 
aufzählen. Zweifellos findet sich in seinem Lebenswerk sein Glaube verwirklicht, 
»dass die Verbindung zwischen Geometrie und Analysis nützlich und fruchtbar ist, 
und dass diese Vereinigung vielleicht eine Bedingung für das Gedeihen beider ist». 
Wir haben versucht, einen Überblick über die Lebensarbeit Darboux's auf 
dem Gebiete der Geometrie zu geben. Seine Arbeiten sind nicht nur inhaltlich, 
sondern auch in der Darstellung abgerundet und vortrefflich. Diese Eigen- 
schaften Darboux's im Verein mit seiner ganzen Persönlichkeit machten ihn zu 
einem hervorragenden Lehrer, so dass stets eine grosse Anzahl von fähigen Schü- 
lern um ihn versammelt war. Wie Monge war er nicht mit Entdeckungen zu- 
'frieden, es war auch ihm ein Bedürfnis, Schvle zu machen. Wie sein berühmter 
Vorgänger, bildete er eine ganze Reihe von Geometern aus, wie Guichard, Koe- 
NiGS, CossERAT, Demoulin, Tzitzeica Und Demartres. Ihre glänzenden Unter- 
suchungen sind der beste Beweis seiner Unterrichtstätigkeit. Sein Geist wird in 
diesen Männern weiterleben sowie in allen denen, die zu seinen Werken greifen 
werden, um sich dort Anregung und Leitgedanken zu holen. An Darboux wird 
sich wahrscheinlich auch die Prophezeihung bewahrheiten, die Lagrange von 
Monge aussprach: »Mit seiner Geometrie wird sich dieser Teufelskerl noch un- 
sterblich machen». 



' Sur les surfaces isullierniiiiues. .\un.ilos île l'Ecole Normale, ser. 5, t. 16, i8i)q, p. 191 — joS. 



V 






SUR LA REPRESENTATION ANALYTIQUE D'UNE BRANCHE 
UNIFORME D'UNE FONCTION MONOGÈNE. 

(Sixième note.) 

l'AR 

G. MlTTAG-LEFFLEi;. 

Ma cinquième note publiée sous ce titre a paru en 1904. A peu près à la 
même époque j'avais déjà en portefeuille une rédaction préliminaire de la suite 
de mes recherches en vue de nouvelles »notes». Toutefois la publication que je 
me proposais de faire de ces dernières a été retardée par la maladie ainsi que 
par la pensée que ce travail prendrait la place d'autres études envoyées par 
d'éminents auteurs pour être publiées dans mes »Acta». 

Des années ayant passé depuis, mes articles ont perdu une grande partie 
de leur actualité et de leur intérêt. Il me semble pourtant qu'ils peuvent encore 
avoir une certaine valeur comme appartenant tout à fait à la sphère de pensées 
qui distingue la théorie des fonctions analytiques telle qu'elle a été formulée et 
exposée par Carl Weierstrass. Au moment où je reprends la publication de 
mes »notes», je prie ceux qui mont prêté leur précieux concours et sans lesquels 
je n'aurais pu mettre sur pied ma rédaction finale, et tout particulièrement 
M. E. Phr.-vgmen, m. t. Carleman, maître de Conférences à l'Université 
d'Upsal, M. J. Malmqutst et M. M. Rie.sz de recevoir mes plus chaleureux 
remerciements. Comme je n'ai assurément aucun droit à la priorité en ce qui 
concerne les publications faites par d'autres après la rédaction déjà ancienne de 
mes notes, je ne me considère pas comme tenu d'entreprendre une comparaison 
critique avec ces travaux, et je me borne par conséquent, dans la mesure où ces 
derniers me sont connus, à y renvoyer purement et simplement le lecteur. 



28G 



(;. Mittas-l^efHcT. 



Sur lii coiiveriüronc«' do l"exi»i(>ssioii (rune foiictutu auiiljtiqiic en dcliois dc 
l'étoile principale (le la fouctidu. 

INTRODUCTION. 

J'ai iiitioduit dans le temps la nouvelle conception LYi'foih de la manière 
suivante. En partant dun point a, nous menons une demi-droite quelconque 
ax, sur laquelle nous choisissons suivant une loi déterminée un point p, distinct 
de a (le point p peut d'ailleurs être à l'infini sur ax). Faisons tourner ax d'un 
angle égal à 2.1 autour du centre a, le segment ap engendre alors une aire qui 
embrasse a, et qui sera appelée une étoile de centre a; 
le point p sera dit un sommet de l'étoile et l'ensemble 
des sommets sera dit la frontière de l'étoile. 

Si entre une fonction monogène F(x), régulière 
au point a, et une étoile ayant a pour centre existe 
une relation telle que le sommet correspondant à 
chacune des demi-droites qui engendrent l'étoile soit 
le premier point singulier de F{x) auquel on arrive 
en partant du point a et en faisant glisser x le long 
de la demi-droite, cette étoile est appelée Vétoile prin- 
cipale de F(x). Elle est désignée par la lettre A et la branche fonctionnelle qui 
y correspond est désignée par FA (x). 
Soit 

(i) k,,lc,,k,,...,Ic...... 

une suite infinie de constantes soumises à la condition de Cauchy 



(2) 



lim ]/|A-,| 



)• étant une quantité positive. 

La théorie des fonctions analytiques telle ([u'elie fut courue par \Veierstr.\ss 
est basée sur la considération de la série 



(3) 



'i* (x — a) = 2 ^"i' (•*'" — ")' 



Sur la représentation aiial\tii|iie (runc brandie nniforme rruno foni-tion monogène. 287 

où X est la variable et a une constante. Cette série définit une fonction analy- 
tique F (x) dans une étoile constituée par un cercle de centre C et de rayon r. 
La branche fonctionnelle de F {x) représentée par la série '•^'(.r — a) est désignée 
par FC{x). On sait que par prolongement analytique de la branche FC{x) on 
obtient la fonction F{x) tout entière partout où elle reste régulière. Dans une 
suite de mémoires, j'ai montré qu'on peut obtenir de différentes manières des expres- 
sions qui sont formées des constantes ka,ki,k.,, . . ., tout comme la série '■}.5(.t — a), 
et de certains coefficients numériques indépendants delà fonction, et qui représen- 
tent d'une manière univoque non seulement la branche FC{x), mais encore la 
branche entière FA(x). 

Les plus élégantes de ces expressions, au point de vue formel, me parais- 
sent être 

(4) F.-l(.r) = hm 2 2--2^ MÂ,.--^ \n) 



(5) FA (x) = lim I e-"'"F,, (e* [x—a]) d i-i" = 



= lim lim V. ' 1 e~''".(<' (/(r/'.(.r— a)'; F„(().r) =\ä-,. , "' 



('.) FA{x)^^Umik\, + ,'^' (.r — «'i -f /''■-■ (x-ar + ■■■]■,]«. i'= r {« r + i).^ 

Les deux expressions (4) et (G) sont de la forme lim G(.r;(j), G{x;vj) étant une 

fonction entière (rationnelle dans la première expression, transcendante dans la 
seconde) dont les coefficients sont des fonctions linéaires de ^"0, i-j.Ä:,, ..., A-,, avec 
des coefficients numériques qui dépendent de o comme paramètre, mais sont in- 
dépendants aussi bien des constantes A'o.â.:, , . . . k„ que de la variable x. 



' »Sur la représentation analytique d'une branche uniforme <1 une fonction nionoççène.» 
Note 1. Acta Math., t. 25. 1S99. 

'' Formule (109), page 161, Note S de ce travail. Ada Math., t. 29. 1904. 

' »Sur la représentation arithniétique des fonctions analytiques générales dune vaiiahle 
complexe. Aiti del IV Congre.'îo Mat. Üonia 1908. Page 82. 



288 G. Miltas-Leffier. 

MM. BoREL et Phragmén ont montré' que c'est impossi))le de former une 
telle expression qui, pour tout choix des constantes /,-„, k,, l\, . . . (lim | I A-„ | = fini), 

cesse d'être convergente en dehors de l'étoile A. 

M. H. VON KocH a repris ce problème d'un point de vue différent. - 
Il s'est demandé: est-il possible de former avec les seules constantes 
k„,kt,k., ... et avec des coefficients numériques indépendants de ces constantes 
et de la variable une expression lim G(x;7i) qui représente la fonction définie par 

les k,. chaque fois qu'on se trouve en dehors des sommets de l'étoile A, sur le 
prolongement d'une demi-droite génératrice où la fonction reste régulière? 

La solution qu'il a donnée de ce problème est en rapport étroit avec la con- 
ception de Weierstrass d'une fonction analytique. 

Weierstrass a compté non seulement les points réguliers, mais encore les 
pôles comme appartenant à la fonction (il les nomme »ausservvcsentliche singulare 
Stellen»),' tandis que tous les autres points, qui ne sont ni des points réguliers 
ni des pôles, sont singuliers. J'ai proposé de remplacer la conception de Weier- 
strass par celle que voici:' les seuls points devant être comptés comme points 
singuliers de F{x) sont les points x' tels que, d'une part, il existe dans tout 
voisinage de x' des points pour lesquels F(x) se comporte d'une façon régulière, 
et que, d'autre part, il n'existe aucun entourage de x' où une égalité de la forme 
F{x) = 'ip (a;— x') ait lieu. Il paraît que cette définition des points singuliers d'une 
fonction est maintenant généralement admise. 

En adoptant la manière de voir de Weierstrass, M. vos Koch a généralisé 
de la manière suivante ma conception d'étoile principale. Il définit une étoile 
A', dont A fait partie, en prolongeant les différentes demi-droites issues de a 

' E. Ü011KL, »Addition ;iu niùinoire sur les séries divergentes». Annales de l'Eoolo Xorm. 
Suj)., T. 16, 18S9, ]). 134. 

E. BoREi,, »Leçons sur les séries divergentes». Paris 1901, p. 172—175. 

G. MittagLekfi.kk, »Ueber die analytische Darstellung eines eindeutigen Zweiges einer 
monogenen Funktion». Münchener Berichte, 6. März 1915, p. 154 — 159. 

Dans cette dernière note, qui fut publiée pendant que j'étais en convalescence après une 
grave maladie, il s'est malheureusement glissé une erreur sérieuse snr laciuelle M. Osekx a fixé 
mon attention (cf. »Sur la représentation analytique de la vitesse dans certains problèmes dliydro- 
dynamique», page 6, note. Nova Acta Soc. Sei. l'psal.. Ser. IV, vol. 4, No. 9\ La formule (51). 
page 149, dans la dite note représente seulement FC(x) mais non FA[.r). 

' HvA.r.K vox Koch, »Applications nouvelles de la fonction exponentielle . Bihang Kg). 
Svenska Vet. Akad. Forhandl. 12 février 1902. 

Hin.oK vox- Kocit, »Sur le prolongement analytique d une série de Taylor». Voir ce journal, 
T. 27, 1903, p. 79—104. 

" »Zur Theorie der eindeutigen analytischen Funktionen.' 1S76. AVerke, Bd 2, p. 78. 

* »Sur la représentation analytii^ne des fonctions monogènes unifornies.» Voir ce journal. 
T- I, 1XS4, p. I- 



Sur la représentation analytiiiue d'une branche unifornio d'une fonction nionogéne. 289 

jusqu'au premier point qui n'est ni un point régulier ni un pôle, au lieu de 
s'arrêter, comme c'était le cas pour l'étoile A, aussi bien à un pôle qu'à un autre 
point singulier. Il cherche après, sans connaissance préalable des pôles, à former 
une expression qui ne contienne pas d'autres éléments empruntés de la fonction 
que les constantes k^, ki,k,, . . . (propriété appartenant aussi à toutes mes expres- 
sions), mais qui soit valable non seulement pour l'étoile A, mais encore pour 
tous les points réguliers à l'intérieur de l'étoile A". Pour bien saisir son idée, il 
faut se rappeler qu'on savait bien former, avant M. von Koch, une expression 
qui représentait une fonction uniforme d'une manière univoque non seulement 
dans tout son domaine de régularité,' mais encore dans chaque domaine qui 
embrassait un nombre dénombrable de singularités;- mais alors il était nécessaire 
de connaître non seulement la position de ces singularités, mais encore l'allure de 
la fonction autour des singularités. 

M. VON KocH parvient à résoudre son problème en se servant de l'expression 

. o ; ^• ^ I 
lim.r*c~''' = 
s=^ e~';a;=i, 

ainsi que d'une espèce de représentation conforme, dont je me suis servi dans 
plusieurs de mes travaux.' M. Painlevé a énoncé à propos de la jjublication 
de M. VON KocH une autre solution du problème. Il l'obtient en utilisant une 
fonction auxiliaire toute autre que celle de M. von Koch. Sa formule finale 
paraît aussi plus élémentaire et plus générale que celle de M", von Koch.^ 

Je me suis servi moi-même d'une nouvelle fonction auxiliaire, remarquable 
sous différents rapports. J'exposerai dans le § i les propriétés essentielles de 
cette fonction. Dans le § 2, je donne une nouvelle solution du problème de 
M. VON KocH. 

Dans le § 3, je m'élève à un point de vue plus général. 



' Voir mon mémoire de 1884, 1. c, ainsi que celui de 1899, Acta Math., ï. 23. 

' Voir mon mémoire de 1884, 1. c. 

' Voir p. ex. Note 3 de ce travail, Acta Matli. t. 24. 1900. 

' Faui, P.tixi.EvÊ, »Sur le développement des fonctions analytiques en séries de polynômes». 
Comptes Rendus etc., le 7 juillet 1902. T. 155. 

Il semble que M. vox Koch s'élève dans ses derniers travaux au même degré de généralité 
que M. Painlevé. Voir H. vox Koch, ».Sur le prolongement dune série de Taylor». Arkiv für 
Matematik, Astr. o. Fys., Bd 12, No. 11, Stockbohn 1917. — »Contributions à la théorie du pro- 
longement d'une fonction analytique.» Arkiv f. Mat., Astr. o. Fys., IJil 12, No. 23. .Stockholm 1017. 



le 17 (léi-cmbiv 191 n. 



290 



(i. Mittag-Lofflor. 



if I. 
Vnc noiivolle fonction entière. 

On sait que toute fonction entière transcendante peut être rendue aussi 
voisine qu'on veut d'un nombre quelconque fixe en dehors d'un cercle de rayon 
arbitrairement grand.' Ce fait n'exclut pas qu'il existe des fonctions entières 
dont le module tend vers une limite bien déterminée égale à zéro quand la vari- 
able tend vers l'infini le long d'une demi-droite quelconque issue de l'origine. 
J'ai donné plusieurs exemples de telles fonctions." Une des plus simples est 
définie par l'intégrale 



(7) 



d': 



l'intégration se faisant le long d'un contour S défini de la manière suivante: S 
se compose en partie de deux droites parallèles à l'axe réel des 1', infinies dans le 
sens positif de celui-ci et situées de l'un ou de l'autre côté de l'axe à une distance 

comprise entre - et 3-, en partie d'une perpendiculaire à l'axe réel réunissant ces 

parallèles et coupant l'axe en un point arbitraire. L'intégration doit se faire dans 
le sens direct de droite à gauche. 



u 



.31 



-o? 



' Kaui, \Vh;iKi!STK.V!<s, »Zur Theorie der eincU>iitit;ei\ aiialvtisclieii Kiinktionen». Werke. 
15,1 2, p. I2.|. 

-' ^Uiie nouvelle fonction entière.» Comptes Kendiis etc. 18 .avril 1904. -Sur une rlasse 
lie l'onrtions entières.» Verli.indl. d. v Internat. Math. Kongress. Heiilelherc 190.1. 



Sur la représentation anaiUiiiue d'niic Grandie uniforme dune l'onction monogene. 291 

L'intégrale converge évidemment quelle que soit la position donnée à x de 
l'un ou de l'autre côté de la ligne d'intégration. La valeur de l'intégrale ne varie 
pas si l'on déplace ia perpendiculaire à droite ou à gauche du point l.'„ où elle 
coupait au commencement l'axe réel, ou si l'on fait varier les distances des deux 

parallèles à l'axe entre - et j '^ pourvu que x reste du même côté du chemin 

d'intégration. 

L'intégrale définit deux fonctions analytiques différentes E{x) et E(x) selon 
que X est situé du même côté du chemin d'intégration que les points réels négatifs 
infiniment distants, le côté nigatij comme nous dirons, ou de l'autre côté, le 
côté positif. 

Envisageons d'abord la fonction E(x). On voit quelle est régulière pour 
tout point X qui est à distance finie de la ligne d'intégration, et qu'elle est par 
conséquent une fonction entière de x. Elle s'approche indéfiniment de zéro quand 
X tend vers l'infini du côté négatif d'un contour <S. 

La fonction ~É[x), d'un autre côté, est régulière pour tout point x qui est 
à distance finie et se trouve entre deux parallèles à l'axe réel menées par les 



points î 3 - et — 23 



Elle s'approche indéfiniment de zéro quand x tend vers 



l'infini du côté positif d'un contour S. 

Soit maintenant x un point à distance finie situé du côté positif d'un con- 
tour S donné. 

On a 



(8) 



E{x) = E{x) + - 



hf 



d: 



R étant le chemin d'intégration indiqué dans la figure ci-après, chemin qui entoure 
le point X. 




292 <■• Miltag-LelHcr. 

On voit que les deux fonctions E{x) et E{x) sont liées par la relation 

(9) J':{x) = e'"'-e-''''' + E(x). 

La fonction E{x) est par conséquent, tout ccmnie E{x), une fonction entière de x.^ 
Relativement à la fonction E{x) nous pouvons énoncer le théorème suivant. 
Théorème i. »Soit a;„( — 00 < a;;, < + co ) un point quelconque sur Taxe réel. 
La fonction E{x) tend indéfiniment vers zéro quand la variable x tend vers 
l'infini le long d'une demi-droite quelconque issue de Xo- Soit c* une quantité 
réelle positive. Si la variable x appartient à un domaine fini quelconque X situé 
entièrement en dehors de l'axe réel positif, E(x„-\-wx) tendra uniformément vers 
zéro lorsque w tend vers l'infini. 

Il en est de même si le domaine X (o < A') est une partie quelconque de 
l'axe réel positif.» 

' On peut voir de la manière suivante que E{x) n'est pas identiquement nul. 
La supposition 

E{x) = o 
unionerait 

(A) 2!,X.r)=-e'■■^t-t■^■'^ 

Kii ])osant a" = f + î';, un obtient 

ee^=ci,'*cos>/(i!os(e~sin >)) + i sin (e~sin r/)). 

Pour un 7; fixe et incongru à zéro (mod. ;:), il existe une infinité de valeurs de c croissant 
au dessus de toute limite telles que 



Kn ces points, on a 



On on cunchU quo 



Comme d'autre part 



cu.s(c~'sin r)= — l. 

o<|-/|<;', 



lim E(.i-) = o, 
on voit quo l'éj^alilé (.\) est impossil)le. 



Sur la rei)réseutatioii aiialytiinif d'uuc Ijiaiichu uuiluriiit' tl'uiio fimctiuii iiioiiogèiic. 293 

Au lieu de se donner d'abord l'intégrale (7), on aurait pu partir de l'inté- 
grale plus générale 



(10) 



dr 



où y. est une constante positive plus grande que un. Le eontour S.,, est alors 
composé en partie de deux lignes infinies dans le sens positif de l'axe réel: 

Q-' sin ■/.(f = a,Q''- sinz'/ = — a; <a < , , 

en partie d'une perpendiculaire à l'axe réel réunissant ces deux lignes. On voit 
que ces lignes s'approchent d'une manière asymptotique de l'axe réel positif. 




Nous désignerons par E , (x) et £", (.c) les deux fonctions définies par l'intégrale 
(10). Elles sont liées par l'égalité 



(II) 



E^{z) = e"' ■ c-" +EAx). 



y. étant un nombre entier elles sont toutes les deux des fonctions entières de x- 
Si y.f^ nombre entier et -■„ > o, Ey.{x) est une fonction entière tandis que .B^ (a^) 
est singulier pour x = o. On a le théorème suivant. 

Théonme 2. »La fonction E-,. (x) a des propriétés identiques à celles qui sont 
indiquées pour E{x) dans le théorème i. Elle a encore les propriétés suivantes. 
Elle tend indéfiniment vers zéro quand x tend vers l'infini positif ou négatif le 
long de l'axe réel ou d'une parallèle à cet axe. 

Soit V) une quantité réelle positive, et désignons par i' la partie réelle et par 
ù; la partie imaginaire de la variable x. Si cette variable appartient à un domaine 



294 ^- Mittag-LffHcr. 

A' fini et situé entièrement en dehors de l'axe imaginaire et de l'axe réel positif. 

Ey, [loi. + ii^) tend uniformément vers zéro quand eu tend vers l'infini. 

La même chose arrive si X {o<X) est une partie de l'axe réel positif.» 
Dans le temp.s' j'ai introduit une autre fonction f;,(a;);i<z, définie par 

l'intégrale 

(12) -^ fy j'^ , 

OÙ le contour Sy, est le même {|ue pour l'intégrale (lo) (Si est identiijue au con- 
tour S relatif à l'intégrale (7)). Cette fonction a la propriété suivante: 

{t. (ojx) — opourcj — + X ; I < z, 

(13) ■ . 

£^ (wi + Dj—'O pour cj — + =c ; I < /. ; ; ?^ o 

quand x appartient à un domaine X qui tombe en dehors de l'axe réel positif, 
tandis que 

(14) t., ((-j .r) — e'"' "' — Ü pour <■> — + oc 

quand X {o< X) fait partie de cet axe. 

On voit que l'Intégrale (12) définit encore une seconde fonction t_^ (x), liée 
à fy{x) par la relation 

(15) ijx)=e^-^'' +t.Jx). 
un voit encore que la fonction 

(16) .■■,(a;)e~''='" 

a des propriétés identiques à celles que jai indiquées pour E,, (.v) dans le théorème 2. 



Soit b un point sur l'axe réel où E(x) et ses dérivées ne sannulent pas. Un tel 
point existe certainement parce que l'ensemble des zéros de E{x), E'{x), . . . Ê'"'(a:), . . ., 
étant dénombrable, ne peut pas contenir un intervalle entier de l'axe réel. 



' »Sur une classe do fonctions entières», p. 262, 263. Verhandlungen d. dritten interna- 
tionalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg. Leipzig 1904. 



Sur la reiirésentatioii analytirine d'uiio bianrhe uiiit'oinic d'une fonction monogene. 295 

Posons ,'„ > b, ,'„ étant toujours le point où le contour N coupe l'axe réel. 
On aura 



o 

(17) Kib) = ^^^Je^: 

J'introduis maintenant la fonction 






(is) ^(^)=-:r(6r' 

et je mets 

( 19) G (a:) = I + /^, .r + //, x- + ■ ■ ■ + H, a;'' + • • ■ , 



ou 



(20) 

Par conséquent, 



'2.ri E(b) r-^ (;-br 



(21) GHx-x))^^^..^;,^ ( ^•'-"'^6=^7(.irï)=>:^.'(-(^-^))''- 



d; 

:—b- 

On obtient la formule (iq) en supposant 



mais, G{z) étant une fonction entière de x, le second membre de (19) est une 
série toujours convergente par rapport à la variable a;, dont les coefficients H,. 
sont des constantes indépendantes de x. Le même cas se présente pour la série 
du second membre de (21). Elle est toujours convergente par rapport à o (a: — i) 
regardé comme variable. 

Une autre représentation de la fonction G{oj(x — i)) est la suivante. Nous 
choisissons comme auparavant .',, > b, et posons 

|a:|<i + ^'~^. 
On obtient alors 
(22) G{,;{x-x))==%K,.(<'>) ^•■: 



296 G. Mittag Lefrter. 

où 

(2^) A,.(cj)=- -TnTs- t'.e ' 7^-7 — ^-r^xi 

et 

(24) yA'„M = i. 

La fonction G {cjix — i)) étant une fonction entière, le second membre de (22) est 

une série toujours convergente. 

Si la variable a- appartient à un domaine 
fini ^Y situé entièrement en dehors do la 
partie de Taxe réel positif qui s'étend depuis 
I jusqu'à + 00, on constate que G{(j{x — i)) 
et par conséquent aussi les deux séries 

o 1 ^ — « — ' ~ y //,((■*(:)■ — i))'' et y.Kr{oj)x'' tendent uni- 

fermement vers zéro lorsque 10 tend vers l'infini. 

Si, d'un autre côté, le domaine X fait partie de la portion de l'axe réel 
positif comprise entre r et + c^ , 

I < X < CO , 

la fonction G{i'){x—i)) ainsi que les deux séries^ //, (< » {x— i ))'' et ^ A',, (cj) .r'' tendent 

encore uniformément vers zéro lorsque cj tend vers l'infini. 
Les formules (19) et (21) nous donnent 

^ Ä,.((^ (a; -!))■• 

(25) G(co(x-i))-i_..=, = yÄ,.,v(.x— I)'-'. 

X — I X — I ^* 

Au moyen des formules (22), (24) on obtient encore 

y A,.M{i-.x-) 



(-'(.) 



I — G(u(x~i)) i.=i V/ , , « , , ,\ I- / \ 

---^ ~= — = Z;(i +a; + a;- + •■■ +ar' A,.+ i (vi). 

T V T fK ^> 



Sur la représentation analyti(iue d'une brandie uniforme d'une fonction monogene. 297 
On aura par conséquent, pour Xr^ i, 

(27) ^- = lim2^"("^(-^'-i))''~'' 

(28) ^^ = liux^(ï+x + x'-+-+ a;") K,.+ i (oj), 

égalités qui ont lieu aussi bien si x appartient à un domaine situé en dehors de 
la ligne i <a;< 00 que si x fait partie de cette ligne (i <a;< co). 
Pour le point x=i, on obtient au moyen de la formule (25) 

. , ,. GU'j{x~i)} — i 

x=l X — I 

et au moyen de la formule (26) 

I \ 1- T- — G{m(x—i)) V / , \ r' I •. t/ 

Les deux expressions (27) et (28) sont par conséquent égales à l'infini pour x=i. 

Nous introduisons maintenant, à l'exemple de M. von Koch, une nouvelle 
étoile K de centre zéro, qui, en général, embrassera l'étoile A. Nous obtiendrons 
cette étoile de la manière suivante. 

On fait tourner autour d'un centre x=o une demi-droite ayant ce centre 
comme origine et limitée d'autre part par le point le plus rapproché de centre 
qui n'est ni un point régulier ni un pôle de la fonction définie par les constantes 

assujetties à la condition de Cauchy 

lim 1 1 Ä:,. 1= _; r = nombre positif, 

c'est à dire la fonction définie par la série 

^1? (x) = k„ + kiX + k,x- + ■■■ + k,. X'' + ■■■ 
L'ensemble de toutes les demi-droites limitées de cette manière sera l'étoile K. 

Acl<i iinillirmiiUca. -12. Imprimé li^ V.i rlécerubre 1910. •'''^ 



298 G. Mittag-Leffler 

On voit que cette étoile embrasse l'étoile A, que j ai appelée l'étoile prin- 
cipale, et que d'autres ont désignée par l'expression »étoile d'holomorphie». Eu 
analogie avec l'expression »étoile d'holomorphie» on pourrait appeler l'étoile K 
»étoile de méromorphie». 

Introduisons maintenant l'intégrale de CAUCHi: 

(31) r^,- J , „ '^~. 



où B sera le contour d'un domaine simplement connexe qui est situé à l'intérieur 
de l'étoile K, embrasse l'origine et ne passe par aucun des pôles de F(z). 

Lorsque x est situé à l'intérieur de B et diffère des pôles a, on a l'égalité 
suivante: 



vu-).(?(.(j-x)) ^ p(.).ö(4^-x)) 



(3.)^ 



Fix)- 



[ 



27tl I X Z 2:ri^ I 2 — X \ \Z // 

2,Tl J X 2 2 ,7 l -^ I Z—X \ \Z II 



la somme figurant au second membre étant étendue à tous les pôles de F (2) à 
l'intérieur de B et les intégrations étant faites dans le sens direct le long des 
périphéries des petits cercles ayant x, 0, a comme centres. Il résulte de la défini- 
tion de l'étoile K que la somme n"a qu'un nombre fini de termes. 
Les formules (25) et (26) nous donnent 



(33) 



\z I V u r^ \,-i I r-1 X 



,(":zi)i.-^)0V,...(-^)- 



Sur la iTpi'i'seutiUiun analytique d'unu brauclie uuil'oi'ine d'une l'onction nionogèue. 299 

(34) ■■- 'h,- "=2 ' + !+'-+■■+ f|>-,..,M. 



D"un autre côté, nous avons mis 

(3) FC(z) = k, + k,z + k,z'+---, 

FC(z) étant la branche fonctionnelle de F{z) intérieure au cercle de convergence 
C de centre zéro et de rayon )= lim| l//.-J| . 
On obtiendra par conséquent 

^^F{z)ii-GLi^-i\\] , ^ , 

(35> :J ' -^i^^^t=2«---(-.)'^-,>.--+ 



. r(r-i) 
ainsi que 



k._x- + •• • + ( — lykyxA 



X r^^A'-i^'Î-')]) dz V 



¥ 



(36) -^ / -^ —^ -=2(^0 + ^-.^ + i"2^'+'"+^'.'^-")^'^"+l("')- 



Supposons d'abord que le contour B tombe à l'intérieur de mon étoile principale 
Ä, qui n'embrasse aucun pôle ou autre point singulier de F {z). 
L'égalité (32) devient dans ce cas 



^.„^(.-4,(f-.))),, . /.«.«h:-.)) 



2. ri j X z 2. ri j 



(37) ^W = .IJ ---^—V^ '"v + :^/ ,1l, '^d^- 



Nous avons vu que 

lim G(oj{y—z)) = o 

tant que y appartient à un domaine fini quelconque situé entièrement en dehors 
de la ligne i<y<<x. C'est le cas pour le domaine limité i)ar le contour que 

décrit ^ quand z parcourt la ligne B. On aura par conséquent 



300 0. :\littai,'-J.crHer. 

/V„.<..(.„(-^-.)) 

(38) hm j rZz = u, 



et ainsi nous obtenons pour FA(x) deux nouvelles expressions, savoir 

(3y) ^^=lini2//r+i^/+'(--i)''(^-„-/'A:,a;+ -^-,^-^A%a;2+ ••■ + {—iyk,x') 

(40) S, = lim 2 ik, + A'i -'S + i'2 a:- + ■ • • + k,. x') K,.+i (o), 



'^'" "'-2ni É{b)J 


•^•■^ Q-_j),.+ l>-o^","o- 


(.3) ^■•('•') = ,^ 


5 
I r ^: ^,.^ lo'd'C 


On aura donc la double égalité 




(41) 


FA{x)^l\ 



Nous montrerons dans la suite que »S', aussi bien que S^ représentent encore 
d'autres parties de la fonction F(x) que la branche F A{x). Nous verrons que 
ces expressions représentent FK{x) en tous les points réguliers intérieurs à A'. 

Retournons, pour établir le premier point, à la formule (^1) et étudions 
l'intégrale 

On a dans l'entourage de z = a 

(43) F(z) = g\^_^^_^ + mz-a), 



Sur kl n'iirOàcntatiuii analytiiiue d'iiiiL' ljr;iiiclic unit'uniU' (riiiic fuuctiüii iiioïKigèiiu. 301 



(44) 

Par conséquent, 

^'(2) 



I \ C—i C-> c_„, 

'- — o/ z — a (2 — a)- (z — a)" 



-X X — a z 

I — 

x—a 



«H.-J+^^^(^-«)) 



2 — a z — a\- \i C-\ C-> 

X — a\ X — a \x — al l\z — a (z — a) 



(z — a)"' I 



z — a \x — a (x — a)- (x — af 

I / C_2 ^ C_3 ^...^_^^_ 
(z — ay \x — a {x—a)^ (x — a)'" 

{z^af \x — a (x — a)'- [x — a)"* 



I c_„ 



(z — a)"' X — a 
Quant à G icüi ijj, on a 



\ \z jj 2m E(b)J .._j^^^^_ 



(46) 



^—^^^-^■i' 



_T_ ^ VV 

2ici' E(b)- 



>.7ti' E(b) j 



)X (i' — 6 + w)"di 



- 6 4 C'J — ('J ' 



L — 4- cj — cj 



On voit que chacun des coefficients 



302 ('•■ :MittaL'-Lefttcr. 






C— 6 + w);' 



dans la série au second membre de (4O) a la même propriété que le premier terme 

de 



1^ ^ A^'e-^'" 



-b- 



celle notamment de tendre uniformément vers zéro dans tout domaine ou "- est 

a 

réel et plus grand que xm. 

Tant que - est réel et plus grand que îin, le résidu (42) tendra par consé- 
quent uniformément vers zéro lorsque (o tend vers l'infini. 
Dans le cas où x = a, le résidu sera (cf. (19)) 

? 

Le coefficient de lu'" dans cette expression, étant égal à 

^ ' "'E(b)a'"\m' 

ne peut pas s'annuler. Par conséquent, on voit que le module de la (quantité 
(47) tendra vers l'infini lorsque 10 augmente au dessus de toute limite. 

On voit que les deux expressions S, et S. ainsi que FK(x) tendent alors 
vers l'infini. 

Vu qu'il n'y a qu'un nombre fini de pôles à l'intérieur du domaine limité 
par la courbe B, nous avons le théorème suivant. 

Théorème 3. »La fonction F(x) définie par la branche fonctionnelle 

(3) FC{x) = k„ + k;x + k,x'-+-- 

est représentée à l'intérieur de l'étoile principale A par chacune des deux 
expressions 

(39) 6\ = lim2^v+iw'+' (-1)" ik,-l^k,x+ '-'r^k.x'- + ■■■ +{-!}'■ krx'] 



Sur la représentation analytique d'une brandie uniforme d'une l'onction monogene. 303 



et 
(40) 



S. = lim }^ (k^ + k, X + Ä-, X-+ ■■■ + k,. x') A',+, (,„) , 



(20) 



di: 



TT I I j e' _(,e'' ^3 



(23) 



Tr / \ I I i ,.'"" ^e' (0''dL' 



(17) 



E{b) 



I /■ ; .' «il: 

= . \ e". er" ^^--- 
2:riJ ,-/ 



et dans lesquelles le point ,'(, où la ligne S coupe l'axe réel est supposé > 6. 
Ces expressions convergent toutes les deux uniformément dans tout domaine 
intérieur à A. Elles convergent encore en dehors de A sur toute demi-droite 
passant par un sommet qui est un pôle de F{x) situé à l'intérieur de l'étoile K. 
La convergence est uniforme sur toute partie d'une telle demi-droite située à une 
distance fini entre deux pôles consécutifs ainsi que sur toute partie située à une 
distance finie entre le sommet et le pôle le plus rapproché du sommet. Les 
égalités 

(48) i^A'(.r) = lim yH,.+uo'-+' {—1)" ik,— '' k, x + ''^''r~^ h_x°- + ■ ■ ■ +(—iyk,x'\ 



(49) 



F K (x) = lim ^ {K + ^^> X + k,x'-+ ■■■ + k, a;') A',+i (w) 



ont lieu pour tout point régulier à l'intérieur de K.» 
En chaque pôle x = a, au contraire, on a 



(50) 
(51) 



lim 



^//.•^iw'+'(-i)" j^-„-|'^'^•,x-^- •■• +(-i)"^-,.x-')) 



lim I 2 (^'0 + k,x+ ■■■ + k, X') K. + i H\-= 



304 



G. MittaL'-Lefflc 



La fonction FK{x) devient méromorphe si elle n'a pas (|.r|<>:) d'autres 
singularités que des pôles (ausserw. singulare Stellen). La fonction étant définie, 
comme nous avons supposé, par les constantes 

k,.; )' = o, I, 2, . . . 

remplissant la condition de Cauchy 



limV>.| 



" ; »■ > , 



M. Hadasiard a trouvé un critère de méromorphie de la fonction exprimée par 
les k,., savoir 



lim 1/iia 

11= ^ V n 



Z)"'> : 



/)(/;) _ 



k,, + 1 k„ + 2 ... k,i + p 
kn + 2 kl, -k-Z ... k„ + ,, + 

k,, +], kl, + /) + 1 ...«•„ + 2/) 

M. Torsten Carleman ', de son côté, vient de montrer qu'en partant du théorème 
de M. Hadamard, on peut obtenir le théorème de M. Fredholm- suivant lequel 
la fonction u{x), définie par l'égalité 

1 
H (.r) = / (.r) + /. I A' (.r ; y) u (y) dij 



\K(x;y)\<i |/(.r)|<i, 

est une fonction méromorphe de /.. 

M. Fredholm a donné différentes expressions de cette fonction valables 
pour tous les points A. 

On obtient au moyen de chacune de mes formules (3g), (40) des nouvelles 
expressions valables pour tous les /. . La fonction ti{x) considérée comme fonction 
de /. s'exprime en réalité dans l'entourage de  = o par la série de puissances 

K(x)=f/.,.(/.) = i*(/.)=>'/„(.r)/." 



' voir T. Cari.em.vxn. »Sur les équations intégrales». Comptes Rendus etc., t. 169, 1919, p. 775. 
• I. l'iii'.Diiui.M. iSiir une classe iVéquations fonctionnelles«. Ce .journal, t. 27. \^. 565 — ;oo. 



Sur la i-ein-ésentation analyti(iuc d'une liranclie uniforme d'une fon<'tion monogene. 305 

1 
/o (x) = / (a;) ; /„ (.r) = | K {x: y) /„^ {;,) dy {n =1,2,3,...) 


et on a par conséquent 
^^ 1 lim %Hr+U'y*'(-i) ■•(/(:i')-'7i (.«O-/- + '- "ï~ ' ^ /2 (X-) •/.-+•■■ I (-i)'7,(.t) /-') 

( "' "" r=0 * lï. l5 ' 

"^" I l^kn % [i {x) -r /1 {x) /. + /, (.r) /.'-' : ■ • i /,. (.r) /.'j Ä'..+ , (,.) 



§ 3- 

Dans le paragraphe précédent, je me suis placé au point de vue do Weiek- 
STRASS, en comptant les pôles aussi bien que les points réguliers comme appartenant 
à la fonction analytique. Il est pourtant quelquefois utile d'élargir cette con- 
ception en annexant à la fonction comme partie intégrante non seulement les 
pôles, mais encore les points singuliers isolés. 

Je donnerai dans ce qui suit à ces points le nom de poloïdes. Un polo'ide 
est un point tel qui la fonction soit régulière partout dans V entourage du point saul 
au point même. Par conséquent, la fonction peut toujours dans l'entourage d'un 
pololde P être représentée par la somme de deux séries 



^(.:^)+^(^-^) 



dont la première est toujours convergente et dont la seconde converge dans l'en- 
tourage de x = P. 

Si le nombre des termes de la série "I? j ._p ) est fini, le polo'ide se réduit à 

un pôle. Les points singuliers d'une branche fonctionnelle uniforme dans un 
domaine donné qui ne sont pas des poloïdes seront appelés points singuliers 
essentiels. 

Une fonction entière a donc un pololde au point .r==o, mais reste régulière 
partout ailleurs. Si la fonction est entière et rationnelle, le poloîde devient un pôle. 

Acin malltematicn. 42. rniprinu'- le 20 ilécemlue inMi. ■'■' 



306 G. Mittag-Leffier. 

J'introduis maintenant une nouvelle étoile appartenant à la fonction F (x) 
définie par les constantes a; ä;,,,^:,, ..., A;,., ...; lim 1 1 A;,. |= ;r>o, c'est à dire par 

la série convergente ']? (a; — a) = ^k,.(x — a]''; je définis cette étoile de la manière 

i'=0 

suivante. 

Je prolonge les différentes demi-droites issues du centre a jusqu'au premier 
point qui n'est ni un point régulier ni un poloïde, au lieu de m'arrêter, comme 
c'était le cas pour l'étoile K, au premier point qui n'est ni un point régulier ni 
un pôle. L'étoile que j'obtiens de cette manière sera désignée par L. Soit main- 
tenant B une autre étoile, concentrique à L, située à l'intérieur de L et dont la 
frontière ne contient aucun poloïde. A l'intérieur de B ne se trouve alors qu'un 
nombre fini de poloïdes. 

Je suis la frontière de B dans le sens direct. Si «' est l'angle compris 

entre deux demi-droites consécutives a + (x — a)e - et a + (.x — a)e '-;«„<((, 
issues du centre qui passent par des poloïdes et si x — a parcourt l'axe réel positif, 

la fonction F \a + (x — a)e V restera régulière tant que «„<«<«, tandis que ses 
valeurs régulières sur les demi-droites c( = a^ et « = «; deviendront 



limF [a + {x — a)c 'jet \\m F\a + {x — a)e '-) . 

C'est une conséquence immédiate de la propriété de F (x) d'être uniforme à 
l'intérieur de l'étoile L et régulière dans l'entourage de x = a. 




Tl s'ensuit alors de mon théorème (formule 3) que l'égalité 



Sur hl R'prOsL'iitatiuu aualytiiiuc crmie braiuliL' iiiüt'onm.' d'une t'oiutioii niuiiugùue. 307 
(5^) t' L {x) = lim /e-'" ■ F„ L, (x~a) e*"^ J du," 



Fa ((f^ x) = y f— ^ (wa;)'' 
1 



a lieu partout à Tintérieur de l'étoile L.^ 

Nous pouvons maintenant énoncer le théorème suivant. 

Théorème 4. »La fonction F (x) définie par la branche fonctionnelle 

FC{x) = k^ + k,x + k,x- + 

est représentée à l'intérieur de l'étoile L par chacune des deux expressions 

/^ ' / . .i\ 1 * /- 

£-'■•" F,Ai'j{x— a) e "- |(Zw"; FaU)x)= Si~^(<''^')'') 



(53) 



lim lim T .-^^ / e-'"'' w'' (/(i)"( (2 — a) e 

-0 ..-^^„ki:./ \ 



Ces expressions convergent uniformément dans tout domaine intérieur à A. Pelles 
convergent encore en dehors de A sur toute demi-droite passant par un sommet 
de A qui est un poloîde de F [x) intérieur à l'étoile L. La convergence est uni- 
forme sur toute partie d'une telle demi-droite située à une distance finie entre 
deux poloïdes consécutifs ainsi que sur toute partie située à une distance finie 
entre le sommet et le poloîde le plus rapproché du sommet. Les égalités 

(52) FL{x) = \\m / e-<"" Fai(j{x—a)e'^'"-\dt;" 



' Cf. surtout la note de M. Oseen: »Zwei Bemerkungen über das Problem eine ïaylorsche 
Reihe analytisch fortzusetzen», pag. 5, Arkiv för Matematik, Astr. o. Fysik, Bd 13, Xo. 10, 

Stockholm 1918, ainsi (jue 1. c. deux notes antérieures de M. H. v. Koch. 



308 (i. Mittag-l.ufHei-. 



= lim lira Zi ' / e~" ■('i''d('j"l{x—a)e ^\ 



ont lieu pour tout point régulier à l'intérieur de L.» 

Si la fonction F {x) est analytique, uniforme et régulière en tous les points 
finis, excepté les poloïdes, ses valeurs régulières s'obtiennent par conséquent toutes 
au moyen de la formule (52). 

L'expression est valable, on le voit facilement, dans une étoile plus étendue 
que l'étoile L. Il suffit en réalité qu'il n'existe à l'intérieur de chaque étoile B 
située à l'intérieur de L qu'un nombre fini de demi-droites sur lesquelles il se 
trouve des singularités de F {x) entrecoupées par des parties régulières. 

L'uniformité à l'entour de ces singularités n'est pas même nécessaire. Mais 
dans ce cas mon expression représente des deux côtés de la demi-droite des 
branches différentes de la fonction.^ 

D'un autre côté, il n'est pas exclu que l'étoile L peut être prolongée linéaire- 
ment et uniformément en dehors de la frontière de L. Cette question demande 
une étude approfondie, à laquelle je reviendrai dans une autre note déjà rédigée. 
Dans la note actuelle comme dans mes notes antérieures je n'ai traité d'autre 
cas que celui où la fonction est définie dans l'entourage d'un point régulier. Il 
arrive pourtant en Analyse qu'une fonction soit définie non plus dans l'entourage 
d'un point régulier, mais dans un certain entourage d'un point singulier. Les 
représentations obtenues dans le premier cas peuvent souvent être modifiées ou 
généralisées de manière à rester valable dans le second cas. J'espère y revenir 
dans d'autres notes qui se trouvent rédigées depuis longtemps. 



^ Cf. Painlevk, Oskbn et v. Koch 1. c. 

La formule (52) implique un triple passage à la limite, tandis que les expressions (48), (49) 
n'impliquent qu'un passage double. 

J'ai énoncé un autre théorème très général dans les Comptes Rendus de lAcad. d. Sei. 
de Paris, le 11 avril, 18 avril 1904. Cet énoncé doit être modifié pour devenir entièrement exact. 
■Tespère y revenir. 

M. OsEEN a publié (1. c. page 7) un autre théorème très général, où il s'occupe du problème 
de trouver une représentation d'une fonction F{x) quelconque dans tout son domaine d'existence. 
Pour y parvenir, il se voit forcé d'introduire, o\itre les constantes A-j, Ä, ,/..,,... J:i, .. .. encore 
d'autres éléments de la fonction. 

Toutes mes formules, au contraire, jouissent de la propriété essentielle qu'il n'y entre pas 

d'autres éléments do la fonction que les seules cou.«tantos /,•„, A, , . . . /.i' tout comme dans la 

représentation originale par la série de T-\yi.oiî. 



ZUR UNTERSUCHUNG 

DER GRÖSSENORDNUNG GANZER FUNKTIONEN, DIE EINER 

DIFFERENTIALGLEICHUNG GENÜGEN. 

Von 
GEORG PÔLYA 

in ZüiucH. 

Diese Arbeit zerfällt in zwei Teile. Der erste behandelt eine spezielle Frage, 
der zweite stellt ein allgemeineres Problem. 

Im ersten Teil betrachte ich algebraische Differentialgleichungen erster Ord- 
nung, d. h. Gleichungen von der Form 



(X) ^h^.2)-°' 



wo R eine rationale ganze Funktion ihrer drei Argumente, ist. Ich beweise, dass 
jede ganze transzendente Funktion, die einer Gleichung (i) genügt, von positiver 
Ordnung sein muss.' 

Am Ende meiner Arbeit will ich eine Frage über algebraische Differential- 
gleichungen beliebiger Ordnung aufwerfen. Ich werde dabei die Gelegenheit 
wahrnehmen, ein schon früher von mir gefundenes Resultat in mehr geeigneter 
Form auszusprechen. 

1. Ich will zuerst auf eine einfache Eigenschaft hinweisen, die die Differential- 
gleichungen erster Ordnung von den algebraischen Differentialgleichungen höherer 
Ordnung unterscheidet. 

Offenbar kann eine homogene lineare Differentialgleichung w-ter Ordnung 
höchstens 7i Integrale besitzen, die alle Polynome und zu je zweien von verschiedenem 



'■ Nach Einsendung meiner Arbeit an die Redaktion teilte mir Herr J. M.^LMguiST, deren 
Mitglied, ein viel genaueres und weitergeliendes Resultat mit, zu dem er durch eine völlig 
verschiedene, viel schwierigere und tiefere Analyse gelangte. Vgl. seine zugleich erscheinende 
.Vrbeit: Sur les fonctions à un nombre fini de branches satisfaisant à une équation différentielle 
du premier ordre. Dieser Band. S. 317. 



3 10 Georg Polya. 

Grade sind. Ahnliclierweise k.aiiii eine inliomogene lineare Differentialgleichung 
?i-ter Ordnung nicht n + z rationale ganze Integrale besitzen, die alle von ver- 
schiedenem Grade wären. Beliebige algebraische Differentialgleichungen zeigen 
aber ein ganz verschiedenes Verhalten. So hat z. B. schon die Differentialglei- 
chung 2-ter Ordnung 

., d lx!/'\ „ 

v ^3. ( y^ I = ^yy +yy —xy- = n 

Polynome von beliebig hohem Grade zu Integralen, da ihr allgemeines Integral 
ax'" heisst. — Nach diesen Bemerkungen wird vollständig klar der Sinn von fol- 
gendem Satze sein: 

Unter den Polynoriten, die eine Differentialgleichung erster Ordnung befriedigen, 
gibt es nur endlich viele von verschiedenein Grade. 

Die in Rede stehende Gleichung soll 

(2) - -4n,î;' X" y^ y''' = o 

heissen. Jedes Glied unter dem Summenzeichen ist eindeutig bestimmt durch die 
Angabe des Wertsystems a, ri, ;-, oder auch, was zu bemerken für den Beweis 
nützlich ist, durch die Angabe der drei Zahlen ß + y, u — /, y. Ich betrachte zuerst 
die Gesamtheit derjenigen Glieder, für welche ß -\- y am grössten ist. In dieser 
Gesamtheit betrachte ich wieder die Teilgesamtheit derjenigen Glieder, für welche 
u — 7 am grössten ist, und endlich in der so erhaltenen Teilgesamtheit dasjenige 
Glied, für welches y am grössten ist. Dieses durch dreifache Auswahl zuletzt 
erhaltene wohlbestimmte »höchste Glied» soll AuirOCy^ y'"^ heissen. 
Setzt man für y ein Polynom m-ten Grades 

(3) y = Cx"'-^--- 
ein, so wird aus dem Gliede 

Aa:i;.x"y!^y'' 
ein Polynom, worin das mit der höchsten Potenz behaftete Glied 

^,,,,C'+"m;-a:"' (.*+:•> + "-■ 

heisst. Übersteigt m eine bestimmte leicht angebbare Schranke, so wird die 
höchste Potenz von x, die beim Einsetzen von (3) in (2) entsteht, die Potenz 
y;i.b+c)m+a-c mjd der. dazu gehörige Koeffizient 

(4) C-^':^' Aaß-.m" 

sein, wo Ji' nur über diejenigen Wertsj-steme k, ß, y erstreckt ist, bei welchen 
ß + y = b + c, « — y = a — c 



Die Grössenordnung ganzer Fuuktioneu. die einer Differentialgleichung genügen. 311 

ist. Der Ausdruck (4) ist ein Pol3'nom c-ten Grades in m, das für genügend 
grosses m nicht verschwindet: also iiann durch Einsetzung eines Polynoms genügend 
hohen Grades die linke Seite von (2) nicht mehr identisch verschwinden, w. z. b. w. 

2. Bei dieser Überlegung sind diejenigen einfachen Eigenschaften der Diffe- 
rentialgleichungen erster Ordnung zum Vorschein gekommen, die den Beweis von 
folgendem Satze ermöglichen: 

Eine ganze transzendente Fxmktion von der Ordnung Null kann nie eine alge- 
braische Differentialgleichung erster Ordnung befriedigen. 

Diejenigen tiefliegenden Eigenschaften der ganzen Funktionen, auf welche 
ich den Beweis stützen werde, wurden erst kürzlich von Herrn Wiman* aufgedeckt. 
Auch die Methode, die ich befolge, ist seinen sicli auf verwandte Probleme be- 
ziehenden Andeutungen entnommen. 

Der zitierten Stelle der WniAN'schen Arbeit ist folgender Satz als Spezialfall 
zu entnehmen : 

Zu jeder ganzen transzendenten Funktion 

(5) F {x) =a„-\-a^x + a,x- ^ 

nullter Ordnung lässt sich eine Folge komplexer Zahlen 
(0) .r,, X.,, . . . Xy, . . . 

mit unendlich wachsenden absoluten Beträgen [d. h. 

(7) < I a.J < I a;, I < • < I .T,. I < • ; lim I .r, | = oc ) 

bestimmen, die folgende Eigenschaften hat: 

Bezeichnet man mit n^, den Index des grössten Gliedes {beziv. eines geeigneten 
der grössten Glieder) der Taylorreihe (5) für a; = .T,., so ist 

,o\ ,. x,F{x,) 

(8) lim — ST — =1- 

,. = 0, n,. F(xv) 

Bezeichnet man mit 31 (r) das Maximum von \F{x)\ an dem Kreisrande 
I .T I = r, so ist 

(9) \F(x,.)\^M(\xA). 

'■ WiMAN, Über den Zusauimanhang zwischen dem Maximalbetrage einer anal.vtischen 
Funktion und dem grössten Betrage bei gegebenem Argumente der Funktion. .Acta Mathe- 
matica, l'.d. 41 (1916), S. 1—28. Vgl. S. 16. 



312 GeorK Pcilya. 

EniUii-h ist^ für beliebiges reelles k 

I: 

(10) lim = o. 

Der Bequemliclikeit halber können wir anstatt (8), (lo) 

^ ' ni (x) X 

sclireiben, indem wir folgendes vereinbaren: das Zeichen — bedeute im jetzigen 
Zusammenhange, dass bei der Grenzwertbildung x nur die Werte (6) durchläuft, 
und dass in einer Formel, wo — vorkommt, n den Index des dem x zugeordneten 
grössten Gliedes bedeutet. In diesem Sinne ist 

(11) ÎI— CO 
und für beliebiges reelles k 

(12) F%)-o- 

(ii) folgt aus (7), (12) folgt aus (9). — 

Ich habe einen Widerspruch aus der Annahme abzuleiten, dass durch Ein- 
setzen der Funktion (5) die Gleichung (2) befriedigt wird. Ich werde zeigen, dass 

:i Aa,i..x^'F{zyF'{xy 

^"■^' AabcX- F {xf F' {xY "*^ 

ist, wodurch mein Satz voll erhärtet sein wird. M. a. W., ich habe zu zeigen, 
dass nach Einsetzen von y = F (x) und bei Durchlaufen der ausgezeichneten 
Stellen (6) das unter 1 definierte höchste Glied alle anderen Glieder der linken 
Seite von (2) überwiegt. 

Die von dem höchsten Gliede verschiedenen Glieder an der linken Seite von 
(2) teile ich in drei Klassen. 

I. f> + ■/ = b + c, (c — ■/ — a — c, ■'<€. In diesem Falle ist 

x''F{x)>'F'(xr ^ ' \nF(x)l 

_ i_ i zF'{x )Y-'' 
ji'--'\nF(x)l '" 

nach (8') und (11). 



' Nach Herrn Wim.vx bestehen (8), (9) für beliebige ganze Funktionen, unil nur da.-* leicht 
zu gewinnemle (10) i.st für die Funktionen niilher Onlnnn!; chnrakteristisi-li 



Die ürösseuordiiung ganzer Funktionen, die einer Differentialgleichung genügen. 31' 
II. ij + y = b + c, et — ;'<a — c. In diesem Falle ist 



x''F[x)''F'{xY a;"-'-!«-:) \nF(x) 

nach (8') und (lo'). 

III. /)' + ;'< 6 + c. In diesem Falle ist 

x" F (x)? F' [xy ri'-'x"—'-^"-''» jxF'ix 



x«F(x)^F(xY J^(a;)* + <^-(*+") \wi?'(.T) 

nach (8') und (lo'), (12). 

Nach dem Begriffe des höchsten Gliedes sind mit I, II, III alle von ihm 
verschiedenen C4]ieder an der linken Seite von (2) erschöpft, und somit (13) und 
der in Aussicht genommene Satz bewiesen. — Man sieht übrigens, dass die von 
Herrn Wiman a. a. 0. angedeutete Methode bei jeder Differentialgleichung erster 
Ordnung eine positive untere Schranke für die Ordnung ihrer ganzen transzen- 
denten Integrale zu bestimmen erlaubt, ähnlich, wie sich die Überlegung unter 
1 zur numerischen Abschätzung der Grade von ganzen rationalen Integralen eignet. 

3. Der unter 2 bewiesene Satz steht nicht vereinzelt da. In einer bemer- 
kenswerten Untersuchung über lineare Differentialgleichungen bewies Herr Pêk- 
RON ^ u. a., dass eine ganze transzendente Funktion, die einer solchen Gleichung 

m-ter Ordnung genügt, mindestens von der (Grössen-) Ordnung - sein muss.- 

Die Ordnung, d. h. das Anwachsen des Maximalbetrages einer ganzen Funk- 
tion ist umgekehrt proportional der Geschwindigkeit, mit welcher die Koeffizien- 
ten ihrer Taylorreihe gegen Null konvergieren, m. a. W. der Geschwindig- 
keit, mit welcher die Taylorreihe gegen die Funktion konvergiert. Der zitierte 
PERRON'sche sowie der Satz unter 2 beschränken also die Schnelligkeit, mit der 
die Potenzreihe einer ganzen, nicht rationalen Funktion, die einer Gleichung der 
genannten Art genügt, gegen die Funktion konvergiert. Sie zeigen eine unver- 
kennbare Analogie zu dem LiOüviLLE'schen Approximationssatze ^, der seinerseits 
die Schnelligkeit beschränkt, mit der der Dezimalbruch einer reellen, nicht ratio- 



' 0. Perbüx, Über lineare Differentialgleichungen mit rationalen Koeffizienten, Acta 
Mathematica, Bd. 34 (1910), S. 139—163. 

' Einen auf dieses Einzelresultat abzielenden Beweisgang nebst einer Anwendung gab 
ich in meiner Arbeit: Über das Anwachsen von ganzen Funktionen, die einer Differential- 
gleichung genügen, Vierteljahrschrift der Katurforschenden Gesellschaft in Zürich, .Jahrgang 
(61) 1916, S. 531 — 545, vgl. S. 538 — 545. Herr Wi.max deutete a. a. O. einen neuen Weg zur 
Gewinnung der PERROx'schen Resultate au, der zugleich weiter und tiefer führen soll. Diesem 
AVege folgte ich unter 2, und an demselben lässt sich auch der eben ausgesprochene Satz in 
wenigen Zeilen folgern. 

^ Vgl. etwa Bökel, Théorie des fonctions (Paris, ifigcS), S. 26 ff. 

Actii ■mulhemalicd. iJ. Imprimi; le 23 décemlire 1019. "*'■' 



314 Georg Pölya. 

nalen Zahl, die einer algebraischen Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten ge- 
nügt, gegen die Zahl konvergiert. 

Es ist zu erwarten, dass die Untersuchung beliebiger algebraischer Differen- 
tialgleichungen, auch zu einem Gegenstück des LiouviLLE'schen Approxima- 
tionssatzes führt. Man könnte daran denken, dass etwa folgender Satz besteht: 
»Eine ganze transzendente Funktion nullter Ordnung kann keiner algebraischen 
Differentialgleichung genügen». Allerdings könnte der Beweis oder die Wider- 
legung einer solchen Vermutung die Frage wesentlich klären. 

Die Differentialgleichungen erster Ordnung einerseits und die linearen an- 
dererseits sind die einfachsten algebraischen Differentialgleichungen. Daher ge- 
lang auch bisher eben diese Spezialfälle mit Erfolg in Angriff zu nehmen. Aber 
auch eine ganz anders geartete Spezialisierung der Frage führt zu einigermassen 
befriedigendem Resultate, wenn man sich nämlich auf Potenzreihen mit rationalen 
Koeffizienten beschränkt und dafür beliebige algebraische Differentialgleichungen 
zulässt. Ich will meine diesbezügliche Untersuchung in Erinnerung rufen und 
zugleich deren Ergebnis in etwas verbesserter Fassung aussprechen. 

4. Den ersten wichtigen Schritt in der Untersuchung der arithmetischen 
Eigenschaften von Potenzreihen, die einer algebraischen Differentialgleichung 
genügen, hat Herr Hurwitz ^ getan. Sowohl sein Resultat, wie das, was ich 
hinzuzufügen habe, wird am besten durch Vergleich mit einem bekannten Eisex- 
STEiN'schen Satze aufgeklärt. 

Es handelt sich um Potenzreihen von der Form 

(14) '^ + 'lx + ^x^ + --+'''x'' + --- 

Iq ^1 '; tu 

WO s„ und t„ relativ prime rationale ganze Zahlen sind, <„> i. Ist s„ = o, so ist 
t„=i. Der in Rede stehende EiSENSïEiN'sche Satz besagt: ist die durch (14) 
dargestellte Funktion algebraisch, so gibt es eine ganze Zahl T von der Eigen- 
schaft, dass T" durch tu teilbar ist. — Bezeichnet man mit ;;„ den grössten Prim- 
faktor von tn, so lässt, wie leicht zu sehen, derselbe Satz sich noch auf die fol- 
gende, der ursprünglichen äquivalente Fassung bringen: 

Genügt die Reihe (14) einer algebraischen Gleichung so ist 

2J„ = 0(i), log t„ = 0{n). 

Das grosse »0» bedeutet dabei das bekannte LAXDAu'sche Zeichen für 
Grössenordnung. Diese neue Fassung ist recht gekünstelt, aber lässt sich am 
besten zum Vergleiche mit folgendem Satze heranziehen. 

* A. HuKWiïz, Sur le dOveloppeiuent des fonctions satisfaisant à une équation difii-ren- 
tiolle algébrique, Annales de l'Kcole Normale, 5° série, t. VI (1889), S. 527 — 352. 



Die Grüsseuordimng ganzer Funktionen, die einer Dift'erentialgleii-lmng genügen. 315 

Genügt die Reihe (14) einer algebraischen Differentialgleichung, so ist 

{I) \ogp„ = 0{logn), (II) log tn ^0{n (log ny-). 

Die Tatsache (I), d. h. dass die grösste Primzahl p„ im Nenner nicht schnel- 
ler wächst, als eine gewisse Potenz von ?i, ist von Herrn Hurwitz gefunden 
worden. Die Beschränkung (II) für die Grössenordnung des Nenners wird hier 
das erste Mal ausgesprochen (meines Wissens), aber sein Beweis ist schon voll- 
ständig enthalten in meiner vorher zitierten Arbeit.^ — Aus (II) folgt, dass etwa 
die Reihe 

^m r)n- 

« = 

wo die «„ irgendwelche ungerade Zahlen sind, keiner algebraischen Differential- 
gleichung genügen kann, und dasselbe folgt für die Reihe 

2 5"' ■'*••". 

n = 

WO q einen rationalen echten Bruch bezeichnet (letztere ist die rechte Hälfte 
einer gewissen Thetareihe). Die Bedingung (I) gestattete hingegen für diese 
Reihen keine ähnliche Folgerung zu ziehen. 

Dieselbe Bedingung (II) bildet auch die Brücke zu der Frage, die ich in 
dieser Arbeit aufwerfen wollte. \\\s, ihr folgt nämlich offenbar, dass tveim eine 
game transzendente Funhtion 

(15) a„ + a^x + ■■■ + anX'* + ■■■ 

mit rationalen Koeffizienten «„, a,, . . . a„, . . . einer algebraischen Differentialgleichung 
genügt, so ist 

(16) rimMKJ,>-oo. 
„-00 «(log ny 

Dieser Satz steht zu der unter 3 versuchsweise ausgesprochenen Vermutung 
offenbar in Beziehung: nach dieser Vermutung sollte nämlich 

^. — log I a„ I 

hm — 5J-^J > — CO 

„ = 30 n log n 

sein, was nicht viel mehr besagen würde, als das schon bewiesene (16). 



' A. a. O., vgl. S. )3 1—538. Nur an S. 557 sind einige selbstverständliche Änderungen 

iuizuliringen. 



;î!6 Georg Pol va. 

Es sei noch folgende, mehr kuriose als wichtige Folgerung hervorgehoben: 
Wenn die Koeffizienten einer Potenzreihe rationale positive Zahlen sind und ihre 

Partialsummen ao + «i a; H + a„ x" {n = 1,2,3,.. .) nur reelle Nullstellen haben, 

so genügt die Reihe keiner, algebraischen Differentialgleichung. — Man kann 
nämlich zeigen, dass unter den besagten Bedingungen {16) nicht erfüllt ist.' 



' Vgl. meine Arbeit: Über Annäherung durch Polynome mit lauter reellen Wurzeln, 
llendiconti del Circolo Mateniatico di Palermo, Bd. 36 (1913, 2) S. 27g — 295 und die dort zitierten 
Arbeiten des Herrn Petrovitch. 



SUR LES FONCTIONS A UN NOMBRE FINI DE BRANCHES 

SATISFAISANT A UNE ÉQUATION DIFFÉRENTIELLE 

DU PREMIER ORDRE. 

Par 

J. MALMQUIST 

à Stockholm. 

Dans un travail précédent' j'ai étudié les fonctions à un nombre fini de 
branches satisfaisant à une équation différentielle du premier ordre de la forme 

où R {x, y) est une fonction rationnelle de x. y. Un travail de M. Polya - m'a 
conduit à publier certains résultats que j'ai obtenus pour l'équation générale 

(X) F\^, y, t, .)^FAy,U^) (!)'% F, iy,i,x) ©'""V • ■ ■ + F,Ay,U:c)^o, 

où F^, F^, . . . F„i sont des fonctions entières et rationnelles de y, t et x, t étant lié à 
x par une équation algébrique F (t,x) = o. 

Rappelons d'abord quelques résultats connus. 

On peut supposer que l'équation F (y',y,t,x) = o entre y', y est irréductible 
pour une valeur quelconque de x. De plus, si l'on fait, au besoin, dans iéqua- 



' Sw les fonctions à un nombre fini de In-anches définies par les équations différentielles du 
premier ordre. Acta mathematica, t. 36, p. 297. 

• Zur Untersuchunij der Grössenordtiung gansa- Funktionen, die einer Differentialgleichung 

genügen. Ce tome, p. 509. 



318 J. Malmquist. 

tion différentielle (i) une substitution de la forme y = « + ;; , où a est une con- 
stante convenable, on peut supposer qu'il correspond à une valeur infiniment 
grande de ?y m valeurs infiniment grandes de y' satisfaisant à l'équation F(y',y,t,x) = o 
et s'obtenant par m séries de la forme 

(2) y' -=('y- + i^y + %^{^ •-c), 

où «, ß et les coefficients de ^^ sont des fonctions algébriques de x. 

Les points singuliers des intégrales d'une équation (i) se divisent en deux 
classes: les points singuliers fixes et les points singuliers mobiles. Les points de 
la première classe sont en nombre fini, mais ils sont en général des points trans- 
cendants. Les points de la seconde classe sont, d'après un théorème de M. 
Painlevé, ^ des points singuliers algébriques. Soit y„ la valeur pour a; = a;» d'une 
intégrale qui en x = Xf, a un point singulier de la seconde classe. Si 2/0 = °° '1 
résulte des équations (2) que le point a.-^ est un pôle. Supposons ensuite que 7/0 
soit fini. Alors, y„ satisfait à l'une des équations 

■^0 (VoJo.Xu) = 0, D (2/0 , t,, Xo) = 0, 

D(y,t,x) étant le discriminant de la fonction F {y',y,t,x) de y', et /5 étant une 
valeur de t pour x = x„. De plus, l'intégrale considérée satisfait à une équation 
différentielle de la forme 

(3) dx "" ^^ "" ^ ^^^ ^" " '^' (^-^ "" ^ ^^'^" ' ^ "" •'^'7 ■ 

où g{x) est une série de puissances de x — a;„ qui satisfait à Tune des équations 
F„{y,t,x) = o, D{y,t,x) = 0, et où la série au second membre satisfait à l'équa- 
tion algébrique F i-^ , y,t, x\= 0. On a ou bien /. > 0, a > i, ou bien /. = 0, «( > i. 
Dans le premier cas, on aura 

y = y„ + c, [x — x„y- + ■" + • ■ ■ , c^^o. 
Dans le second cas, en posant y = g{x) i- z" on aura une équation de la forme 



' Leçons de Stockholm, p. 57. 



Sur les équations différentielles du premier ordre. 319 

Pour que .i\ soit un point singulier il faut et il suffit que ,"'>i; alors, on aura 

y = g{x) + c, (a; — Xo)"' + • • -, c, ?^ o. 

II \' a une classe d'équations (i) particulièrement simples, introduite par 
Fuchs, ce sont les équations à points critiques fixes, satisfaisant à la condition 
que les points singuliers mobiles sont des pôles. Il résulte immédiatement de 
ce qui précède que ces équations sont caractérisées par les conditions suivantes: 

i) F„ est indépendant de y; il résulte alors des équations (2) ({ue le degré 
de F,, par rapport à y est au plus égal à 2v; 

2) tous les nombres /(' sont égaux à i. 

Nous démontrons maintenant le théorème suivant: 

Théorhne. Si V équation (i) n'est fas une équation à points critiques fixes, 
toute intégrale à un nombre fini de branches et à un nombre fini de points critiques 
est nécessairement une fonction algébrique. 

Prenons une équation (3) telle que l'intégrale de cette équation qui pour 
X = .Tq devient égale à g {x„) ait un point critique en x„. La série 



y' = {y — g{x)) " 1?((2/— ö'(•^•))'^ x—x^^ 



qui entre dans le second membre de cette équation (3), représente, pour une 
valeur quelconque de x dans le voisinage de x^, l'entourage d'un certain point 
de la courbe algébrique F {y\y,t,x) ^ o. Il existe une fonction rationnelle de 
y', y, soit 

z = R(y\y x) 

qui ne devient infinie qu'en ce point. Dans le voisinage de ce point, on aura 
~={y — g W) " i'llo/ — ;7(^'))" , x), "l^ (o ; a,-) .=^ 0, 

les coefficients de 'Pi étant des fonctions algébriques de x. Si y est l'intégrale 
de l'équation (3) considérée qui pour .r = .r„ devient égale à g{x^)=ya on aura 



dz 
dx 



2 '■ f,\^z '■ xY\-.,{qx)^o 



320 J. ilalmquist. 

dans le cas où /. > o, et 

j". = (2/ - £7 i=c)f -^' is {(y - g(x))" x) 



'■'f3\z '■' ^Y -^3(0 .r)^o 



dans le cas où '/. = 0. 

On aura un résultat analogue pour une intégrale quelconque quand x est 
situé dans le voisinage d'un point singulier fixe i", en supposant seulement que 

le point (;",,?/) soit situé dans le voisinage du point considéré de la courbe algé- 
brique F (y, y, t, x) = o. Alors 

(4) rfl^-'^'^^^i-"'' ■")' ^(° ^)^" 

si /. > o, et 

(4') ^^^^'h(:r'-' 4^(0 .r).o 

si ?. = o. 

Cela posé, supposons que l'équation (i) soit satisfaite par une fonction y 
à un nombre fini de branches et à un nombre fini de points critiques. Alors 

est une fonction à un nombre fini de branches et à un nombre fini de points 
singuliers, car, à l'exception des points singuliers fixes i", elle ne saurait devenir 
infinie qu'en un point critique de y. Etudions l'entourage d'un point i". Si |2| 
est suffisamment grand, z satisfait k l'équation (4) ou (4'). Or /. ~ u > o, u' >o; 
par suite, on peut employer les raisonnements par lesquels nous avons déduit, 
dans le mémoire cité, certains résultats de M. Boutrocx concernant la croissance 
des intégrales. On aura ainsi le résultat qu'il correspond à tout point ; un 
nombre r de telle manière que l'inégalité 

a lieu dans un certain entourage de x = i'. Comme i' est un point singulier isolé 
et comme z a, d'après la supposition, un nombre fini de branches, on en conclut 



Sur les équations différentielles du premier ordre. 321 

que tout point i' est au plus un point singulier algébrique de z et que 2 est une 
fonction algébrique. Par suite, y est une fonction algébrique. 

Le théorème démontré peut être complété par le théorème suivant: 
Théorème,. Une équation (i) ne peut être satisfaite par une fonction transcen- 
dante (I un nombre fini de branches et à un nombre fini de points singuliers que 
dans le cas oii V équation (i) se transforme à une équation linéaire 

(iz A r, 

d.= ^'^^ 
par une transformation de la forme 

y = a„ z"' + a, 2'" -' + f- a„, , 

ou à une équation linéaire et homogène 

di 



dx 



par une transformation de la forme 



y- 



V 



* ayZ^', n + n! = m, 



A, B et a,, étant des fondions algébriques de x. 

Supposons qu'il existe une intégrale transcendante y à un nombre fini de 
branches et à un nombre fini de points singuliers. II résulte d'abord du théo- 
rème démontré que l'équation (i) doit être une équation à points critiques fixes. 
Ensuite, il résulte d'un théorème de Poincaré ' que le genre q de la courbe 
algébrique F (ii',y,t,x) = odo'ii être <i, car si q> i, l'intégrale générale est une 
fonction algébrique. 

Supposons que = 1. Alors, l'équation (i) se transforme à une équation 



par une transformation qui peut s'écrire 



' S%tr un tUoreme de M. Fitchs. Acta inutlieniaticii, t. 7, p. i- 

Aria mntliomiiHra. K. Imprimé le 3 m.ai'S 1!K0. 



322 J- Malmquist. 

ou inversement 

(72, g. étant des constantes, a et les coefficients des fonctions rationnelles //, R, 
étant des fonctions algébriques de x. Introduisant -dans B l'intégrale y consi- 
dérée on aura une fonction 2 à un nombre fini de branches; elle est nécessaire- 
ment transcendante, car on a inversement y = B, 1^, z -"c ■ 

La fonction R^(z',z''x) devient infinie pour certains points {z',z) de la courbe 
z'^ = a- {^z^ — g^z^g^), soit z==g{x) une telle valeur de 2. Il est évident que i?i 
devient infinie pour le point correspondant, quel que soit x, à l'exception peut- 
être d'un nombre fini de valeur de .r. Il est facile à en conclure que la fonc- 
tion y = R, i-^,z\x\ devient infinie pour une infinité de valeurs de x, con- 
trairement à l'hypothèse. II suffit de montrer que z — g{x) a une infinité de 
zéros. La fonction u = - satisfait à l'équation 



= - u' \^a{x) 1/4 [g (.r) + i)* - g, [c, [x) + i) -5,3 _ flr' (x)\ 



dont le second membre devient infini pour m = co de Tordre 2 ou exceptionnelle- 
ment de l'ordre ^ji. Si la fonction z — g{x) n'avait qu'un nombre fini de zéros, 
u aurait un nombre fini de points singuliers, d'après les résultats^de M. BoDTROUX 
M et 2 seraient des fonctions algébriques. 

Par là, il est démontré qu'on ne peut pas avoir 0=1: donc, = 0. Alors, 
l'équation (i) se transforme à une équation de Riccati 



par une transformation 



ou inversement 



~ = ^2-+ Bz+C 
dx 



'-<•>' '\ 



y = Riiz' x) 



Supposons en ])reniier lieu que l'équation (i) ne puisse être transformée à une 
équation linéaire. Alors, l'équation de Ricc.\ti n'aura aucune intégrale algébrique. 

Si y est l'intégrale considérée de (i), z === R i '[, y .A est une fonction transcen- 



Sur les équations différentielles du premier ordre. 323 

dante à un nombre fini de branches. On voit comme précédemment que les 

fonctions , z — g{x), où g(x) est une fonction algébrique, ont une infinité de 

zéros, et on en conclut que la fonction y = Ry{z x) a une infinité de pôles, 
contrairement à rh\'pothèse. 

Il est donc démontré que l'équation (i) se transforme à une équation linéaire 

par une transformation z = R \-^,y x\ ou inversement y = i?, (z | a). Si l'équa- 
tion linéaire n'a aucune intégrale algébrique, on démontrera comme précédemment 
que la fonction R^izrx) de z ne peut devenir infinie que pour z = ao, c'est-à-dire 
que /?, est une fonction entière de z. On voit facilement que son degré est égal 
à m. Si l'équation linéaire a une intégrale algébrique, on peut supposer que ce 
soit z=o, c'est-à-dire que l'équation est homogène. Alors, on démontre que iî, 
ne peut devenir infinie que pour z = o ou z = =o . Par suite, Ri aura la forme 

y= ^ UyZ''. A une valeur de y, il correspond n + n valeurs de z et ii + n' 

valeurs de -,-. comme on le voit facilement, donc n + n'=m. Le théorème est 
dx 

donc démontré. 

Les considérations précédentes s'appliquent facilement à l'étude d'un point 
singulier, soit x = o, d'une équation de la forme 

(5) FAy -^O g)"'+^. (y -^) ©""'+•■■+ ^"•(?^l^-)="' 

F^, F,, ... F,„ étant des fonctions entières et rationnelles de y, dont les coeffi- 
cients sont des séries de puissances de x. On aura le résultat suivant. 

Théorème. Supposons en premier lieu que l'équation (5) n'est pas une équa- 
tion à points critiques fixes et qu'il existe une branche d'intégrale, définie pour \x\ < r, 
ayant un nombre fini de valeurs en chaque point et n'ayant d'antre point critique 
que x = o. Alors, cette branche aura au plus un point singulier algébrique en x==o. 

Supposons en second lieu qu'il existe une branche d'intégrale, définie pour 
|.r| < »•, et aya7it en a: = o un point singulier isolé non algébrique, dans le voisinage 
duquel un nombre fini de valeurs se permutent. Alors, l'équation (5) se transforme 
à une équation linéaire 

dz 



' = Az + B 
dx 



par une transformation de la forme 



:324 J. MaliiKiuist. 

■>j=aa z"' + flj 2"'~' + ■ ■ • + a,„ 
on à une équation, linéaire et homogène 

dz , 

= Az 
dx 

par une Iransformalion de la forme 

y = ^ a„ z", n + n' = m, 

A, B et «,. étant des séries de la forme x" '')f' \x'' ) , oii ii est un entier >^i et /. nn 
entier quelconque ou nul. 

L'ordre de croissance de la branche considérée dans la seconde partie de ce 
théorème est déterminé par l'ordre d'infinitude de la série A pour x = o^ Si 
cette série commence ])ar la puissance .^~i'+^'' l'ordre de croissance est égal à k. 
On peut obtenir une limite inférieure de ce nombre. Supposons d'abord que la 
transformation a la forme ?/ = OoS"' + a, 2'"— ' + •• • + «„,. On peut supposer que 
«^=1. En étudiant l'entourage de ij = <x on voit facilement que — m- A est 

F 
égal au coefficient de // dans le quotient ' , par suite, A est une série de puis- 
sance de X, donc k est un entier qui est nécessairement ^i. Supposons ensuite 
que la transformation a la forme y= ^ «rS''- On peut supposer que a„ = i. 

Par un calcul élémentaire on trouve que les termes de l'équation (5) qui sont 
du plus grand degré m par rapport à et y peuvent s'écrire 

=©"'~[»'fe-»'-^)-"4(a"+[»'"'^(:::-''^)* 

' Je dois il M. Pôlta d'iivoir posé la question concernant la croissance dont la discussion 
suivante donne la solution. 



Sur los équations différentielles du premier ordre. 325 

On conclut que ^4 et — ~" satisfont à des équations du second degré dont les 
coefficients sont des séries de puissances de x. L'ordre d'infinitude de ~" est 

égal à I, si ce quotient devient égal à « pour a; = o; par suite k est un entier 
si n ^ n'. Le seul cas où k pourrait être < i est donc celui où n = n'; alors, 

k est égal à- ou à un multiple de . 



ON TWO THEOREMS OF F. CARLSON AND S. WIGERT. 



(1. II. HARDY 

New College, Oxkoud. 

1. In this short note I have united a number of remarks relating to two 
theorems due in part to Wigert and in part to Carlson.' The theorems belong 
to the same region of the tlieory of functions, and it is natural to consider 
them together. 

I. 

2. I write z = X + iy = re'0. Then the first theorem is as follows.- 

' The manuscript of the note (then entitled On two tlieorenis of Mr. S. Wigert') was sent 
to Prof. Mittag-Leffler in 1917. I was at that time unaware of the existence of Mr. C.'\rlson's 
dissertation ('Sur une classe de séries de Taylor', Uppsala, 1914). This dissertation was given to 
me by Prof. Mitiau-Leffi.ek in September 1919; and I found at once that Mr. Carlsox had 
anticipated not only Mr. Wigert's theorem of 1916, referred to in § 2, but my own generalisa- 
tion of this theorem and indeed the substance of most that I had to say. 

The note, however, contains something in substance, and a good deal in presentation, 
that is new,- and I have therefore agreed to Prof- Mittag-Leffi.er's suggestion that it should 
still appear. Except as regards §§ i — 2, 1 have left it substantially in its original form. 

- Wigert ('Sur un théorème concernant les fonctions entières', Arkiv for Matematik, vol. 
II, 1916, no. 22, pp. I — ;) proves a theorem which is less general in that (i) the angle is suii- 
posed to cover the w-hole plane and (2) f{z) is supposed to vanish for all positive and negative 
integral values of z. Carlsox {I. c, p. 58) proves a theorem which contains the present theo- 
rem as a particular case (but is in fact substantially equivalent to it). His method of proof is 
similar to that of the first two proofs given here. 

AViGERT (I. c.) refers to previous and only partially succesful attempts to prove his theo- 
rem, and gives a proof based on a theorem of Piiragméx ('Sur une extension d'un théorème 
classique de la théorie des fonctions', Acta Mathematica, vol. 28, 1904, pp. 351— 369). He deduces 
as a corollary a resuit relating to the case in which /(z) vanishes only for positive integral 

values of z; in this the number 7: is replaced by the less favourable number r. I may add 

2 

that a siinihir result, in which ;: is replaced by the still less favourable number i, was found 
iiidcpendently by I'.h.ya (' Cher ;j:anzwertige gauze V'nuktionen, Rendiconfi del Cirrolo ^fatemntico 



328 G. H. Hardy. 

(i) j{z) is regular at all ]>omts inside the angle — a <0 <u, where «> -;f; 

(2) \f(z)\<Ae''''', where k < .r , throughout thifi angle; 

(3) /(") = o for n= I, 2, 3, . . .; . 

titen f{z) is identically zero. 

3. It seems most natural to deduce this theorem from those proved by 
Phragmén and Lindelof in Part III of tlieir well-known memoir in Vol. 31 of 
the Acta Mathematica.'^ Let us suppose that /(2) is not always zero, and write, 
with Phragmén and Lindelof, 

/;(«)= lim sup "^-liA'ß ."^ 

so that 

h{0)<k, {~a<fi<a). 

Then h{0) is continuous for ~u<f)<u.- 

Now let 

Fiz)^M-, 
sm IT 2 

so that F{z) also is regular inside the angle of the theorem; and let H(H) be 
formed from F{z) as h{0) is from /(2). Then it is obvious that 

(i) H{ll) = h{l>)'~.i\^mt)\<k- .,\^m(l\, 

except possibly for = o. 

If = 0, z = X is real. We write 

i{x) = aix) + iv(x), F[x) = V{x) + i F(.r). 

Let us suppose that x is not an integer, and that ?( is the integer nearest to x. 
Then 

(/( FalcriHO, vol. 40, 19I), pp. i — 16). !t slioiilil lie aiUled that this result of Pôlya ai>pears 
only incidentally as a corollary ot theorems of a somewhat different character and of the 
highest interest. 

' E. Phragmén and E. J>iNni:i.öF, 'Sur une extension d'un principe classitiue de l'analyse 
et sur quelques propriétés des fonctions monogènes dans le voisinage d'un point singulier', 
Acta Mathematica, vol. 31, 1908, pp. 5S1 — 406. 

' This follows from the argument of \t\>. 401 — 40; of I'hk.vumkx and hixnKi.oi's memoir. 
This argument presupposes that the vahio of li{0) is not always — x , a jiossihility ex- 
cluded hy the theorem of p. >8;. 



On two theorems of F. Carlson aud S. Wigert. 329 

U{x) = ^—^ «'(i-,), V(x) = ^-^^^ v'[i.), 
sin iTX sin /rx 

where i, and ;., are numbers between n and x. It follows that 

\F(x)\<Ci,,„ 

where C is a constant and </„ is the maximum of |/'(.r)| for v — i <^x <^n + i. 
But 



2 7TlJ (Z — X)^ 



where the contour of integration is the circle \z — a;|=i; and so 

|/'(.r)|< Je''(-^+i), (/)„<^e''(«+--i). 
Thus 

\F{x)\<Be''^, 
wiiere 5 is a constant. 

It follows that H(o)<k. Hence H{f)) is continuous for ö=o, and (i) 
holds for all values of (I between — « und «. Thus H(t))<o for ii<ll<y and 

— }'<()< — 1^, jj being the positive acute angle whose sine is , and ; the lesser 
of a and .r • — ji. 

But it is easily proved that this is impossible. Suppose first that a > .i . 

Then H{fl) cannot be negative for — u<(l<u, since the length of this interval 

is greater than ,t.' There is therefore, inside this interval, an interval in which 

H{0) is positive.- This last interval must form part of the interval — ßS^^ß' 

and its length is therefore less than rr. And this, finally, is impossible.* 

I II 
Secondly, suppose that a = r. If H{fl) is not negative for jc <0 < ^/r, 

we obtain a contradiction in the same way as before. If H{ll) is negative for 

— -It <0 < 7r , it must be of the form L cos W + .1/ sin ^/.* It is plain that L 

must be negative and M zero, and that H{0) must tend to zero as we approach 
an end of the interval, which is not the case. 



' Phragméx and Lixdki.of, I. c, p. 400. 

' Ibid., p. 399. 

' Ibid., p. 599. 

' Ibid., p. 403. 

Artn nttilliem'itirn. 4J. Imprimé W 'i m.irs I!I20. 



330 G. H. Hardy. 

We have therefore arrived in any case at a contradiction, and tlie theorem 
is proved. It is ea.sy to see, by considering a function of the form e-" sin :cz, 

that it ceases to be true when «< ir. 

2 

4. I shall now give an alternative proof of the theorem based on entirely 
different ideas. This proof is less elementary than the first, but seems to me 
to be of some instrinsic interest. 

Suppose that w is positive, p a positive integer, < / < i, and p < ?. < p + i. 
Then it is clear that, under the conditions of the theorem, we have 

^'^ ^ 27tila\nnz'^ 27rijsin:rz' 

I ;.-V"oo y.-ix 

the paths of integration being rectilinear. 

Let us suppose now that A = p+ and that p—'cx. Then 



-r '—■Ufdz < iV - \ 

J sm iTZ ~ J 



.+:rkK2 + *^ 



cosh Try 



dy. 



Also 



/ (p + ^ + »2/ < ^ e-rp k' |/ p f J^l + ?/M < ß 



É^i/'+l.'/l), 



where iî is a constant; and so 



{M^.o'd^ 
J sin ;tz 



<C{io €'■)'', 



wliere C is another constant. Thus the integral tends to zero if w is sufficiently 
small. We have therefore 



(i) aJ(iv)==wf{i)-w'-l{z) + w-^fi^) =^. j ^JL^J{z)iVdz, 



for sufficiently small positive values of w. This formula is of course well-known, 
and show.s that (J)(ir) is an analytic function regular for ail positive values of «'. 



On two tlieoieiiis of F. Carlson and S. Wigert. 



331 



Suppose now that — i < s < o. Then we can choose « and v so that 
o < J' < — s </(<!. And we have ^ 



(2) 



1 1 .«+«00 

2/ri I } sm 7CZ 



(3) 



I tif~^O^iv)dw = — . i xv^^^ div I -T-^ f(z)w^dz, 

J ^ 2.7TI } } sm TtZ 



provided only that these integrals are convergent. 
The double integral 



// 



—. i(z)vf'^^''^dwdz 

sin Jtz 



is convergent, as may be seen at once by comparison with the integral 

1 X 

I I w"+"-'e-'-^-'')l;'ld«;d2/. 

6 —00 

Hence the integral (2) is convergent, and may be calculated by inversion of the 
order of integration. The same arguments may be applied to the integral {3). 
Inverting the order of integration, and combining the results, we obtain 

?<■'-' (/)(w)atü= . -; dz — ; -. ,— az. 

I 2m ) sm nz z + s 2 rrî J sm ttz 2 + s 



(4) \ w^-^(D{w)dw'= ^ — f{—s). 

^ I sm 7ts 

This formula has been proved for — i < s < o. It is equivalent to 

' This artifice is due to Meli.is, from whose work the ideas of the proof are borrowed. 
See Hj. Mei.lin, Über die fundamentale Wichtigkeit des Satzes von Cauchy für die Theorien 
der Gamma und der Hypergeometrischen Funktionen; Acta Societatis Fennicae, vol. 21, no. i. 
1896, pp. I — III (pp. 37 et seq.). 



332 (i. Il- Hardy. 

(5) I w'-^{a„ — a,w + a,w- ^^^^' ^ sin jrt ^''' 

where o<<<i and a,=a{z) is an anal^vtic function of z subject to certain 
conditions. In this form the formula was communicated to me some years 
ago by Mr S. Ramanujan, in ignorance of Mellin's work. 

So far we have made no assumption as to the values of j{z) for integral 
values of z. It is plain that, if f(n) = o for n = i, 2, 3, . . ., we obtain 

/(— fi) = (— I<5<ü), 

so that /(2) is always zero. 

II. 

5. Suppose that /(2) is an integral function of ;; such that 
(i) 1/(2)1 <e'^+"'- 

for every positive t and all sufficiently large values of r, 
(2) |/{2)|>eO-')^ 

for every positive 4 and for a corresponding sequence of values of r whose limit 
is infinity. Then, following Pringsheim,' I shall call /(2) an integral function 
of order i and type /. This being so, the second theorem which I wish to 
discuss may be stated as follows. 

The necessary and sufficient condition that 

f{z) = tto + «,2 + a.z^ + ■■■ 

should be an integral function of - is that there should be an integral function 

a(z), of order i and type o, tvhich takes the values a;, a.,, a^, . . . for 2 = i, 2, 3, . . . 
I may insert here a few references to the rather extensive literature connected 
with this theorem. The complete theorem is due to Wigert^; but the second half of 
it, asserting the sufficiency of the condition, was discovered almost simultaneously, 
and by a quite different method, by le Roy.^ Another proof of this part of the 

' A. Pringsheim, 'Elementare Theorie der ganzen transcendenten Funktionen von end- 
licher Ordnung', Mathematische Annalen, vol. 58, 1904, pp. 257 — 342. 

' S. WiGEBT, 'Sur lea fonctions entières', Öfversikt af K. Vet.-Ak. Förhanälingar, Ârg. 57, 
1900, pp. lOOI — lOII. 

' E. i.E Rot, 'Sur les séries divergentes et les fonctions données par un développement 
de Taylor', Annales de la Facttlté des Sciences de Toulouse, ser. 2, vol. 2. 1000, pp. 317— -1 50 (pp 
3)0—355)- 



Oll two theorems of F. Cailsou and S. Wigeit. 333 

theorem has been given by Lindelöf,* who deduces it, along with many other 
important theorems, from the 'formules sommatoires' of the calculus of residues. 
The whole theorem was rediscovered at a slightly later date by Faber,* whose 
proof does not differ in principle from Wigert's. It has been further discussed 
by Pringsheim,' who presents the whole proof in a particularly simple and 
elementary form. And, as explained in the footnote to § i, it is a special case 
of much more general theorems to be found in Carlson's dissertation. 

6. The proof which I give here stands in closest connection with the ideas 
of LE Roy. I begin by proving the following lemma. 

In order that a(z) should be an integral function of order i and type o, it is 
necessary and sufficient that a{z) shotdd be of the form 

(I) a{z) = ^.je"rf[l^du, 

c 

where C is a simple contour enclosing the origin, and (fi 1 =(p(w) is an integral 

function of %v. 

This lemma is extremely easy to prove and very useful, but I do not 
remember having seen it stated explicitly. In the first place the condition is 
sufficient. For we may replace the contour by a circle whose centre is the 
origin and whose radius is s, and then 

\a{z)\ = \a{re^8)\<EMe'-, 
where M is the maximum of \<p\ I on the circle. 



In the second place the condition is necessary. For if 

a[z)^'^Ckz'' 



is a function of the required type, then* 

' E. LiNDEi.oF, Le calcul des résidus, Paris, igo;, p. 127. See also 'Quelques applications 
d'une formule sommatoire générale', Acta Societatis Fennicae, vol. 31, no. 5, 1902, pp. 1—46. 

' G. Faber, 'Über die Fortsetzbarkeit gewisser Taylorscher Reihen', Mathematische Anna- 
len, vol. 57, 1905, pp. 369 — 588. 

' A. Pringsheim, 'Über einige funktionentheoretische Anwendungen der Eulerschen Rei- 
hen-Transformation', Münchener Sitzungsberichte, 1912, pp. 11 — 92 (pp. 40— 4j). 

* See, e. <j., Pringsueim, l. c, p. 3S. 



334 G. H. Hardy. 

jXn!|c„| — o; 

so that 

(p{w) ='^n\ c,jM;"+' 



is an integral function of w. Thus 

a(z)=y,nl c„ -^. i 4x^1 f^« = ^ I «'"'if :^r' "• 
" b c 

7. We have now to show that /(2) is an integral function of _ _ if and 

only if there exists a function of the form (i) which assumes the values Oi, a,, . . . 
for 2 = 1, 2, . . . 

In the first place, if such a function exists, we have 

1 c 

if C is a contour enclosing the origin and |2ê"|<i at all points of C. These 
conditions will be satisfied if 1 2 1 < i and C lies entirely to the left of the line 

;)i(i() = log 

The only singularities of the integrand, other than the origin and infinity, 
are the various values of log - ; and it follows, by a familiar argument due in 
principle to Hadamard,' that the only possible singularities of /,(2) are the 

values of 2 for which log - is zero or infinite, that is to sav the values 0. i, 

z . . 

and 00 . 

Let us draw a cut in the plane of 2 from i to 00 , say along the positive 
real axis. Then there is a branch fi(2) of /1(2), the so-called 'principal' branch, 
which is one-valued and regular in the cut plane and vanishes at the origin. 
If finally we can show that /1(2) is one-valued in the neighbourhood of 2=1, it 
will follow that f,(2) is the only branch of /,(z), and so that /,(2) is a one-valued 



' J. Hadamard, 'Essai sur l'étude des fonctions données par leur développement de Tay- 
lor', Journal de mathématiquef:, ser. .|, vol. 8, 1S92, pp. loi — 186. 



On two theorems of F. Carlson and S. Wigert. 335 
function with s = i as its sole finite singularity, that is to say an integral func- 
tion of 

I — 2 

Suppose then, to fix our ideas, that z tends to i through positive values 
less than i, that C is a circle whose centre is the origin and whose radius is 

less than log _ , and that C is a concentric circle whose radius is greater than 



log P . Then' 



fl (2) = '—■ i ~^^"- u'f (") ^W 

2 /rtj I — 26" \-«/ 



log 



+ — ■ - „V W'*' 

2 -Tî / I — 2 6" '"' 



where log - denotes, of course, the value of the logarithm which vanishes for 

2 = 1. It is plain that the last integral representents a function regular for 
2 = 1. As 



"fe) 



is one-valued in the neighbourhood of 2 = i, so also is /,(2). Thus one half of 
the theorem is proved. 

8. Secondly, let us suppose that /(2) is a function of the type prescribed. 
We have 

(i «,.= ■ ^,dz, 

^ 2 7ri I 2"+' 

the path of integration being a closed contour surrounding the origin, but 
excluding the point 2=1. It is evident that, if n.>i,- we may deform this 
contour into that formed by (i) the right hand half of the circle 



' Compare G. H. Hardy, A method for determining the behaviour of a function repre- 
sented by a power series near a singular point on the circle of convergence', Proc. London 
Math. Soc, ser. 2, vol. 5, 19O), pp. 581 — 389. 

'■' The ar^'unieiit fails for jj = o unless /ix) = o. Compare Wicerts pai)er. 



336 Ci- H. Hanly. 

;' being any positive number, and (2) tho parts of the imaginary axis wliich 
stretch from the ends of this semicircle to infinity. 

Let us now effect the transformation 3 = «-", u = \os-, where that value 

of the logarithm is chosen whose imaginary part lies between — ./ and ,r. The 
contour in the z-plane becomes a contour in the «-plane formed by three sides 
of an infinite rectangle whose vertices are 



y + ' iri, — CO -f - iT Î , — CO Tti 

2 2 2 

and we have 



2 TTl 



e"" f[e-")du, 



the integration being effected along this contour. It is obvious that the contour 
may now be deformed into any simple closed contour which encloses the origin 
but lies entirely inside the circle |M| = 2.f. Finally, f{e~") is plainly regular 
except for u = a and u = ± zk.ti [k = i, 2, 3, . . .), and is therefore of the form 



/(e-")='fQ + '/'(«), 



where (p(iv) is an integral function of ip and i/'(m) i« a power series whose radius 
of convergence is at least 2 tt. And 

a„ = . I e""<i' I 1 (I V , 

2 iiij \iil 

which proves the theorem. 

9. The preceding proof of Wigert's theorem is of course less elementary 
than (for example) Pringsheim's. It seems to me interesting none the less on 
account of its almost intuitive character. It has the further advantage of 
lending itself very readily to generalisation, as I shall proceed to show. 

In the first place, the lemma of § 6 may be at once generalised as follows: 
In order that a(z) should be an integral junction of order i and type, y, it is 
necessary and sufficient that a{z} should be of the form 



a{z) = 



2 ÏII J ' \ul 



On two tlieoiTiiis of F. Carlson and S. Wigprt. 337 

where C is a contour ivhich includes the circle \ii\ = '/, cud '/'("') '* " fvnction 

regular for | t | < ^{but not for \>c\ < j- 

To prove this we observe that a(2)^2'c„3" will he a function of the typo 
required if, and only if, 

lira sup Vn\ |c„| = 7,^ 

so that the radius of convergence of 2h ! c,,:" is precisely ;'. The proof is then 
practically the same as that of § 6. 
We can now express 

Vi 

1 

in the form (i) of § 7. The possible singularities of /,(2) are now o, cc , and 
the values of 2 for which log , < ;'• The latter values cover the interior of 
the curve defined by the equation 

(I) 

We suppose that o<;'<.r and — r <ll< a. Then the curve defined by 
(i) has the polar equation 



(2) (log,^) =f-tt\ 

and consists of a single loop, enclosing the point » = 1, ^ 0, and cutting the 
unit circle where 0= ± y. The function /(2) is regular outside this curve, and 
has a branch regular at the origin and at infinity. The curve may be the 
boundary of existence of the function: in this case the function is one-valued. 
But in other circumstances the function may have other branches of which o 
or CO are singular points.^ 

10. I shall now suppose that f(z) is a branch of an analytic function, one- 
valued and regular throughout the region exterior to the curve (2), including 



' See i)p. 557—342 of Prixgsheim's paper in the Mathematische Aimalen quoted above. 

' The substance of these results is contained in the work of :.k Hoy and Lixdet.of. Cf. 
i.E Roy, ;. c, and Linpelöf, Le calcul des résidus, pp. 155 — 136. A less complete result is 
given by Pringskeim: see p. 46 of his paper in the Münchener Sitzungsba-ichte already referred to. 

Ada mulhemalica. 42. Imprimé le 5 mars 1920. 43 



338 Ci. h. Hardy. 

infinity; and I shall show that in these circumstances there is an integral func- 
tion a(2), of oder i and type /, which assumes the values o,, a., a^. . . . for 
£=I, 2, 3, . . . 

We start from the formula (i) of § 8, and deform the path of integration 
into one of the same general character as that used in § 8, but so constructed 
as to leave the curve (2) entirely on its right. We may take the contour, for 
example, to be formed by part of the circle r = e-'\ where (5 > ;', and parts of 
the radii = ± I, where y<l<jr.Th'is contour transforms, as in § 8, into a 
quasi-rectangular contour, which now lies entirely outside the circles h« | = ;' 
and I « ± 2 k.i i\ = / (k = i, 2, . . .). We thus obtain 



Tri J 



e'"'f(e-")du, 



where f{e-") is regular in the region exterior to the circles just referred to. We 
can express f{e~") in the form of a Laurent's series 

00 ■ _] 00 

-00 -00 ^'"' 

the first series being convergent for | « | > ;' and the second for | ?/ 1 < 2 /r — y; 
and plainly . 

a„ = . I e"" 7 ]dn, 



where now the path of integration is any closed contour at all points of which 
\u\>y. 

We have thus proved the following theorem. 

The necessary and sufficient condition that f[z) = 2' a,, 2" should he a one-valued 
branch of an analytic function, regular in the region exterior to the curre 

(^oglf = 7' - (>'■ {o<y<^,), 

and including infinity, but not in any more extensive region of the same character, 
is that there should be an integral function a{z), of order i and type ;■, tchich assu- 
mes the values a,, a., . . . for z = 1, 2, . . . 

The function a(z) is, in virtue of Wigert's first theorem, unique. It is 
plain tliat the theorem ceases to be true if />'. The critical curve then is 



On two theorems of F. Carlson and S. Wigert. 339 

no longer a simple loop surrounded by an open infinite region, and there are 
infinitely many different functions which have the properties specified. 

The proof of the theorem which I have given seems to be that which is 
most in conformity with the general ideas of this note. But it can also be 
proved by an argument more on the lines of Wigert's note and depending 
upon the properties of the functions 

Chelsea, London, August 1917. 



SUR L'ÉLÉMENT SIMPLE DE LA DÉCOMPOSITION DES FONC- 
TIONS DOUBLEMENT PÉRIODIQUES DE TROISIÈME ESPÈCE. 



PAUL APPELL 
à Paris. 

I. Dans plusieurs mémoires insérés aux Annales de l'Ecole normale 
supérieure' (Troisième série, T. I, II, III et V, 1S84, 5, 6 et S), j'ai introduit 
une fonction de deux variables indépendantes ii et z, 

(i) Z,u(", 2) =i^ i e ^^ q""'^n--i) cotg ^(m — 2-2»n-Â"), 

(m entier positif) où les deux périodes w et m sont désignées par iK et 2iK', 
avec 

q = e ""^ , |î|<i. 

Cette fonction de u admet le pôle simple u = z avec le résidu + r, et les pôles 
homologues dans les autres parallélogrammes des périodes, avec les résidus résul- 
tant des relations fonctionnelles suivantes. Cette même fonction considérée comme 
fonction de 2 admet le pôle simple z = u avec le résidu — i et les pôles homo- 
logues avec les résidus résultant des mêmes relations. La fonction /mC«. 2) 
admet la période 2K par rapport à chaque variable. Elle vérifie, en outre, les 
deux relations 

^ Voyez également Comijtes Rendus, 17 décembre 1883, t. 97, p. 1119. 



342 l'aiil A])pell. 

7^^(m, 2 + 2/A'') = e ^ •/^^^{u,z), 

vinui 

/ [u + 2iK', z) = e '^ '/.„Au-, z) 
I '"' 

où f/"'M-) désigne la fonction entière 

v.-Tzi n = + <x) innmi 

(3) </f {z) ^ e^ 2 «*^^ 9"'"("-i)+^"- , 

()' = o, I, 2 . . ., m — i). 

Cela posé, on suit qu'il existe deux sortes de fonctions doublement périodiques 
de troisième espèce, au sens d'HERMiTE, les unes (A) ayant plus de pôles que 
de zéros, les autres (B) ayant plus de zéros que de pôles, dans un parallélo- 
gramme des périodes. 

(A) Soit F{u) une fonction de troisième espèce, ayant m pôles de plus 
que de zéros: on peut toujours ramener cette fonction à vérifier deux relations 
de la forme 



(4) 



F{u + 2A') = F(u), F(u + 2iK') = e ^^ F[u). 



Supposons que, dans un parallélogramme des périodes, elle admette des pôles 
du premier ordre a, b, . . . l avec les résidus correspondants A , B, ... L; on peut 
écrire alors la formule de décomposition en éléments simples 

(4') f(M) = ^x,„(", a) + 5x,„(w. b) 4--+iz„,(", /); 

les résidus ne sont pas indépendants des pôles; ils vérifient les m .relations 

(4") Ä 9Ï"Ha) + Bg^;"Hb) +■■■+ Lgi^f^l) = o 

(i' = o, I, 2, . . . ??^ — i). 

(B) Soit ^'(2) une fonction de troisième espèce ayant, dans un parallélo- 
gramme, m zéros de plus que de pôles; appelons a, b, . . .1 les pôles, A, B, . . . L 
les résidus. On amènera cette fonction à vérifier les relations 



(5) 



F(z + 2K)^F(z), F(z + 2iK') = e' 



F{z) 



Sur rélément siiiijile de la décomposition des fonctions doublement ])ériodi(iues. 343 
et on aura 
(5') F{z) = ~Ay.Ja,z)-BxJh,z) Lx,JI,z)+ G'(c), 

G{z) désignant une fonction entière vérifiant les relations (5), c'est-à-dire une 
fonction de la forme 

(5") G{z) = Kg^rHz) + A,£7('")(3) + • ■ ■ + /.„,_io(;;l, (z) , 

où les /. sont des constantes. Les résidus A.B ... L sont actuellement in- 
dépendants des pôles. 

Tels sont les deux cas à envisager. C'est un fait remarquable que la même 
fonction /„,(«, 2) serve d'élément de décomposition, dans les deux cas: dans le 
premier cas (A), m est la variable et 2 un paramètre qui coïncide successive- 
ment avec les différents pôles; dans le deuxième cas (ß), 2 est la variable et n 
un paramètre qui coïncide successivement avec les pôles. 

On trouvera un exposé de cette théorie dans le Traité des fonctions ellip- 
tiques d'HALPHEN (T. I, Cbap. XIV, p. 467) et dans le Précis des fonctions ellip- 
tiques par Appell et Lacotxr (Gauthier-Villars). 

On a ainsi des méthodes générales de calcul pour les fonctions de troisième 
espèce. Ces méthodes permettent de retrouver et de rattacher à un même point 
de vue les nombreuses formules isolées trouvées par Hëemite, puis les formules 
établies par Biehler dans son intéressante Thèse (Svr les développements en série 
des fonctio7is doublement périodiques de troisième espèce, Gauthier-Villars, 1879). 
Quelques-unes des formules que j'ai obtenues de cette façon ont été reproduites 
par Hermite, dans un mémoire inséré au tome C du Journal de Crelle. 

Dans la Préface des Oeuvres d'Hermite, M. Emile Picard partant des tra- 
vaux d'HERMiTE sur les fonctions elliptiques, dit: 

»Je ne puis m'arrêter sur toutes les questions qu'il a étudiées dans cette 
théorie. Que de Mémoires seraient encore à citer, renfermant des idées ingéni- 
euses et originales, sur lesquelles il revenait avec joie: décomposition des fonc- 
tions doublement périodiques de troisième espèce, à laquelle M. Appell devait 
apporter des compléments importants ...» 

Ce passage, justifié par la constatation du rôle génial joué par Hermite 
dans l'établissement d'une théorie générale des fonctions doublement périodiques 
basée sur les méthodes de Cauchy, et dans la création de l'élément simple de 
décomposition des fonctions trigonométriques, elliptiques, et doublement pério- 
diques de deuxième espèce, peut conduire le lecteur à une opinion erronée. Je 



344 I'aul Appell. 

ne crois pas manquer aux sentiments de reconnaissance et d'affection que j"ai 
pour mon maître Hermite, en disant, que l'élément simple de décomposition 
'l des fonctions de troisième espèce a été établi par moi sans aucune indica- 
tion. Plus tard, après mes premières publications, Hermite m'a confié un 
cahier manuscrit que j'ai analysé en conscience dans les Annales de l'Ecole 
Normale (Troisième série, T. III, 1886); ce cahier contenait seulement de nom- 
breux développements en série isolés; aucun élément simple ne s'y trouvait in- 
diqué; j'ai tenté, par des notations appropriées, de grouper les formules très- 
intéressantes trouvées par Hermite de façon à les rattacher à l'élément /. Cet 
élément simple y_ est essentiellement une fonction de deux variables, à laquelle 
j'ai été conduit en m'inspirant du théorème de M. Mittag-Leffler. 

Après ces remarques d'ordre historique, je demande la permission d'établir 
certaines formules, liant entre elles des fonctions /„^ d'indices différents wi', m , . . ., 
en ouvrant ainsi un ordre nouveau de recherches. 

II. Cherchons d'abord une relation entre /, et y,,. Pour cela, considérons 
la fonction 

(6) F{u,v,z)-^y,^{u,z)-i^(v,z), 

où u, V, z sont trois variables indépendantes. Considérée comme fonction de 2, 
cette fonction admet la période 2K et vérifie la relation 

F{z + 2iK') = e'^ F[z)\ 

c'est une fonction de troisième espèce ayant, dans un parallélogramme, deux 
zéros de plus (uie de pôles. On peut prendre pour pôles les deux points n et v; 
les résidus correspondants sont — y.i{v,u) et — y^{^^,v). On a donc 

(7) •/.^('u,-)y.^{v,z) = y,{v,u)y.,{^^,z) + yA^ , v) y.,(v , z) + 

+ 'ro{u,v)gf[z) + 'f,(«,i-) !/';-■'(:) 

(/)„(«,?;) et <pi{u,v) étant deux fonctions uniformes de u et v admettant pour 
chaque variable la période 2 A'. 

On obtient une première expression des fonctions <Pe{u, v) et ip^iu, v) en 
donnant à 2 une valeur annulant soit g^p(z) soit g*,-' (2). On peut aisément former 
les équations fonctionnelles que vérifient ces deux fonctions et s'en servir pour 
les déterminer. Quand on suit cette méthode, on est conduit naturellement à 
l'étude de la fonction do deux variables dont nous allons nous occuper. 



Sur l'élément simple de la déromiiosition des fonetions doublement iiériodiques. 345 
III. Etvde iVnne certaine jonction de deux variables. Soit la fonction 
(8) a)(u, z)=g\P(z) xAu,z) -g['Hu)x,{u, z). 

Considérée comme fonction de z cette fonction admet la période 2/1 et se re- 
produit multiples par e ^ quand on y change z en z + ziK'; d'ailleurs elle est 
entière, car les infinis relatifs à 2 se détruisent; on peut dire aussi, en appli- 
quant la formule de décomposition en éléments simples à la fonction de 2 

(7<,"(2) Xi (m, 2), que l'on a 

g-!," (2) />(", 2) = !/'„"(«) x.(w, 2) + /„(«;9l,-'(e) + /,i«)?'r'(2), 

ce qui montre que la fonction (I) est entière en 2, 

(Jj(n,z) = fAu)gi^Hz) + f,{u)g[^Hz). 

Cette fonction (8) est aussi entière en u. En effet, considérée comme fonction 
de u elle semble admettre le pôle 11 = 2 et les points homologues; mais, dans le 

(7<"(2) 

voisinage de u = 2, la partie principale du premier terme de (8) est — — et 

u — 2 

o<"(2) 
celle du deuxième terme est ■ — •'-"— i— . Les fonctions inconnues f.Au) et f,(u) 

u — z 

sont donc entières. Elles admettent la période 2/v. Formons la fonction 

ä>(M + 21 K', 2) d'après (2). Nous avons 

[nui ■ I nui, -i 

nui r- 2 nui • i 2 nui. 

- e" ^ 9<''(w) [e ^' %^ {u, 2) - 2*^ (i + ^" ) 9'Hz) 
-^e^g?{z)^ = 

nui • i nui. 

• / _ rr Ut nui ^ 

+ J\l" («)?':' (2). 

Acta mathcmaticu. 4L'. Ini|priiiié le .'. ra;irs 1920. 44 



346 I'aul Ai)i>ell. 

Mais on a 

a et (-i désignant les constantes 

La formule (9) donne alors 

/„(« + 2iK')gf(z) + fAu f 2iK')g^P{z} 

D'où enfin, en identifiant les termes en g[~^(z) et (/[,"(2) 

|/„(« + 2 iZ')==e'^' /.,(")— :^r«(i +e^ I — (e""'-' + e -^" Iî7|,"(m)1 
[/. (u + 2 »ü:') = e a"'/, («) - ^ [p'(i + e'^') - 2<7!,"(h)] . 



[10) 



Ces relations permettent de déterminer /„(«) et /, («) par la méthode des coeffi- 
cients indéterminés. 

IV. Dans la formule (7) on peut supposer v = n\ la formule doit alors être 
modifiée à cause des termes /, (v, m) et x,{u,v) qui deviennent infinis. On a, 
dans ce cas, 

(7') -/Mu, z) = -'^— ^ + '/'(«) 7. Au, z) + IMg^^iz) + /.,(M)<7<?'(=) 

'/'(«)> K{u), /l, (w) étant des fonctions de u vérifiant des relations fonctionnelles 
qu'il est aisé d'établir. 

V. On obtiendra des formules analogues à (7) et à (7') en appliquant la 
méthode de décomposition en éléments simples à des fonctions de 2 des formes 
suivantes 



Sur l'éléinent simple de la déconiiiosition des fonctions doublement j)ériodii)nes. 347 
(il) 7.iiu,~)y.Av,z)x^Uv,z) 

ou, en général 
(12) U7.,„,{'<i,z). 

La fonction (ii) de z sexprime par les fonctions 7,(11, z), Xi{v,z), 73(10,2) et, 
en général, la fonction (12) de z est une fonction linéaire de 7„„+,„2+..„,^.(?/,-, 2), 

où 1 = 1,2,...^. 

Paris 25 mars ignj. 



EXTENSION NOUVELLE D'UN LEMME DE SCHWARZ. 

Pau 

GASTON JULIA 

à Paris. 

On trouve dans les œuvres de Schwarz (tome 2, page loij) le lemme suivant. 

Si f{z) est holomorphe pour |~|<i et si, dans tout ce domaine (|::|<i)on 
^ I / (2) I < I , avec / (g) = o , on a pour tout point 2 (o < 1 2 1 < i ) l'inégalité | / (2) | < | z | 
sauf dans le cas où f (z) est une fonction linéaire ze'S , auquel cas |/(2)| = |z|. 

On en peut conclure immédiatement que, hors le cas d'exception, |/'(o)|<i 
sans égalité fossible. C'est évident si /'(o) = o. Et si /'(0)^0 on peut entourer o 
d'un cercle c assez petit pour que, z décrivant l'aire simple (C), z, = /(z) décrive 
aussi une aire simple (C,), à un seul feuillet, limité par une courbe analytique 
C, fermée intériexire it C et contenant Voriqine. Cela permet de conclure que 
|/'(o)| < I car 

^i{z)dz 



25TÎ 



M\A^\. Donc 



Or '^M< i 
I z- I I z I 

l/(o)|<-ri^-^^=-i. 

' ' 2 7t } \z\ 271 Q 

Q étant le rayon de C. 

Le lemme de Schwarz affirme que, hors le cas banal f(z)=ze*S, si 2 décrit 
l'intérieur du cercle |2|<p<i, son transformé Zt = f{z) décrit une surface de 
RiEMANN toute entière intérieure à ce cercle \f{z)\<ç, en supposant que 2 = est 
un point invariant de la transformation. 

Si l'on suppose maintenant que, pour |2|< i on a encore |/(2)| < i, mais que 
le point i" invariant (/(l,') = 'Ç) n'est plus l'origine, mais un autre point intérieur 



350 Gaston Julia. 

au cercle ||.' | < i , on verra bien facilement que, si L'' désigne le point symétrique 

I 2 — , I 

(le I' par rapport au cercle | = | = i, on aura, dans le cercle -^^î^, < p < Ço . 

(p„ étant la valeur constante de |£^:-. ' pour |;| = i, eo=U'l). 1'^ relation 

\f{z)-çr\z-r'\ 

quel que soit {> < o^, sauf dans le cas où 

f(z)-Ç' z-l' 

c'est-à-dire où f{z) est honiographiqite, auquel cas on a toujours 

\nz)^:'\^\z^'\' 

Cela veut dire que, lorsque z décrit l'intérieur d'un cercle quelconque C du 
faisceau défini par les 2 points cercles !.' et 'Ç', cercle G intérieur à |3|<i, le 
])()int z^-=f(z) reste à Vintérieur dît cercle C sans jamais venir sur ce cercle, et 
décrit une surface de Riemann simplement connexe contenant iT, toute intérieure 
à C (hors le cas où f(z) est homograpliique). 

S' affranchissant de l'hypothèse qu'il existe un point 'Ç invariant dans |z| < i, 
hypothèse qui peut très bien n'être pas vérifiée, on envisagera un point quel- 
conque 'Ç et son symétrique 'Ç' par rapport au cercle |2|=i. Alors il est clair 
que, si 'Ç,=f('~) est la valeur correspondante à L' et l,'', le sjj^métrique de ,', par 
rapport au cercle |2| = i (en supposant que l^i ne soit pas sur le cercle), la fonction 

est une fonction de la variable 



qui est nulle pour « = o (2 = !,') et qui pour |»|< i est toujours < i. On a donc, 
dans le cercle 

|^~^,|<e<|:|, 



Extension nouvelle d'un lemnie de Schwarz. 301 

qui est un cercle quelconque du faisceau (,',,') intérieur à |2|<i 

sauf le cas où /(2) serait homographique et conserverait l'intérieur du cercle 
|2|<i auquel cas le signe < est à remplacer par =. 

Ce fait s'énonce plus simplement si l'on transforme par une substitution 
linéaire convenable l'intérieur de |2|<i en l'intérieur du demi-plan analytique 
supérieur (I(z)= partie imaginaire de 2 > 0). On voit alors immédiatement que, 
si z^ = f{z) transforme tout point z de ce demi-plan (/(2) > 0) en un point 2, du 
demi-plan (/(2,)>o), si ,' est un point quelconque du demi-plan (/(,') >g) et ,"i = /{i') 
pour lequel /(,',) >o, en désignant par ," et .''i les valeurs conjiigiiées de 'Ç et ,, 



on aura 



i/(z)-ç',ri2-?-'i 

tant que |~ — -ilSç^i quel que soit rf<i, sauf dans le cas où j{z) est une 

fonction linéaire du type — conservant le demi-pian supérieur. Pour une 

telle fonction on aurait toujours 



/(2)-^.!_h-- 



1/(2)- 

et d'ailleurs 

/(2)- 



%éf>. 



/(2) — ^.' Z — i' 



Extension nouvelle du leuiine de Sclnvarz. 

On a analysé précédemment comment se comportait dans le cercle i2J<i 
la transformation s, = /(2) lorsque cette transformation transforme en lui-même 
l'intérieur du cercle en laissant invariant un point intérievr. Il peut arriver que 
la transformation ne laisse invariants que des points situés sur la circonjérence du 
cercle |2| = i. Ici encore on peut analyser l'allure de la transformation dans 
le cercle. 

En supposant que ce cercle a été transformé dans le domi-pian /(2)^0, 
-1 "=/(2) sera une fonction analytique dans le demi-plan supérieur; nous la suppo- 



352 



Gaston Julia. 



serons analytique et réelle sur l'axe réel:' elle transformera Taxe réel en lui-même, 
et tout point situé au-dessus de l'axe réel en un point situé au-dessus de l'axe 
réel. On a vu que, si ^ est un point du demi-plan supérieur et ui=/(b) son 



correspondant on a 



férence du cercle C 



/W- 



z — t 



< ^, lorsque z décrit l'intérieur et la circon- 

|<ç<i (excepté si f{z) est homographique.) 
Cela veut dire que, si z est intérieur à C ou sur sa circonférence, Zi = /(z) 

est intérieur au cercle C, défini par \— ^ =ç. 





K'- 



Les cercles C et C^ sont homothétiques par rapport à un point de l'axe réel; 

dans cette homothétie 'Ç et ^'i se correspondent. Le rapport des rayons de C et 

C, égale le rapport des ordonnées de Ç et ^'i. Imaginons que 1,' teiide vers un 

foinl I de Faxe réel, le cercle C conservant un rayon fini R; alors ,1 tendra vers 

T, de l'axe réeP (' ! = /(?"))• H est visible que, sur l'axe réel, /'(2) est réelle et 

positive (non nulle); donc, Ç et Ç, tendant vers r et /,, on conclut que le rapport 

ordonnée de C, , , ..... ,, . , . .,.„,>,. 

— :, ; — j — r. tend vers une limite bien determmee qui est égale a / (r). 11 

ordonnée de ç, 1 e / \ / 

n'est pas difficile alors de conclure que, C tendant vers une position limite 7" 

qui est un cercle de rayon B tangent en r à l'axe réel, Cj tendra vers une position 

imite /', qui est un cercle de rayon Rl'(r) tangent en r, à l'axe réel. Lorsque 

2 décrit l'intérieur et la circonférence du cercle F, 2, =/(2) décrit un domaine Ji 

qui n'aura aucun •point extérieur à I\ , mais qui, a priori, pourrait très bien avoir 

des points sur /', . L'hypothèse contraire, celle où _/, aurait des points extérieurs 

à /', conduirait à une contradiction; envisageant en effet un cercle C infiniment 

voisin de F et situé au-dessus de ox, auquel correspondrait un cercle C, infini- 



' Cette hypothèse n'a rien de nécessaire, mais elle simplifie l'exposition. Nous donnerons 
en terminant des conditions) de validité moins restrictives. 
' On peut toujours supposer t et r, à distance finie. 



Extension nouvelle d'un lemnie de Schwarz. 353 

ment voisin de /', , C'i devrait toujours contenir 2, lorsque 2 est dans C; et ceci 
ne serait pas vrai lorsque 2, serait voisin d'un point de J^ extérieur à /', , donc 
extérieur à C,. On peut cependant affirmer que, lorsque 2 décrit l'intérieur et 
la circonférence de F, 2, décrit un domaine qui n'a, en commun avec /", que le 
point r, lorsque /(2) n'est pas bomographique. On vient de voir en effet que, 
lorsque z décrit l'intérieur et la circonférence de F (qui est évidemment un cercle 
quelconque de rayon R tangent à l'axe réel en i), 2, décrit un domaine dont tous 
les points sont à l'intérieur ou sur la circonférence de /'1, tangent en t, à ox, 
de rayon E^ = Ä/'(r). Cela veut dire que la partie imaginaire de la fonction 

est, à l'intérieur ou sur la circonférence de F, < à une certaine limite 



f{z) 

négative qui est — ^ = — ^,-- 



I 1 



M/(2)-r,/ - Efir) 
Or, lorsque z décrit l'intérieur de /', on a 



le signe < étant remplacé par = quand 2 vient sur F. Donc, lorsque z décrit la 
circonférence F, on aura 

^ l/W-f. ~ (z-r)/'(r)J ^ ° • 

La fonction l\ .,— , —,;,-, est une fonction harmonique et régulière en 

tout point intérieur à F, et en tout point de /' sauf peut-être en z = r. Or, en 
ce point, on a 

/(2)-r.=/(2)-/(r) = (2-r)/'(0 + ^-^r(0 + -- 

= (2-r)/'(/)[i + A(2-x) + ..]. 
Donc 

[r-A(2-r) + - ■•]. 



/{2)-r. (z~T)i'{T) 



' Car évidemment le point . lorsque 2, est dans T,, est dans le demi |il:ui /( ^ < — ■ 

Ada Titailiematica. 42. Inipriaié le 2.) mai 19J0 4ô 



354 Gaston Julia. 

la quantité entre parenthèses étant régulière autour de 2=r. Donc 



f{r)'^"'' 



f(z)-T, (Z-T)f(T) 

le second membre étant régulière autour de 2 = r. 

Donc / '^ "*",,,, est harmonique et régulière autour de 2 = t. 

L/(2) — r, (z-t)/(7)J 

Cette fonction, si elle n'est pas constamment = sur T sera donc < o à l'intérieur 

de /' puisque, sur /', elle est ^o. On aura donc en tout point intérieur à F 



^[f(z)-rA^^[(z-r)r(r)y 




Cette inégalité ne peut devenir une égalité que si / _ ^ .—^ — ,, , 

est =0 sur tout 7', alors la dite quantité est nulle dans tout F, et évidemment 



+ -/, -/ étant une con- 



/(2) est une fonction homographique: 77— ~ -, '-.,, , 

f(z) — T, (2 — r)/'(r) 

stante réelle quelconque. • 

Donc, hors le cas où f(z) est homographique, on a, en tout point intérieur à F 



^L/(2)-d^^U-r)/'(r)J' 



Cette inégalité est valable en tout point z situé au-dessus de ox, car on peut trouver 
un cercle F tangent en t à ox et contenant ce point 2. Et elle prouve, ce qu'il 
fallait démontrer, que le domaine ^, décrit par z^ lorsque z décrit l'intérieur et 
la circonférence d'un cercle /' tangent en r à ox, de rayon R quelconque, est 
intérieur au cercle /",, de rayon Rf'(r) tangent en ?, à ox, sans avoir avec la 
circonférence de /', d'autre point commun que /, lui-mêmo. 



Extension nouvelle d'un kmme de Schwarz. 355 

Remarque. — Tout ce que nous avons dit reste vrai si nous supposons 
seulement f (z) analytique autoitr de t (et réelle aux environs de t sur Taxe réel), 
sans la supposer anahjlique sur tout l'axe réel, en supposant toujours qu'à tout 
point 2 au-dessus de ox correspond un point ;:, au-dessus de l'axe réel ou sur 
l'axe réel. 

En particulier, si r est un foint invariant f{r) = r, et si o</'(t)<i /', est 
intérieur à F ou confondu avec lui est _/[ et intérieur à F. 

En résumé voici comment on peut, avec des hypothèses presque aussi 
générales que celles que l'on fait pour établir le lemme de Schwarz, énoncer 
l'extension de ce lemme: 

Soit /(c) une fonction analytique à l'intérieur d'un cercle C du plan des z, 
qu'on peut toujours supposer être le demi-plan l(z)>o; supposons en outre: 

i" que tout point z intérieur à C soit transformé en un point 2, =/(2) 
intérieur à C ou situé sur C. /[/(z)]>o en tout point /(2)>o; 

2" qu'un point du cercle C reste invariant : par exemple l'origine /(o) = o; 

3° que /(2) soit holomorphe dans une petite region' autour de ce point 
(on ne suppose rien d'autre sur C ailleurs qu'en o). 

Alors il faut nécessairement que /'(o) soit réelle et positive pour que la condi- 
tion i" soit vérifiée autour de l'origine. 

Tous les raisonnements qui précèdent sont ici valables; en tout point intérieur 

à C, c'est-à-dire en tout point I(z) > o, on a 7 , < 7 h^ .,— > l'égalité ne pouvant 

avoir lieu que si f{z) est homographiqite. 

Donc, lorsque z décrit l'intérieur et le contour d'un cercle quelconque F de rayon 
R tangent en o à C, z^ décrit un domaine z/j dont tous les points', y compris les 
points frontières, {sauf o) sojit intérieurs au cercle F, tangent en o à C, et de rayon 
Ri = Rf (o). Jy est tangent en o à C. 

En particulier, si f'{o)<ij., _/, est tout entier intérieur à F, sauf en o où 
Ji touche /'. 

' Il suffit même de supposer que f{z), holomorphe dans C, admet, lorsque z tend vers o, 
da/is C, une dérivée première et une dérivée seconde finies et continues de fa<,'on qu'on puisse 
écrire 

r, = zf'{o) + z'-^+zU{z), 

s{z) étant holomorphe dans C et tendant vers zéro lorsque z tend vers o dans C. 



AUSZUG AUS EINEM BRIEFE DES HERRN BIEBERBACH 
AN DEN HERAUSGEBER. 

Frankfurt am Main 11. Mai 1919. 
Sehr geehrter Herr Kollege! 

Im zweiten und dritten Bande der »Mathematische Zeitschrift», dieses im 
Kriege neu gegründeten Deutschen Journals, habe ich zwei Untersuchungen ver- 
öffentlicht, bei welchen Ihre £'„(2)-Funktionen eine wichtige Rolle spielen. Na- 
mentlich die zweite dieser Arbeiten dürfte Ihr Interesse finden. Gibt sie doch 
eine Vertiefung des berühmten PiCARo'schcn Satzes, zu dem die Mathematiker 
so vieler Nationen Beiträge geliefert haben. So möchte ich mir denn erlauben, 
Ihnen in den folgenden Zeilen in Kürze meine Ergebnisse darzulegen und meine 
Methode kurz skizzieren, zumal ich nicht weiss, inwieweit die mathematische 
Zeitschrift im Ausland zugänglich ist. 

Wie Picard im Jahre 1879 entdeckte, besitzen ganze transcendente Funk- 
tionen in jeder Umgebung des Unendlichen höchstens einen Ausnahmewert. Sie 
nehmen also alle Werte mit höchstens einer Ausnahme in jeder Umgebung des 
Unendlichen unendlich oft an. Ich habe nun gefunden, dass eine gleiche Aussage 
schon für Winkelräume gilt, deren Oeffnung eine gewisse von der Ordnung der 
Funktion abhängige Schranke überschreitet. So nimmt z. B. die Funktion c' in 
der Halbebene 81(2) >o keinen Wert vom Betrag Eins an, während sie in jedem 
diese Halbebene umfassenden Winkelraum nur noch den einen Ausnahmewert 
Null besitzt. Dies Beispiel illustriert meinen allgemeinen Satz: 

Jede ganze Funktion der Ordnung q>i besitzt in jedem Winkelraum, dessen 

Oeffnung 7t ~ übersteigt, höchstens einen Ausnahme wert; ist ihre Ordnung 

zwischen '/2 und i gelegen -<,ç<i). so besitzt kein Winkelraum einer tt 
übersteigenden Oeffnung mehr als einen Ausnahmewert. 



358 



Ludwig Bieberbach. 



Die in diesem Satze enthaltenen Schranken für die Oeffnungen ktv der 
Winkelräurac in Abhängigkeit von q habe ich in der beistehenden Figur veran- 
schaulicht. 

Hinsichtlich der Methode meiner Untersuchung möchte ich mich auf die 
folgenden Andeutungen beschränken. Ich stütze mich auf die scharfe Fassung, 
die P. Levy' einem berühmten ScHOTTKY'schen Satz gegeben hat: Der Satz handelt 
von dem Wachstum einer analyti.schen Funktion, die in |3|<i regulär ist und 
die Werte Null und Eins auslässt. Durch eine einfache Abbildung ziehe ich dar- 
aus den Schluss, dass 



1/(2)1 _0 (e'"'""^') für jedes «>o 



ist, wenn j{z) für |arg3|<ß~ regulär ist und zwei Ausnahmewerte in diesem 

Winkelraum besitzt. Ein bekannter schon heute klassischer ausserordentlich 

fruchtbarer Satz von Phragmén und Lindelöf- 
erlaubt es, hieraus den vorhin angegebenen Satz 
zu erschliessen. 

Ich habe weiter gezeigt, dass die aus der 
Figur und aus dem Wortlaut des Satzes ersicht- 
lichen Schranken für alle Ordnungen die genauen 
sind. Namentlich mit Hülfe Ihrer £„(c)-Funk- 

tionen habe ich Beispiele gebildet, bei welchen gerade die angegebenen Winkelräume 

zwei Ausnahmewerte besitzen. Als Beispiel für d'e Halbebene erwähnte ich schon 

vorhin ^,(z) = e^. Für ç>i lässt 




EuAz) — -!. 



also eine Funktion der Ordnung (> in | arg 2 | <^ "^ /c die beiden Werte Null 

und Eins aus. Für <pSi besitzt 



die gleiche Eigenschaft in 



4^Vo(^) 



I arg 2 I < 7r . 



' Bull, de la Soc. math, de France, Bd. 40. 
' Vergl. diese Acta, Bd. 28, 51. 



Auszug aus einem Briefe des Herrn Bieberbach an den Herausgeber. 359 

Man möchte wohl nun erwarten, dass für g < die Funktionen 



r\i + - T 
\ Q 

deren Ordnung ja dann nicht übertrifft, in der durch die negative reelle Achse 
begrenzten Ebene zwei Ausnahmewerte besitzen. In der Tat sieht man leicht, dass 

nur auf der negativen reellen Achse Werte zwischen Null und Eins (diese Gren- 
zen eingeschlossen) annimmt. Uod weiter hat Wiman in seiner Arbeit' über die 
Nullstellen der S„(3)-Fimktionen mitgeteilt, dass für a > 2 alle Nullstellen von 
Ea{z) auf der negativen reellen Achse liegen. Es wäre interessant, wenn sich 
wirklich zeigen liesse, dass dies und meine weitergehende Vermutung zuträfe. 
Ich habe die dazu nötigen mühsamen Betrachtungen nicht ausgeführt, habe viel- 
mehr mit Hülfe der HARDir'scheu F-Funktionen- die erwünschten Beispiele ge- 
wonnen. Setzt man für (i > 2 



so ist dies eine Funktion der Ordnung -. Man kann leicht sehen, dass man die 
Zahl /( so wählen kann, dass die sämtlichen Null- und Einsstellen von 

i + uP„{z) 
auf der negativen reellen Achse liegen. Setzt man weiter 

so hat man bei passend gewähltem u in 

I+."^a.{2) 

' Diese Acta, Bd. 29. 

' The quarterly journal, Bd. 37. 



360 Ludwig Biebcrbacli. 

eine Funktion nullter Ordnung, deren sämtliche Null- und Einsstellen negativ 
reell sind. Mit Hülfe der von Ihnen und anderen angegebenen Funktionen un- 
endlicher Ordnung, welche auf allen Geraden der Ebene mit eventueller Aus- 
nahme der negativen reellen Achse den Konvergenzwert Null haben, kann man 
weiter Beispiele von Funktionen unendlicher Ordnung bilden, die in beliebig 
grossen Winkelräumen zwei Ausnahmewerte besitzen. Das gilt ?.. B. für die 
L[NDELÖF'sche Funktion 

deren Nullstellen sich nach Lindelöf asymptotisch der negativen reellen Achse 
nähern. Man kann beliebig grosse Winkelräurae angeben, in welchen die Funk- 
tion die Ausnahmewerte Null und Eins besitzt. (Vergl. Lindelöf, Calcul des 
résidus S. 121.) (Vergl. auch den Schluss dieses Briefes.) 

Die Familie der Funktionen, welche in einem Bereiche die Werte Null und 
Eins auslassen, gehört zu den von Montel sogenannten normalen Familien. Eine 
weitere neuerdings viel untersuchte normale Familie ist die, deren Glieder einen 
gegebenen Bereich schlicht abbilden, die also darin keinen Wert mehr als einmal 
annehmen. Besitzen schon alle normalen Familien viele verwandte Eigenschaften, 
so ist die Analogie gerade zwischen den beiden eben genannten Familien sehr 
gross. So habe ich denn auch in der schon eingangs erwähnten Arbeit im zweiten 
Bande der mathematischen Zeitschrift für die schlichte Abbildung von Winkel - 
räumen ganz ähnliche Sätze gewonnen. An die Stelle der LÉVY'schen Formulierung 
des ScHOTTKY'schen Satzes tritt hier für die in |2|<i schlichte Funktion /(2) 
die PLCK'sohe Verzerrungsformel 

die schon Plemelj auf der Wiener Versammlung von 1913 ohne die Exponenten- 
bestimmung angegeben hat. Auch Pjck gibt in den Leipziger Berichten von 1915 
noch keine Exponentenbestimmung. Dieselbe habe ich selbst erst in den Ber- 
liner Berichten von 1916 gegeben. Ohne Beweis gibt fast gleichzeitig G ronwall 
dieselbe Verzerrungsformel in den Pariser Comptes rendus von 1916 an. Man 

kann aus dieser Formel schliessen, dass eine Funktion /(c), die in |arg2|<"7r 

regulär ist und diesen Winkel schlicht abbildet für jedes t- > o der Bedingung 

|/(2)| = 0(lc|.>') 



Auszug aus einem Briefe des Herrn Bieberbach an den Herausgeber. 361 

genügen muss. Die Verwendung des Phragmén — LiNDELÖp'schen Satzes führt 
dann wieder zu dem folgenden Ergebnis: Eine jede ganze Funktion der Ordnung q 

nimmt in jedem Winkelraum, dessen Oeffnnng -^^ tt übersteigt, einzelne Werte 

mehrfach an. Die Funktionen 

aber bilden für ç>- einen passend gewählten Winkel der Oeffnung — tt 



schlicht ab. Nur für Funktionen einer - übertreffenden Ordnung kann es also 

schlicht abbildbare Winkelräume geben. Alle Funktionen, deren Ordnung - nicht 

übertrifft, nehmen in jedem Winkelraum einzelne Werte mehrfach an. 

Im Gebiete der Funktionen unendlicher Ordnung gibt es Funktionen, die 
beliebige Winkelräume einer an 2iT nicht heranreichenden Oeffnung schlicht ab- 
bilden. Nach LiNDELÖF (Calcul des résidus S. 121) gehört nämlich zu jedem 
£ > o eine Zahl 3Ic derart, dass im Winkelraum |arg z\< /i — e 

\F,iz)\<Me 
gilt. Daher bildet 

z + FAz) 

den Winkelraum |arg (2 — 3/^)1 < tt — £ schlicht ab, und nimmt überdies, wenn 
man nur Me > 1 wählt, in demselben weder den Wert Null noch den Wert Eins an. 

Bieberbach. 



Acta mathematica. 42. Imprimé le 25 mai 1920. 46 



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The theory of isogeneity for additive functionals. Isogenous non-additive funotionals. 
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type: The generalizat. of Laplace's equat. Green's theoiem for the gen. lin. integro- 
diff. equat. of Bôcher type. The parabolic integro-dift'. equat. of Docher type. The 
parabolic integro-diff. equat. of the usual type. The diff. equat. of hyperbolic type. — 
Direct generalizations of the theory of integral equations: Introd.: Some gen. properties 
of the Stieltjes integral. The gen. analysis of E. H. Moore. The theory of permutable 
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currence a. coUinearJly. Projection. Cross-ratios. Perspective. Harmonic section. 
Involution. The conic sections. Properties common to all conies. The parabola. The 
ellipse. The hyperbola. The rectangular hyperbola. Orthogonal projection. Cross-ratio 
properties of conies. Keciprocation. Circular points. Foci of conies. Inversion. 
Similarity of figures; Examples. Index. 

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Royal Society of London. Vol. XVI. I — Marbut. — 1054 pp. 4. 1918. 
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which the Adams Prize of the Universilj^ of Cambridge for the year 1917 
was adjudged. — VIII + 293 pp. 8. 1919. — 21 sh. Bd. 

Introduct. chapter. General dynamical principles. Ellipsoidal configurations of 
ecpiilibriuni. The gravitational potential of a distorted ellipsoid. Pear-shaped configurât, 
of equilibrium. Motion when there are no stable configurations of ecjuilibiium. The 
motion of compressible a. non-homogeneous masses. The evolution of gaseous masses. 
Tiie evolut. of rotating nebulae. The evolut. of star-clusters. The evolut. of binary a. 
multiple stars. The origin a. evolut. of the solar system. Index. 

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XIV -f 530 pp. 1919. Bd. 20 sh. 

Continuity. Derived functions. The exponential a. logarithmic functions. Appli- 
cations of the derived function. Derivatives of higher orders. Integration. Definite 
integrals. Geometrical applications. Special curves. Curvature. Differential equations 
of the first order. Ditï. equations of the second order. Linear equat. with constant 
coefficients. Differentiation a. integration of power-series. Taylor's theorem. Functions 
of several independent variables. Numerical tables. Index. 

Whitehead, A. N., An enquiry concerning the principles of natural knowledge. — 
XII +200 pp. 8. 1919. — 12/6. 

The traditions of science: Traditional scientific concepts. Philosophic relativity. 
Perception. — Newton's laws of motion. Tlie ether. Maxwell's equations. — Consen- 
tient sets. Kinematic relations. Motion tlirough the ether. Formulae for relative motion. 
Mathemat. formulae. — Simultaneity. Congruence a. recognition. — The data of sci- 
ence: The diversification of nature. Events. Objects. — • Apprehension of events. The 
constants of externality. Extension. Absolute position. The community of nature. 
Characters of events. — Types of objects. Sense- objects. Perceptual objects. Sci- 
entific objects. Duality of nature. — The method of extensive abstraction: The relation 
of extension, fundamental properties. Intersection, separation a. dissection. The junction 
of events. Abstractive classes. Primes a. antiprimes. Abstract, elements. — Antiprimes, 
durations a. moments. Parallelism a. timcsystems. Levels, rects, a. puncts. Parallelism 
a. order. — Abs. primes a. event-particles. Routes. Solids. Volumes. — Stations. 



Bibliographie. 3 

Point-traci<s a. i)oints. Parallelism. Matrices. Xull-tracks. Straight lines. — Nor- 
mality. Congruence. — Analytic geometry. The principle of kinematic symmetry. 
Transitivity of congruence. The three types of kinematics. — The theory of objects: 
Location. Uniform objects. Components of objects. — Material objects. Stationary 
events. Motion of objects. Extensive magnitude. — Apparent a. causal components. 
Transition from appearance to cause. Sense-figures. Geometrical figures. Rhythms. 



Coimbra Imprensa da Universidade. 

Coimbra 190« — 1918. 

Annaes Scientificos da Academia Polytechnica do Porto. Piibl. sob a direcçào 
de F. Gomes Teixeir.a. Vol. IX, No. 3, 4. 1914. Vol. X, No. 1—4. 1915. 
Vol. XI, No. 1-4. 1916. Vol. XII, No. 1—4. 1917—18. 8. 

Teixeira, F. Gomes, Obras sobre Mathematica. Publ. por ord. do Governo 
Portugués. Vol. 2 (1906), 3 (1906), 6 (1912), 7 (1915). — 424, 369, 541, 
424 pp. 4. 

2: Notes sur deux théorèmes d'Abel relatifs à l'intégration des différences finies 
(Acta Math., 28). Sur la décomposition d. fractions rationnelles. Varios artigos sobre 
diversas questôes d'analyse. Integraçâo d. equaç. as derivadas parciaes de seg. ord. 
Très artigos sobre as equaç. as deriv. parciaes. Sobre o emprego d. eixos coordenados 
obliq. na mecanica analyt. Sur les nombres de Bernoulli. Sur la série de Lagrange et 
ses applications. Sur la théorie d. cubiques circul. et d. quartiques bicircul. Sur un 
probl. de Gauss et une classe particul. de fonct. symétriques. S. quelq. applications d. 
séries ord. suivant 1. puissances du sinus. Alguns artigos sobre div. quest, de georae- 
trica analyt. Div. art. sobre analyse math. Dois trabalhos sobre geometria analyt. plana. 

3 : Theoria d. numéros irrac, d. numéros negat. e d. numéros imag. Regras para 
o seu calculo. Principios geraes da theor. d. funcçoes. Fuuc. algebr., logarithmicas, 
etc. Calculo differencial: Noç. prelemin. Derivadas de prim. ord. d. func. Applicaç. 
geom. d. principios preced. Derivadas e difïerenc. de ord. qualquer. Applic. analyt. 
da formula de Taylor. Applic. geom. da form, de Taylor. Func. def. por series. 
Singularid. d. fuuc. Func. de variaveis imag. 

6: Calculo integral: Integraes indef. Integraes def. Applic. geom. Integraes 
niultiplos. Applic analyt. da theoria d. integraes indef. Integr. d. equac. difif. de prim, 
ord. Integr. de equac. diff. de ord. sup. Integr. d. equac. as derivadas parc. Ai)i)lic. 
geom. Integr. d. func. de variaveis imag. Integr. Eulerianos. Func. V(v.). Func. 
ellipt. Applic. da theoria d. func. ellipt. Fuuc. multiformes. 

7: Sur quelques courbes algébr. S. quelq. courbes transcend. S. quelq. classes 
de courbes. S. quelq. questions de géométrie gcn. S. quelq. courbes gauches. Sur le 
probl. d. moyennes proportionnelles. Duplication du cube. Division de l'angle. S. le 
quadrature d. cercle. Sur IMmpossibilitö de la résolut, par la règle et le compas d. 
probl. consid. précédemment. 



4 Bibliographie. 

Armand Colin. 
Paris 1918. 
GoBLOT, E., Traité de logique. Préface de Emile Boutroux. — XXIV + 412 pp. 
8. 1918. Fr. 8: — 

Prof, par E. Boutroux. Avertissement. Questions préliminaires. — Du jugement. 
Des jugements d'expérience. Des jugements de raisonnement. — Logique du concept: 
Jugements actuels et jugements virtuels. — Concepts négatifs; la privation. Concepts 
opposés, contradictoires et contraires. Concepts clairs, obscurs, distincts, confus. Ex- 
tension et compréhension; le concept et l'idée. La définition. La classification. — 
Logique du jugement: De la modalité. De la qualité. De la quantité. De la rela- 
tion. — Des raisonnements formels. Inferences hypotbét. immédiates. Syllogismes 
hypotiiét. — Le raisonnement déductif. La démonstration indirecte. La démonstrat. 
du fait singulier. Le témoignage. Méthode de concordance variée. — L'induction. 
L'induct. aristotélicienne. L'induct. baconienne. Les procédés de l'induct. Les 4 métho- 
des e.xpériment. Le principe de l'induction. — Le raisonnement téléologique. Les 
jugements de valeurs. L'esprit scientifique et le rationalisme. Index. 



Gauthier-Villars & Cie. 
Paris 1018 — lui;». 
Halphen, G. -H., Oeuvres, pubi. par les soins de G. Jordan, H. Poincaré, E. 
Picard avec la collaboration de E. Vessiot. T. 2. — VII + 560pp. 8. 1918. 
Fr. 40: — 

Discours pron. aux obsèques de G.-H. Halphen p. Charles Herniite. Sur les ca- 
ractéristiques d. systèmes de coniques et de surfaces du sec. ordre. Sur la théorie d. 
caractéristiques pour 1. coniques. S. 1. lignes asymptot. d. surfaces gauches douées 
de deux directrices rectilignes. S. 1. lois de Kepler. Solution d'un probl. prop, par M. Ber- 
trand. S. une formule récurrente concern. 1. sommes d. diviseurs de nombres entiers. S. 
une proposit. d'algèbre. S. d. suites de fractions analogues à la suite de Farey. S. 1. points 
singuliers d. courbes gauches algébr. S. 1. singularités d. courbes gauches algébr. Théorème 
énoncé sans démonstration. S. 1. lignes sing. d. surfaces algébr. S. 1. invariants diff. S. 1. 
sommes d. diviseurs d. nombres entiers et 1. décompositions en deux carrés. S. div. for- 
mules récurrentes concern. 1. diviseurs d. nombres entiers. S. la réduction de certaines 
équat. diff. du premier ordre à la forme lin., par rapport à la dérivée de la fonct. in- 
connue. S. le nombre d. coniques qui, dans un plan, satisfont à cinq conditions pro- 
ject, et indépend, entre elles. S. l'équat. diff. d. coniques. S. la mulliplicafiou d. 
fonct. elliptiques. S. l'intégration d'une équat. diff. S. deux équat. aux dérivées part, 
relatives à la multiplicat. d. l'argument dans 1. fonctions ellipt. S. le développement 
d'une fonct. intermédiaire. S. cert. propriétés métriques relat. aux polygones de Pon- 
colet. Recherches s. 1. courbes planes du trois, degré. S. cert. cas singuliers du dé- 
palcem. d'un corps solide. Observations s. la théorie d. caractéristiques. S. I. invari- 
ants diiï. d. courbes gauches. S. une formule d'analyse. Probl.' concern. 1. courbes 
lilanes du trois, degré. S. une classe d'é(iuat. ditf. lin. S. d. fonctions qui proviennent 



Bibliographie. 5 

de l'équat. de Gauss. S. un .système d"équat. diff. S. cert, systèmes d"équat. diff. S. 
un critérium relat. à la théorie d. sections cou. S. cert. séries pour le développement 
d. fonctions à une seule variable. S. une série d'Abel. S. une série pour développer 
1. fonctions d'une var. S. la série de Fourier. S. 1. courbes planes du six. degré à 
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Petrovitch, Michel, Les spectres numériques. Préface de M. Emile BorEl. 
— VII + 110 pp. 8. 1919. 

Introduct. Spectres numéri(iues et leurs éléments. La génératrice spectrale. La 
caractéristique specti-ale principale. La caractérist. spectrale qualitative. La corres- 
pondance entre une suite d'entiers et les éléments de ses spectres. Le spectre en tant 
que nombre décimal. — Transformations /\ [f] et fonctions (E). Transform. /\ [ï] 
se rattachant aux catégories déterminées de fonct. Quelques modes gén. de corresp. 
entre 1. fonctions d'une variable et 1. suites de nombres entiers. Digression sur 1. sé- 
ries (E). Diverses formes d. relations entre f (z) et sa transformée (E). — Spectres 
d'une fonction. Fonct. correspondant à un spectre donné. — Principe de la méthode 
spectrale. Quelques applicat. arithmétiques. Procédé spectral de développement en 
séries. Procédé spectral d'évaluation d. intégrales définies. Détermination spectrale 
d. fonctions. 



JuL Gjellerups Forlag. 

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H.JELMSLEV, J., Geometriske Eksperimenter. And. Udg. — 94 pp. S. 1919. 

Konstruktion og eksperiment. Skœring mellem Cirkel og Keglesnit. Yiuklens 
Tredeling. Kubikrodsuddragn. Almind. Opgaver af 3. og 4. Grad. Spec. Opgaver 
af 3. og 4. Grad. Den trebenede Passer. Skridtforsög. Indskydning. Flytningsfor- 
s0g. Reduktionsvinkler. Eksperimentel Fremstilling af Keglesnit. Den almind. Lig- 
ning af n'te Grad. Algebraisk Konstruktion. Opgaver i Ruramet. Rumfors0g. Trans- 
cendente Opgaver. Cirkelafviklerens Teori. Cirkelafviklerens Anvend. Andre transcend. 
Opgaver. 

Hjelmslev, j., Elementœr Geometri. 2den Bog. — 111 pp. 8. 1919. 

Parallelforskydning i Rummet. Polyèdre. Krumme Flader. Ligedannethed. 
Modsatte Figurer. Rumfangsberegninger. Inleduing i Projektionsla;ren. Sfœrisk Geo- 
metri. Keglesnit. Koordinator. — Opgaver. 

Hjelmslev, J., Stereometriske lOmstruktioner. 2. Oplag. — 8 pp. S. 1919. 



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Torsionsolektrometern n:r 1. Ofriga elektroinetrar. Afläsningsskärpan vid mät- 
instrunieiit. lîésunié. 



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Jones, E. Lester, Use of mean sea level as the datum for elevations. (Depart- 
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intendent. Special Publication, N. 41.) 21 pp. 8. 1917. 5 cents. 

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Byerly, William Elwood, Introduction to the Calculus of variations. (Mathe- 
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Introduction. Variations. Notation a. nomenclature. Illustrât, problems. Pro- 
blems involving sev. depend, variables. Multiple integrals. Variât, of the limits. Priuc. 
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an introduction to Cantor's transfinite numbers. Sec. ed. — VII + 82 pp. 
8. 1917. Dol. 1.00. Cloth. 

Introduction. On classes in general. On simply ordered classes, or series. Dis- 
crete series: especially the type to of the natural numbers. Dense series: espec. the 
type Y] of the ration, numbers. Continuous series: espec. the type of the real num- 
bers. Coutin. series of more than one dimension, with a note on multiply ordered 
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Construction : Etude algébr. d. tig. Résolution d. triangles. La méthode d. coor- 



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tions coniques. Etude alg. d. courbes planes. La »géométrie analyt.» de l'espace. 
Etude d. surfaces et d. courbes gauches. L"algèbre d. vecteurs. La »géométrie syn- 
thétique». Les transformations. — Progrès de la synthèse algébr. Déterminants. 
Nonibres imag. Fonctions de variables complexes. La géométrie irréelle. Substitutions 
et groupes. La construct, logique d. mathématiques: la définition du nombre, la géo- 
métrie. La géométrie non-euclidienne. La logique algébr. • — Premiers développements 
en séries. Propriétés fondament. d. séries à termes positifs. Critères de convergence. 
Séries à termes quelconques. La série de Taylor. Séries de puissances de plusieurs 
variables. — Analyse. La méthode analyt. en mathématiques. Les infiniment petits. 
Limites. Formes indéterminées. L'intégration. Différentielles. Equations différentiel- 
les. Différentielles totales. Intégrales définies. Intégrales curvilignes. Intégrales dou- 
bles et triples. Evaluât, d. longueurs, d. aires et d. volumes. Géométrie diff. Méca- 
nique diff. — La notion de continuité. Les ensembles. Analyse de la discontinuité. 
Analyse d. principes de la géométrie. — La correspondance fonction. Prem. principes 
de la théorie d. fonct. Fonct. analytiques. Singularités d. fonct. analyt. Classi- 
fication et étude gén. d. fonct. Fonctions period. Intégrales d. équations diff. Appen- 
dice. Index. Errata. 



S. HirzeL 

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Rdnge, C, Vektoranalysis. Bd 1 : Die Vektoranalysis des dreidimensionalen 
Raumes. — VIII 4- 195 pp. 8. 1919. Geh. M. 11 : geb. M. 13: 

Vektoren ti. PlangrOssen: Begriff d. Vektors. Addition v. Vektoren. Vektorgleich 
Beispiele d. Addit. v. Vektoren. Vervielfält. eines Vektors. Numerische Ableit. 
eines Vektors aus anderen. Das äussere Prod, zweier Vektoren u. d. Begriff d. Plan- 
grösse. Addit. v. Plangrössen. Die Ergänz, einer Plangrösse. Num. Ableit. einer 
Plangr. aus anderen. Das äussere Prod. v. drei Vektoren. Zusammenhang mit d. De- 
terminantentheorie. Das skalare Prod, zweier Vekt. Das vektoriellc Prod. zwei. Vekt. 
Das äussere Prod. zwei. Plangrössen. Beispiele, Anwend. u. Übungsaufg. — Bifferen- 
ziation u. Integration: Differenziationsregeln. Krümmung u. Torsion einer Raumkurve. 
Krüm. u. Torsion anders betrachtet. Integrationsregeln. Anwend. auf die Beweg, eines 
Massenpunktes um ein festes Zentrum. Flachenintegrale u. Raumintegrale. Vek- 
torfelder u. Plangrössenfelder. Die Umwandl. v. Flächenintegralen in llaumintegrale. 
Anwend. d. Umwandlungstheoreme. Die Umwandl. v. Randintegralen in Flächeuinte- 
grale. Einführung Krummliniger Koordinaten. Regeln f. d. Operator V- Anwend. 
auf d. Gravitationspotential. Der Greensche Satz. Der Zusammenhang zwischen ein. 
Vektorfelde u. seinem Wirbel. Sealares Potential, Vektorpotential u. Plangrössenpoten- 
tial. — Tensoren: Die aft'ine Transformation des Raumes. Konjugierte Tensoren. Die 
in sich transformierten Vektoren. Drehungstensoren. Zu sich selbst konjugierte od. 
sj'mmetrische Tensoren. Zusammensetzung v. Tensoren. Zerlegung in Drehungstensor 
u. zu sieb selbst konjugierten Tensor. Die Masszahlen u. Einheiten eines Tensors. 



Bibiiograi)liie. 

Tensoren aus weniger als drei Gliedern. Symmetrische u. antisymmetr. Tensoren. Rezi- 
proke Tensoren. Der Tensorbegriff. Uniklappungen u. Drehungen. Tcnsorfelder. Ten- 
sorintegrale. Kogredienz u. Koutragredienz. 



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GoYEN, P., Elementary mensuration, Constructive plane geometry and Nume- 
rical trigonometry. — 169 pp. 8. 1919, 3 sh. 6 d. Cloth. 

Chapt. 1. Lines, surfaces, angles, drawing to scale, parallels. 2. Construct, a. 
area of rectangles. Carpeting floors a. papering walls. Rectangular prisms, their surface 
a. volume. 3. Bisect, of lines a. angles. Division of lines into equal parts, a. into 
parts in given proport. Circumscribing a circle ab. a triangle a. inscrib. a circle in a 
triangle. Construct, a. properties of parallelograms. . . Area of parallelograms a. right- 
angled triangles. 4. An import, property of the right-angl. triangle. Construct, of 
triangles. . . of a square. . . 5. Construct., properties, a. area of the rhombus. . . of a 
parallogram. . ., of a trapezium. . ., of a quadriliteral. . . 6. Polygons, irregulary bounded 
figures. . . 7. The circle. . . right circular cylindres. . . the ellipse, solid circular rings. 
8. Pyramids. . ., cones, the wedge a. prismoid, irreg. solids, the sphere. 9. Proportionals. 
Similar figures. . ., solids. . ., segments. . . 10. Numerical trigonometry. . . Exercices, tables. 



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tekniska laboratoriet, av E. Hubendick. Uppvärmnings- o. ventilationssystomet, av H. 
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städer. Schlïter, R. R:son, Undersökn. à dammbyggn. Sellergren, G., Torvfibern 
som spanadsämne. Sonden, K., Nàgra tekn. iippgifter m. hygeniskt syfte, ett kapit. av 
»tillämpad hygien». 

D. van Nostrand Company. 

New York 1911 — 1917. 
Baker, Arthur Latham, Quaiternions as the result of algebraic operations. — 
IX + 92 pp. 8. 1911. Dol. 1:25. Cloth. 

Pref. Mathemat. operations upon discrete magnitudes. Idiographs. Space idiographs. 
Multiplicat. of unit vectors. Quaternions. Kinds of quatern. Quatern. operators. Pro- 
ducts of quartern. Yersors. Interpretation of vector equat. of the first degree. Applica- 
tions. Appendix. Functional symbols. 

Licks, H. E., Recreations in mathematics. With 60 illustr. — V + 155 pp. 8. 1917. 
Dol. 1:25. Cloth. 

Arithemetic. Algebra. Geometry. Trigonometry. Analyt. geometry. Calculus. 
Astronomy a. tlie calendar. Mechanics a. physics. Appendix. 



The Open Court Publishing Company. 
Chicago & London 1913—1916. 
Barrow, Isaac, The geometrical lectures of Isaac Barrow, translated, with 
notes and proofs, and a discussion on the advance made therein on the 
work of his predecessors in the infinitesimal calculus, by J. M Child. (The 
Open Court Series of classics of science and philosophy. No. 3.) — XIV + 
218 pp. 8. 1916. Dol. 1:00. Cloth. 

The work of Barrow's great predecessors. Life of Barrow, a. his connection 
with Newton. The works of Barrow. Estimate of Barrow's genius. The sources of 
Barrow's ideas. Mutual influence of Newton a. Barrow. Descript. of the book from 
which the translat. has been made. The prefaces. How B. made his construct. Analyt. 
equivalents of B's chief theorems. Translation of Lecture I — XIII. Extr. from stand, 
authorities. Solut. of a test question by B's method. Graph, integration by B's method. 
Reduced facsim. of B's pages a. fig. Index. 

Acta mathematica. 43. Imprimé le 23 avril 1920. 2 



10 Bibliographie 

Boole, Georgk, Collected logical works. Vol. 2: The laws of thought. (1854). — 
448 pp. 8. Dol. 3: 50. 1916. Cloth. 

An investigation of the laws of thought, on which are founded the mathematical 
theories of logic and probabilities,- by Geokge Boole. London 1854. — Preface. Nature 
and design of this work. Signs a. their laws. Derivations of the laws. Division of 
propositions. Principles of symbol, reasoning. Of interpretation. Of elimination. Of 
reduct. Methods of abbreviat. Conditions of a perfect method. Of secondary pro- 
posit. Methods in second, propositions. Clarke a. Spinoza. Example of analysis. Of the 
the aristotelian logic. Of the theory of probab. Gen. method in probab. Element, 
illustrât. Of statistical conditions. Probl. on causes. Probability of judgements. Con- 
stitution of the intellect. 

Cantor, Georg, Contributions to the founding of the theory of transfinite num- 
bers. Translated, and provided with an introduction and notes, by Philip 
E. B. Jourdain. (The Open Court Series of Classics of Science and Philo- 
sophy, No. 1.) — 211 pp. 8. 1915. Dol. 1:25. Cloth. 

Preface. Table of contents. Introduction. Contributions to the founding of the 
theory of transfinite numbers. Article I (1895). Art. II (1897). Xotes. Index. 

Carus, Paul, The principle of relativity in the light of the philosphy of science. 
With an appendix containing a letter from the Rev. James Bradlc3' on the 
motion of the fixed stars, 1727. - 105 pp. 8. 1913. Dol. 1:00 Cloth. 

Introductory. On the absolute. Tricks of cognition. Comstock on relativity. The 
A Priori. On absolute motion. Absolute space. Ernst Mach. Objectivity. Primary con- 
cepts. Some physical problems of relativity. The principle of relativ, as a phase in the 
development of science. Conelusion. Append. 

Morgan, Augustus de. Essays on the life a-nd work of Newton. Edited with 
notes a. appendices by Philip E. B. Jourdain. — 198 pp. 8. Dol. 1:25. 
1914. Cloth. 

Editor's preface. Newton (1846). A short account of some recent discoveries in 
England and Germany relat. to the controversy on the invention of fluxions (1852). 
Appendix on the manuscripts a. publicat. of Newton and Leibniz. Review of Brewster's 
»Memoirs of the life, writings, and discoveries of Sir Isaac Newton (1855)>^. — De 
Morgan's view of Leibniz's character. Note by De Morgan on the character of Newton 
and on the actions of the Royal Society, written in 1858. 

Richardson, Rohert P., & Landis, Edward H., Numbers, variables and Mr. 
Russell's philosophy. — 59 pp. 8. 1915. — Reprinted from »The Monist» 
of July 1915. 

Smith, David Eugene, & Mikami, Yoshio. A history of Japanese mathematics. 
— V+ 288 pp. 8. 1914. Dol. 3. Cloth. 

Pref. The earliest period. Tiie second iieriod. Tiie development of the sorobau. 



Bibliograpliie 11 

The sangi applied to algebra. The third period. Seki Köwa. Seki's contemporaries a. 
possible western influences. The Yenri or circle principle. The eighteenth century. 
Ajima Chokuyen. The opening of the ninteenth century. Wada Nei. The close of the 
old Wasan. The introduct. of occidental mathematics. Index. 



Rice Institute. 

Houston, Texas. 

Rice Institute, The book of tbe opening of the Rice Institute. Being an ac- 
count in three volumes of an x4cademic Festival, held in celebration of the 
formal opening of the Rice Institute, a university of liberal and technical 
learning, founded in the City of Houston, Texas, by William Marsh Rice 
and dedicated by him to tlie advancement of letters, science, and art. Oct. 
10—11, 1912. Vol. 1—3. — XII + VI + VI + 1,100 pp. 4. 

1. Inscription. List of delegates. Program. Addresses of welcome and res- 
ponses at a luncheon given at the City Auditorium by the municipal government of 
the City of Houston. Programs of the concerts. . . Toasts and responses at the sup- 
per given by the trustees at the Residential Hall in honor of the inaugural lecturers. 
Formal exercices of dedication. Luncheon at the Institute Commons. Congratulatory 
greetings a. addresses. Religious services in the City Auditorium. Portraits of the 
Founder. Architectural plan. The invitation to the festival. Facsimiles of some of 
the letters received: The University of Paris, of Oxford, of Cambridge, of Rome, of 
Aberdeen, the Pontifical Gregorian University, University of Oviedo, Harvard Univer- 
sity, University of Lemberg, The Royal Society of London, The R. Pruss. Academy of 
Sciences etc. etc. 

2. The inaugurals lectures: The problem of the philosopliy of history. The theory of 
civilization. The methods of extending civilization among the nations. Three inaug. 
lectures by Prof. R. Altamira y Crevea. — Molecular theories and mathematics. Agg- 
regates of zero measure. Monogenic uniform nonanalytic functions: The theories of 
Cauchy, Weierstrass, and Riemann. Three inaug. lectures by Prof. Emile Boeel. — • 
The breviary of aesthetic, a monograph by Senator B. Croce. — Mutations in here- 
dity. Geographical botany. Modern cytological problems. The ideals of an experiment 
garden. Four inaug. lectures by Prof. Hugo de Vkies. — Philosophical landmarks, 
being a survey of the recent gains and the present problems of reflective thought. 
Three inaug. lectures by Sir Henry Jones. Photogravures of the above lecturers. 

3. The introduction of western learning into Japan. An inaug. discourse by Privy 
Councilor Baron D. Kikdchi. — The study of poetry. An inaug. discourse by Prof. 
J. W. Mackail. — The system of the sciences. Principles of the theory of education. 
Two inaug. lectures by Prof. W. Ostwald. — Henri Poincaré. An inaug. memoir by 
Senator V. Voltebea. — The electron as jn element. Compounds of electrons. The 
disruption of the so-called elements. Three inaug. lectures by Sir \V. Ramsay. • — The 
corpuscular theory of aurora borealis. An inaug. lect. by Caki. Stöhmer. — The gene- 



Bibliographie 

ralizatioii of analytic functions. On the theory of waves and Green's method. Tiiree 
inaug. lectures by Senator V. VoLTEnRA. — Portraitures of the above lecturers and of 
Henri roincaré. 



B. G. Teubner. 

Leipzig & Berlin I'Jl 1 — 1919. 

Bloch, Werner, Einführung in die Relativitätstheorie. Mit 16 Fig, (Aus Na- 
tur u. Geistcswelt. Bd. 618.) — 100 pp. 8. 1918. M. 1:90 geb. 

Einleit. Ueberleg. Die Bewegung u. das Koordinatensystem. Der Bewegungs- 
zustand d. Äthers. Aberration u. Dopplerprinzip. Die beid. Grundversuche. Die Eelativi- 
tütstheorie. Ableit.d. Transformationsgleichungen. Physik. Bedeutung, d. Transformationsgi. 
u. d. ersten Folgerungen. Das Additionsthcoreni d. Geschwindigkeiten. Einige weit, wichtige 
Folgerungen aus d. Relativitätstheorie. Bedeut. d. Relativitätstheorie f. d. Physik u. Philo- 
sophie, llist. Entwicklung d. Relativitätstheorie u. Ausblick auf d. allgem. Relativitätstheorie. 

BoNOLA, Roberto, Die nichteuklidische Geometrie. Historisch-kritische Darstel- 
lung ihrer Entwicklung. Autor, deutsche Ausgabe bes. von Heinrich 
Liebmann. 2 Aufl. (Wissenschaft und Hypothese. IV.) — 207 pp. 8. 1919. 
geh. M. 6:40, geb. M. 7:60. 

Die Beweise d. V. euklidischen Postulats. Die Vorläufer d. nichteuklidischen Ge- 
ometrie. Die klassische Zeit. d. nichteuklid. Geometrie. Nichteuklid. -hyperbolische 
Elementargeomctrie. Neuere Wege u. Ziele. Einige Hauptformeln d. nichteuklid. (hy- 
perbol.) Geometrie. Ueber einige Anwendungen d. absoluten (nichteuklid.) Geometrie 
auf die Lehre von d. Funktionen einer komplex. Veränderlichen. Namenreg. 

CzuBBR, Emanuel, Vorlesungen über Differential- und Integralrechnung. Bd 2. 
Vierte, Sorgfalt, durchges. Aufl. Mit 119 Fig. XI H- 599 pp. 8. 1919. M. 
20:— geb. 

T. 2. Intcgrulrechnuny. Das bestimmte u. das unbest. Integral. Grundformeln 
u. Methoden d. Integralrechn. ^ Integration rationaler Funktionen. Integral, irratio- 
naler Funkt. Intégrât, transzendenter Funkt. — Wertbestimmung u. Schätzung be- 
stimmter Integrale. Erweiterung d. Integralbegriffs. Integration unendlicher Reihen. 
Differentiation durch Integrale definierter Funkt. Intégrât, durch Integrale definierter 
Funkt. Das Dop])clintcgr. Drei- u. mehrfache Integrale. Kurvenintegrale. Integrale 
v. Funktionen einer komplex. Variablen. Analytische Anwendungen. — Quadratur ebe- 
ner Kurven. Rektifikat. v. Kurven. Kubatur krummflächig begrenzter Körper. Kom- 
planation krummer Flächen. Massen-, Moment- u. Schwerpunktbestimm. Die Sätze 
von Green. Das Potential. — Definition u. Haupteinteil. d. Differentialgleichungen. 
Differentialgleich, erster Ordnung. Allgemeines. Integral ionsraethoden für Difierentialgl. 
erst. Ordn. Singulare Lösungen gewöhnl. Differentialgl. erst. Ordn. Geometrische An- 
wend. Systeme v. Differentialgl. DiftVronlialgl. höherer Ordnung. Lineare Differentiak'l. 



Bibliograpliie 13 

Integration durcli Reihen. Graphische Integration. Elemente d. Variationsreehu. Par- 
tielle Dift'erentialgl. er.st. Ordn. Part. Differentialgl. zweit. Ordu. Keg. 

DiECK, W., Nichteuklidische Geometrie in der Kugelebene. Mit 12 Fig. (Math.- 
Physikal. Bibliothek, hrsg. v. W. Lietzmann u. A. Witting. 31.) — 51 pp. 
8. 1918. M. 1: — 

Punkt u. Gerade i. d. Kugelebeiie. Die Beziehungen zwischen Punkt u. Gerade. 
Kongruenz u. Messung v. Strecken. Das Kugellineal. Der Winkelbegrift". Kongr. u. 
Mess. V. Winkeln. Ergänz.-, Neben- u. Gegenwinkel i. d. K-Ebenc. Das Dreieck. Der 
P^undamentalsatz d. K- Geometrie. Das Parallelenaxiom. Jlerkw-. Dreiecksreihen i. d. 
K-Ebene. Die Lehre v. K-Kreise. Fiachenvergl. i. d. E- u. i. d. K-Ebene. Die Ähn- 
lichkeit als Sondergut der E-Geometrie. 

HoHENNER, H., Der Hohennersche Präzisionsdistanzmesser und seine Verbindung 
mit einem Theodolit. Einrichtung u. Gebrauch d. Instrumentes für die ver- 
schiedenen Zwecke der Tachymetrie. Mit Zahlenbeispielen sowie Genauig- 
keitsversuchen. Mit 7 Abb. u. 1 Tafel. (Abhandlungen u. Vorträge a. d. Ge- 
biete der Mathematik, Naturvviss. u. Technik. 4.) — 64 pp. 8. 1919. M. 
3: 20 geh. 

KowALEWSKi, G., Einführung in die Infinitesimalrechnung. 3:e verb. Aufl. (Aus 
Natur u. Geisteswelt, 197) — 100 pp. 8. 1919. M. 1:60 kart. 

Häufungswerte u. Grenzwerte. Dift'erentialrechnung. Integralrechn. Historische 
Übersicht. 

Meissner, Otto, Wahrscheinlichkeitsrechnung. 1 — 2. 2. Aufl. (Math.-physikal. 
Bibliothek, hrsg v. W. Lietzmann & A. Witting. 4 & 33.) — 1:56 pp. 8. 
1919. M. 1:—; 2:52 pp. 8. 1919. M. 1:—. 

1 : Grundlehren. Einleit. Grundlehren d. Wahrschcinlichkeitsrechn. Verwickel- 
tere Fälle u. Gesetzmässigkeiten. Die Anwendungsgebiete d. Wahrscheinlichkeitsrechn. 
Mathemat. Anhang. Antworten zu d. Fragen im Texte. Kurze geschichtl. Bemerk, 
üb. die im Texte erwähnten Mathematiker. 

2: Anwendungen. Vorbemerk. Ausgleichungsrechn. Statistik. Kollektivmass- 
lehre. Anw. d. Wahrscheinlichkeitsrechn. auf physikal. u. kosmolog. Fragen. Schlussw. 
Antw. zu d. Fragen im Texte. 

MÜLLER, Emil, Lehrbuch der darstellenden Geometrie für Technische Hochschu- 
len. Bd. 2. H. 1. 2 Aufl. Mit 140 Fig. — VII + 129 pp. 8. 1919. M. 5:40geh. 
Kotierte Projektion u. Dachausmittlung: Dai'stellung v. Punkten, Geraden u. Ebe- 
nen u. Lösung d. sie betreffenden Grundaufgaben. Die Geländefläche u. d. Lösung der 
sie betreff. Aufgaben. Dachausniitttlung. — Normale Achsonometrie: Zeichnen normal- 
achsonometr. Bilder. Hauptsätze üb. Normalrisse rechtwinkl. Achsenkreuze. Lösung 
d. Grundaufgaben in normaler Achsonometrie u. Darstellung krummtlächiger Körper. 



14 Bil)liogia])hie 

PjäERY, John, Höhere Mathematik für Ingenieure. Autor, deutsche Bearb. von 
Robert Fricke und Fritz Süchting. 3. Aufl. — 450 pp. 8. 1919. geh. 
M. 20:—, geb. M. 22: 

Einleit. Kap. I. x". Kap. 11. e* uud sin x. — Scliwierigere Aufgaben u. Lehrsätze. 

I: Graphische Darstellungen u. Koordinaten. IJcgriff d. Funktion. Uebungen 
in Kurvenzeiclinen. Gedämpfte Schwingungen. Analyt. Untersuchungen einfacher Me- 
chanismen. Die (icrade als Darstellung einer Gleichung. Aufg. üb. die gerade Linie. 
Von d. Aufstellung empirischer Formeln. Berechnung d. Steigung einer Geraden. Be- 
griff d. Different ialquotienteu. Mittlere Geschwindigkeit, iusb. bei freiem Fall. Grenz- 
wert d. mittleren Geschwindigkeit. Geschwindigkeit eines Eisenbahnzuges. Begriff u. 
Bezeichn. d. Beschleunigung. Best. d. Beschleunigung durcii Rechnung. Differentiation 
d. Funkt, y = ax^ Zweimal. Different, u. Differentialquotient von ax-. Gleichfürm. 
beschleunigte Bewegung etc. etc, 

II: Das Zinseszinsgesetz. Differentiationsregel d. Exponentialfunkt. Aufgaben zur 
Differentiation u. Integration von e". Techn. u. andere Beispiele zur Exponentialfunkt. 
Barometrische Höhenmessungen. Ilarmou. Funkt. Differentiation u. Integration von 
sin X. Differentiation von cos x. Induzierte elektrische Spannung in einer im magnet. 
Felde rotierenden Metallschleife. Oberschwingungen in einer Wechsclspannung. Dre- 
hende Schwingungen unter d. Einflüsse einer Riclitkraft. Aufgaben. Krouzkopfbewcg- 
ung einer Kolbenmaschine als Beispiel einer harmon. Funkt, etc. etc. 

III. Differentiation einer Funkt. f(x), eines Produktes a.f(x) u. einer Summe. 
Differentialquotient eines Produktes von zwei Funktionen. Dift". quot. eines Quotienten 
von zwei Funkt. Differentiation zusammengesetzter Funktionen. Berechn. d. sekund- 
lichen Wärmezufuhr aus d. Indikatordiagramm einer Gasmaschine, etc. etc. 

ScHUDEiSKY, Albrecht, Geometrisches Zeichnen. Mit 172 Abb. (Aus Natur 
und C.eisteswelt. Bd 568.) — 99 pp. 8. 1919. — kart. M. 1: 75, geb. M. 2: 15. 
Vorbemerkungen. — Zirkelzeichneu: Grundlegende geometr. Zeichenaufgaben. Be- 
grenzte u. unbegr. geradlinige Verzierungen. Zeichenaufgaben üb. d. Kreis. Kreisteil- 
ungen u. deren Anwend. beim Zeichnen regelmäss. Vielecke u. Zierformen. Begrentzte 
u. unbegr. krumm- u. gemischtlinige Verzierungen. Wichtige Bogenlinien, welche sich 
aus Kreisbogen zusammensetzen. Kegelschnittlinien. Rad- u. Spirallinien. — Masstab- 
zeichuen: Einleit. Zeichn. von Masstäben. Verkleinern von Fläclicn m. Hilfe von ver- 
jüngten Masstäb. an Hand freihändiger Skizzen. Vergrössern bzw. Verkleinern v. 
Flächen mittels eines Quadratnetzes u. nach d. Drehpunktsmethode. 

Stolz, Otto, & Gmeiner, J. A., Theoretische Arithmetik. 1. Abt.: Allgemeines. 
Die Lehre von den rationalen Zahlen. 2. Aufl. Umgearb. von Anton Gmei- 
ner. (Dritte Aufl. d. Abschnitte I — IV des ]. Teiles d. Vorlesungen über 
allgemeine Arithmetik von 0. Stolz.) (B. G. Teubners Samml. von Lehr- 
büchern. . . Bd 4, 1.) — VI+I48 pp. 1911. M. 5:20 geb. 

Einleit. Begriff d. Grösse u. Zahl. Die natürlichen Zahlen. Analytische Theo- 
rie, d. rationalen Zahlen: Theorie d. Rechengesetze. Die rationalen Zahlen. — Svnithe- 
tischc Theorie d. ration. Zaiilen. Die svstematischen Brüche. Uebungen. Sachenverzeichn. 



Bibliographie 15 

U. S. Naval Observatory. 

Washington, D. C. 1917. 
Astronomical Papers, prepared for the use of the American Epliemeris and 
Nautical Almanac. Publ. by the Naut. Almanac Office, U. S. Naval Obser- 
vatory. . . Vol. IX, Part II: New elements of Mars and Tables for correc- 
ting the heliocentric positions derived from Astronomical Papers, vol. VI, 
Part. IV, by Frank E. Ross. — 25 pp. 4. 1917. 

university of California Press. 
Berkeley 1918. 
Lewis, C. I., A survey of symbolic logic. (Semicentennial Publications of the 
University of California.) — VI + 406 pp. gr. S. 1918. 

Preface. The development of symbolic logic: The scope of symbolic logic. Sym- 
bol, logic and logistic. Summary account of their development. Leibniz. From Leib- 
niz to De Morgan and Boole. De Morgan. Boole. Jevons. Peirce. Developments 
since Peirce. — The classic, or Boole-Schroder algebra of logic: General character of 
the algebra. The postulates a. their interpretation. Element, theorems. Gen. proper- 
ties of functions. Fundament, laws of the theory of equations. Fundament, laws of 
the theory of inequations. Note on the inverse operations, »subtraction» a. »division». 
— Applications of tlie Boole-Schroder algebra: Diagrams for the logical relations of 
classes. The applicat. to classes. The applicat. to propositions. The applicat. to 
relations. — Systems based on material implication: The two-valued algebra. The 
calculus of proposit. functions. Funct. of one variable. Proposit. functions of two or 
more variables. Derivation of the logic of classes from the calculus of proposit. func- 
tions. The logic of relations. The logic of »Principia Mathematical. — The system 
of strict implication: Primitive ideas, priniit. propositions, a. immediate consequences. 
Strict relations a. material relat. The transformation { — /~}. Extens. of strict, im- 
plicat. The calculus of consistencies a. the calculus of ordin. inference. The meaning 
of »implies». — Symbolic logic, logistic, a. mathematical method: Gen. character of 
the legist, method. The »orthodox» view. Two varieties of legist, method: Peano's 
Formulaire a. Principia Mathematica. The nature of logistic proof. A »heterodox» 
view of the nature of mathematics a. of logistic. The logist. method of Kempe a. 
Royce. Summary a. conclusion. — App. Two fragments from Leibniz. Bibl. Index. 

The University of Chicago Press. 

Chicago, III. 1917. 
Blichfeldt, H. f., Finite coliineation groups, with an introduction to the the- 
ory of groups of operators and substitution groups. (The University of 
Chicago Science Series.) — 194 pp. 8. 1917. Dol. 1:50. Cloth. 

Elementary properties of linear gi-oups. Groups of operators a. substitution 
groups. The linear groups in two variables. Advanced tiieory of lin. groups. Tlie 
lin. groups in three variables. The theory of group characteristics. The lin. groups 
in four variables. On the history a. applications of lin. groups. Appendix. 



ACTA 



MATHEMATICA 



ACTA MATHEMATICA 



ZEITSCHRIFT JOURNAL 



HERAUSGEGEBEN 



G. MITTAG-LEFFLKR 



43 



>iim< 



w 

Bp:KLIN STOCKHOLM PARIS 

MAYER & MOli.ER. ALMQVIST & WIKSELLS BOKTHYCKr.HI-A.-lt. J. HERMANN 

PllINZ LOUIS KEnDINANDSTRASSK Ï. 1922 6 HUE DE LA SORBONNE. 



UPrSALA 1922 

AT.MQVIST A WIKSEI.LS BOKTllYCKERI-A.-B. 



î 



REDACTION 

SVERIGE: 

I. Fredholm, Stockholm. 

H. VON Koch, 

A. LiNDSTEDT, » 

J. Malmqüist, » 

G. Mittag-Lefflek » 

N. E. NöiiLUND, Lund. 
E. Phragmén, Stockholm. 

A. WiMAN. Uppsala. 

NORGE: 
C. Störmer, Christiania. 

DANMARK: 

Harald Bohr, Kjöbeiihavii. 

J. HjELMSr.KV, » 

J. L. W. V. Jensen, » 

FINLAND: 

Ernst Lindelöf, Helsingfors. 
Hj. Mellin, » 

Karl F. Slndman, « 



INHALTSVERZEICHNIS - TABLE DES MATIERES. 

BAND 43. — 1922. — TOME 43. 



Seite. Pages 

BIRKHOFF, GEORG D., Surface transformations and their dynamical 

applications .. 1 — 119 

CARLEMAN, TORSTEN, Développements asymptotiques des solutions 

d'une classe d'équations différentielles linéaires 319 — 336 

JOURDAIN, PHILIP E. B., A proof that every aggregate can be well- 
ordered..... -.. 239-261 

KAMPÉ DE PÉRIET, J , Sur les fonctions hyperspliériques et sur l'ex- 
pression de la fonction hypergéométrique par une dérivée généralisée 197 — 207 

KOEBE, PAUL, Über die konforme Abbildung endlich- und unendlich 

vielfach zusammenhängender symmetrischer Bereiche 263—287 

MYRBERG, P. J., Über die automorphen Funktionen zweier Veränder- 
lichen 289-318 

NÖRLUND, N. E., Mémoire sur les polynômes de Bernoulli 121 — 196 

SZÀSZ, OTTO, Über Konvergenz unendlicher Kettenbrüche mit durchweg 

reellen Elementen 209—237 



SURFACE TRANSFORMATIONS AND THEIR DYNAMICAL 
APPLICATIONS. 



GEORGE D. BIRKHOFF 
of Cambridge, Mass., U. S. A. 

A state of motion in a dynamical system with two degrees of freedom 
depends on two space and two velocity coordinates, and thus may be represented 
by means of a point in space of four dimensions. When only those motions are 
considered which correspond to a given value of the energy constant, the points 
lie in a certain three-dimensional manifold. The motions are given as curves in 
this manifold. One such curve passes through each p^uit. 

Imagine these curves to be cut by a surface lying in the manifold. As the 
time increases, a moving point of the manifold describes a half-curve and maets 
the surface in successive points, P, P', In this manner a particular trans- 
formation of the surface into itself — namely that which takes any point P into 
the unique corresponding point P' — is set up. 

This fundamental reduction of the dynamical problem to a transformation 
problem was first effected by Poincaré and later, more generally, by myself.' 
In order to take further advantage of it I consider such transformations at length 
in the following paper, which appears here by the kind invitation of Professors 
Mittag-Lefflee and Nörlünd. The dynamical applications are made briefly 
in conclusion. These bear on the difficult questions of integrability, stability, 
and the classification and interrelation of the various types of motions. 

Chapter I. Formal Theory of Invariant Points. 

§ I. Hj-potheses. 
For the present we shall confine attention to the consideration of a one- 
to-one, direct, analytic transformation T in the vicinity of an invariant point of 

' Dynamical systems u-ith two degrees of freedom. Transactions of Ihc American Mathematical 
Society, vol. i8, 1917. 

Acid mathematica. •l.'î. Imprimé le 1" mars IHäO. ' 



2 George D. Birklioff. 

the surface S undergoing transformation. Hence, if u, v be properly taken 
coordinates with tlie invariant point at u=v = o, the transformation may be 

written 

M, = a M + 6 (■ H , 

i\ = cu + dv + ■ ■ -, 

where the right-hand members are real power series in u, v (i. e. with real 
coefficients), where «,, f, are the coordinates of the transformed point, and where 

(2) ad — bOo. 

More generally, the notation {uk,Vk) or Pk (k--= o, ± i, ± 2,.. ) will stand 
for the point obtained by applying the kih iterate (power) of T to {u, v) or P. 

Furthermore it will be assumed that there exists a real analytic function 
Q{u, v), not zero for m = î; = o, such that the double integral 

I I Q{u, v)du dv 

has the same value when extended over any region as over its image under T. 
Following a dynamical analogy such a transformation will be called conservative. 
Al«o Q will be termed a quasi-invariant junction of T. 

An explicit form for the condition that a quasi-invariant function must 
satisfy is well-known' and may be readily derived. Tf the double integral be 
expressed in terms of the new variables ?<i, v,, it takes the form 



/^/ \ P^M dv dv ()u^, , 
' ' ^^ ' \_(lui dvi Ou^ dv^] 



where the integration extends over the image of the given region under T. 
Since the given region is arbitrary, and since by hj'pothesis the last written 



integral has the same value as I I Q{u^,v^)du^dv^ taken over the same region, 

we infer that the two integrands are equal. But the Jacobian of m, v as to 
«t, , V, is the reciprocal of the Jacobian of «,, v^ as to u, v. Hence wc obtain 

(3) Q{'u.v) = Q{u,,v,)\ , T^' — T- u • 

■^' -»v > / ^^ ^' "[()u ilv i>u dvj 



' Cf. E. GouRSAT, Sur les trans/onnations ponctuelles qui conservent les volumes. Bulletin des 
Sciences Mathématiques, vol. 52, 1917. 



Surface transformations and their dynamical applications. 3 

Conversely, if Q{u,v) is a real analytic function, not zero for u=^v=o, 
and if (3) is true, it follows at once that Ç is a quasi-invariant function. 

If there exists a second c^uasi-invariant function Q' not a constant multiple 

Q' 

of Q, it is clear that the ratio ^ is an analytic invariant junction of T , not 

zero for u = v = o. Moreover, if any quasi-invariant function be multiplied by 
such an invariant function, the product is clearly a quasi-invariant function. 

When a conservative transformation T has an analytic invariant function 
(not a constant), the transformation will be said to be integrable.^ 

A transformation T remains conservative under a change of variables, say 
from u, V to u, v. The quasi-invariant function Q is thereby modified to a 
function Q obtained by multiplying Q by the Jacobian oi v , v as to u, v. 



§ 2. Preliniiiiaiw Cias.sificatioii of Invariant Points. 

We first make an evident and well-known preliminary classification of in- 
variant points which is wholly based on the nature of the linear terms in the 
power series for «1, i\. Under real linear change of variables these first degree 
terms are transformed among themselves without reference to terms of higher 
degree. Consequently the theory of linear transformations applies to these terms. 
According to this theory the classification depends largely upon the nature of 
the roots of the quadratic equation in q, 

p2 — {a + d) Q + ad — be = o . 

In the case at hand this equation is a reciprocal quadratic equation, i. e. 

(4) ad ~bc = I. 

For, if u = v=o, we have Q = (Jt ^ o and also 

du, (lu. T^ dv, di\ , 

■r^=a, ~ =b, -^ =c, T7~^ = d. 
du dv du dv 

Thus from (3) the stated equation (4) follows. The roots of this reciprocal 
equation will be designated as (> and - • 



It sliould be observed that the definition refera to the vicinity of an invariant point. 



George J). liirklioff. 



There are tlie following three cases to consider. First, o may be real with 
a nimierical value not unity; T can then be taken in the normal form 



m + n = 2 

v, = V + Zj V' «'"y". 

^^ '"" 



We subdivide this case according as o is positive (case I') or negative (case I"). 
Secondly, o may be complex and so of modulus i. With this case we group 
that case ()== ± i in which the two elementary divisors are distinct. Here T 
may be taken in the normal form 



II. 



?/, = u cos — V sin f) + y\ '/'„,„w"'t;", {q = e ^^) , 

iH + n - '2 

i\ — u sin + V cos (I + ^ '/'»„n ""'^"• 



It is convenient to subdivide case II into the irrational case IT when - is 

2 if 

irrational, and the rational cases II" when W = o, and IF" when — = - with 

2/r q q 

not an integer. Case II" yields the case (> = i; and 11", the case ç = — i. 

Thirdly, we have that case in which the two elementary divisors are not distinct; 

here T may be taken in the normal form 



III. 



■M, = ± M + 2 '■/'„„w"'«^". (e = ± l), 

m + H = 2 
I'l = ± U + cZm -f 2 '/'mn "'"*'"' (<^ ä^ O) . 



We subdivide this case according as () = i (case III') or ç = — i (case III'). 

If only linear terms are present in m,, t', we obtain the linear transforma- 
tions : 



I. 

n. 
III. 



tt, = gu, v, = V, 



io^ ± i), 



M, = u cos — V sin I), t\ = u sin tl \ v cos ^y, 

«I = ± M> «, = ± V + «iK, (d ^ o) 



Surface transformatious and their dynamical applications. 5 

These may be regarded as furnishing a first approximation to the corresponding 
general types. According to ourj definition all three linear transformations are 
conservative with Q = i a quasi-invariant function since areas are left invariant. 
Furthermore these cases are integrable with invariant functions uv, u--\-v-, ?<- 
respectively. 

In the first case a point P will move on a hyperbola uv = const, upon 
successive application of 2' or T_i (v , v being taken as rectangular coordinates); 
in the third case P will move along a pair of parallel lines m^ = const. Unless 
the point P lies on the degenerate hyperbola uv = o in the first case, or on the 
pair of coincident straight lines u- = o in the third, P will recede to infinit}' 
upon successive application of T or jT-i. When P lies on the degenerate hyper- 
bola in the first case, it will approach the invariant point (o, o) upon successive 
application of T or else of T-i, and recede to infinit}^ upon application of the 
inverse transformation. In the third case all points of tlie line m = o are invariant 
or are reflected into points of the same line on the other side of (o, o), according 
as the + or — sign is used. 

On the other hand, in the second case the transformation is a rotation 
about (o, o) through an angle 0, and every point P remains at a fixed distance 
from (o, o) upon successive application of T or T_i. 

The essence of the distinction here existing is brought out clearly b}- means 
of the following fundamental definition: if a neighborhood of an invariant point 
can be so taken that points arbitraril}' near the invariant point leave this neigh- 
borhood upon successive application of T (or of T_i), the invariant point is 
unstable; in the contrary case the invariant point is stable.^ 

Thus the linear transformations I, III are unstable in this sense, while 
those of type II are stable. 



§ 3. All auxiliary Lemma. 

Before proceeding to the consideration of formal series for Uh, vji (^• = o, 
±1, ±2,...), we will establish the following obvious but useful lemma: 
Lemma. The linear difference equation of the first order in y{k}, 

y{k + i) — ay{k) = c'/fih'. 



' See T. Levi-Civita, Sopra alcuni ci-iteri di instabilità. Annali di Maiematica, Ser. Ill 
vol. 5, 1901. 



6 George D. liiikhott'. 

(<;, c, k real, and // a positive integer or zero) admits a solution 
Â''(real polynomial in h of degree /<) 

if A?^o', and otherwise a solution 

Â*(i-eal polynomial in k of degree « + i). 

Suppose first that Kr^a. Let us make the substitution y^iJ'w, when the 
difference equation takes the form 

(J c 

u)(k + i) — . wik) = J k'' . 

If we write 

w = tim k" + ?<;'" i" -' + ••• + ?<;<■">, 

we find that w will be a solution if the following conditions are satisfied 

,,(0) 



/( //■(") + 1 1 - . it'" = , 



,(,(0) + .,j;(!) _|. . . , 4 ( J _ ^. I „,(.«) = o . 



On account of the assumption made, we see at once that these equations determine 
real quantities it*', w;'",..., i6-<"' in succession, and lead to a solution of the kind 
specified. 

If l = a a slightly modified argument applies. Here we write y = /^w as 
before, and then 

tv = wC) Ä;"+' + îtîd) k" + ■■■ + «;("+». 

The conditions on the coefficients take the form 
^^ lü'"' + inv^'' = , 



These equations determine real quantities !t>'*^', «'"',..., at''"' in succession but 
leave ?<;("+') undetermined, although it is to be taken real. 



Surface transformations and their dynamical applications. 



§ 4. Formal Series for Uk, Vk. Case I. 

By iteration one can obtain convergent series for Vk, Vk in terms of u, v. 
In case I the linear terms of these series are evidently o''ii, o"*« respectively. 
This fact suggests that higher degree terms may be similarly given an explicit 
form in k, and we shall show this to be the fact. 

If ?/i, V, are real series of the form I with q>o {case I'), iik, Vk may be 
represented for all integral values of k in the form 



Mk = q'' u + 7, C/^''''' «"' )-•" 
m + n-2 

1'k = 0~*l' + 7, (/'•*' «"' V" 



where <ff'^^ , */''*', ß''6 't'^^l polynomials in o'-' , o"*, k of degree at most m + 71 in these 

variables. 

Let us consider first the quadratic terms in the series for Vk, Vk- 

If in Uk, Vk we replace u, v by ?t, , v^ respectively, we obtain «i+i, Vk+\ by 

definition. By comparison of coefficients in I'/.- above, this leads to the equations 

The first three of these equations are obtained by comparing the coefficients of 
u-, uv, v^ respectively in Uk-\-\{u,v) and Uk{u^,v^)■, the second three are found by 
a like comparison of Vk+\{u,v) and i't(K,,y,). 

By considering fp''''\, i/''*'„ with m + n = 2 as undetermined functions of the 
index k, it is clear that these six equations constitute six difference equations 
of the type treated in the lemma of § 3. 

Moreover these equations suffice to determine these six functions full}- for 
all integral values of k if their value is known for anj' particular i. In the case 
at hand we have of course ^S?,',, = */'„„ = o for all m and n, since u^ = u, v^^v. 

According to the lemma we can find explicit solutions of these difference 
equations of a very simple type, namely constant multiples of ç' for the first 
three equations, and of o~* for the second three equations. Also the six reduced 



8 George D. lîirldioff. 

homogeneous equations obtained b}' removing the first term on the riglit in the 
six equations admit the following respective particular solutions: 

o^'', I, o~-*; ö-'% I, o~-'''. 

By adding real constant multiples of these solutions to the respective 
solutions of the non-homogeneous equations, we find a new set of particular 
solutions vanishing for k ~ o as desired. 

Tn this waj' we obtain the explicit values of </>'„*'„, '/'!^'„ for m + 71 = 2: 



(5) 






We proceed to show that explicit expressions for (/j*',,, '/''j^'„ of the type 
stated exist also for ?n. + ?« = 3, »i + w = 4, . . . in succession. 

To begin with, we write the equations obtained b\' a comparison of the 
coefficients of u'"v" in y/;+i{u,r), u/:{v^,v,) and Vk+i{i>,v), »'aC», , r,) in the 
respective abbreviated forms: 

'm» ^ 'mil " ' run ^mn 

The expansions of ç''m, and ç~*v, in uu{u^,v^) and n(î<,, n,) respectively yield 
the first terms on the right in these equations. The second terms arise from the 
expansion of '/'|^'„ w''H'ï ^"*^ '^mn"'"''ï '° *'h® same functions. The last terms arise 
from the expansion of yJ^'J, m" t',' and i/'àH w" ^'f respectively, with « + ;!/< »n +n; 
thus P,nn and (?,„„ are linear and homogeneous in fyrjf], t/'!,*| respectively, with 
real coefficients, polynomial in ç, o-^, (/'„,,, i/',,,.(/t+ ^'< « + ,:/). 

Suppose now that we take ?>t + ?i = 3 and assume that the explicit expres- 
sions for fz-jf^fa +(!? = 2) are substituted in P„,„, Q„,„. The above equations become 
linear difference equations in r/ij,^>,,, i/'J*',,- Furthermore, it is clear that these 
equations, together with the fact that r/iW^, (/)(0)^^ vanish, determine these variables 
completely for all integral values of k. 

By a similar process to that employed in the case m + n = 2 we may arrive 
now at explicit expressions for ff^j;},^, '/'|,^'„ in the case »» + »1 = 3. 



Surface transformations and tlieir dynamical applications. 9 

In this new case we have a non-homogeneous part composed of more than 
one term. But each term is of the form c'/J'k'^ occurring on the right-hand side 
of the equation of the lemma (§ 3), since the non-homogeneous part is a polynomial 
in q'' , Q—'' of degree at most 2. 

If we add together the various particular solutions corresponding to each 
of these terms, as given by the lemma, we obtain a solution of each difference 
equation for »« + «. = 3 in the form of a real polynomial in ç'", o~^, k, of at most 
the third degree in these variables. 

The corresponding homogeneous reduced equation has a solution ç(">-n)^-. 
If a suitable real constant multiple of this solution is added to the above parti- 
cular solution of the non-homogeneous equation, a new particular solution is 
obtained which vanishes for k = o. Solutions of this type are real polynomials 
in e*, Q~'', k of degree at most 3 in these variables, and form the desired 
expressions. 

Proceeding indefinitely in this way we establish the truth of the italicized 
statement for m + 71 = ^, m + n = /\, . . . . 

It is obvious that the coefficients in the polynomials 'p]^^,^, «/''^''„ are them- 
selves real polynomials in the coefficients of the series u^, v^, save for divisors 
of the form q"- — ç* where a and ß are unequal integers. 

In the later discussion it is convenient to bring back the case I" {q<o) to 
the case I' by means of the following remark: 

If Ml, i\ are real series of the form I ivith q<o {case I"), then Mj, u, are of 
the form I' treated above. 



§ 5. Formal series for Uk, %. Case II. 

Next let us consider series of tj'pe II in the general case when U is incom- 
mensurable with 2iT. 

// u,, V, are real series of the form II with — irrational (case IF), vu, vu may 

he represented for all integral values of k in the form 



11'; 



Uh = u cos kO — 1; sin ä;ö + ^ </„„ W" v" , 
Vk = ^l sin kO + V cos kO + '^ '/'S*',, '*'" ^^". 



ivhere ff'l^\^, '/'i^,'„ ore real polynomials in cos k(l, sin kfl, k of degree at most m f « in 
these variables. 

Acfti mathematica. 43. Imprimé le 17 mars 1920. ^ 



10 George T>. Birkhoff. 

Let US introduce new variables u, v, namely 

u = u + y — I V, V = u — |/ — I V. 

The equations TI give series for ü,, v, in terms of u, v, which are of the form I 
with Q.^e^^i 0. 

Now the lemma of § 3 can evidently be extended to the case when a, c, I 
are complex constants. Here of course the polynomial factors in the solutions 
are no longer real in general. Hence the same formal treatment of Vk, Vk is 
posssible as was made in case I' for Uk, Vk', in fact for the case at hand none of 
the divisors ç" — q^ are so that the solutions are precisely of the same form. 
Thus Uk, Vk can be expressed as power series in h, r with coefficients '/^^^'„, 
(/''*! of M"'i'" respectively, polynomial in i/ , o-'-, k of degree not more than m + m. 

Recalling the simple relation between ?/, v and w, i-, and utilizing the 
trigonometric form of u^, o~'' we arrive at series Vk, Vk of the desired type, save 
that the reality of the polynomials (p'J^^^, i/'J^',^ is not established. 

Although an inspection of the actual formulas employed would establish this 
reality, it suffices to note that, since Uk, Vk are real power series, the real parts 
of f/)<*' , (/*'*' constitute real polynomials of tlie type required. 

In the rational case 11, = o, series of type II are also of type I with 
Q = i. Consequently the method of § 4 leads at once to the conclusion: 

// «1, f, are real series of the form II loilh 0=o (case 11"), vk, Vk may be 
represented for all integral values of k in the form 



11" 



?n+n— 2 

Vk = V + '^ t/'mn '^"' ^"' 
m+n=2 



where 7)"'' , 1/''*'' ai'^ ^^ol folynomials in k of degree at most m+ n — 1.' 
The rational case O^o can be brought back to the case 0=o: 

If M,, V, are real series of the form II with = {case II'"), then %ig, Vg 

2 .1 q 

are of the form II". 

There are series similar to IIV in the general rational case, but we do not 
need to use them. 



' This fact has been noted by C. L. Bouton, Bulletin of the Amei-ican Mathematical Society, 
vol. 23, 1916, p. 73. See also A. A. Bknnktt, A case of iteration in several variables, Annals of 
Mathematics, vol. 17, 1915 — 1916. 



Surface transformations and their dynamical applications. 



11 



§ 6. Formal series for Uk, vu. Case III. 

Finally we have to consider case III: 

// «1, v^ are real series of the form III with o = i (case III'), Uk, Vk may be 
represented for all integral values of k in the form 



IH'i. 



Vk = M + 2 Vmn "'" ^" ' 

Vk =v + kdii + y i/'i^,* ""' V", 



where 'p'^\,, i/'l*',, are real polynomials in k of degree at most 2m+n — i. 

We propose to deal with this case by reducing it to the case II" as follows. 
Write 

U = UV, V = v, 

and let us make this change of variables in the given transformation. We obtain 

M, V, = MIJ + 2 Vmn'"''"' '■''"'*'" ' 

w, = V + duv + 2 •/',„„«'" V"'^". 



Now the right-hand member of each of these equations contains v as a factor. 
Hence, dividing the first equation, member for member, by the second, we find 
the equivalent equations 



m+n=2 



which is formally of the type 11". Hence by our result in § 5 we may write 
for all integral values of k 



12 George I), liiikboff. 

W /.• = î( + 2 'l'mn ^*"' ^" ' 
m+n=2 

VU = V + 2 '/ m'n W'" ^" > 



where «/»J^'^, '/'^''„ arc real polynomials in k of degree at most m-\-n — i. 

Multiplying these two equations together, member for member, we get 



uv +2 



;(A) 



J7l+n=2 

where z[^^' is a real polynomial in k of degree at most 7n + n — 2. Compare this 
equation with that for Uk as a power series in u, v, and so in m, v. The two 
series must be identical so that the exponent of v must be at least as great as 
that of u in every term. Hence /J*'^^ vanishes identically for n<m. Consequently, 
if we write 

I mn '-m.m + n' 

we have Uk expressed in the stated form. 

Likewise, if we compare the series for Vk with that for r/, , we are led to 
see that i/'J*'^^ vanishes identically for n<m and to write 

,/,(A-) ^ w,lA) 
1^ mn ' m, m + n ' 

so that Vk is of the stated form. 

It may be observed that all of the series employed converge for u, v suf- 
ficiently small in absolute value. This fact justifies the method of formal com- 
parison employed. 

The case III with o=^i is taken care of by the following remark: 
// Ui, Vi are real series of the form III with q= — i (case HI"), «,, r, are of 
the form 11". 

§ 7. ITiiiqueness of series for lu, «a. 

The following is easily proved: 

Lemma. Unless (» is a root of unit}-, a polynomial in o*, ^~*, k, o', p~', /, . . . 
cannot vanish for all integral values of k,l,..., without vanishing identical!}-. 



Surface transformations and their dynamical applications. 13 

If possible, suppose that the lemma is not true when there is a single 
variable k, i. e. suppose that there exists a pol^ynomial in q'' , (>-'', k which 
vanishes for all integral values of k without vanishing identically, although q is 
not a root of unity. 

In the first place we cannot have |o|>i. For in this case divide the 
hypothetical polynomial by the highest power of ç'-' which appears explicitly. 
Lst k take on larger and larger integral values. All of the terms of the modified 
polynomial tend to zero sav^e the term formed by the coefficient of this highest 
power, inasmuch as q'' becomes infinite more rapidly than any power of k. This 
coefficient is itself a polynomial in k which is not identically o. Hence it cannot 
approach o as k becomes positively infinite. But, since the hypothetical poly- 
nomial vanishes for all integral k, this is absurd. 

The possibility |êi|<i is disposed of similarl}' by dividing through by the 
highest power of q~'' which appears. 

Hence we have |ç| = i and may write (j=e^-i where It is real. Here we 
fix upon the coefficient of the highest power of k which appears in the hypo- 
thetical polynomial. An argument like that made above shows that this coef- 
ficient must approach o as k becomes infinite through integral values. However, 

this coefficient is a polynomial in cos k(>, sin kO; and - is irrational since q is 

not a root of unity. Hence kf) can be made to differ from an integral multi^Dle 
of 27r by nearly any assigned quantity i for large integral k. Thus the coefficient 
polynomial must vanish when kO is replaced by the arbitrary real variable t. 
This is impossible. 

A similar proof disposes of the case when two or more variables enter. 

An application of the lemma shows at once: 

The polynomials <p\J^„, */''„*'„ o/ §§ 4, 5, 6 are unique. 

In fact it is clear that the difference of two such polynomials with the 
same subscripts rn, n vanishes for all integral k. But these polynomials are of 
the type dealt with in the lemma, and must therefore coincide. 



§ 8. The formal group for T. 

The various integral powers of the transformation T combine according to 
the rule Tk Ti = Tk-^i, where k and I are any integers whatever. 

In the preceding sections we have been led to real formal series giving 1\ 
for all integral vahies of k in the cases I', II', II", HI', to which all other cases 
were reduced. 



14 George D. lîiikhoff. 

The formulas 

(6) Uk{ui, vi) = tl!,+l{u, v), Vkivi, Vl) = Vk+l{u, v) 

hold for all real values of k and I. 

The content of this statement is wholly formal of course. 

In the cases 11", III' its truth is at once obvious. The equations (o) stand 
for an infinite number of ordinary polynomial relations between the coefficients 
'f'mn' 'f'm«' '/mn' '^'mii' '/'m «" ' "^mt" which are knowu to hold for all integral values 
of Ar and I. Since these coefficients are themselves ordinary polynomials in k, I, 
these relations hold identically. Similar reasoning, based on the lemma of § 7, 
shows that the statement is also true in cases I', II'. 

From the italicized statement thus established it appears that we have to 
deal with a one-parameter continuous group of formal transformations and that 
k is an additive parameter for the group. ^ In treating of its properties we need 
a few of the general formal ideas for such groups. 

We shall write formally 

, - ., iTuk .. ()vk\ 

Ok,k = o (Ik k = o 

so that we have the following table: 

(!'), èu = u log Q +■■ ', ÔV = — V log Q -{ , 

(IF), ou = —ßv + --, ôv = f)u + --, 
(H"), ôu-=ff,„u' + --, âv = il)2aU^+ ■■■, 

(HT), ou = iif,^ — ~ cp^^ + ^- ff^A ii^i ■■■, ôv = du+--. 

The series ou, (iv are real formal power series in u, v. 

The series Uk, Vk satisfy the formal differential equations 

/ \ duk ^ , s dvk s , , 

(9) ~dk^ ^^^^'" '^'''' ' dk^ ^^ "* ' '"''^' 

and the initial conditions 11^ = u, v^ = v; conversely Uk, Vk are formally determined 
by these equations and conditions. 



(8) 



' C. L. BouTox observed these facts in case II", loe. cit. 



Surface transforniatious and tlieir dynaminal applications. 15 

To begin with, by differentiating the first equation (6) formally as to k 
and noting symmetry, we find 

jrUkitll, Vl) = j,Ui;+l{u, v) = jUi [Uk. Vu) . 

Putting / = o and recalling the definition of aii- we obtain the first of the diffe- 
rential equations (9). The second equation may be deduced in like manner. 

The initial conditions M„ = it, v„ = v are clearly satisfied. 

Conversely, if we write Uk, Vk as power series in u, v without constant term 
and with coefficients which are undetermined functions of k, and substitute in 
the differential equations, we get at each step linear differential equations of 
the first order in these coefficients. When joined with the condition that all 
of these coefficients are o for & = o, save the coefficients of u in «„ and of v 
in «„ which are i , these equations successively determine the coefficients. 

These facts explain the complete analogy between the classification of trans- 
formations T near an invariant point and the classification of differential equa- 
tions of type (9) at a point ou = ôv = o. This analogy was noted by Poincaeé. ' 



§ 9. The invariant operator L[w). 

We shall now define the invariant operator L(w): 

I \ T , \ K '^^ , X '''^ ^ 

(10) L(un=ôu-, Vovr. — 

ou (It) 

It is clear the L{w{u, v)) is the formal derivative of w{nk, Vk) as to Ä; for k = o. 
Consequently L{w) is unaltered (formally) by a change of variables. The fund- 
amental property of this operator is expressed in the following statement: 

The necessary and sufficient condition that a formal series F be invariant under 
T is that L(F) = o. 

First, this condition is necessary. In fact, if F is an invariant series we 
have F(xik, Vk) = F{u, v) for all integral values oî k. Hence, by the lemma of 

' Sur les courbes définies par les équations différentielles, Journal de mathématiques, ser. 3, 
vols. 7 — 8, 1881 — 1882 and ser. 4, vols, i — 2, 1885 — 1886. The analogy was explained partially In- 
means of a limiting process by S. Lattes, Sur les équations fonctionelles qui définissent une courbe 
ou une surface invaria?ite par une transformation, Annali di Matematiia, ser. 3, vol. 13, 1907. 

' This is the »symbol of the inliuitesimal transformation» in the terminology of Lie. 



George D. Birklioff. 



§ 7, this relation holds for all values of k. Differentiating as to k and taking 
k =-- o, we find L[F) = o. 

Secondly, this condition is sufficient. For if L{F) = o we find, using (9), 

d „, % (IF(uk,Vk)dnu , OF[Uk, vn) dv,, 



dk 



ditje dk ' Hvk dk 

= L{F{uk,Vk)) = o. 



Hence we infer that F(uk, Vk) is a power series with coefficients independent 
of k. Putting Ä; = we get F{uk, Vk) = F(u, v), and in particular F(u,, r,) = 
F{u,v). That is, F is invariant under T. 



§ 10. Existence of invariiuit series. 

In §§ 2—9 the fact that T was assumed conservative did not enter, save 
that we made use of the equation (4). We shall now prove the following: 

Any (onservalive transformation T of the form I', IT, //" or III' leaves in- 
variant a real formal series F* defined by the equations 



(II) 



F* ^ , <l F* 
dv du 



-QÔV. 



By multiplying together the equation (3) for u,v, for M = M,,i;=i;, 
for u^Uk-\, V = Vk—i , we obtain 



(3i 



Q{u, v) =-- Q{uk, Vk) 



Ouk 


Ouk 


(lu 


dv 


'IVk 

<lu 


Ovk 
dv 



for any positive integral value of k. We emplo\' the familiar rule for the 
combination of Jacobians in obtaining this result. Likewise (3^) holds for 
fc = and also for negative integral values of k, as is easily seen. 

Hence this relation (3/j) will hold identically when the formal series for 
Ilk, Vk are substituted. This follows from the lemma of § 7. 

Differentiating with respect to k and setting /i; = o, we find 



(12) 



«-J!,(<?'^^')+i'<?'^^')- 



Surface transformations and their dynamical applications. 17 

Here we have employed the definitions (7) of du, öv and we have made use of 
the fact that the Jacobian determinant reduces to 



for 4 = 0. Now consider the terms of a particular degree in Qöu and — Qöv. 
These homogeneous polynomials p and q have the property 

dp dq 
du dv 

deduced from (12). Hence there exists a homogeneous polynomial r of degree 
one higher such that 

Or Or 

dv du 

The sum of the polynomials r of all degrees (> 2) is the formal series F* 
required. 

From the equations (11) we have immediately L{F*) = 0, so that by § 9 
the series F* is formally invariant under T. 

If a change of variables from u, v to U, V be made, the series F* for the 
new variables can be obtained by direct substitution. For, from the equations 
(11) we find 

dF*dU . dF*dV ^ \'du ,,, . du 
JWJv 



dV dv IdU dV J 

+ irvdu-~^[du^^ + dv^^\- 



Multiplying the first of these equations by , j^ , and the second by j^ , and 



adding, we find 

f * _ „ [ du dv du^ dvl „ ,, 

T~^[Tüdv dVdür^- 



dF* 



But the quasi-invariant function for the new variables is the product of Q(«, v) 
and the Jacobian of «, v as to C/, F (§ i). Hence the equation last written 
shows that F*{u, v), regarded as a formal series in U, V, satisfies the first 
equation (11) for the new variables. Similarly the second equation (11) is seen 
to hold in these variables. 

Ada mathematica. 43. Imprimé le 18 mars 1S20. 3 



18 George I). Birkliotf. 

From the equations (8) and (ii) the explicit forms of the series F* are 
immediately evident: 

(I'), F* = uv log Q + ■ ■ -, 

;il'), F* = — ^Ju' + v'-) + 

(13) 

(II"), F* = ~ 4'2ou' + •••. 

(Ill'), F* = —^u'-+ •••. 
2 

It is apparent that any formal power series in F* furnishes an invariant 
series. 

In order to determine to what extent the existence of formally invariant 
series for a transformation I', II', II", III' is characteristic of conservative trans- 
formations we need to make a digression. 

§ II. Factorization of formal series.' 

We consider formal series without constant terms. Such a series will be 
called prime when it cannot be expressed as the product of two others. Since 
the lowest degree of any term in a product is the sum of the lowest degrees 
for any terms in the factors, any formal series can be decomposed into prime 
factors in at least one way, and the number of such factors cannot exceed the 
degree of the initial terms of that series. 

Two factors, either of which can be obtained from the other by multipli- 
cation by a formal series with constant term, are regarded as essentially equi- 
valent. Since products and quotients of formal series with constant terms yield 
series of the same type, the propriety of this convention is obvious. 

By a linear change of variables any series G(m, v) can be given the form 
cv" + •••, c?^o, where the indicated terms are of degree at least n. Any pos- 
sible factor of G is readily seen to have the same prepared form. Also Weier- 
STRASs's factorization theorem holds formally, i. e., we may write G = iJ// where 
E \s a, power series with constant term c and H h a power series, i" + -, in 
which V does not occur with an exponent as large as n after the first term. 

Now let us determine the formal series s{v") in powers of m" which satisfy 
the equation H = o, and let us proceed at each step of this determination pre- 

' Cf. W. !•'. Osgood, Facloiization of anal y lie functions of several variables. Annuls of Mathe- 
matics, vol. 19, 1917— 1918. 



Surface transformations and their dynamical applications. 19 

cisely as though H{u, v) were a polynomial in u,v. The well-known method 
for doing so yields higher and higher terms of such series, with 2c( = n . 

At first sight it might seem conceivable that this process breaks down at 
some point so that it is not possible to proceed further. But, since the process 
used involves only a finite set of terms of H at each stage, the same difficulty 
would necessarily arise if H were broken off at some advanced terra. This is 
absurd since then we are dealing with a polynomial. Thus we obtain a contra- 

diction. Consequently we can obtain formal series of the stated type in ît" 
which, when substituted for v, reduce H to o. The initial terms in these power 
series are at least of the first degree in u. 

Let w be any ath root of i and consider 



n[ii(--'^ (-«"))]. 



This product is precisely H, at least if ii/ is a polynomial in u as well as in v. 
By breaking off H at an advanced term and employing a limiting process, we 
infer that the same is always true. 

The bracketed products involve only integral powers of u as well as of v, 
and are prime factors of G. Indeed, if such a product P is not prime, its 
component factors are of prepared form and may be decomposed as G has 
been. But any new series S so obtained must fail to reduce P to o when we 
write t» = iS. This is absurd. 

For a similar reason it appears that, if a prime series divides a product, 
the series must divide one of the factors. 

It follows that, as jar as the fundamental theorems of decomposition are con- 
cerned, the situation for convergent series carries over directly to divergent series. 



§ 12. Condition for eonservativeness. 

We are now in a position to prove the following: 

A necessary and sufficient condition that a transformation T given by real 
series /', //', //", ///' (hut otherwise unrestricted) be conservative is (i) that there 
exists a real invariant series F of loioest terms one degree higher than those of 
ÔU, ÔV and containing each common prime factor of du, dv to precisely one poiver 
higher than it appears as a common factor in ou, öv, and (2) that the formal 
poiver series given by the equal ratios 



20 George D. Birkhoff. 

djF dF 

ilv (lu 

öu ' Öi) 

converges. 

Before entering upon the proof, it may be observed that an inspection of 
ÖU, ÔV as given by (8) shows that, in the cases I', II', ou and öv have no 
common factor. In these cases the condition (i) reduces to the condition merely 
that there exists a formal series F with lowest terms of the second degree. It 
will appear later that öu and ôv admit of a common factor only in the extra- 
ordinarily special cases 11", III' when there exist curves through (o, o) made up 
of invariant points. 

We first prove the conditions necessary. 

We take F=F*. The equations (ii) show that this invariant series has 
lowest terms of degree one higher than the terms in du, öv of least degree, 
inasmuch as Q possesses a constant term. 

From the equations (ii) it follows also that the ratio series of the italic- 
ized statement converges to Q. It remains to show that F* contains the 
common prime factors of öu, öv to a power one higher than these occur as 
common factors of öu, öv. 

Let P^ be the highest power of any such prime P occurring in öu, öv. 
By (ii) we have 

OF* „. OF* J,,, 
ou ov 

where either a or 6 is prime to P. 

(I jr* J'* 

If F* contains P to higher than the (k + i)th power, ^ and . will 

contain P to higher than the kth power. This is in manifest contradiction with 
the equations last written. 

If F* contains P to a power ??i with o<m<k+i, and if we write 
p* = pmG, we find 

mG''^ + p'^ = P^^^-"'a, 
ou ou 

Ov ov 

op (IP 

Hence, since G is prime to P, both , and ,— are divisible by P. At least 

(hi (Jv 



Surface transformations and their dynamical applications. 21 

one of these partial derivatives is possessed of initial terms of lower degree than 
P, so that this i^ossibility is likewise excluded. 

The statement under consideration is certainly true then unless, perchance, 
F* is not divisible by the prime factor P. We have merely to eliminate this 
possibility. 

It was seen in the preceding section that we can write 

P = e\\_{v — sLou^)) , 



when ^ is a formal power series with constant term, where S in an ascending 
power series in its argument, and where w stands for any nih root of i . 

Now introduce the variable t = u" instead of u. We have 

OF* ,ßF* 

— = nt"-^— — . 

(I t o u 

OF* <^F* , dF* -. . 

while ^ — is unaltered. Hence the partial derivatives —5-- and -^— are divis- 
dv ot ou 

ible by v — S{t). Let us effect a further change of variables from v,t to »«',2 

where lu = v — S{t),z = t. Evidently one has 

dF*_flF* (IF* _dF^ (JF*dS 
()w <)v <)z (It (Iv dt 

(IF* (IF* 

so that — , — and — , — are divisible by iv. 

(hv (Iz -^ 

OF* 
The fact that ^- is divisible by iv shows that F* contains no terms in 2 

(Iz -^ 

alone and is divisible by w. 

Passing back to the variables v, t, we infer that F* expressed as a power 
series in r, t is divisible by v — S{t) . It follows that F*{u,v) is divisible by 

v — S\u") and by P of course. This completes the proof that the conditions 
stated are necessary. 

It remains to prove them sufficient. 

We may assume that an invariant series F* exists for which (11) holds in 
which Q is SL convergent power series with constant term i. These equations 
follow at once from the second part of the italicized statement under considera- 
tion. Our aim is to show that T is conservative. 



22 



George D. Birkhoff. 



By direct differentiation and use of the formal differential equations (9) 
we obtain 



dk 



I ( I'k , V/t) 



duk 
du 




<> Vk 


<>Vk 


(1 a 


fiv 



l''«(^'--^-^ôu(«.., ..) + '"^^'-^ôviUk, .;,.) 



ävic 



+ Q\Uk, Vk] 



<)du(vk, Vk) Oöu(uk, Vk) 



<)u 

(IVk 

(lu 



Ov 

Ovk 
dv 



Ouk 

<hi 


(lUk 

fJv 


dvk 
du 


Ovk 
dv 



d Vk 
du 



d_Uk 
dv 



(löv(uk, Vk) dôv{uk, Vk) 
du 



dv 



But the first determinant in the final brace is the Jacobian of öu{iik, vl), Vk 
with respect to u, v. This determinant may be broken up into the product of 

the Jacobian of ()u(vk, Vk), Vk as to Uk, Vk which is „'" - and the Jacobian 

of Vk, Vk as to u, V. Likewise the second determinant in the same brace maj' 

be expressed as the product of ,, ^' '' and the Jacobian of Uk, Vk as to n, v. 

"Vk 

Hence we find that the right-hand member of the above equations reduces to 



Ifiik^'^''"'" '''■^'^'"'^ ^ r^jf^^"'" '^''^'^"'''^ 



'hjk 
<lu 


du_k 

dv 


dvk 
du 


dvk 
dv 



The first factor vanishes identically by (11). Hence the left-hand member of 
the above equation vanishes identically in k. Integrating formally we obtain 
(37c). For k = x this becomes (3), which is precisely the condition that T be 
conservative with a quasi-iuvariant function Q. 

It is natural to call a transformation T of types I', IF, 11", HI' formally 
conservative if there exists a formal series F satisfying the conditions in part (i) 
of the italicized statement. 

We may inquire precisely what condition the existence of formally in- 
variant series lays upon transformations T of these tj'pes. The ratio Q of the 



Surface transformations and their dynamical applications. 23 

italicized statement may or may not be convergent. If it is convergent, 
then I I Q{u, v)dudv is invariant under T . If the ratio is not convergent, the 

double integral is only formally invariant. 

These considerations bring out the vitally close connection between conserv- 
ativeness and formally invariant series. 



§ 13. The formal vanishing of the Jacobiaii. 

To complete our treatment of formally invariant series we need to establish 
the formal extension of a well-known property of Jacobians: 

The Jacobian of hvo formal series in u, v without constant terms vanishes 
identically if and only if either can he expressed as a power series in the other or 
in fractional powers of the other. ^ 

It is immediately apparent that, if two functions A,B are so expressible 
one in terms of the other, their Jacobian will vanish identically. 

Suppose, conversely, that A and B are power series in \i, v with vanisliing 
Jacobian : 

dA(lB_l}AdB^ 
dïi ()v <lv ()u 

Both A and B are exact powers of base series for which it suffices to establish 
the functional relation. But the Jacobian for the bases also vanishes. Conse- 
quently we may confine attention to the case in which neither A nor B is an 
exact power other than the first. 

We begin by showing that A and B have the same prime factors. 

If this is not the case, suppose that A is divisible by a prime series P, 
while B is not. After a suitable preliminary change of variables, P is expres- 
sible as a product of series v — /S(m'7 (§ 11). Now take new variables 

10 = v — (S'(u"), t = u" . 

The series A and B are power series in these variables without constant terms, 
and their Jacobian as to w,t\&o by direct reckoning: 

' The presence of fractional powers means tliut the root indicated is to be formally 
extracted. 



24 George D. Biikliofl'. 

ilw (It dt ()w 

d A 
But A is divisible by if, and - is divisible by w to a power at least as high. 

Also -TT- is divisible by lu to a power at least one lower than A. Hence ^- 
div ot 

is divisible by w. From this it follows that B is divisible by lu. 

Proceeding to the original variables we infer that B is divisible by the 
prime factor P, contrary to hypothesis. 

Suppose that a prime factor P is contained p times in A and q times in B, 

and choose that factor for which - ?^ o is as small as possible, and thus smaller 

q 

than for some other factor unless - is the same throughout. Except in this 

case, 5 will yield a power series without constant term and not containing P. 

But the Jacobian of this series and A is easily verified to be o also. This is 

A^ 
not possible by the argument used above, since „ has not the prime factor P 

which A admits. 

A^ 
We are thus forced to the conclusion that the power series starts off 

with a constant term. But A and B are not exact powers so that we must 
have p = q. Consequently the prime factors of A and B occur with the same 
multiplicity in A and B. 
Now consider 

A=B{c + C), (c^o), 

where C is a power series without constant term. It is readily inferred that 

the Jacobian of G , B is o, and thence that, if C is an exact qth power, is 

a power series with constant term. Hence we may write 

C=B^d + D), (d^o), 

where Z) is a power series without constant term. Proceeding in this way in- 
definitely we find 

A=cB + dB" I ■■. 

This establishes the statement. 



Surface transformatious and their dynamical applications. 25 



§ 14. The totality of iiiTariaiit series. 

We may now prove the following: 

// F* is a qth power the most general invariant series is an arbitrary pouter 

series in F*^ . The integer q is 1 unless all the prime factors of F* are common 
to eu, ÖV. 

The results of § 13 assure us that the most general invariant series can be 
represented as stated if the Jacobian of F* and any invariant series F vanishes. 
But we have L[F*) — o, L(F) = o, whence it appears that the Jacobian does 
vanish. 

1Î q^i we may write F* = Gi, and (11) gives 

qGi-^'^ = QÖu, gGî-i''^ = -Ç(îi', 
^ <lv (hi 

so that all of the factors of G (and hence of F*) are common to c)?t and ôv. 



§ 15. Conditions for Formal Conservativeuess. 

At the very outset of the paper the condition (4) was obtained as a conse- 
quence of the fact that T was assumed to be conservative. There exist an in- 
finite set of similar conditions on the coefficients of higher degree terms in the 
power series u, and n , . These conditions may be found by use of the existence 
of invariant formal series. We illustrate the method in case 1'. 

Since F* begins with a term uvlogQ in this case, an invariant series F, 
also with first degree term uvlogQ, can be written down without anj^ other 
terms having equal exponents in u, v. 

F = UV\og(J + '^FmnW'V", (??? r^ w) . 

m+n=3 

This series F may be obtained by writing F = F* + cF*^ + -•■, and choosing 
the arbitrary coefficients so as to eliminate terms with equal exponents. 

Moreover, it is easy to see that there is only one such series, since any 
invariant series can be expressed as in a power series in F* (§ 14). 

Now, when coefficients of u'"v" are compared, the formal relation F(Ui, r,) = 
F(u, v) gives a series of equations 

A 

Acta mattiematica. 43. Imprimé le 18 mars 1920. 



26 George D. Birkhoff. 

Here P,,,,, is a linear expression in the quantities Fnß with a + ß<m + n. Thus 
we determine Fm„ for m + n = s; m + n = 4, . . ., as polynomials in the coeffi- 
cients (pmn, '/Vn of the Series for «,, v, . For m = w we have P,„„ = o. 

In the case /' the jmlynomials P„„ in (paß, <!'nß {c( + ß<2n) vanish for n = 
2, 3, .... 

Conversai}', if these vanish we have a formally invariant series F, and 
formal conservativeness of T in consequence. 

Similar conditions for formal conservativeness can he found in the other cases. 



§ i6. Invariant formal cnrves. 

Let / and g be two formal power series in a parameter t, without constant 
terms and not both identically o. Then we shall regard the equations 

u = f{t), v = g{t), 

as furnishing a formal curve throitgh the point (o, o). If the series /, g converge 
for 1 1 1 small we have an analytic curve. 

Two curves of this sort will be regarded as identical if one can be obtained 
from the other by change of parameter t = l{%) where / is a formal power series 
in I or a fractional power thereof. 

A formal curve is regarded as real if the coefficients in / and g can be 
taken real. 

By means of T a formal curve of this sort is regarded as caiTied over into 
the formal curve 

u = u,{f{t),g(t)), v = vAf(t),g(t)). 

If this transformed curve is identical with the given curve u = f(t), v = g{t) then 
the given curve is said to be formally invariant under T . 

The determination of the formally invariant curves is essential for our 
purpose. A fundamental division of types of invariant points will be made 
according as there do or do not exist curves of this sort given by real series. 
In cases I', II', II", III' the transformation T will be called hyperbolic if 
real formally invariant curves exist, and eUi-piic in the contrary case. In cases 
II'" or III", T is hyperbolic or elliptic according as Tg or T, (of type 11") 
is one or the other. 



Surface transformations and their dyuainical applications. 27 

If <i denotes the powei' series in < or a fractional power thereof along the 
transformed invariant curve which relates its parameter and t, we have 

f{l,) = u,(f(t),g{t)), g[h) = v,H(t),g[t)). 

In virtue of the fact that the determinant of the coefficients of the first degree 
terms in u^, f, is not o (see (4)) we can show that the power series <, startsoff 
with a first degree term in t. For suppose it commences with a term of higher 
degree. The initial term of one of the two right-hand memhers above will be u, 
where a is the lowest degree of any term in / or g. But the left-hand members 
will start off with higher degree terms, which is impossible. Similarly we may 
rule out the possibility that the initial term in t is of lower degree than the 
first, by making use of the inverse equations 

i{t] = «-,{/«,), g{t,)), g{t) = v-,{j{t,), g(t,)). 

Hence t^ is a power series in < or a fractional power thereof beginning with a 
term of the first degree. 

If « is the degree of the lowest term in f or g (say in /), then from the 
corresponding equation (the first) we obtain on the left a series in t^, atl + •■•, 
and on the right a similar series in t commencing with a term of degree not 
less than u and therefore of degree precisely « by the above. Extracting «th 
roots we conclude finally that /, can be expressed as an ordinary power series 
in t with first degree term: 

t^ =o*t + ■■■. 

Having this explicit form of t in mind, let us compare anew the two 
members of each of the pair of equations first written. We write 

fit)^pt"+ ■■■, g{t) = qt-+ ■ -, 

so that \p\ + I ? I ^ o , and obtain 

pû*" = ap + bq, q()*" = cp + dq. 

It follows at once that q*" is a root of the characteristic equation, i. e. that 

If (o, o) is an 'ordinary point' of the formal curve we have « = i, q='q*. 

By successive transformation of the invariant curve by T, we obtain^ not 
only <, but parameters 1^,1.^,.... Likewise by the inverse transformation we 

obtain parameters t-i, <_2 These can all be obtained from the series for /, 

by iteration. 



28 George D. Hirkhoff. 



§ 17. Thü formal series for </, and the formal group. 

Since the constant q* is an «th root of ç, it is clear that, if we write 
T^{^) = ta(r), then we have 7,= ()r'+--. By iteration r^- may be defined for all 
integral values of k. Moreover, the methods used in § 4 serve at once to show 
that 

T/, = q'' r f 2 f/'W ( '« 

where r/"'' is a polynomial in ç' of degree at most m \i q ^ j, and a polynomial 
in I- of degree at most m — i if q^i. 

For all integral values of k and I we have obviously 

Therefore, by the lemma of § 7, this holds formally for all real values of k and I. 

We write 

.. ^ dii À 

dk\k= o' 

and can then show (compare with § S) that the formal differential equation 

dTk , , , 
-dk=^'^"'^ 

is satisfied, and, together with the initial condition Tf^=r, wholly determines 
the series for //... 



§ 18. The invariant operator L(u, v). 
We shall define a second invariant differential operator: 
(14) L{ti, v) = ôudv — övdu. 

It can be immediately verified that, if the variables ?(, v are changed to 
v., V, then L{u, v) becomes L{tt, v) multiplied by tlie Jacobian of u, v as to m, v. 
It is also obvious that, if n = f{t), v = g(t) is a formal curve, then L(^t, v) is 
independent of the particular parameter chosen for the curve. 

The necessary and sufficient condition for the invariance of a formal curve 
w = /(0. f = gr(0 under T is L(u, v) = 0. 



Surface transformations aiul their (iynamical apiilications. 29 

By definition of invariance we have for such an invariant curve 

/(<J = M,(/(0,!7(0), <j{t,) = r,(l(t),g{t)), ' 

and thence for integral values of k 

t{tk)-uk(f{t),g{t)), g(t;.)-v,M{t),g(t)). 

If we take k as an integral multiple k'u of « (§17) and write t = T, Xi = <a(T) 
(§ 17), we have in paxticular 

f(T/,) = v,,Af{T),g(r)). g{n) = na<flr), gir)), 

for integral values of k'. 

Let the general series for «/,„, tv,-,,, r/-, be substituted in the last equations. 
All the coefficients are either polynomials in q''' , q~'^' , k' (case F), or in cos k'O, 
sin k'O, k' (case II'), or in k' (cases 11", III'). Hence, by the lemma of § 7, these 
equations are identically true from a formal standpoint. 

Differentiating formally as to k' and setting k' = o, we get 

f^-(?r = «<)»(/, £7), '^/ôr = aôvU,g), 
at (IT 

whence at once L[u, i') = o. 

Conversely, let us assume that L[u,v) is o for a formal curve u=-j{t), 
V =g(t), and let us show that the curve is invariant under T. 

In this case we have 

y.(t)f^ = öuU,g), y.{l)f^=ôvU,u), 

where /. is the sum of a polynomial in and a power series in t. Now, since 

ÔU, do begin with terms of the first degree or of higher degree, both right-hand 
members have initial terms of degree at least as high as / or g. On the other 

hand / and 7^ are of degree one less than / and g respectively. Hence y.{t) 
at at 

cannot contain negative powers of t or even a constant term. Thus x{t) is an 
ordinary power series in t without constant term. 



30 George I). Hirkhoft'. 

Define tk by the differential equation 

dtk I, , 

and the initial condition <„=«. Thus //, is formally determined as a power series 
in t with coefficients analytic in k. 

For example in case I', eu and ISv are given by (see (8)) 

au = XI log (>+■■■, tSv = — V log qA . 

Hence an inspection of the above equations introducing ■/.(<) shows that this 

function possesses a first degree term in /, ^ t, u an integer. 
Write then 



and the differential equation gives 

d((^^'^ _ log (J 
dk u 



T^ 



^ = I?p,^(*,+,,2,f,^,.,p_ 



on comparison of terms in t,t-,.. . Remembering the initial conditions rpf^=i, 
'7'!°' = o, . . ., we find 

* . (2) / ?* '•\ 

^ ' log Ç "^ 

k 
Thus the successive coefficients are polynomials of increasing degree in o" . 

Likewise in case IT these coefficients are polynomials of increasing degrees 

in cos , sin ; and in cases 11", III', polynomials in k only, since here /Jt) 

starts out with a term of the second degree or higher. 

Consider now the formal series f{ik) and g{tk}. Differentiating and using 
the definition of tk, we find 



Surface transformations and tlieir dynamical applications. 31 

These series f(fk) and gUk) reduce to j(t) and g{t) for k = o. 

Consider next the formal series ?u(/(0. ?(<)). f lAf {() , g {()) ■ Differentiating 
and using (9) we find 

^[n,{nt),g{t)}]=^ëu[vkU(l),git)), v,U(t),g{t))], 

^ [%(/«), gUm = àvivkifH), g(i)), v,{f{i), g{tm. 

Also these series reduce to /(0, g{t) for fc = o. 

Hence, if either pair of series in t be denoted by Tk{t), qidt), the differential 
equations 

^ = du(p, , qu) , jf = ôv(n, qu) , 

and the initial conditions Po = f(t), q« = g{t) will be satisfied. 

But, just as in an analogous situation earlier, these equations and conditions 
uniquely determine the series. Hence the two solutions coincide: 

f{h) = u,{f{(),g{t)), g{h) = v,U{i),g{t)). 
Taking /fc = i, we conclude that the given formal curve is invariant under T. 

§ 19. Existence of invariant formal curves. 

When a formal power series in u, v without constant term is resolved into 
its prime factors in the sense of § 11, each such factor evidently corresponds to 
a formal curve u = t", v=S(t) where <S is a power series in t. When the 
coordinates of this curve are substituted in the given formal series in u,v, it 
vanishes identically. Conversely, if the coordinates of a formal curve render 
such a series equal to o, then it renders one and only one of the prime factors 
equal to 0, and this formal curve must be the one corresponding to the factor. 

With tiiese facts in mind we maj' prove: 

The totality of jormally invariant curves for a conservative transformation T is 
given by the eqiiation F = o, where F is any invariant series under T. 



32 George D. Birkhoff. 

First, let us take any curve for which F = o. Now we have F(ui;, Vk) = 
F{u,v), and thence, by formal differentiation as to k and taking fc = o, 

HF. ^OF. 

-77— 0U + yr- 0V = O. 
du (IV 



But we have also 



-77-- du + 7^— dv = 0. 
ou OV 



Combining these equations we find L{h,v) = o. By the preceding paragraph 
the formal curve is invariant. 

Conversely, for any invariant formal curve u = f(t), v = g[t) we have 

/(<;.) = «;. {/{<), oit)), g{h) = v,il(t),g(t)), 

as we have seen. Hence it follows that 

F(f{t,),g{t,))=^F[uUf{t),g{i)). v,{t{t),y{t))]=^F{f(t),g(t)). 

Now, taking k = k'a, /„ = r, we may regard this equation as holding for all k' 
(§ 17). Differentiating as to k' and taking ä;' = o, we find 



\9_FdldF dg 
\_du Ot 



F dgl , 
V dr\ 



Unless öi = o we infer that 777 = 0. But F{f{t), g{t)) is a power series in < 

without constant term. Hence except in this case we have F{f{t), g{t)) = 0, as we 
desire to prove. 

However, if we take the equations which state that u = f, v=g, and its 
iterates under T coincide (as written above), and differentiate as to k' (k = k'a), 
we find for Ä;' = o 

f^èr = èu(f,g), f^dr = ôv{f,g). 

Hence or vanishes formally if and only if ôu(f,g), ôv{f,g) vanish. In other 
words the given curve corresponds to a common factor of au, dv. But it has 
been proved (§ 12) that such factors occur to a one higher power in F. Hence 
we have F{l(t), g(t)) = in this case also. 



Surface transforniatious and tlieir dynamieal applications. 33 

Applying the above condition to F* (see (13)), we perceive that in case I' 
we have two real formally invariant curves so that T is hyperbolic, while in 
case II' we have a pair of conjugate imaginary- formally invariant curves so that 
T is elliptic. 

§ 20. Invariant point curves. 

In an extremely special case the invariant point (o, o) may not be isolated 
but may lie on one or more analytic curves of invariant points passing through 
(o, o). These curves can be determined as the solutions of the ordinarj' equations 

Ui(u, v) = u, Vi(n,v) = v. 
By iteration we get 

?/fc(«,w)=M, Vk(ll,v)=V, 

which holds along these curves. Differentiating as to k, as we have often done, 
and setting k = o, we find 

ôu = o, ôv = o, 

along the invariant point curve. In other words the invariant point curves 
correspond to common factors of ou, ôv. According to § 12 this means that 
the curve corresponds to a multiple factor of F*. 

Converseh', let us assume that F* has a multiple factor corresponding to a 
formal curve u = j{t), v = g(t), so that öu = öv = along the curve. By formal 
integration we get «i(/, g) = f, Vkif, 9)= 9, and the formal curve is an invariant 
point curve. 

There exist formally invariant point curves if and only if F* has a multiple 
factor, and these curves are then analytic curves given by the equations Ui = u. 



§ 21. Normal form. Case Y. 
Under a formal change of variables from ?/, v to U , V such as 

(15) U = îi + '^Um„u"'v", V = v+^ V,n„n"'v", 

m+n-2 m+n=2 

transformations of the type I', IF, II", III' evidently maintain their type, and 
also remain formally conservative if they are so at the outset. 

Acta mathematica. -13. Imprimé le 19 mars 1920. 5 



34 George D. Birklioff. 

We propose to develop a normal form for the transformation T m the 
cases I', II'. In the other cases there appear to be an infinite number of invariants, 
and a similar normal form does not exist. 

By a formal change of variables (75), a formally conservative Iransfonnation of 
type I' may be given either the normal form 

(16) U,^oUe'V'v\ 7 I f^e-'^t^'"', (c^o). 

Q 

or the form. 

(if)') U,=qU, V.^'^V. 

We propose first to choose U , V so that 

6U= lJ\i + f[üV)]\ogo, ()F=-F[i+9(t7F)]logo, 

where / and g are power series in their argument UV. More explicitly written, 
these equations take the form 

^,^(î?t + ^(?w= t7[i-^ /(t/F)] logo, 

<lll dV L I \ /Jos. 

(17) 

() V dV 

, ÖU + .- ^v= - F[r + g(f7F)] logo; 

(hi Ov L ^\ ij o ^ ' 

recall the equations 

àU = '^^^^ , U,^U(u,,v,), 

(Ik, i_o 

and similar equations in F. 

By the first equation (8) the first degree terms on both sides of the above 
equations are the same. 

Equating coefficient of u"'v" in these equations, we find 

(m — n — l) C/mn = Pmri, (m 9^ U + l) , 

(m — n + I) Vmn = Qmn, (» ^ W + l), 

= Pn+l,„+ /2,1+1, 

= Ç„,,.+ 1 +g2n + \. 



Surface transformations and their dynamical applications. 35 

where Pmn, Qmn are polynomials in U^ß, Faj, /;•, g,- with (x-\- ß <m -\ n, •/ <m -\- n, 
and where fok+i, g2k+i are the coefficients of (C/F)'' in / and gr respectively. These 
equations are manifest as soon as the explicit series for U, V are substituted 
in (17). 

Let us compare second degree terms, so that m + w = 2. The first two 
equations determine Umn, V,,,,, for m + /i = 2 uniquely. 

Next let us compare tliird degree terms so that in+n = 2- Here the 
quantities Umn, V,„„, excepting U.,, F,,, are determined by the first two equa- 
tions while /3, gTj are determined by the second two equations. 

Continuing in this way we determine in succession Um„, F„,„, j,,, Çp, save 
for ü.,y, Fi2, C/^32, F23,... which can be taken arbitrarily. 

Therefore it is possible to determine formal series JJ, V so that (17) holds. 
In order to avoid complexity in our notation let us call these new variables 
u, V. It may be observed that the set of changes of variables (15) form a 
group. Accordingly, in accomplishing the desired normalization, we can compound 
any number of such changes of variables. With this understanding we may 
write 

ÔU = U[l + f{uv)] log Q, ÔV = ^[l + g{uv)] log (). 

If Q denotes the formal quasi-invariant function, we have by (12) 

^JQn{i + m = ^^[Qv{T + g)] 

on substituting in the above values of du, ôv. Here / and g are series in the 
product uv. 

It follows from the equation just written that Q must also be a series in 
the product iiv. Suppose if possible that this is not the case, and let du^v" 
be a term in Q of minimum degree for which m^n. A term (wi + i)£/w"'w" will 
then appear on the left of the equation written. But no other term of equal 
or lower degree in which the exponents of u, v are unequal can occur on the 
left inasmuch as terms with unequal exponents are not present in /. A similar 
term {n + i)du"'v" will occur on the right. If then the above identity holds we 
must have d = o, contrary to hypothesis. 

Thus if we write 2 = uv, and use accents to denote differentiation with 
respect to z we have easily 

[Qz{i + m' = [Qz{i + gn' 



36 (ieorge D. Birkiioff. 

Ey formal integration we get then f = g = h, where h a formal power series 
in 2 without constant term. Consequently we have 

ÖU = m[i + Ä(itv)] log o, dv = —v[i+ A(mi')] log ?• 

When use is made of this fact, the formal differential equations (9) for w/.-, 
v/c take the form 

di ^ "* [i + h{ukVk)]\ogQ, -^ = — Vk[i+h{uk Vk)] log o . 

Hence, if we consider the product series n/cVk, we have -5^ — = o. Noting that 

ak ' 

we have n„=u, i\^v, we conclude VkVk= itv. 

If we substitute this value for u^ tv. in the differential equations, these 

become 

dV/c , , , . , , dVt r 7 / \ . 1 

J, ~nic[i + h(îiv)\ log = 0, -T17 + Vk[i + h{uv}} log q = o. 

If we multiplj' these two equations by 

ç-a+h(uv))k^ ç{i+h!uv))k 

respectively, the left-hand members become exact formal derivatives. Integrating 
formally we find 

^,~{i+h(uv))k „^ ^ const., Q{i+hiuv))k y^ ^ const., 

where the constants are power series in u, v with coefficients independent of k. 
Employing the initial conditions Uf, = u, v^^v, we get the following explicit 
formulas 

«Ä == ç*Me'' '"'''•', v/t = ç~* /; g—* ("•'"'■■, 

for the given transformation after the change of variables determined earlier. 

If h vanishes identically, a reduction to the normal form (16) has been 
effected. 

In the contrary case we may write 

h{uv) = cm'w'H . 



Surface transformations and their dynamical applications. 37 

Dividing by c ?^ o and extracting Ith. root, we find 



I ,- 

-l/h(uv) . 



) 

when p(uv) is a power series in nv with constant term i. If we define a further 
change of variabJes (15) 

U — u\/p(uv), V = vyp{uv), 

we obtain immediately the first normal form (16). 

The normal forms are clearly of integrable type with U V invariant. 

It is apparent that, if T is given by real series, the normalizing series U, V 
can also be taken real. 



§ 22. Generality of normal form. Case I'. 

The normalizing series U, V were not uniquely determined. The most 

general set U*, V* of such series is related to any particular set U, V as follows: 

The most general normalizing variables U*, F* in case I' liave the explicit form 

(18) [/*= t7e'(üF)_ y* ^Ye-HUV)^ 

where A is an arbitrary power series in U V without constant term, and U, V are any 
particular set of normalizing series. 

Clearly we can pass directly from U, V to U*, V* by a change of variables 
(15). Since the invariant curves U = o, V = o are carried into C/* = o, F* = o, 
we infer further 

U*=U(i+-), F* = F(i + ---). 

Now the products U V, U* V* are invariant under T. Hence (§ 14) U* V* 
is given by a power series in U V, whose initial term is U V of course. By the 
aid of this result we may conclude that in the series for U*, V* only terms in 
U V occur in the parentheses. 

In fact, if we replace C7, F, C/*, F* by f/,, F,, Ij\*, F,* respectively, the 
first of these equations gives 

p [7*e'=' ^*'" '■•'■ = (. f/e'^t'' ' 'd + • • • )• 



38 George D. Birkhoff. 

On the left the exponential factor is a power series in U V with constant term i 
inasmuch as U* V* is gi%'en by a power series in U V without constant term. 
Suppose if possible that a term dC/"'+' V" {m f^n) occurs in the series for f7* and 
let this term be of the minimum degree. On the left of the equation last written 
the corresponding term of this type is çc? [/'"+' V", whereas on the right it is 
çm+ï—n^ljm+i p'ii ^pj^g ^^Q terms to be compared cannot be equal so that a 
contradiction results. In this way the parenthesis in the series for U*, and 
likewise that in the series for F*, are seen to only contain terms in V V. 
We may now write 

r/*= U{i+/J(UV)), V*= V{i + /J'(UV)), 

where k' , /J' are power series without constant terms. 

Replacing U, V, U*, V* by C/,, F,, Ü*, f\* respectively here, we get 

„C/*ec-i7-'- r-;- = Ç t/gci;' r'^i + ).'(UV)], 

and also a companion equation. Bearing in mind the form of Ü*, we conclude 
at once c* = c, l*==l and then U*V*=UV. This yields the relation stated 
between ü*, F* and U, V, as well as the additional result: 

The integer I and constant c are independent of the normalizing series employed. 

Thus / and c are the only invariants. In the case of the normal form (i6') 
we write 1= oo, c = o for convenience. 

Conversely, it is at once shown that anj' change of variables from U, V to 
U*. V* yields normalizing variables. 



§ 23. Normal form. Case II'. 

It has appeared earlier that cases V and IF are of the same formal character 
in the complex domain. This is evident if variables 

û = u+ y — IV, v = u — y — I V 

are introduced in case IF, when we have 

Moreover in ease IF we have ç*' .-^ 1 for any integer ^• i-s 0. Consequently the 
same formal manipulation of the variables u,v is possible as for n,v. Moreover 



Surface transformations and their dynamical applications. 39 

changes of variables (15) of u, v yield changes of variables (15) of w, v. Keeping 
these facts in mind, we deduce without difficulty the following important result: 
By a formal change of variables (15), a formally conservative transformation of 
type II' may he given either the normal form 



(19) 



U, = U cos{0 + c{U^ + V^)^}—V sin {0 + c{U- + V-)'), 
F, = C/ sin {Ö + c(f/ä + Fä)0+ V cos {0 + c{U' + V'-/), 

or the form 

(19') C/i= î/coso— FsinÖ, F, = C/ sin /9 + F cos «. 

Also, on account of the possibility of preserving the conjugate relation of 
the series m, r employed at every step of the formal work (so that u, v are real 
series), we conclude that, if T is given by real series, the normalizing series U, V 
can also be taken real. 

§ 24. Generality of normal form. Case II'. 

Likewise in analogy with § 22 for case I' we find: 

The most general normalizing variables U*, V* in case IT have the explicit form 

U*=U cos A ( C/ä + F-) - V sin 1{U' + V). 
(20) 

F* = C/ sin /([/=' + F^) + FcosA(t/*+ F«), 

where I is an arbitrary power series in U^ + V- without constant term, and U, V are 
any particular set of normalizing series. 

§ 25. The integrable case. 

The formal series Uk, vu used in the preceding part of the paper may con- 
verge. Suppose that these series converge uniformly for |«|, \v\, \k\ sufficiently 
small. By the definition of ou, ôv as derivatives of wj, vu respectively as to 1c 
for fc = o, we see that in this case ou, ôv are given as convergent series. Conse- 
quently the formal differential equations (9) are of the ordinary type with on, 
ôv analytic functions of u, v vanishing for «, = r = o. It follows that «i, vu 
converge uniformly for \k\<K, an arbitrary positive quantity, if |m|,|w| are 
sufficiently small. It is then that we speak of ?0;, t^t as convergent series. 



40 George D. Birklioff. 

A necessary and stifficient condition for the convergence of the series wa, Vk 
(as specified) is that the corresponding conservative transformation T be integrable. 

The fact that the integrability of T is necessary is proved at once. In 
the convergent case the formal differential equations are of the ordinary type 
as noted above. Consequently the formally invariant function F* defined by 
means of the equations (ii) is an actual invariant function. That is, T is 
integrable. 

To prove the sufficiency is not such an easy task. Let F' be the given 
invariant analytic function. Every invariant series can be expressed as a power 
series in F' or in fractional powers thereof (§ 14). In the latter case F' is an 
exact formal 7th power if the qth root is to be extracted. And furthermore 
this root is of course also given by a convergent invariant series. Hence, without 
loss of real generality, we may assume that the invariant formal series F* is a 
formal power series in F' i. e. F* = (p{F'). 

Now write 

_, , , .dv!k <IF'{u\,v'k) , , .dv'k ilF{u'k,v'k) 
Ç(«..r;.)^ = ^^^ ' ^(«^•''^*)-^= 0^4—' 

where Q is a quasi-invariant function belonging to the conservative transforma- 
tion T. The differential equations so defined, joined with the initial conditions 
u\=u\ i'„ = «' determine convergent power series v'k,v'i.- which converge uni- 
formly for |ä;|</l (K arbitrary) if |m'|,|®'| are sufficiently small These func- 
tions define a conservative, integrable transformation T'. 

Furthermore, 7" will be of the same type I', IF, II" or III' as T, except 
possibly that when T is of type II", T' may be of tj'pes I', IF or III'. For 
example, if T is of type F then F* has an initial term uv log q (see (8)) of the 
second degree. Hence F' begins with terms of at most the second degree. But 
the initial terms cannot be of the first degree because of the relation F* = (p{F') . 
Hence we have F' = cuv f •••, and, by introducing a constant factor in F', we may 
take c = logo. An inspection of the initial terms of the transformation T' shows 

then that u\ = ou' + ■ ■ -, v\ = -v' + ■■■, as desired. An entirelj' similar argument 

holds in the cases IF, III'. 

In all cases it is clear that either we can take the initial terms of F* to 
coincide exactly with those of F', or these terms are of higher degree in F* 

than in F'. In the first case j pr = i ^or ^" = 0. while in the second case 
||, = ofor F' = o. 



Surface transformations and their dynamical applications. 41 

Consider the formal series 

u'k'{u', «''), v'k'{u', v'), 

where k' = k j ~ . It is necessary to elaborate further what is meant. 

Take case I' for example. Here u'k, v'h are power series in u', v' with coef- 
ficients polynomial in q'% q~'', k. Since 

.-^--^■— . 

we have 

çk' ^ pi(j _|_ aF'k log ç + ■ ■•). 

That is, p*' can be written as q'' multiplied by a power series in u' , v' with co- 
efficients polynomial in k. A similar remark is true of q~''' and k'. When these 
series are substituted in u'k'{u', v'), v'k'{u', v'), and the finite number of terms of 
any particular degree in «', v' are collected, new power series in u', v' with 
coefficients polynomial in p^', o-*, k are formed. It is these series which we 
designate by u'k'{u\ v'), r'k'(n', v'). 

Similarly in all of the other cases the new series u'k', v'k- are of the same 
form as the series for Uk, Vk- 

Now we have evidently 

du'k> _ du'k- dtp 
Hr^lk'dT' 

by a rule of formal differentiation which evidently applies to each constituent 
element of u'k' and thus to the entire series. A similar result holds for v'k'- 
Making use of these results, and also of the defining differential equations for 
u'k' , v'k' we find 

dv/^k' _ <IF^ dip Q dt^k' <>F' dip 

^lik ^üv^'df'' ^ dk ~ Ou'k'dF'' 

where the arguments in Q, F' are understood to be u'k', v'k-. But, from the 
relation F* = ip{F'), it is clear that these differential equations for u'k', v'k' are 
the same as those for wa, Vk. Also these two pairs of functions reduce to u, v' 
and M, V respectively for ä; = o. 

Since such formal differential equations and conditions determine a unique 
power series in m, v with coefficients functions of k of the stated t3'pe, we obtain 

Ada mathematica. 43. Imprimé le 19 mars 1920. " 



42 George D. Birkhoff. 

the formal identities 

u'k (u, v) = Uk(u, v), v'k'(u, v) = Vk{u, v). 

In particular, the above relation holds for h= i and gives 
u'k'(n, v) =m,(m, d), v'k'{u, v) = V, (m, v), 

where now k' = -, L, ■ , 

a r 
The noteworthy feature of these equations is that the only possible diver- 
gent element appearing is k'. 

Now write jfc' = ~-=, + i-". Then Uk'{u,v), v'k(u, v) become convergent 

power series in u, v, k" for sufficiently small values of these variables. A formal 
power series in u, v without constant term satisfying the two equations above 

is k" = ~^r^r ;t^ • Since these equations are of the ordinarv analytic type, 

dF dF ^ ~ J jf ' 

k" is a convergent power series. Consequently —jrpr is a convergent series, 

and, since F' is also, it follows that A ' is a convergent power series in z. 

Finally then rp is a convergent series. 

It follows that F* is given by a convergent series in the integrable case 
and thus, by the differential equations (g), that the series «*, t'i are convergent. 

The simplicity of the integrable case is sufficiently evident from the fol- 
lowing fact: 

In the integrable case erplicit formulas for Uk, Vk are at hand, namely 

«A, «* "A, "k 

(31) F*iuk,vk)-F*iu,v), k^^f%^^-j'^^, 

"'" ilv "•" ilu 

where the integrals are taken along the curve F* = const. 

The normal forms (i6), {i6'j and (19), (19'), for cases I' and 11' respectively, 
are integrable. If these normal forms can be obtained by means of a change 
of variables (15) in which the series Ü, V are convergent, the given trans- 
formation T is integrable. 

Conversely, suppose T to be integrable and of type I'. The series F* 
converges and by (,s) can bo written f I' log (j, where U, F are convergent series 



Surface transformatious and tlieir dynamical applications. 43 

of the form (15). If we introduce these new variables, which we call m, v for 
brevity, then uv is an invariant function. 

For the integrable transformation T in these variables, the convergent 
series ou, öv must be of the forms wpXogQ and — y/)logç, where 7) is a con- 
vergent series with constant term i. In fact vöu + uöv vanishes and the initial 
terms of Su and öv are m log ^ and — v log ç respectively. 

If a further actual change of variables (15) can be made which gives T 
the form 

Q 

then an additional actual change of variables as in § 21 yields the desired 
normal form. But U^, F, have this form if and only if 



e. if 



dU ^ U (log, J + h{UV]), ÔV = - V(\og(> + h(UV)), 
("* ^ ~ " 'iiv) ^ '"'S ? = ^ ('°g Q + HU V]) , 

[Ug^ -V -f-^]V^Og Q = ~V (log (> ^ h(UV)). 

We have then to find convergent series U, V,h which satisfy this pair of equa- 
tions, in order to establish the proposition under consideration. 
It is sufficient to satisfy the equations 

(" 'du ~ ^ 'Vv) P^°ëQ= U (log Ç + <p(uv)) , 

ill ^^r P 'og ? = — F(log Q -f ff(uv)), 

with convergent series U, V,(p, provided that (^ and F have initial terms « and 
V respectively. For, multiplying the first equation by F, the second by U, 
adding and integrating, we conclude that C/ F is a function of the product uv 
alone. Hence we have UV = uv + ■■■. Therefore uv can be expressed inversely 
as a power series in UV, and rp(uv) = h(U V) where h is convergent. 

But, by the same equations, U and V contain no terms in v and u alone 
respectively, since p has a constant term i. Consequently we may write 



44 George D. Biiklioff. 

where M and N ave convergent power series in u, v without constant terms. 
The equations above take the form 

f)M (UI I / , (pUiv)\ 
du (Iv p \ log qI 



<)N ON I / , (p{uv)\ 

V - — V— -=-i + -. — 

du dv V \ log Ç I 



V 

If convergent power series solutions M , N and ff without constant terms can 
be found our proof will be complete. 

We observe in the first place that there are no terms in u, v with equal 
powers of u and v on the left. Hence, for any conceivable solution, the series 
development of 

p\ Jog o / 

contains no similar terms. But this property of a series is not modified if it is 
multiplied by a series in 2iv only but having a constant term. Hence 

I _ log g 

p log Ç + rp(uv) 

is a similar series. The second term must consist preciselj- of those terms p'(uv) 

in uv alone found in -, and we have 
P 

1 —p' , 
7^=—^ log p. , 



Thus the only possible formal series fp is convergent. 

When this particular rp is substituted, the right-hand members above be- 
come power series in u, v without terms having equal exponents. Write then 

J/ = iV = 2 Pm „ u"> I" , (»» ^ n) . 

The equations for the formal determination of the coefficients P,„„ show 
that these are unique!}' determined and not greater numerically than the cor- 
responding coefficients in the right-hand members. Thus the desired convergent 
solution M , N , <p is obtained. 



Surface transformations and their dynamical applications. 45 

An entirely similar discussion can be made in case IT. 

In the integrable cases I', IF, and then onhj, the normal forms (16), (16') and 
(19), (19') can be obtained by a change of variables {15), where U, V are convergent 
series. 

§ 26. Tlie 11011-iiitegr.ible ease and the integrable case. 

Let two transformations T and T' be said to osculate to the iith order if 
Mj — u\ and Vi — v\ are given by series beginning with terms of at least the 
((< + i)th degree; T/c and T'k will also osculate to the /ith order for any integral 
value oi k. It is clear that the formal series for ou, ôv and du', civ' agree to 
terms of the (u + i)th degree. Conversely, if du, ôi' and du', Ôv' agree out to 
terms of the (it + i)th degree, then T and T' osculate to the iith order. 

Let T be a given conservative transformation of types 1', II', II" or III' 
with a quasi-invariant function Q and a formally invariant series F*. If Q 
and F* are convergent series agreeing with Q and F* to terms of the {11 + i)th and 
((( + 2)th degrees respectively, then there will exist a corresponding integrable trans- 
formation T with a quasi -invariant function Q and an invariant function F*, ivhich 
T oscidates to the uth order. 

The transformation T is evidently that defined by the equations 

dk (>Vk dk ilvk 

with initial conditions ?t„ = m, V;, = v. 



Chapter II. Hyperbolic invariant points. 
§ 27. The analytic invariant curves in case I'. 

In the non-integrable as well as in the integrable case I' the two real 
formally given invariant curves correspond to actual curves. A proof of this 
fact was first given by Poincaré (loc. cit.) and later by Hadamard. ' Our 
proof will be of a different character, and involves the hypothesis that T is 
conservative. A similar method will be used later by us in treating more general 
cases. 

' Sur l'itération et les solutions asymptotiques des équations différentielles, Bulletin de la So- 
ciété Mathématique de France, vol. 29, 1901. 



46 George I). Rirklioff. 

The two formally invariant curves in case 1' may either be obtained from 
the equation i*'* = o or from the equations U = o, V == o where U, V are the 
normalizing variables of § 21. In fact, when the transformation is in the normal 
form, these equations yield the formally invariant curves. 

In case 1' the two real formally invariant curves give two analytic invariant 
curves through the invariant foini. 

We commence our proof by choosing variables which osculate the normal- 
izing variables f/, F to the /ith order (/(>2). According to § 21 we have then 

M, = Que'^"'"' + u{u, v), Vt = -ve-'^" " + »;(m, v), 

where <i>, t; are convergent power series beginning with terms of the (.« + i)th 
degree or of higher degree. 

Our proof will consist of the following three steps: 
(i) the limits limi-^xMA(ç~^V, 0), hmk~-^Vk{Q~'''t, o) exist as formal power series 

u*(t), v*(t), and yield a formally invariant curve; 

(2) Uk{Q~'''t, o), v/i{o~''t, o) are dominated by fixed convergent power series in t 

for all k; 

(3) and hence these series converge uniformity to limiting functions of t for \t\ 

sufficiently small, namely to u*, v* respectively, which are thus the co- 
ordinates of the invariant curve F = o. 

A similar treatment of the invariant curve U = o can be based on the in- 
verse transformation T^i. 
Proof 0/(1). 
We have directly 

u/c = o*?<e*"'''' + (.((«, V, k), r/, = o-''ve- ''"''' -i }Jn , v, k), 

where (i>{u. v, k), >;(it, v, k) are convergent power series beginning with terms of 
the (u + i)th or higher degree. Furthermore, the first term on the right-hand 
side of either equation has evidently the property that when expanded in power 
series in u, v the coefficient of a term of the 7?ith degree is linear in q'' or ç-* 
and polynomial in k of degree less than the degree of the term. But «a, Vk 
have the property that the coefficient of «'"r" is a polynomial in ç*, o"*, k of 
degree at most m + ?i (§ 4). Therefore the same is true of m{u, r, k), i,(«, v, k). 
Thus we obtain at once 

Uk{Q-H, o)=t-V 2p""(C-*. k)t'\ Vkir'-t, o) = 2?""((?-*, k)t", 



Surface transformations and their dynamical applications. 47 

where p<"', g'"' are polynomials in o-'\ k, and where every term involving k is 
affected with a multiplier p-*' raised to a positive power. 

It is thus seen that, inasmuch as ç > i , each coefficient of the series for 
iik{(i~''t, o) and VkiQ-^^t, o) approaches a limiting value as k becomes infinite. In 
other words there exist limiting formal series n*, v*. Clearly n* is given by a 
series with first term t and following terms of degree at least u + i , while v* 
begins with a term of degree not less than a + i. 

Now we have the formal identities symbolized by 

T{vk{o-'H, o), v,,{q-H, o)) = (w/,+i(ç-''-i<', 0), %+,((--''-'<', o)), 

where t' stands for ot . By allowing k to become infinite we obtain the identi- 
ties symbolized by 

r(M*(/), V*(t)) = (U*{0t), U*{ot)). 

This is precisely the condition that ii =- u* {t) , v = v* {t) be a formally invariant 
curve under T. The parameter / on the curve goes over into ot. 

Proof of (2). 

To establish (2) we begin by observing that, inasmuch as «/,(?^ v), v/;{u, v) 
are computed by successive substitutions, every coefficient in these series will 
certainly become positive, and as large numerically as it is originally, if ?t, , v, 
are replaced by any series in u, v with each coefficient positive or zero and as 
large numerically as the like coefficient in u,,i\. Such series can be taken of 
the form 

Kiu+vY- K(u + v)^ 

QU H iT- — —-- . QV + 



I — L{u + v) ^ I — L(u + v) 

provided that K and L are sufficiently large positive constants.^ 

Hence when we compute wa(m, v), v^in , v) for u = Q~''t, v = o, taking ?«,, v, 
to be these modified series, we obtain power series in t which have positive 
coefficients greater than originally and so dominate the earlier series. Again 
these series will certainly be dominated by the sum 

Wi(o""*<, o) + Vk(ç!~''t, 0), 
where w,, v^ are the dominating series exhibited above. 



' The linear terms taken are clearly large enough. The coefficients of «"»j;« (,„ + n'>^2) 
in either series is at least as large as KL'"+'>—^, which evidently exceeds numerically the 
coefficient of H'"vn in «, or i\ if K, L ha chosen sufficiently large to begin with. 



48 George D. Birklioff. 

The sum u* = %ik f »'ä obej^s the law of formation 

Kai 



(^/.+1 = d'île + 



T — Lai, 



with <;„ = (T = ît + «. 

But the sequence (X/, is itself obtained by the method of successive substi- 
tution. Therefore the dominating series (/* is increased if we take 

' i — Ma 

provided we take M to be positive and as large as - and L. 

Under these circumstances we get the following general formula for o*: 



Ok- 



o — I 



The corresponding series in t is then 

t 



O I 



which is dominated for all k by the convergent series 



Mt 

I 



Hence this same series dominates the original series «a(p~*^. o), i'a(o~*7, o) for all 
positive integral values of Ä;. Q. E. D. 

Proof of (3). 

With the aid of (i) and (2), established above, we can at once show that 
the power series Uk{()~''t, o), Vk{Q~''t, o) must be approaching a limiting pair of 
functions uniformly for |^| sufficiently small. 

To this end we choose k so large that all of the coefficients up to the ?>.th 
in both series (»)i arbitrary) differ by less than an arbitrarilj' assigned positive e 
from their limiting values, which exist by our result (i). The sum of these w 
terms never varies for greater k by more than a fixed i if |/| be restricted. 



Surface transformations and tlieir dyuamical applications. 49 

But the remaining terms cannot exceed the sum of the corresponding terms 
of the fixed dominating series with t replaced by \t\. Hence the sum of these 
terms is arbitrarily small if m is sufficiently large. 

The fact of uniform convergence is evident. 

Thus u*(t), v*{t) are not only formal series but these series converge to 
actual analytic functions which we denote hy u* {t) , v* (t) . Consequently we have 
an analj'tic invariant curve u = u*(t), v = v*(t). Since u*{() begins with a term 
t while v*{t) begins with a term of degree at least tt + i, this invariant curve 
has contact of order ,u at least with the ti-axis at the invariant point, and 
corresponds to the invariant curve F = o. The parameter change under T 
along the curve is ti='Qt. 

Evidently the existence of these two analytic invariant curves U = o, F = o 
establishes the fact that the invariant point is unstable in case 1'. 



§ 28. A general property in case I'. 

Introduce new variables of the type (15) 

U = u — (p(v), F = r — i/'(w), 

where u = (p{v) and v=>l>{u) are the analytic invariant curves of the preceding 
section. In the f/ 7-plane the invariant curves are the axes. For the sake of 
brevity of notation we will let u, v denote any set of variables which make the 
axes and the invariant curves coincide. 

When such variables have been selected it is clear that î(, = if m = 0, 
and that t'l = if i> = o. Hence we have 

u,=it.(g+ ■■■), V. = v\- + 
From this form of T we infer at once 

Q-e<'^^<Q + t, ^--sk'^K^ + s 

^ U Q V Ç 

for points near (0,0). Here t is an arbitrarily small positive quantity. Thus 
u increases numerically and v decreases numerically upon iteration of T, in 
such wise that the following result is obvious. 

If the invariant curves are taken as the axes in case I' by means of a prelim- 
inary choice of variables (15), every foint of the region ^i^ -\- v^ <è- with u y^ o is 

Ada mathematica. 43. Imprimé le 20 mars 1920. < 



50 George D. Biiklioff. 

carried oui of the region by iteration of T, while every point v ^ o is carried out of 
the region by iteration of T_i. The excluded qmintfi of the axes approach (0,0) 
under the same conditions. 

These considerations show that there can exist no further invariant curves 
through (o, o) besides the two analytic curves above obtained. 



§ 29. On the invariant series in case I'. 

The treatment of invariant points in case I' as given above is sufficient for 
tlie hiter parts of tlie paper. Nevertheless, there remains open the question of 
the actual existence of divergent formal series F* in case I'. Unfortunately I 
have not been able to answer this question. In the present paragraph upper 
limits for the coefficients of a particular invariant formal series are obtained. 

// the invariant curves are taken as the axes in case I' by means of a prelim- 
inary choice of variables (15) and if F denotes the invariant formal series having no 
terms with equal exponents in u,v save uv log ç, then the coefficient of m'"v" in F 
does not numerically exceed Gm„Q-"'", where C,„»» > o is the coefficient of u'"v" in a 
convergent power series. 

Before entering upon the proof of this statement, we note that in a series 
F with coefficients so restricted the terms in any power of v or of v form a converg- 
ent series. 

There exists such an invariant séries F, for, by forming <f{F*) as a power 
series in F* beginning with a term F*, we can eliminate the terms with equal 
exponents in F. Since the most general invariant series is a power series in F* 
in case I', it follows that this particular series F is uniquely determined by the 
given condition. 

In order to effect a proof of the italicized statement we first write the 
equation F{u^, v^) = F{u, v) in the form 



Flu 



V 



(JV , VA ,JV = J'\-,çi: 



obtained by replacing «, v by , qv respectively. We have 



"i ,QV\^up, vA-,QV\=vq, 



Surface transformations and their ilynamical applications. 51 

where p and q are convergent power series in m and v with constant term i. 
The equation above may be written 



Fi , Qv] = F(up, vq). 
Likewise from the equation F{v-i, v-i) = F{u, v) we obtain an equation 



FIqu, -\ =F(ur, vs), 

where r and 5 are convergent power series in u, v with constant term i. 

If Fm„ denotes the coefficient of u'"v^' in F so that F^, = log q, F^o = F^.. = o, 
there results, by a comparison of coefficients in these two equations, 

F,n,AQ"-"'-l)^P„,n, F„„((>"'-"-T.) = Qmn, 

where Pmn, Qvm ai'e linear homogeneous expressions in Faß with a<m, ß <n, 
a + ß<m + 7i. The coefficients of Faß in P„,„ are polynomials in the coefficients 
of the series p, q with positive integral coefficients, while the coefficients of Faß 
in Qmn are similar polynomials in the coefficients of the series r,s. Combining 
the above equations we obtain 

F„,„(0"~'" + O'"-" — 2) = P,„u + Qmn. 

For m^ n the coefficient of Fmn is positive. 

Suppose that p, q, r, s are replaced by a single dominating series, say 



Then P,„„, Qmn takes a common form Bmn, and the modified equations 

Fmniq"- '" + O"' - " — 2 ) = 2 i?,,, „ , { ?« P^ w) , 

define new positive quantities Fmn for m^ n, at least as large as before in 
absolute magnitude. 

Along with these equations we consider the equations 

Cm »(('"•+" — i) = Hmn, (m + « > 3). 



52 George D. Biikhoff. 

in whicli the arguments F in Ji,„„ are replaced by 6'. These equations determine 
Gmn for m + n = 3, m + w = 4, . . ., in succession, provided that we take G,i=log(>, 
G,u=?-Goj = o. These differ from the equations determining the modified values 

Fm„ only in that the divisors -{o"-'" + q""-" — 2) are replaced by the larger 

divisors 0'"+" — i. Consequently we have 



^' < n 

0„,n " I 



{q"'-'"' + e"''-"— 2) 



where the values m', n' written are for all the divisors explicitly entering into 
some one term of the complete expression for F,„n- 

Now take these divisors in order beginning with m' = m, 71' = n. The next 
divisor has m' <in, n'^n, m' + n' <m + n, and in general 771', n' do not increase 
while m' + n' decreases by at least unity at each stage. 

For 7n' > 71' we have 



?"'-'"' + ?"''""' — 2 ç'»'-«'(i-o'»'-»') |^_ 

Q 

and there is a symmetrical inequalitj' which holds for 71' > 711'. Let us replace 
the factors above by these larger factors. If 7n>7i a superior limit for the 
product 11 is therefore obtained by making jn' diminish by unit}' successive!}' 
and keeping 71' = 71 until we have m' = ?i + i, and thereafter decreasing ?i' and m' 
alternately by i. Hence the product of the factors is less than 



ç2n(m- n) ç2(K-l)ç2(n-2) . . . j 
I J .2(m+n) 



and thus less than 



Thus wo have 



j\2(m+n) 






for 7ii>7i, with the same inequality holding for n>7n. 



Surface transformations and tlieir dynamical aiiplications. 53 

It is clear therefore that |i^n,„| is restricted by an inequality of the type 
stated if the series 

converges. 

The coefficients (?„,„ and G„,„ are equal so that 6',„„+i?,„n is the coefficient 
of m"' d" in either 



or G\ — 



I — A{u + v) I — A{u + v)} \i — A[u-\-v) 1. — A{v, -\- v)! 

Moreover, it follows also from the equations of definition of 6',„„ that the 
difference 

G{çu.^v)-^g[ ^ , lf^^) + &'( J? V T^T^)1• 

^*^ ^ ' zl Xi — A(u + v) Ï— A(u + V)] \i — 4(m + w) 1 — A{u + v)i\ 

considered as a formal series, has no terms in m"*?;" for ?ft+n^3, and so 
reduces to 

(q^— i) uv log Q. 

Furthermore, G is determined formally by this property. 
If we replace this last difference by 

- [q^ - i) [u + v)\ 

2 

which dominates it, a modified G series is obtained, satisfj^ing the equation 

+ -(o-— i)(m + v)-, 

2 

and certainly dominating the former G series. This functional equation wholly 
determines the new series. 

But the functional equation 



54 George i). Birkboff. 

admits of an analytic solution, namely 



Az\ 



It follows that G{u, v) = j{u + v) gives the solution of the modified equation 
for G, and thus that the original G series converges. Consequently the proposi- 
tion under consideration is fully established. 



§ 30. The case 1". 

This case is casih' disposed of inasmuch as T.. is of the type I' treated 
above. 

If we choose formal normalizing variables, T^ becomes precisely 

This is possible by § 21. 

We have u^V2 = uv. In case ?<,v, ?^«w, M'rite 

«, f, = uv + ff(u, v) -\ 

where <p is a homogeneous polynomial in u, v of least the third degree in v, i". 
This gives 

u^v-i = UiVt + tf[u,, Vi) + ■ ■ ■ = uv + (p{u, v) + fwu, -v\ + ■ ■■. 
Hence ff'{u,v) + <p[ou, v\ vanishes identically. This is impossible for any poly- 



nomial not identically since ot^ — i. Thus we conclude that u,v, = nv, and 
accordingly that w, and i;, are divisible by u and v respectively-. 
We may now write 

çg(n, V) 
Here g{n, v) is a power series in u, v with initial term i. 



Surface transformations and tlieir dynamical applications. 55 

The first of these equations gives n.,^o-ug(v,v)g{u,,v,) whence, by com- 
parison witli the normal form, 

g{u, v) g{u^ , V,) = e'^" " . 
Replacing n,v by ?<,,v, in this equation, we have 

(/(«,, v,)g{u.,, v^) = e«^"'"' 

so that, by a comparison, g{u,, v.,) =g(u, v), i. e. g{u, v) is an invariant function 

under T^, and must be a function of the product uv only (§ 14), namely e- 
The form of tlie transformation T is now fully determined. 
In the case I" by the aid of a formal change of variables (15) the transforma- 
tion T mail he reduced to the form 

KJvI t -Kutj 

U, = çUe^ , V,= Ve '^ 

u'here loe may have c = o , Z = 00 as in case I'. 

This same reduction shows that the formally invariant curves under T and 
T^ coincide. 

In case I" there is a formally invariant function F* and two analytic invariant 
curves through the invariant point, these being the same as for T^. 

We can at once infer that the same property holds in case I" as is given in 
case F by the italicized statement of § 28. Hence there are no further invariant 
curves through (0, o). 

In the integrable case these normal forms can be obtained by means of 
ordinary changes of variables (§ 25). 



§ 31. All oxamyle in the hyperbolic case II". 

There are of course no real invariant formal curves in case 11' inasmuch 

as F* is of the form — 0(u^ + v-) by (13). Thus the case I' treated above may 
2 

be regarded as the general hyperbolic case, while IT is the general elliptic case. 

The cases II", III' may be either hyperbolic or elliptic. 

In the hyperbolic case 11" we can set up an example showing that the 

formal series F* may diverge and also illustrating other significant features. 



56 George I). lîirUhoff. 

The transformation T is the following 



î(, = - — . v, = (i + îOMï' + "^)- 
I + w 



This is evidentl^^ of type 11" at the invariant point (o, o). Moreover, since the 
Jacobian of u^, w, as to u, v is i, areas are preserved, and T is conservative 
with quasi-invariant function Ç=i. 
By direct iteration we find 



= (i + ku)A V + u- I + -, — , — -, ^ h , — -77 r-Til 



for all integral values of k. The expression for uu is of the type given in § 5. 

To express Vk in such a form we introduce the well-known function (/'(2) = ^ ' 

We have, by means of the functional equation for r{z) 



so that 



•/''"(0 + 1) = -:^ + </'"' (2), 



where »/''' stands for the third derivative of i/» as to 2. Hence we have 

whence, by addition, 

^ \ u ) Mm/ „.o^i + '"")* 

Thus we may write for positive integral values of k, and likewise for k a 
negative integer or o, 

» = '-'-«)-ho».(^'"m-''"(Û))]- 



' For a simple development of the properties of il>{z) used here, see K. P. Williams, The 
asymptotic form of the function (^(.r). Bulletin of the American Mathematical f!ociety, vol.19, '912 
— 19>3- 



Surface transformations and their dynamical applications. 57 

Now ip(z) is given asymptotically by the series 

log 2 + > ^ 

2Z ^^ 2nz^" 

in the riglit half of the complex c-plane, in which B,, denotes the »ith Bernoullii 
number. By differentiating three times' we infer that 'l>"'{z) is given by an 
asymptotic series, 



+ -^-2 



( — l)"(2W +l){2n + 2)B„ 



in the right half of the complex s-plane. This series satisfies formally the 
functional equation for i}'"'(z) given above, although the series diverges of course. 

If replace </'"' by this divergent series in the expression for vu found above, 
Ok becomes a power series in u, o with coefficients polynomial in k. Moreover, 
for i: == I, 2, 3, . . . the series involved must converge. In fact vu is then a function 
analytic at m = o, and therefore its asymptotic series is its power series expansion. 
Hence we have here the unique formal series for v^ of the type considered 
in § 5- 

By direct formal differentiation of these series for m/;, r^ and setting A; = o, 
we obtain 

dw = — ?(-, 6v = 2UV — ^'i !/''■" ■ 
6n^ \ul 

Moreover, since Q = i, we have for the invariant series F* by formula (ii) 

OF* OF* I /i\ 

(h du 6 m* \m/ 

whence we get immediately 

This of course is a divergent formal power series in u, v. But it was seen 
in § 25 that the series for F* converges in the integrable case. 

' See J. F. Ritt, On ihe differentiability of asymptotic seiies. Bulletin of the American Mathe- 
matical Society, vol. 24, 1917 — 1918, for a discussion of sucli differentiation. 

Acta maihematica. 43. Imprimé le 20 mars I92U. " 



58 George D. üiiklioff. 

Thus T is of noH-inlegrahle type. 

We note the very significant fact that if i/'"' be regarded as a function and 
not as a formal series, we have here an actual invariant function, real and 
analytic for u>o, and asymptotically given by the formal series for F* for u 
small, so that this function is continuous together with all of its derivatives 
for u>^o. 

At first sight this seems to leave available no similar function for w£o. 
Such a function is readily furnished as follows. The function (/'(i — z) satisfies 
the same functional equation as i}<(z), is analytic in the left half of the complex 
z-plane, and is given asymptotically by the same divergent series as (/'. Hence 
a similar invariant function F* can be obtained by replacing the function «/''"(2) 
by the function — i/'"'(i — 2)- 

If the invariant functions for the two halves of the ?/v-plane are united we 
obtain a real invariant function, analytic save for m = o, continuous together 
with its partial derivatives, and given asymptotically by F* at (o, 0). 

It is this general type of invariant function which probably exists in all 
cases. 

In the case I', I can prove the existence of a real invariant function, 
continuous with all of its derivatives and asymptotically given bj- F* at (o, 0). 
But this discussion is omitted since the existence of an analytic invariant function 
is highly probable in the general hyperbolic case. 

We come now to the question of formally invariant curves. These are 

obtained by factorization of F* (§ 19). Since '/'"'(-) has an initial term zu'^, the 

curves are at once seen to be the curve u =0 taken doubly, and the formal 

curve (' = — - — 5 *P"'\-\- The latter curve also gives an invariant curve, analytic 
6 m- ^ Im/ ^ 

for Ui^o such that v is continuous together with its derivatives of all orders in 
M at 11=0. Half of this curve [u'^o] is that arising when by ü'{z) we under- 
stand the function il>(z) introduced above. For m<^o we get of course the other 

half of the invariant curve v =^ - — „ Ü>"'\i 1- 

6 m' \ u' 

The analytic invariant curve m- = corresponds to a multiple factor of F*, 
and accordingly is an invariant point curve (§ 20). This is readil}' verified from 
the explicit formulas for m, , », . 

It is also worthy of note that, for any point (», r) not on either invariant 
curve and with m>o, «a- increases for k = — i, — 2,.... Also for A" =1,2,.... 
we note that 



Surface transforinatious and tlieir dynamical applications. 59 

F* = -ul\rk + /, ip<"i^\]=.c^o. 

L ÖWÄ \«A'J 

Hence as Uk diminishes the expression in brackets increases. In other words 
any such point {v, r) leaves the vicinity of (o, o), both upon indefinite iteration 
of T-i and of T. A similar argument shows that the same is true for a point 
{u, c) witli u <o. 

§ 32. Preliminary nornializiition in the hyperbolic case II". 

We will consider first what may be termed the non-specializrd case II". 
The characteristic feature of the case 11" is that the invariant formal series for 
F* begins with terms of higher than the second degree. In general then we have 

F* = «3, ît' + «2, M^ (" + 012 » y^ + a|)3 (.''+•••, 

where the roots of the cubic in s, 

«30 + «21 S + «12 S- + a„3 5' = O , 

are distinct and at least ore of these roots is real. To each such real root s 
corresponds a real formally invariant curve = su+ ■ ■ ■. In general therefore 
case II" is of hyperbolic type. We consider any such real formally invariant 
curve C. 

By a linear change of variables C can be taken tangent to a new «-axis. 
That is, we can make 5=0 in this way. The equation of C is now of the form 
v = (p(u), where rpiti) = au^ + ■ ■ ■. By a further formal change of variables (15), 
U = u,V=v — ijP(m), the formal curve C can be taken into the U-axis. It is to 
be observed that any such linear change of variables as well as a change of 
variables (15) leaves T of the same type TI". Since V = o is the equation of the 
invariant curve, both F, and F* are divisible by V. 

If we do not make the above formal change of variables but make an 
actual change to variables which are the same to arbitrarily high degree /< + i, 
«1, t'l are unaltered to terms of degree ,» + i, Q to terms of degree u, and thus, 
by (11), F* is unaltered to terms of degree u +1. Consequently we may write 

"1 = '"[i"! ] + "^("' *')> 

F*{n, c) = v[a.iU- +a,2Wi' +a(,3«*H ] +';(«. «)■ 



60 George D. Birklioff. 

where the brackets are polynomials in u, r of degree at most u — i and where 
(fj, 1] are power series with initial terms of degree at least /« + i. 

Under our hypotheses a^i is not o, for in that case 5 = would be a double 
root of the equation in s. 

By direct iteration of the formal series in their original form (§ 2) we find 

Uli = 11 + k (<p.j„ u- + <f\ , iiv + '/"o; v"-) + • • • , 
Vk =v + k(if',,u^ + ü\,ur + ii>„.y-) + •■•; 

Hence we find, on differentiating as to k and taking ä; = o, 

d It = f/iju w^ + 71,1 Mr + '/i„2 ('* + ■ ■ -, 
Ô1- = (/',,„ î(- + ',",,?*«• + ipo2>-~ + ■■■■ 

Using the equations (11) and bearing in mind the fact that Q commences with 
a constant term i , we see that 

'P20 =«21. ITn = 2 a, 2, ff,, = 3ao3, 
'/'20= o, (/',,= — 203,, </'o2=— a,2, 

These results may be summarized as follows: 

Let T be a conservative transjormation of type II" for which there are three 
formally invariant curves with ordinary points and distinct tangents at (o, o). // 
variables u, v are properly chosen, any real formal curve of this sort can he made 
to oscvlate the v-axis to any order ii > 2 . Under these circumstances we have 

Wi =M + «21«° + 2«,, we + •••, («21 ^ 0), 

Ü, = y[i — za^yU — 0,2?' +•••] + "'(".'')> 
F*(u, v) = p[a..^u- + a,,M« + a^^v^ + ■••] + ?;(it, v), 

where the bracketed expressions are polynomials of degree at most ," — 1 and 10, »; 
are power series with initial terms of degree at least u + i. 



§ 33. Some inequalities in llie hyperbcilic case II". 

Let us take variables u, r as above. We will take k > 5 and also a,, > o. 
Furthermore u, r are taken to be complex, of small moduli, and such that 



Surface transformations ami tlieir (iynamical ai)plications. 61 

(22) 9i(w)>o, |c|<l«l% 

where 9{(w) designates the 'real part of it'. 
The series for v^ gives us at once 

(23) I?/, — M — a,,w-|<£">|Mp, 

where E^^^ is a definite positive constant. If we introduce a new variable 
z= - , (23) can be given the essentially equivalent but more convenient form 

{23') |0,-z + a„l<i;c^)|,~|_.. 

Suppose now that we take /=0, 'ù\{z)>R, B a. large positive quantitj'; in 
this case the inequalities (22) are satisfied. By iteration of T we obtain (2,, r,i, 
(2,, Cj),.... Let us assume for the • present that 9i(2/)>Ä, |'';|<|2/|-2 for 
1 = 0, I , . . . , n — I with 71 > o. 

From the inequalities (23') for 2, z,, 2,, . . ., r„_i we infer 

\zi-zi-i + a,,\<E<^^R-\ (1 = 1,2. ...,n). 

These inequalities show that the real part of z; diminishes by approximately «2, 
as I increases bj' i, while the imaginary component varies slowly. By combi- 
nation we obtain 

|2, — 2> + (l—))a._,\<(l-i)E^"-m-\ {o<j<l). 

and thence 

\zj\>\zi + [l-j)a,,\-{l-j)E^^)R-K 

But, since 2/ has a positive real part, we have 

\zi + {l-j)a,,\>(l — j)a,,, 
whence 

l-j<^\zi + {l-j)a,,\. 

Replacing I — j>o by this greater value in the negative term of the inequality 
for 1 2^- 1 we find 

|2,|>(,_^'ü^||2, + (/-;>J. 



62 George I). P.irklioff. 

Tlie polynomial of degree u, F = F* — j^, has the same terms as those of 
the formal series F* out to terms of degree /( + i. Consequently if (22) holds 
we have 

\F, — F\<E^-'^z\-"-K 

Thus, under the above hypotheses, we have 

\Fl-F,-^\<E^^^Z!^i\-"-\ (1=1,2, ...,n). 

Moreover F = o since F is divisible by r. By combination we therefore obtain 

|F,|<^"'2h;|-"-'- 

Using the preceding inequality for \zj\ we find 

But this sura is less than 

CO 00 

dt 



rdn I /■ 

N7+^«T7r'=ie/i"lr 



2' , / 



where we have written )i = \zi\t. The final integral which appears has evidently 
as greatest value 



r d^_ _ 



inasmuch as zt has a positive real part. Thus finally we obtain 

(24) \F,\<E^'^^\z,\-", (/ = 1, 2, .... h), 

where E^''^ is a definite positive constant which does not increase as 7? increases. 
Furthermore, from the explicit form of F we have 

\t\\\~A'>E^'n<\\ 



Surface transfonnations and tlieir dynaiiiical applications. 63 

so long as (22) holds for {z, /•). Thus we obtain 

' 'I ^ £('!) ' (< = I. 2, . . ., ?)). 

Combining this inequality with (24) there results 

£"(5) 

l'v|<|.,e,l^^l-"+^ (? = i, 2, . . . , »). 

Since a — 2>3 the second inequality (22) continues to hold until 9i(2/)</?. 
Our main result may be formulated as follows: 

// /( > 3, a,i > o, 9i - > 7? > (), and if r = o, then we have 

(25) \ri\<E^'^\uj\'~-<\v,Y 

for I = 1, 2. . . ., until 9i ( — I < R. 
\uil 

It is evident that ■)i|~l ultimately becomes less than R. 

Wll 



§ 34. Further inequalities in the hyperbolic case II". 

The inequalities of § 33 are not sufficient for our purposes. It is necessary 
to evaluate w/ more precisely than we have done. 
To this end we write 

10 = — I- (( log V + liu + ■■■ + y.u'\ 
n 

where k is arbitrarily large. Also let ü stand for the series formed by the terms 
in t<i which involve u only. We propose to determine real quantities «, /ï, ...,/. 
so that 

I tv{v) — w{u) + a,,\<K\ u p+' . 
This condition will be met if 

^ ( - — i) + «21 + « log - + ß(ü — «) + •■• + x(i7^- — M*) 



64 George D. Rirkhoff. 

is of the (k + i)th order in u. The term in brackets is a convergent power 
series in u without constant term. The following term is a similar series begin- 
ning with a linear term aa-^^u; hence a can be so chosen that the first two 
terms form a power series without constant or first degree term. The third 
term is a similar series with leading term a.Sa.i«*; bence ß can be so chosen 
that the first three terms form a power series beginning with terms of the 
third degree or higher. Continuing in this way we arrive at a determination of 
(t,ß, ..., ■/. which yields an expression %v with the desired property. 

Suppose now that we introduce the variable %u instead of the similar var- 
iable 2 = - (§ 33), taking 3î (-) > R and choosing the principal value of log m 

in the expression 10. It is clear that 3{(w) is large when 9î(2) is large and that 

the region SW(2) > Ä corresponds to a region of similar character in the «ü-plane, 

with nearly vertical tangent throughout and crossing the u>-asis far to the right 

of the origin in the ?<;-plane. Hence, by Darboux's well-known theorem, the 

correspondence between these regions in the w-plane and z-plane is one-to-one 

w 
and conformai. Moreover, in this part of the «'-plane — is nearly i. 

From the definition of « it appears that 

|«,-«|<£<'^)|r|, 

and thence from the explicit expression for F , 

\u,-ü\<Em\F\\u\-'- 
vvhen {iz) holds. Further, we have 

ht,-!7|<£'(')£'<8>|M|"-2, 

when (25) holds, from which 

|!t'(M,)-w((7)|<£<'0)|w|."-^ 

If we recall the defining property of iu{u) and take k<ii — 5, we get 
finally 

!«'(«,) — iv{%i) + a,, I < £<"'! H p+'. 

Applying this inequality successively for the sequence of values (v, v) of 
§ 34 (when {22), (25) hold), we obtain 



Surface transformations and tlieir dynamical applications. 65 

\tv,—w + a,i I < -Ë'"-' I «' 1~''"^ , 
I iv., — w, + a,, I < £(!-) I w, |-''-i, 



\wn-ir„-i +a„|<£»2)|„,^^_,|-i 



Thus in the complex w-plane each point îu, u\, ..., w,, in the region 
R(iv) > R' falls approximately at a distance a,, to the left of its predecessor. 
By the method used in § 33 it is apparent that the sum 



+ ■■• + 



and \wi — tv + ?«,,! are of the order |ttv|~'''- Hence we have: 

Assume u > ~, , k < a — 5, a.i > 0, 9{ -j > R, and r = 0. Write 

w = — h « loe M + /iw + • ■■ + Y.u'' , 
u 

tvhere a, ß, . . ., /. are stiitably determined constants. Then we have 
(26) I u-i — Ϋ + /a„ I < £('3) I w — la.,, |-* 



for 1=^1,2, ..., until iRi~\<R. 



§ 35. The invariant curves in the hyperbolic case II". 

With the facts deduced in §§ 33, 34 in mind, we can readily prove the 
existence of an invariant curve. 

Let us take w, v as our variables where lu is restricted to the region of 

the ?y-plane which corresponds to 9{ I \> R. 

Consider the two sequences of functions of lo: 

to, Wi {w + a,, , o), u\ {iv + 20., ,0), . . ., 
o, i\ {iv + a^i , o) , i\{w + 2a2,, o), . . .. 

According to the inequalities (26), (25), we have 

Ada mathematica. i'i. Imprimé le 22 m.irs 192i). 9 



66 George D. Biiklioff. 

I W, [W + la^^ ,0)—lu\< /i'"-" 1 10 |-'' , 

\oi{iv I ^«,,,0)1 <Ä('^'|v^|-'+^ 

inasmuch as ^ approaches i. 

Thus, for ^)i(w) sufficiently large and positive, the sequences ivi, ri remain 
bounded and define a closed set 2 of limiting functions w*(iu), r*(w) analytic 
within the same w domain,' and restricted by the inequalities 

\w*{iü) - w\< E^'^^w]-'', |y'*(w;)| < ß('<)| w|-"+2. 

Now we have 

T(ivi{iv + la.,,, o), ri{iv + la^i, o)) = {u-i+\(w + la^i, o), »7+1 (u' + /021, o)). 

Thus the transformed sequences of functions have as limiting functions 

In other words the totality J is carried over itself by T, the change of para- 
meter being w, = w — -aji- 

Now let us suppose iv and c to be real, with w sufficiently large and 
positive. The transformation from (w, r) to {to,, v,) is then a real analytic trans- 
formation, and the totality of curves specified above are analytic with the pos- 
itive MJ-axis as asymptotes. In fact these curves 2 have contact of order /( — 2 
at least with the ?ü-axis at 00 . 

Let us return now to the prepared real M^'plane of § 32. The relation 
between w and « shows that in the real itr-plane the curves 2' are defined for 
u sufficiently small and positive, and are analytic curves with contact of order 
n — 2 at least with the w-axis at (o, 0). On account of the mode of definition 
of the curves in the complex domain the inequality | r | < iJ""'' | ?/ 1"-- holds uni- 
formly for all of these curves. 

It follows that the totality J consists of only one curve. 

In fact, consider the region ti > o bounded by these curves and the line 
u = d. If there were more than a single such curve, such a region would ne- 
cessarily arise and lie within the region 

o<u<d, |d|<.E(15»|m|."-2. 

' Cf. W. F. Osgood, On the mii/onnisatio» of algebi-aiifimctionn, Annals 0/ Mathematics, voh 
14, 1912— 1915, pp. 152—154. 



Surface transforinations and their dynamical applications. 67 

By the transformation T we liave 

Ui = Ϋ + a,,M^ + • ■ •. 

We see at once that this region goes into another which includes it. For, the 
upper and lower boundaries of the region bounded by the 2 curves are carried 
into themselves (the totality 2' being invariant), while the line u = d is, moved 



to the right. This is impossible since I I Qdudr is invariant under T. 

Passing back to the original «r-plane, we infer the existence of an analytic 
invariant curve ending at the invariant point and having contact of order of 
u — 2 with the corresponding formally invariant curve. When the curve is 
represented in the form c = (f{ii) say, rp is continuous together with its deriva- 
tives of the first /( — 2 orders for u = o. 

Now ,(( is an arbitrarily large integer. By increasing it we cannot obtain 
further invariant curves, as is seen at once by a repetition of the above argu- 
ment as applied to the region between such curves. Therefore, the invariant 
curve when represented in the form r = (p{u} say j'ields a function rp analytic 
for M 5^0, continuous together with its derivatives of all orders for w = o, and 
formally coinciding with the formally invariant curve. 

All of the above only applies if a,, >o. But if a,, < o then the analogous 
quantity for T_i is — a^, . Hence we can arrive at the same conclusion if Oj, <o 
by considering T-i instead of T. 

Clearly we can deal with the case u < by merely rotating the axes in the 
prepared wy-plane through the angle r. 

Let us call a real function f{t) of a real variable t hijpercontinuous for t = t^ 
if j(t) is analytic for <?^<o. \t — t^\<^d>o, and continuous together with all of 
its derivatives for t = t„. Similarly a curve is hypercontimious at a point if its 
coordinates can be expressed as hypercontinuous functions of a parameter t. 
With these definitions we can summarize our results as follows: 

7n the case 11" ivhen there are three formally invarianl curves with ordinary 
points and distinct tangents, one or all three of these ivill be real. To each stich 
real formal curve corresponds a unique hypercontinuous curve through the invariant 
point which is invariant under T and has the corresponding asymptotic representa- 
tion at the invariant point. 

It is clear that the method above is not essentiallj' limited to the discus- 
sion of real invariant curves but these are all we need to consider. 



68 George I). Birkhoff. 

§ 36. Extension to tlio jirencral hyperbolic case II", II'". 

It. is easy to sec that the above work admits of an extension to the most 
general case II". 

Suppose first we fix attention on any real formally invariant curve C in 
the case II" which has an ordinary point at (o, o). 

We can begin as before (§ 32) by taking a prepared wr-plane in which this 
curve osculates the «-axis to order /(. 

The series for «, can be taken to contain a term cilp of least degree 25>i, 
where p does not increase indefinitely with /(. Otherwise, when the w-axis is 
made the invariant curve by a formal change of variables, it will be an invariant 
point curve, and such a curve has previously been observed to be analytic. 

The series in i\ is divisible bj'' r out to terms of degree u + i as before. 

The formal series F* consists of a polynomial of degree at most 11 divisible 
by V with a leading term cc?/" and a formal series with initial terms of degree 
at least /( + i . 

Let us assume c > and take 

^\Ui) >o, I'-Klf/lP. 

Further let us introduce the variable 2 = u-p+^ . We find easilj^ that, for :)i(2) > R, 

i_ 

|2,-2+('/J-l)c|<£'|2| P-i. 

where £' is a suitable positive constant, and we can carry through a discussion 
analogous to that contained in §§ 33, 34. 
Introducing next a variable w, 

I a 

10 = -~— , + -„-:. -f ■ • + /. log « -f • ■+ ff«*+i-P, 

we can determine «, ;>', . . ., a so that 

\w{Ü) — tv{u) + (p— l)c|<i?'|M|'' + l 

as in § 34, and can generalize the results there obtained. 

The existence of a unique invariant curve can then be proved as in § 35. 

When the real formally invariant curve has a 'cusp' at (0, o), this can be 
reduced to an 'ordinary point' by a succession of changes of variables of the 



Surface transformations and their dynamical applications. 69 

type u = uv, V =v, and then an argument may be made like that carried through 

in §§ 33—35- 

We will not stop to enter into details, but merclj' state the conclusion: 
In any case II" to every real formally invariant curve corresponds a vnique 
hypercontinuous invariant curve with the corresponding asymjtotic representation. 
In the hyperbolic case II'", Tq is of type II". Hence we infer: 

■-> q) ;f 

In the hyperbolic case IT ', = ~ , the invariant curves under Tq are 

of type 11" and their images are invariant as a. set under T. 



§ 37. A 1,'eiieral property in case II'. 

In case II" under the restrictions of .§ jj every point of the region u^ -\- v- <^ö- 
not on one of the real invariant curves is carried out of the region by iteration of T 
or T—\, while every point on one of these curves approaches the invariant point 
(o, o) by iteration of T and is carried out of the region by iteration of T-\, or 
vice versah 

There may be either three real invariant curves, or a single such curve. 

Let us consider the flrst of these subcases. Here the neighborhood of (o, o) 
in the plane is divided into six parts, bounded by arcs of the invariant analytic 
curves. These six regions evidently go over into themselves under T or T_i. 
Let us consider a particular one of these regions, and let us first take tangents 
to the corresponding arcs of the two invariant curves at (0, o) as axes. The 
hypercontinuous invariant curves have equations r = (p{u), u = ^}'{r) referred to 
these axes. 

Make the further change of variables 

U = u—ip{v), V = V — fp{u). 

The right-hand members of these equations are continuous together with their 
partial derivatives of all orders in u, v, analytic except for m==o or /=0. In 
the new variables the invariant curves appear as the U- and F-axis, while the 
region under consideration becomes the first quadrant in the C/F-plane. 

' It is apparent from this result that no other invariant curves through the invariant 
point can exist. 

LeviCivita (loc. cit.) proved that certain nearly points are carried away from the invariant 
point in this and other hyperholic cases, showing that the point is unstable. 

See also A. R. Cigala, Sopra un criterio di instahilit'a, Annali di Mafematica, ser. 3, vol. 
II. 1905- 



70 George I). lîirkboff. 

This further change of variables is formally of the type (15) so that we 
have (see § 32) 

C/,= C/[i+aj, U + 2a„V + ■■■], F. = V[i—2a,, C7-a„F+--]. 

The factors in brackets are analytic for f7> o, F > of course. We can readily 
show that these factors are continuous together with all of their partial derivatives 
for U>o, F>o. 

In fact consider 

hm^. 

as a point {u, v) approaches the invariant curve U = o. By the ordinary rule 
for the evaluation of an indeterminate form the limit will be given by 

,. jOu, dil'{i\) Ov, 

hm \~ -j -— ' 

\ Ou dv^ du 

at the point in question. Hence the first bracket, and likewise the second bracket, 
are continuous functions for U >o, V>^o. By successive steps of like nature 
all of the partial derivatives of the brackets may be aliown continuous. 

In the subcase under consideration there is a third real invariant curve in 
the second and fourth quadrants obtained by factoring formall}- 

F*=ÜV[a,,U + a,,V+-]. 

We see that «21 ^nd a,, are of the same sign (say positive), for this third 
invariant curve is given by 

a,, f/ + a,j F + ■ • ■ = 0. 

Returning to the explicit form of t/,, F, above, we infer that U(V) increases 
and V(U) diminishes under iteration of T{T-i) for any point in the first quadrant. 
If (U , V) approaches a definite point (Ü , F) with C/ > o ( F > o) within the region 
U° + V <ô-, this point is necessarily invariant under T. But, inasmuch as there 
are no multiple factors of F* and thus no invariant point curves in the case at 
hand, there will be no invariant point in this region except (o, o). Thus the 
first part of the italicized statement holds in this case. 

The part of the statement which deals with the behavior of points on the 
invariant curves is obviously true in all cases. If it was not we should have 



Surface transformations and their dynamical applications. 71 

isolated invariant points on these invariant curves ij'ing arbitrarily near to (o.o), 
and this is impossible. 

We have next to discuss the subcase where there is a single real formally 
invariant curve. Let us take this curve into the {7-axis by a transformation like 
that made above. We have then 

f/, = 6' + a,, U- + 2«,; UV + 3a„3 F- H , 

F, = F[i— 2a„ U-a,,V + --], 

where the brackets stand for a type of functions similar to those in brackets 
above. 

Here one has 

F*==V [a„ V + a.^UV + a^, F^ + ■■■]. 

The quadratic form in brackets is definite since there are a pair of conjugate 
formally invariant curves with distinct conjugate directions. 
We find 

Ü,V—V,U= F[3(a3, V- + a,_, Ü V + a,, F^) + ••■]. 

V 
This equation renders it apparent that r = tan~i y^. varies continually in one 

sense under indefinite iteration of T or of T-i as long as a point and its iterates 

I Fl 

remain near (o,o). If lim r = o or /r, y^ approaches o, and the formulas for 

t/, , F, show that | U\ and | V\ vary in opposite senses. In this case | ü\ increases 
and the point cannot remain near (o, o). 

Moreover the point cannot remain near (o, o) in the contrary case. If 
lim r = r r^ o, ?( the above equation shows that F approaches o; in fact the 
variation in ? is of the first order in F. The variable U must likewise tend to o. 

V —V 

But the geometry of the figure in the plane makes it clear that y,- y must 

V 

approach tan r indefinitely often, at the same time. If we recall that ^. 

approaches this value also and employ the formulas for C/,, F, , we find readily 

— 2a,, tan r — a,, tan^ r 

= ;— = tan r 

«21 + 2a,2 tan r + ^(^oi tan" r 

whence 

3 tan r (a,; + a^^ tan r + «„3 tan* r) = o, 

which is impossible. 



72 George D. Rirkhoff. 

§ 38. Extension to a more general case II". 

The same property holds in the most general hyperbolic case. 

The kernel of the method of proof employed in § 37 depends on the use 
of a function which increases or decreases upon iteration of T. This method 
can be applied to a somewhat more general case than has been treated above, 
namely that in which all the real directions of formally invariant curves at (o, 0) 
are distinct. It is this case which we treat first. In dealing with the most 
general case (§ 39), however, we are obliged to employ less direct means. 

Suppose that the property fails to hold, so that there are real points not on 
an invariant arc which remain in an arbitrarily small neighborhood of (o, o) 
under indefinite iteration of T (or of T-i, if not of T). 

There will then exist such points in some one of the regions into which the 
invariant arcs divide the vicinity of (o, 0), and it is upon such a region that we 
fix attention. For the present we assume there is more than a single real 
invariant curve. 

By a change of variables U = u — </'(«), V=v — (p{u) (§ 37), the region 
between the invariant boundary arcs may be taken into the first quadrant, in 
such wise that the invariant arcs become the Ü- and F-axes. The variables U , V 
are analytic in u,v, save for m = o or r = o when U, V are continuous together 
with all of their partial derivatives. Furthermore we have 

where UVH is the homogeneous polynomial of lowest degree to>3 in F*, and 
where the brackets stand for functions analytic for U y^o, F 5^0, and continuous 
together with all of their partial derivatives. The factors f^ F in UVH correspond 
to the invariant axes. The factors oi H are either real linear factors «î7 + ,:?F(a,:?>o) 
or complex linear factors, since there are no real invariant curves in the first 
quadrant of the C7F-plane. Hence H is of one sign, say positive, near (0,0) 
and of the order m — 2 in Vf7»+~F*. 

From the above equations and the facts stated we have 

U, V— V,U=U V [mil + ••■]> 0; 

F 
in consequence ; =tan-iy^ varies continually in one sense upon iteration of T 

or of T-i, and must approach a limit. 



Surface transformations and their dynamical applications. 73 

This limit must be o or ' . In fact since there are no invariant points 

2 

near (o, o) (invariant point curves correspond to multiple factors of F*), the 

corresponding point would neeessarilj' approach (o, o) in the contrar}- case. If 

V 
r > o denotes the corresponding lim jf the fraction 



du ' 

can be made nearly equal to r with negative denominator and numerator; this 
is easily seen geometrically. Hence we have (compare § 37) 

// + f'^ 

Y 
along this direction, whence H = o for Tj = r. This direction will correspond to 

a real formally invariant curve, which is absurd. 

Also this limit is not o, for the formulas for U^, F, show then that IC/J, 
I F, I will vary in opposite senses and the point will recede from (0,0) along 

the L^-axis. Similarlv the limit is not - . 

2 

This completes the discussion when there is more than one real invariant 
curve. The argument is easily modified to meet the case of a single such curve 
(compare § 37). 

The property of § 57 holds therefore if the real tangent directions of the formally 
invariant curves are all distinct. 



§ 39. Extension to tho general case 11", IT". 

We propose to deal in outline with the general case II". As before, we 
assume the property not to hold, and show that a contradiction results. 

The region under consideration is bounded by two invariant arcs which may 
or may not have the .same tangent direction. An argument like that used above 
may be partially applied. If we form the difference u^v — i',m, it is given by a 
series beginning with a constant multiple of the homogeneous polynomial of 

Acin mnlhemalici. ^:t. Imprimé le 23 mars 1920. 10 



74 George D. Rirkhoff. 

lowest degree in F*. But for directions within the region making this polj-nomial 
vanish there must be an even number of equal factors au + ßp, since if there 
were an odd number there would be at least one corresponding real formally 
invariant curve and thus an invariant curve within the region, contrary to 
hypothesis. Hence «,/' — (),?« preserves a constant sign save near these critical 
directions. 

Moreover, if, under iteration of T, a point moves away from the vicinity 
of such a critical direction, it rotates in a constant sense about (o, o) to the 
vicinity of the next following critical direction (compare § 38). 

Since there are only a finite number of such critical directions, there will 
then be points remaining in the indefinitely small vicinity of one such direction 
under indefinite iteration. It is upon such a critical direction and its neigh- 
borhood within the region under consideration that we now fix attention. 

Let us take this critical direction along the positive «-axis, and make the 
change of variables. 

M = Ü , = üv; 

in the new variables the transformation T tlien is readily found to have the 
form 11" 

?7, = rt + • ■•, Vj = v+ • •■. 

The series F*{u,Viv) is of course formalh- invariant, and in general the same 
metliods of formal reckoning apply as earlier. 

The first distinction to bo noted is that the invariant integral | I Qdudv 

becomes | ^uQdûdv; the new quasi-invariant function üQ is analytic but 

vanishes at (o, o). The second distinction is that the line ü = o in the ïïr-plane 
is evidently an invariant point curve corresponding to the invariant point (0,0) 
in the zt?'-plane. 

Also there are infinitely many points n>o in the «I'-plane which remain 
near (o, o) under indefinite iteration of T, and yet do not lie on an image of an 
invariant curve in the «/-plane. 

The formal differential equations (9) in û,;, 17, are clearlv 

. ^ dik HF* . ^ dill dF* 

dk tlvk dk ihtk 

where by F* is meant the series F*(u,nv). 



Surface traiisfoniiatioiis and their dyiiamical apiilicatioii:^. 75 

In the Mv-plaiie there are also certain critical directions, finite in number, 
along which the points above referred to cluster. In fact w,i; — v^u has the 

same initial terms as 

iT (IF* 0F*-[ 
u\_ ou Ov \ 

As before, the lowest terms here form a homogeneous polj-nomial in ii, v of one 
sign or zero for m > o . 

Repetition of the reasoning and further like changes of variables can now 
be made. It may be observed that the invariant point curve ü = o introduced 
at any stage is either eliminated by a further change of variable, or corresponds 
to the now w-axis. Consequently the extraneous invariant point curves are either 
M = o or ü = o and v = o. 

Since there are only a finite number of formally invariant curves and the 
changes of variables used lower their order of contact, a stage must finally be 
reached at which either (i) there is no formally invariant curve not of extraneous 
type or (2) there is only one such curve. In case (2) it is clear that we may 
assume this curve to have an 'ordinary point' at (o, 0) with tangent direction 
distinct from that of an extraneous invariant curve; the changes of variables 
employed separate formally distinct curves and eliminate a 'cusp'. One further 
change of the same type will then make « = o the only extraneous invariant 
curve. 

Let us begin with case (i) when « = o and v = o are extraneous. 

Since I 1 Q(u,v)dudv is an invariant integral it is clear that points 

Q{u,v) = o go into points Q(u,v) = o. Thus Q = o gives a set of real analytic 
curves invariant under T. Such curves are necessarily individually invariant 
inasmuch as ü = o is invariant. But there are no such curves save ü = o and 
t; = o. Hence we have 

Q(u, v) = u'v"'R{u, v), {l> o, m > 0), 
where i?(o, o) 7^ 0. 

Also F* = o yields formally invariant curves so that 

F* = üPv^Ghi,v), (p>î + I, q>m + 1), 

where G is a formal power series with constant term. 

Now by the formal differential equations (9) for this case we have 



76 George I). Dirkholi'. 

Thus the series for w,, Vi have the form 

Ü + i'0>-'v''-'"-'[qc + A], V + UP-'-' vi-"' [— pc + B] 

respectively, where A and B are power series without constant terms. Under 
iteration of T or T-i either |m| increases and \v\ decreases, or vice versa. Con- 
sequently a point which remains in the vicinity of (o, o) will approach a limiting 
point on the ii- or v-axis, distinct from (o, o). 

For definitcness suppose the point to lie in the first quadrant with c>o. 
Such a point will then approach a point of the positive w-axis near (o, o) under 
iteration of T. But the series above show that for such a point 

-~z>~2Kv, {K>o). 

Ju 

Thus V decreases less rapidly than if 

dv „ 

-T^ = — Kv, 
du 

when by integration we find v=ce-^"^. Hence ü cannot approach a limit as r 
approaches o but must increase indefinitely. 

The case when only m = o is extraneous admits of similar discussion. 

Case (i) is now disposed of. Let us consider case (2). 

By a formal change of variables of the type employed in § 37 we may take 
ü = o as the invariant point curve and w = o as the other invariant curve. 
Formally then we are essentially in case (i), above disposed of. Indeed if the 
invariant curve is analytic no modification is required. 

If the hypercontinuous invariant curve is not analytic there can be no 
corresponding factor of Q, i. c. after the new change of variables we have 

Q[ü,v) = v}R{'u,v), (l>o), 

where R{o, o) 7^ o. 

Moreover, after this change of variables, v only occurs once as a factor of 
F*. For a multiple factor gives an analytic invariant point curve (§ 20). Thus 
we have 

F* = ÜPvO(u,v), (v>l + i), 

wliere G(o, o) p^ 0. 



Surface trausforinatious and their dynamical applications. 77 

Consequently we have here 

M, = M [l + C«P-'-l +•■■], «1 = W[l — CpÛP-'-^ + ■■■], 

where c^o. The brackets stand for functions continuous together witjj all of 
their partial derivatives (see § 37), and with the asymptotic representation in- 
dicated at (o, o). 

But the points remaining near (0, o) under indefinite iteration of T or T_i lie 
approximately in the direction of the «-axis; otherwise, before the above non- 
analytic change of variables was made, we might have removed the invariant 
curve by another change of variables, and thus have arrived at case (1). 

As a result | u \ increases and | c \ decreases. The above formulas demon- 
strate this fact. This possibility is excluded since there are no invariant points 
near (o, o) not on â= o. 

Thus case {2) is also disposed of. 

Since in case II'", T^ is of type II" we may state: 

The property of § jy holds in the most general hyperbolic cases 11", IV". 



§ 40. The hyperbolic case III', III". 

The non-specialized case III' is of hyperbolic type as appears from an 
inspection of (13). If we assume that the coefficient of i' in F* is not zero, 
we obtain a real formally invariant curve with cusp at (o, o). 

Now by the change of variables (see § 6) 

T takes the form II". By the use of the methods of § 32—39 we can infer. 

In the hyperbolic case III' to each real formally invariant curve corresponds a 
unique hypercontinuous curve which is invariant under T and has the corresponding 
asymptotic representation at the invariant point. 

In the hyperbolic case III" the invariant curves under T2 are of type II' and 
their images are invariant as a set under T. 

The property of § 57 holds in the hyperbolic case III. 



§ 41. Invariant curves and the hyperbolic case. 

We aim finally to show that a certain kind of converse to the above can 
be found: 



78 George D. Biiklioff 

// T is a conservative transformation /', //', //", ///' jor which (0,0) is an 
invariant point, and if there exists an invariant continuous arc endijig at (0, o) for 

which tan-' - remains finite, then the invariant foint is hyperbolic and the invariant 
u 

arc is an arc of a hyperconlinuous invariant curve obtained above. 

If the invariant point can be proved hyperbolic the remainder of the state- 
ment can be demonstrated at once. In fact all points not on one of these hyper- 
continuous arcs leave a definite vicinity of (o, 0) under both T and T_i, ac- 
cording to the general property developed above. But the invariant arc is 
carried into part of itself either by T or T_i. Therefore it must consist of 
points on one of the hypercontinuous arcs. 

Let us take first the general case when T is of type I' or 11' at the in- 
variant point (0, o) and let us suppose if possible that T is elliptic at that point. 

Let a, ß be the upper and lower limits of tan-' - along the curve. These 

are invariant under T of course. Hence the lines through (o, 0) in these direct- 
ions are carried into curves tangent to these respective lines at (o, o). Thus 
we have the phenomenon of invariant directions, which is absurd in case XT'. 
Hence T is of type I', and (o, o) is a hj'perbolic point. 

If T is of type 11" every direction through the invariant point is invariant. 
It is necessary here to have recourse to a more elaborate argument to show that 
T is hyperbolic. 

For definiteness we assume that T carries the invariant arc into part of 
itself. Define a and /^ as above. If ct p^ ß we can find a line r = cu which 
intersects the invariant arc infinitely often near (0,0). But the image of this 
line lies on one side or the other of the line near o, at least near (0, o), since 
T is analytic. Thus it is apparent that the total area between the line and in- 
variant arc on the same side of the line is carried over into part of itself by T, 
which is absurd. Hence there is only a single limiting direction, i. e. a=ß, 
and the invariant arc does not meet the corresponding line r = cu near the 
invariant point. 

This direction corresponds to the real tangent direction of a formally in- 
variant curve. Indeed the arguments employed in § 38 show that points not 
approximately in such a real invariant direction from the invariant point are 
rotated into such a direction under iteration of T, provided that the point re- 
mains near {o, o) as is the case for a point of the invariant arc. 

This formally invariant curve which has a real tangent direction will cor- 
respond to a real formally invariant curve in general so that we have the hyper- 
bolic case 11 . 



Surface transformations and their dynamical applications. 79 

There remains the possibility, however, that we have an even number of 
formally invariant curves with real tangent directions but not with all coef- 
ficients real. Here further consideration is required. 

Take the straight line from (o, o) in the limiting langent direction as the 
^t-axis and write 

U ^ Ü, I' = U V 

as in § 39. The «axis in the «r-plane is a line of invariant points under T, 
and the invariant arc approaches (o, o) in this new plane. But this invariant 
arc does not cross the line of invariant points of course. 

Repeating the argument above we infer that this arc approaches (o, o) in 
a definite limiting direction in the «iJ-plane. But it was established in § 39 that 
such a limiting direction can only be along a real tangent direction to a for- 
mally invariant curve. Hence again we argue that the invariant arc has the 
direction tangent to w = or to a formally invariant curve, when another change 
of variables as above is in order. 

At each stage these changes of variables diminish the number of real co- 
efficients in the series for the formally invariant curve, until at last the first 
coefficient is not real and there is no invariant direction. This is impossible 
by our argument for case (i), § 39. 

Similarly the case III' is disposed of. 



Chapter III. Elliptic invariant points. Stable case. 
§ 42. Existence of closed invariant curves in the stable case. 

In the integrable elliptic case there is a family of closed analytic curves 
F* = const, about the invariant point, each invariant under T but not of the 
type above considered since these curves do not pass through the invariant 
point. Such an invariant point is stable of course. 

A somewhat analogous property can be established in the non-integrable 
stable case. Let us understand by a closed curve the boundary of a simply con- 
nected open continuum in the finite plane, while regarding that plane as com- 
pleted b}' the adjunction of a 'point at infinity'. 

In the stable case there exist an injinite number of invatiant closed curves sur- 
rounding the invariant point and lying within any prescribed neighborhood of it.'^ 

' Compare the method of proof with a proof given \\y H. Poixcark, Les incthoilcs uouieltes 
de. la mécanique céleste, vol. 3, Paris, 1899, i>p. 149 — 151. 



80 George D. Birklioff. 

Choose any arbitrarily small neighborhood of the invariant point. It is 
then possible to find a second neighborhood r < ö <d such that any point of 
this latter neighborhood remains within the first under indefinite iteration of T . 
This is the direct statement of the property of stability. 

Now the open region r<ö and all of its images under T include (o, o) as 
an inner point and overlap. Let us speak of a point P as occhided by this set 
of regions if it is possible to draw a regular closed curve lying entirely within 
the set and enclosing P and (o, o). The set of occluded points 2 is evident!}' 
an open simply connected continuum containing all of the set of regions. 

The image continuum 2, is also made up of points 2; the curve enclosing 
P and (o, o) is carried into a curve enclosing Pj and (o, o), Ij'ing within the set 
of regions, and so P^ is occluded, i. e. is a point of 2'. 

Now 2:' cannot contain points not in JS', since then I | Qdudv would be 

larger over 2" then over 2,. Hence 2', coincides with 2. The boundary of 2' 
is therefore an invariant curve lying in the arbitrary neighborhood d<r<^rf and 
surrounding (o, o). Since d is arbitrary there is clearl}' an infinitude of such 
curves, invariant under both T and T_i. 

Conversely, if there is an, injinitude of such invariant curves about (o, o), that 
invariant point is clearly stable. 



§ 43. Some fundamental properties in the case II', / = i. 

The cases I', XT', Z = i, may be regarded as constituting the non-specialized 
case of an invariant point. In the second of these cases we have the first pos- 
sibility of stability. The discussion of this elliptic case II', Z = i which we shall 
make (both in the stable and unstable case) will be based on certain properties 
established in the present paragraph. 

Let us choose variables u, r which osculate the normalizing variables U , V 
of § 22, formula (19), to the order /((,«> 2). We will then have 

«, = n cos[f) + c{u^ + r~}] — r sin [<l + c(n- + r^)] + P{u, r), 
(27) 

i\ = w sin [0 + c{u^ -f- r-)] + v cos [0 + c[n- + r^)'] + Q{u, r), 

m which P, Q are given b}^ convergent power series which begin with terms 
of the (<( + i)th or higher degree. 

We shall assume c>o for definiteness. It is clear tiiat in the oontrarv ease 



Surface transformations and their dynamical applications. 81 

T—\ will be of this same form with — c replacing c, so that our assumption is 
no essential restriction. 

The particularly simple integrable case P = Ç = o affords a clear insight as 
to the character of T . Circles with (o, o) as center are rotated into themselves 
tlirough an angle fl + cr-, increasing with or decreasing with the radial distance 
r according as c > o or c < o. 

This special case shows clearly the vortical nature of the transformation T 
in the neighborhood of the invariant point. 

It will be convenient for us to introduce polar coordinates r. <f . In these 
variables the equations above take an equivalent form 

(28) r^=r + R[r,(p), >p^ = <r + + cr^ + S{r , if), 

where 



(29) 



R = l/,-2 + 2r(P cos (cp + f) + cr^) + Q sin (cp + + cr^)) + P^ + Q-—r, 
P sin (fp + + cr-) + Q cos ((p + + cr'^) 



S = tan- 



r + P cos (cp + + cr^) + Q sin {(p + f) + cr^) 



Since P , Q are analytic power series in r beginning with terms of degree u + i 
or higher, and with coefficients analytic in fp with period arr, it is apparent 
that R, S are continuous functions of r, fp for r>^o, expansible as power series 
in r with coefficients analytic in ip of period 2/r. The first of these will begin 
with terms of at least the (// + i)th degree in r, while the second will begin 
with terms of at least the «th degree. 

These same considerations show that R, S admit continuous partial deri- 
vatives in r, fp of all orders. 

The coordinates r, ip will be regarded constantly as rectangular coordinates 
in an rr/i-plane, so that the r-axis corresponds to the invariant point, and the 
half plane »•>o to the ^(t-plane. Two points for which the coordinates r are 
the same, but for which the coordinates fp differ by a multiple of a/r, are 
called congruent. Two congruent points represent the same point of thewc-plane. 

Suppose now that we have a point in the jf/'-plane and a direction at the 

point given by ^ , which is the reciprocal of the slope. The corresponding 

reciprocal slope at the transformed point under T is then given by ^ . This 
([uantity may be computed by means of {28) and has the value 

Ada mnthfinaticn. 43. Imprimé le 23 mars 1920. ' 1 



82 



George I). Birklioft". 



d(p , , dS 

dcp^ dr dr 



dr, 



dR 

dr 



where the indicated differentiation is directional in character. 
From this equation there results 

dÄ_/ drp\ d R 

d(p, dtp dr \ dr) dr 

j^—-^ = 2cr+ T^ 

dVt dr . aR 



1 + 



dr 



If we evaluate the directional derivatives on the right in terms of the partial 
derivatives of R, S, we perceive at once that 



and thence 



<IR ,<IRd<r 
Or <)rpdr 



<hr"li + 



< hr' 



I + 



d(pi dcp 
dri dr 



<h'r"-^li + 



\dcp 



as long as — 
" \dr 



(30) 



< £?•!-'' say. 
That is, we may write 

dip^ dfp 



dr^ dr 1 \dr 



drp\ 



where \/.\<h' as long as 



\dfp 



is restricted as stated. 



Let us term the small sheaf of slopes ,- at any point in the »(/-plane 

a<p 



for which 
(.51) 



the barred angle. When (31) is not satisfied, the left-hand side of (30) is positive. 
Our conclusion may be formulated as follows: 



Surface transforniations and their dynamical applications. 83 

In the rcp-plane the transformation T leaves r nnalterzd to terms of order ;i + i in 
r, increases (p by + cr^ to terms of order ii , and rotates any direction not m the 
barred angle in a negative sense. 

An entirely analogous discussion of T-\ shows that, if t be taken small 
enough in defining the barred angle, we have 

//( the rcp-plane T_i rotates any direction not in the barred angle in a posi- 
tive sense. 

A quantitative discussion of the amount of rotation of directions can be 

based on (^o) and a similar equation for ^—^ • 
^ dr-\ 

In particular we note that 

Under iteration of T (T_i) any direction at a point is ultimately rotated into 
or ixtst a barred angle negatively (positively) if r remains small. 

If possible assume this statement not to be true. 

In the first place we must have limr = ü. For in the contrary case there 
is a rotation of definite negative amount occurring indefinitely often, and the 
statement must hold. 

If we let 7'' = j^T the inequality (jo) gives 

J(p' > lar^, («>o), 

as long as r remains small and rp' does not lie in the barred angle. At the same 
time the formula (28) for r, shows that 

|^r|<6/-,"+', (6>o). 

Consequently we have 



I Jr 

\j(p' 



b 

< —r". 
za 



Hence r diminishe.s as (p' increases not more rapidly^than if 

-^ = — ^ •/' 
dcp' za 

But a direct solution of this differential equation establishes the fact that (p' 
must increase indefinitely and be of order at least ?'-" if r is to approach zero. 
This is in contradiction with the hypothesis that the direction is not rotated 
into or past the barred angle. 



84 George I). Birkliolï. 

Thus we see that the stated property holds for T. In the same way it 
may be proved for 2'_i. 

The following property is also useful: 

Given an arbitrary positive K, then for any foint {r, (f) ^vith o<r<d {() svf- 
jiciently small) ive liave 

<pn >(p + n() + K 

for n>N until r„> d. 

From the equations (28) we get the inequalities 

|r, — r\<c'r'', <Pi — rp>f) + c"r-, (c'>o,c">o). 

From the second of these inequalities there results 

n— 1 

'pn><P + nO + c''2»/ 

7-0 

as long as r, r,, ..., r„_i are less than d. It suffices to prove that the sum on 

the right exceeds „ before r„>d, provided that r is sufficiently small. Now 

from the first inequality we deduce 

p-\ 
l'>-'îl<c'2»;. 

If rp and r^ are the maximum 31 and minimum m of Vj, tliis yields for /1 > 3 

p-i 



whence 



Irj>^,.U~^ 



Consequently, if r is sufficiently small and varies to a relatively much larger 
(but still small) value or to a relativeh' much smaller value, the corresponding 

sum 2'/ is very large and exceeds „ ■ 



Surface transformations and their ilynamical applications. 85 



§ 44. Nature of the iiivariaut curyes. 

Let us defiae a regular neighhorhood of an elliptic invariant point (o, 0) as 
a neighborhood such that any radial direction in the jf/-piane is rotated through 
a negative angle by 2\ and through a positive angle by T_i. 

Probably a hyperbolic point cannot lie in a neighborhood of this kind. 

The reasoning of § 43 shows a regular neighborhood of this type to exist 
in case II', I ^ i. 

The elliptic case does not arise in the general case II" or III'. But a 
direct computation shows that, in case IF, / finite, and in what may be termed 
the general elliptic subcases II" and III', a regular neighborhood exists. 

Throughout such a neighborhood we can evidently construct a barred angle 
through each point of the neighborhood such that directions outside the barred 
angle are rotated negatively by T and positively by T_i, and ultimately are 
rotated into or past the barred angle. 

In a regular neighhorhood of an elliptic invariant point of type II', 1 = t, 
any invariant curve enclosing the invariant point meets every radius vector through 
the invariant foint in only one point. If the barred angle in the plane be draivn 
at the corresponding point the curve lies entirely within it on either side in the vi- 
cinity of the qioint. 

In order to demonstrate this fundamental property of the invariant curves 
we make use of the r'/i-plane employed above. 

Let us suppose first that the invariant curve L under consideration is de- 
fined by means of an inner simply connected open continuum /' containing 
(0, o) in the wr-plane. 

If the first italicized statement is not true consider the continuum of points 
accessible from r = along a perpendicular line (p = const, in the r'f -plane without 
passing a point of the invariant curve itself. 

This open continuum F* forms all or part of [_ 

the open continuum F bounded by the in- 
variant curve L and r = o (see figure). Tlie 
boundary of /'* is evidently a closed curve 
made up of points of L and open segments 
of lines (p = const. 

If F and /'* coincide then either the 
first property is true or there exist one or 
more boundary segments </)= const, of /'and 




86 George D. Birklioff. 

/'*. Now either /'* lies to the right or to the left of such a segment. In the 

first case the tangent to the boundary makes an angle ' with the '/--axis. An 

application of T-\ will carrj' this segment into another with tangent argument 

greater than ' . But, on account of the form of the boundary, anj- tangent 

argument must be intermediate between — - and - , so that this is not possible. 

In the same way it may be concluded that 7", F* cannot lie to the left of such 
a segment (p = const. Hence there is no such segment, if F and F* coincide. 

In this case of coincidence every radial line must meet F onlj' once, as we 
wished to prove. 

Let us now turn to the case when the two continua F and /'* are distinct. 

Consider the part 7" of 7" accessible from r = o along a regular simple curve 

in 7' (such as MN in figure above) with tangent argument never less than - • 

This part of 7" evidently includes 7"*, but can onlj"- coincide with 7'* if there 
are no bounding segments <p = const, of 7"* which have a part (see region t of 
figure above) of 7' on the right. By the transformation T-i which increases 

every tangent argument which is equal to - and does not diminish to '- any 

greater argument, the points of F are carried into points of 7" which are still 
accessible from r = o along an auxiliary regular simple curve in 7' with tangent 

argument greater than - , namely along the image of the auxiliary curve. Thus 

the continuum /', forms part of 7'. Hence 7", coincides with 7", since T is 
conservative. 

Consequently 7'* has no boundary segments (/) = const, with part of 7" on 
the right. Similarly we can exclude the possibility of boundary segments f/^ = 
const, of 7'* with part of F to the left. Hence F* coincides with F. The 
first italicized statement has previously been demonstrated in this case. 

It is now easy to show that the invariant curve lies within the barred 
angle in the vicinity of any one of its points. 

Suppo.se for example it lies partially above the upi)er right arm of this 
angle. By sufficient iteration of T-i the direction of this arm rotates positively 
past the vertical, and it is intuitively clear that the radial line (p = const, through 
this point will meet the invariant curve more than once, contrary to what has 
been proved above. 

If the invariant curve is defined by means of an outer continuum, essentialh' 
the same argument leads us to the same conclusion. 



Surface transformations and tlicir dynamical applications. 87 

§ 45. Rotation numbers. 

Consider any closed set of points defined by an angular coordinate 7 of 
period 2-r. Let us suppose a transformation given which takes each point of 
the set into a definite point r,, in such wise that if P precedes Q (i. e. the r of 
P is less than the r of Q) then Pj precedes or coincides with Q^, and also such 
that r, varies continuously with r. In particular if P and Q are the same point, 
represented by angular coordinates r, t' differing by 2l.r, then r,, r/ differ by 
-zlit also. 

Consider now the difference r/j — r for all points P. If r increases through 
all the values of the set by 2-71 so does r^-. It follows that we have 

a(A) <Tu — T < &W , (6"') < a(*) + 2 tt) 

In fact suppose n- — r is a minimum for t =-- t* and let r vary by 2.t from this 
minimum. Since it increases but only by z.c altogether we have at the 
maximum of r/.. — r 

Tj^ T < 7 * 7 * + 2 TT , 

which establishes the statement. 

There is a number « such that for every Ic 

/a'*' ¥^\ ia^'^ b'-'h 
For, if this is not the case, two intervals | ,; • -77 ' h^' 7 ) ^^^^^ ^^^^ ^-^ ^^^*^ ^ 

common point so that for instance 

whence 

But, since Hc — t <b^''1 for any r, we have successively 

r,, — 7<6"^', r2i — TA <&"••>,... 77i — r(/_,),, <6(''», 
whence by addition 



88 George D. Birklioff. 

Also since 77 — i > a^'^ for any r we get similarlj' 

T/k — r > Ära'". 

Tliese two inequalities and the inequality written above are contradictory. 

The number « will be called the rotation number of the transformation 

r^=j{T}.^ Evidently « measures what may be regarded as the mean angular 

advance of the points under this transformation, inasmuch as we have for any 

T and k 

|n- — I — ka\<27C. 

Since ka lies on the interval (a'*', 6'*') some points advance more than A"«, 
and some by less than ka. 

When r, = /(r) is a one-to-one transformation, then its inverse has evidently 
the negative rotation number — o . 

If — is rational, say — = ^, p,q relatively prime integers, then we have 

q q = q 

and Iience 

a<s)< apyr < 6'«'. 

Consequently i\, — t is exactly equal to ^pn- for some r. It follows that, 
if z' ^ ^ 1 there is at least one point P for which r increases by precisely 2p.r 
upon q iterations of the transformation. 



§ 46. Rotation uuinbers aloiia: iiiTuriant curves. 

Returning now to the invariant curves about an invariant point in the 
elliptic case IF, Z = i, it appears that for each such curve there is a definite 
rotation number, for T yields a one-to-one, continuous transformation of each 
such curve into itself which preserves order. 

// such an invariant curve has a rotation number commensurable with 2:1, say 
2 7) /r 
— — , it is made up of a finite number of analytic arcs ending at hyperconiinuous 

points, im-ariant under T„. 



' Introduced l)y Poincaré (loc. cit. § 8). 



Surface transformations and tlieir dynamical applications. 89 

For mark off the invariant points under Tq on this curve about (o, o). 
There exists at least one such point by the remark proved in § 45. The invariant 
curve near these invariant points forms then invariant curves in the sense 
of § 41. These points are thus hyperbolic and the invariant curves are 
hypercontinuous at the invariant points. But, by indefinite iteration of Tq or 
T-q, the part of the arc is carried into all of itself, since there are no invariant 
points on the arc save at its end points. 

There are only a finite number of isolated invariant points on the invariant 
curve under Tq or else the limit invariant point would have a non-analytic 
invariant curve of the type excluded in § 41. 

Thus the statement is proved. 

// tivo such invariant curves liave one or more 'points in common, the rotation 

'> TiTT 

numbers of the two curves are the same and of the form--— . These common points 

and arcs are finite in number and invariant mider Tq. 

If two invariant curves have points in common, but nevertheless are not 
coincident, there will be one or more continua included between them. Since 
the invariant curves are each cut only once by a radial line ff = const in the 
rf/'-plane, these continua are of the form 

f((fXr<g{'p), (p'^Tâ^'r" 

where f,g are continuous functions of (p with f<g for rf'<(p<(p" and / = (/ for 
fp = cp' or rp = cp". 

Evidently the transformation T carries any continuum of this type into 
another of the same type, included between the same two invariant curves. By 
further repetition of T this continuum is carried into others wh.ich cannot all be 

distinct inasmuch as I 1 Qdudc has the same value for any of them, and the 

total value of this integral taken over the complete neighborhood of the invariant 

point is finite. Thus after q iterations the original continuum is carried into 

itself, and its two boundary arcs are carried into themselves. The end points 

of these arcs are therefore invariant under Tq. 

If these invariant points are rotated p times around the invariant point 

... .2 p7t 

by Tq, clearly the rotation number belonging to either mvariant curve is — — • 

This demonstrates the first part of our statement. 

Moreover it has been seen above that on such an arc there are a finite 
number of invariant points and invariant point arcs of the specified type under 

Ada malhematica. -13. Imprimé le 22 m.irs 1020. 1- 



90 George D. Biikhoff. 

Tq. Any point of an invariant arc terminated by invariant points will approach 
one end or the other under indefinite iteration of Tq or of T—q. 

If two such invariant curves are entirely distinct from one another, the rotation 
number of the one further removed from the iiivariant foint is the greater, and both 
rotation numbers exceed Ö.' 

Consider the two curves in the »r/i-plane. Since T carries a line (p = const, 
in a regular neighborhood into a curve cut by any line (p = const, at most once 
we see that '/', for the outer curve exceeds (p^ for the inner curve, and both are 
greater than the initial (p by more than 0. Hence we can affirm that <p^ along 
the outer curve exceeds (p^ along the inner curve by a definite amount i), and 
that this (/,, in turn, exceeds the initial <p by at least 0^6. 

This fact shows at once that the rotation nnmber of the outer curve is at 
least as great as that of the inner curve. For, points initially with the same (p 
on the two curves are taken into points such that the (p of the outer curve 
exceeds that of the inner curve by at least 6 under indefinite iteration of T. 

To establish our statement that the outer curve has the greater rotation 
number it is thus only needful to exclude the possibility that their rotation 
numbers are the same. 

If the two rotation numbers are the same and rationally related to 2 it, 
then for some q the transformation Tq will have a rotation number z'pn {p an 
integer), so that there will exist points on both curves which are carried into 
themselves by this transformation, rp being increased by precisely 2p:r. 

Suppose now that we follow the transformation Tq by a rotation in the 
MC-plane through 2p complete negative revolutions. The resultant transformation 
will evidently be conservative with the same invariant area integral as before, 
and the two curves will appear as invariant curves with the rotation number o. 
It is also evident that by this resultant transformation points on the outer curve 
have their coordinate cp increased by at least ô more than the increase in the 
like coordinate of the corresponding point on the inner curve. 

Construct a curvilinear quadrilateral in the r(p-p\a,ne as follows. One vertex 
will be an invariant point of the inner curve under the resultant transformation 
and a second vertex the corresponding point on the outer curve. A third vertex 
will be the first invariant point on the outer curve with greater (/. and a fourth 
the corresponding point of the inner curve. The quadrilateral will then consist 
of the two radial segments rp = const, through the two pairs of corresponding 
points, and the two arcs of the invariant curves included between them. 



' The assumption c > o is -still made. This entails no specialization of course. 



Surface transforiiiatious and their dynamical applications. 91 

Consider the image of this quadrilateral under the resultant transformation. 
The invariant points remain fixed, but the two sides cp — const, are carried into 

curves with tangent argument which is everywhere less than - , the argument 

before the transformation. In the image quadrilateral then, the curvilinear side 
through the invariant point on the inner curve lies to the right of the point, 
while the opposite side through the other invariant point on the outer curve 
lies to the left of this second invariant point. Consequently the quadrilateral 
has been taken into part of itself, the two sides formed of arcs of the invariant 
curves being carried over into part of themselves. This is impossible of course 
with a conservative transformation. 

It is still easier to dispose of the case when both rotation numbers f)' are 
assumed to be equal but not rationally related to 2it. Here again if a point on 
the outer invariant curve has a coordinate (p not less than that of a point on 
the inner invariant curve, then, under indefinite iteration of T, it will always be 
true that the coordinate of any image of the first point will be greater bj' at 
least Ö than the coordinate f/> of the like image of the second point. 

Choose now a positive integer q such that qO' is less than some integral 
multiple of 2/f , say apjT, by a quantity less than ô. It is always possible to do 
this precisely because 0' is incommensurable with 2fr . Every point on the inner 
invariant curve will then be advanced by less than 2pr( under T^. On the 
other hand, since the transformation Tq has a rotation number ql)', it is always 
possible to choose a point of the inner curve which has its <p coordinate increased 
by at least qO' under Tq. The corresponding point of the outer curve then has 
its ip coordinate increased by at least as much as qO' + ö i. e. by more than 
T.'p^c. Hence the rotation number of the outer curve under Tq is at least as 

great as —f-^ . This is impossible. 



§ 47. On riiijrs of instability. 

If C, and C2 are invariant curves in a regular neighborhood of an invariant 
point in the stable case II', there may either be further invariant curves on the 
ring C, Cj or not. If there are, the ring C, C, may be subdivided further into 
similar rings. Thus the neighborhood of the invariant point is divided into an 
infinite succession of rings of instability (reducing to single invariant curves in 
the integrable case). Each ring of this sort is bounded by two invariant curves 



92 George 1). Birkhoff. 

C" C" and has no invariant curve upon it other than C" and C". We shall onlj' 
prove : 

Let C, C" be entirely distinct invariant cnrves forming the boundary curves 
of a ring of instability. Then for any t> o an integer N can be assigned such 
that a point P' exists within a distance t of any ■joint P of C {or C") which 
goes into a point Q' within distance e of any point Q of C" {or C) in n<N 
iteration of T {or T-\). 

In the contrary case points P and Q exist for which no point P' can be 
found for some Q' and any N . Consider a small circle with P as center and of 
radius e in this case. By iteration of T this region is carried into others, all lying 
partly within the ring, but not extending to C". Consider the open continuum 
lying outside of C" and occluded by all of these regions. This continuum is 
carried into all or part of itself by T. But it cannot be carried into part of 
itself. Hence the boundary curve is invariant under T. But this curve is distinct 
from C" as well as C\ since it does not approach within distance t of the point L. 
Such an invariant curve does not exist in C C" bj^ hypothesis. 



§ 48. The other stable elliptic cases. 

In the case IF, 1 7^ 1 but finite, the fundamental equalities (28) may be 
replaced by 

r^ = r + R{r, rp), </', = «/)-{ Ö + cr-' + S{r, </), 

where 7?, S have the same character as before. Hence we see that a regular 
neighborhood of (o, o) exists in this case. Here the arguments made above for 
the case II', Z=i, apply without modification. 

This is also true in the general elliptic subcases II", 111' (see § 45). 

In the case IP, I finite, in the general elliptic subcases //", ///', arid, more 
generally, toheneier there exists a regular neighborhood of aw elliptic invariant point, 
all of the properties of invariant closed curves established in case IP, I = 1, continue 
to hold. 

It is higlilj- })robablc that an integer analogous to I in the case II' can be 
defined in all elliptic cases and that, if the notion of regular neighborhood be 
generalized appropriately, such a neighborhood exists when / is finite. When 
I = CO it appears possible that an invariant linear family of series G + cH 
exists. 

The formal and anaUtical questions to be answered here are extremely 
important and interesting. 



Surface transformations and their dynamical applications. 93 

§49. Invariant curres and the function F*. 

In case II', ^=1, the invariant closed curves investigated above are closely 
like the curves i^ = const, where i^ is a polynomial in n,v obtained by breaking 
off F* at terms of high degiee tt. 

To see this let us employ the variables u, c osculating the normalizing 
variables of § 22 to high order. The formulas (28) and (31) show that the tangent 
directions along the invariant curve in the r<p-p]ane have a slope less than 

-r' . If the slope exceeds this magnitude the invariant curve will not lie 

within the barred angle at the corresponding point of the invariant curve. 

On the other hand F* is given by — ^(ît- + r-) out to terms of degree /( + 1. 

Combining these results and observing that /( is arbitrary, we find: 

In the stable case II', / = i, if F stands for the polynomial in n, v formed by 

'i 
the terms of degree less than u in i^*, then \F' — i^'' | < Ä;|i^'|" at any points P', P" 

of an invariant curve. 

Evidently similar results hold in any case II', II", III', III" when a regular 

neighborhood exists. 



§ 50. Remark on the integrable elliptic case. 

In the integrable elliptic case there is a familj' of closed analytic invariant 
curves F* = const, about the invariant point. 

Since an area integral I I Q{u, r)dudr is invariant under T, an integral 
of the form 



j j P{a, i)dadi 



remains invariant, where n is a parameter varying from curve to curve, and 1 
an angular parameter varying from o to 2n as each curve is described. But T 
has the form 

Oi = a, r, = f[r.a) 

so that 



94 George D. Ijirklioff. 

Consequently along any particular curve 

13 Bi 

I P{,!,r)dr=- P{(T,,T,)dr,. 

A A, 

Thus, if I P{(r,i)di be taken as proportional to a modified parameter, the 
equations for T take the form 

<?i = 'f> ', = r + !7(a), 

where g is an analytic function of o for a^ o. 

A noteworthy special feature of this case now appears: 

In the integraUe elliptic case if any invariant closed curve of the analytic family 

F* = const, has a rotation number " - , then Tg leaves every point of the curve 

invariant. 

It is obvious that the integrable case is not the general case, inasmuch as 
such an invariant point curve will not exist in general. 

It would be a vital advance to be able to determine the distribution of the 
invariant curves in the non-integrable case by analytic tests. This appears to 
be possible only in the case of a rotation number commensurable with 2rr, when 
the invariant curve is hypercontinuous. 



Chapter IV. Elliptic invariant points. Unstable case. 
§ 51. Kxisteiice of a and w points. General case. 

In the unstable case a neighborhood of the invariant point (o, o), of the 
form r <d say, can be so taken that, under indefinite iteration of T or of T-i, 
points arbitrarily near (o, o) leave this neighborhood. It has previously been 
pointed out that this property holds for both T and T_i if it holds for either 
(§ 42). We restrict attention to such a neighborhood D. 

Let us fix attention upon u points which remain in D under indefinite 
iteration of T and upon « points which remain in D under indefinite iteration 
of r_i. The two sets of points are clearly closed sets. 



Surface transformations and their dynamical applications. 95 

An w point is evidently carried into an w point by T , and also by T-i if its 
image under T—i lies in D. Similar results hold for « points. 

For an unstable elliptic point the point set of aiw) points has a connected subset 
A (£2) extending from r = o to the boundary d/ D. ' 

Take a very small neighborhood r<â of (0,0). Under iteration of T_i N 
times (N large), some point of the image extends out to r = d, by virtue of the 
instability. Within this image we can draw a curve from r = o to r = d which 
remains within D under N iterations of T of course. This curve cuts any closed 
curve about (o, 0) in at least one point. By a limiting process, in which N 
becomes larger and larger, we see that at least one oj point lies on any such 
curve. Similarly an « point lies upon it. 

It is then intuitively evident that the italicized statement holds, inasmuch 
as a point « lies upon every such closed curve in D which encloses the invariant 
point. 

The following is evident: 

The connected sets A[Q.) are carried into parts of themselves by T^i (T) and 
into all of themselves together with a part outside oi D by T (T_i) . 

Let us term an unstable invariant point regular if there do not exist closed 
invariant curves in D of which it is a boundary point. 

The regular case embraces the general unstable elliptic case for / finite 
and indeed any case in which the invariant point is surrounded by a regular 
neighborhood. Consider for simplicity the general case II', 1=1. Here r = o 
functions as an invariant curve in the rf/)-plane of polar coordinates. If another 
invariant curve has a point in common with this invariant curve (i. e. with 
r = o) the rotation number is II of course and commensurable with 271 (§ 46), 
and this is impossible in case II' by definition. 

In the regular case the set A (il) connected ivith r = o tends uniformly to 
r = o under iteration of T-\ [T). 

Suppose if possible that this does not hold for the set £i. There exists 
then a quantity ô>o such that for n indefinitely large the set T„(i2) does not 
lie entirely within r <^ö . Now any point of T„(-Q) is an w point which remains 
in D under n iterations of T—i also. Therefore, recalling that f2 and its images 
are connected with r = o, we see that any curve within r <^d and surrounding 
r = has on it at least one point P which remains in D under indefinite iter- 
ation of T and n fold iteration of T-i [n arbitrarily large). Hence, by a lim- 
iting process, we conclude the existence of a point of type w and a on this curve. 

' That is, a chain of a (or o>) points, each point arbitrarily near its successor, extending 
from )• = o to ?■ = d, can be found. 



96 George D. Birlilioff. 

Thus we arrive at a set of points Afi common to Ä and 12, and connected 
with »=0, which reaches out at least to r = (3'. This set is clearly carried into 
itself by T and forms the inner boundary of an open continuum. Thus the set 
AQ forms a closed invariant curve within the scope of the definition. 

However, in the regular case for a sufficiently restricted region D such an 
invariant curve does not exist. Thus we have reached an absurdity, so that 
the italicized statement under consideration must be true. 

An obvious consequence of this property is that the content of the set of 
A (Q) points connected with »=0 is o . 

We easily infer the following fact to be true: 

In the irregular case there exists a connected set of points Ali reachitig to 
r = o from r = ô>o if ö is small enough. The set A (O) tend uniformly toward 
the set AQ wider indefinite iteration of T_i(T). 

Although the introduction of « and co points was not necessary in the stud}' 
of the unstable hyperbolic points, it is instructive to note that the above de- 
finitions hold there (and even in the stable elliptic case). In particular the 
w points are the points on the analytic invariant curves tending toward (o, o) 
or at least not away from (o, o) under iteration of T. Similarly the a points 
lie on the invariant analytic curves which tend toward (o, o) on iteration of 
T_i or at least do not tend away from it. Thus the sets A and i2 are analj'tic 
curves. 

In general these two sets have only a finite set of points in common and 
the points A{ii) tend uniformly toward (o, o) under iteration of T_i (T). This 
is the regular case. The irregular case arises when invariant point curves are 
present. These constitute the points Aii. 

Thus our methods in the hyperbolic case have revealed the precise nature 
of the « and w points — these fall along certain analytic branches ending at 
the invariant point. In the following paragraphs we shall extend the idea of 
branches to the unstable elliptic case. 



§ 52. Fiirtlier study of the regular case II', I finite. 

Let us confine attention to the rf/>-plane of polar coordinates and let us 
fix attention upon any point Q which belongs to the set A(i}) of points «(w) 
connected with r=o. At least one such point Q lies uponr = d. Let i' denote 
the set of u{w) points connected with Q for r>ô>o, where ô is an arbitrarily 
small quantity depending on the point of 2' to be obtained. 



Surface transformations ami tlieir dynamical applications. 



97 



If a continuum abutting on r = d has the property that all of its points 
are accessible from r = d along regular curves without double points and with 



tangent argument greater (less) than 



its boundary will be said to be lejt- 



handedhi {right-handedly) accessible. Thus the curve of the figure below ending 
at Q is right-handedly accessible with MN an auxiliary curve with tangent 

argument less than — ' . With this definition we have the following: 

In the case II', I finite, the continuum of points accessible from r = d along 
a regidar curve to the left {right) of the set 2i of «(w) points is right-handedly (left- 
handedly) accessible, and its boundary extends below r = d indefinitely far to the 
left {right) {see figure). 

r-c/ 




r=o 



Take first Z = i. The proof of the first part of this statement follows the 
line of argument already employed in § 44. If it is not true, there will exist 
above 'S. and on its left regions inaccessiljle from ?• = cZ along regular curves 

without double points and with tangent argument less than — ' . Since T-\ 

rotates vertical lines positively such regions will be carried into similar regions 
toward r — o by iteration of T_i. This fact stands in contradiction with the 
existence of an invariant area integral. 

In particular the point Q is the point furthest to the right of the con- 
tinuum so defined. 

If now the second part of the statement fails to hold, the set .5' does not 
extend indefinitely far to the left. Thus we have a connected set J extending 
from r=o to r = d for which (p is limited. But it has been shown that under 
iteration of T_i the range of variation of (p along such a set increases indefinitely 
(§ 43). Hence an image exists which will cross 1 from left to right. Here we 
allow the use of congruent images. But this shows that 1 must be extended 
further to the left, since it contains all connected « points. This is absurd. 

The properties stated in § 43 extends at once to the general case IF, I 

Acta mathematica. 43. Imprimé le 2.^ mais 1920. l^ 



98 George D. Birkhoff. 

finite, so that our statement is true in this case also. It is probably true when- 
ever a regular neighborhood surrounds the invariant point. 

DefinUion. An unstable invariant point is branched oj i({vj) type if a con- 
tinuos curve C from r = d to r = o can be drawn in the «;■ -plane with no «(ij) 
points on C which are connected to the invariant point by «(w) points. In 
the contrary case it is unhranched. 

For the elliptic unstable case IF, I finite, of u (w) branched type, the sets 
A (i2) fall into a set of closed connected branches extending indefinitely far to 
the left (right) with limr=o for Urn rp = — co (+<»), bîit only a finite distance to 
the right (left). 

Consider first the set 2 and its congruent sets in the branched case. These 
divide the region r<d into component continua and their limit points. The 
continuous curve from r = d to r = o in the t<i'-plane which exists in the branched 
case becomes a continuous curve lying in one of these continua and approaching 
the line r = o. Since each of these continua lies to the right of an initial point 
such as Q this auxiliary curve extends only a finite distance to the right and 
infinitely far to the left, approaching r = o. The analysis sittts of the figure 
now renders it clear that each lower boundary curve of one of these continua 
tends uniforml3' toward r = o as (f becomes negatively infinite. 

But the set 2 cannot cross the auxiliary curve and its congruent images. 
Hence JS forms a closed connected set of a points having the properties specified 
for the branches. 

Two a points A and B connected with ?• = o through « points will be said 
to belong to the same « branch if no auxiliary curve C can be drawn between 
these points to r = o. Otherwise two such points belong to different branches. 
If B lies to the right of C and A to the left then we will say that the B branch 
lies to the right of the A branch. 

A branch clearly includes all a points connected with one of its points for 
r>ô> o. 

It is apparent that if the A branch lies to the left of tlie B branch and 
the B branch to the left of another branch, then the .4 branch lies to the left 
of this branch also. Thus there is a cyclic ordering of the branches. 

The existence of a single auxiliary curve C ensures the existence of an 
infinitude of distinct branches, occurring in congruent sets. Such branches have 
clearly the form specified, inasmuch as these lie between congruent curves C. 

By the transformation T any a branch is carried into a part within r<d 
and certain other portions outside. However, there is clearly an a branch of 
the image wholly within r<d. If there were more tlian one, these branches 



Surface transformations and their dynamical applications. 99 

together with the parts outside of r<d would enclose an area, and this area 
would tend toward r = o upon iteration of T. There must then be only one 
image branch under T. 

By the transformation T-i an a branch is evidently carried into a part of 
such a branch or all of it. 

Similar remarks hold for the lo branches. 

In the branched elliptic unstable type IT, I finite, the trans fonnati on T {T-\) 
carries an a(w) branch into such a branch {as specified). The cyclic order of the 
branches is preserved. 

The last part of the statement is obvious and the first part has just been 
proved. 

It is clear that we have associated with a branched point an « and tn 
rotation number, say Oa and fl„, indicating the rotation of the branches. 

The identity of the branches in no way depends on d. Upon iteration by 
T each branch is carried into r <^ö where ô is arbitrarily small. 

Thus Oa and 0^ in no wise depend upon d. 

For a branched invariant point in the unstable elliptic case II', I finite, the rotation 
number of the a (w) branches is at least {at most) H. 

First, we shall prove that if is positive the rotation number Oa is positive 
or zero. In fact if (9 > o the branch 2 with terminal point Q onr = d goes into 
a branch JS'_i entirely to the left of Q. Now 2'_i cannot lie below 2 for then 
the region made up of points below .3 and to the left of Q is carried by T-\ 
into a region lying under ^" and thus forming only part of the region below 2 
and to the left oi Q. In the wr-plane we have a corresponding area which is 
carried into part of itself, which is not possible. Thus .J is taken into a branch 
to its left and above it, which shows that Oa is positive or zero in this case. 

Consider now the general case and suppose if possible Oa<0. Find an 
integer m such that for an integer k 

mOa<2lc:r <mO. 

Consider the transformation T' obtained by following Tm by a shift of the plane 
2k7t to the left. For T the rotation number of the invariant point is 6»' = 
mO—zkft and is positive, while d'a^mOa — ^k-n: is the rotation number of the 
branches and is negative. But T satisfies all the conditions imposed on T for 
d sufficiently small. Hence we are brought back to the case proved impossible 
in the first place. 

In the branchless case greater complexity exists. A discussion of this case 
is much to be desired. 



100 George I). Birklioff. 



§ 53. IiiicrreliiUoii «f « aiid 10 points. 

Consider the « and w points of D winch are connected with r = o. The 
first set A forms a closed connected set reaching from r = d to »- = 0. The 
second £i has the same properties. In the rr/i-plane it appears at once that the 
two sets must intersect infinitely often. 

Let us develop briefly the proof of this fundamental fact. The basic reason 
which permits this conclusion is that if we have « and w curves of the type 
2^ specified in § 52, one to tlie left of a point Q of r = d and the other to the 
right of a point P of r = d, and if P is taken to the left of Q, there lies 
between P and Q a continuum with boundary points all of type a or w. 
Thus there are points of this closed boundary of both types, i. e. belonging to 
the boundaries of both regions. 

In the branched elliptic unstable case IP, I finite, every « branch intersects 
every co branch infinitely often. 

In the unbranched case also the A and ii sets have infinitely many points in 
common. 

In the branched case then we have what may be described as a network 
of « and w branches. In the general case it is clear that the A and ß sets 
together separate r = o from r = d'>o for d' sufficiently small. 

The lack of definiteness in our general conclusion for the elliptic case is in 
startling contrast with that found in the hyperbolic case. I believe, however, 
that this corresponds to the extremely general character of the situation. A 
fundamental distinction between the two cases is this: the natural domain in 
the hyperbolic case is the complex variable; in the elliptic case, the real. 



Chapter V. Recurrent point groups. 

§ 54. Point gronps. 

Consider an analytic closed surface S of any genus and for the present let 
T denote any one-to-one, direct, analytic transformation of this surface into 
itself. The problem which we attack is that of determining the behavior of 
various classes of points of S under indefinite iteration of T and T_,. Hitherto 
we have only considered points in the vicinity of an invariant point. 



Surface transformations and their dynamical applications. 101 

Let P be any point of S and consider the infinite sequence of points 

..., r_2(P), T-,{P), P, T(P),T,{P),..., 

which will be termed the 2^0/?!/ grovp of P. If two members of this sequence 
are the same, say if T,, = T;, « < /:?, then we have T;_„(P) = P. Here the point 
P will periodically iterate through a set of ji — a distinct points under T. Thus 
by considering Ts—a instead of T we may apply our earlier results to the study 
of the points near this set of points under iteration of T. 

The existence of infinitely many point sets of this particular type and of 
special properties may be considered as established by general theorems con- 
cerning the invariant points of such surfaces. ^ A set of points of this type 
forms a periodic point group. 

Every limit point of the set P, T{P), T^{P), ..., will be termed an lolimit 
point of P, and every limit point of the set P , T-i[P), T-i{P), . . ., will be 
termed an « limit point. A point is counted as often as it appears. In the 
periodic case the finite set of points are all « and 10 limit points, and there are 
no others. 

In all cases the limit points of either class form a closed point set. 

The set of a (cj) limit points of P form a set of complete point groups. The 
distance of Tk(P) from this limit set approaches o for Urn k = — co (+ oo). 

Let Q be an « limit point which Tk{P) approaches for A: = t, , fc^, . . .. 
Evidently Tk+i{P) will approach T(Q) at the same time. That is to say T{Q), 
and likewise T^i{Q), are a limit points if Q is. By repetition of this argument 
we infer that all points of the point group of Q are « limit points. 

To e."?tab]ish the second part of the theorem we employ an indirect argu- 
ment. If Tk(P) did not approach the set of « limit points uniformly for 
lim it = — CO it would be possible to select an infinite set of negative values of 
k such that T^iP) would be distant from any limit point of P by at least a 
definite positive quantity d. There would then be at least one limit point L 
of this set, and this point would be at least d distant from any « limit point. 
By definition however L is an « limit point, so that a contradiction results. 

§ 55. Recurrent Point Groups. 

Consider now an arbitrary closed set 2' of complete point groups. It was 
observed above that the « or w limit points form such a set of point groups. 

' See my paper first cited. 



102 George D. Birkhoff. 

More generally, if we take any set of complete point groups and adjoin to it 
the limit points, we obtain an enlarged set 2. 

If a set 2' contains no proper closed subset 2"" of the same type we shall 
say that J is a minimal set. In this case if P is any point of 2 its a (or w) 
limit points form a closed set which must therefore coincide with 2. 

Any complete point group in a minimal set forms a recurrent point group. 

The simplest type of recurrent point group is the periodic type referred 
to above. 

In all cases but this simplest one, in which 2^ has onl}' a finite number 
of points, a minimal set 2 consists of a perfect point .set. For suppose 
a closed minimal set to have an isolated point. This point is its own limit point 
under T or T-i. Hence this point is a member of a periodic point group, which 
must constitute the minimal set. 

/m order that a point group generated by P he recurrent it is necessary and 
sufficient that for any positive quantity «, however small, there exists a jiositive integer 
k so large that any k successive points in the point group of P, 

T,„(P), rn. + l(P), ..., T,„ + .-l(P), 

have representatives within distance « of every limit point of P. 

This condition is necessary. 

If not there is a recurrent point group generated by P, and a positive £ 
such that sequences of k points (k arbitrarily large) can be found no point of 
which comes with distance e of some limit point Q of P. .4s k increases the 
point Q has at least one limit point Q' and thus it is clear that for a properly 

taken set of sequences no point lies within distance of Q'. Take k odd and 
consider the middle point L of such a sequence. It and its 1 iterates under 

T and T-i he at a distance at least from Q' . Consequently for a limiting 

position L' of L we infer that every point of the complete point group of L is 

at distance at least from Q'. Hence L' defines a closed set of point groups 

lying within the closed minimal set defining the given recurrent motion, but 
forming only part of it, and in particular not containing Q'. This is absurd. 

To prove the condition sufficient we note first that the set of a and w 
limit points of a point group satisfying this condition must coincide. We need 
only to take m>o in the arbitrary set to see the truth of this fact. Call the 
set of these common « and m limit points 2;". 



Surface transformations and their dynamical applications. 103 

If the set 2' is not minimal it would contain a proper subset 2' of the same 
sort to which some point Q of >" would not belong. Now, when one of the set 
of points P, T(P), T,_(P), ..., approaches sufficiently near to a point of 2' it 
will remain very near to this closed set for an arbitrarily large number of iter- 
ations under T, and so will not approach Ç; it is to be kept in mind that 2' is 
a closed set of complete pohit groups. Thus the assumed condition would not 
be satisfied by the point group generated by P. 

Hence 2 is minimal and the point group of P is recurrent. 



§ 56. Tlie general point group and recurrent point groups. 

The importance of the complete point groups of recurrent type for the 
consideration of the general point group is evidenced by the following result: 

There exists at least one recurrent point group in the a (w) limit point grouj) 
of any given point P. 

Let 2' denote the closed set of a limit points. We need to prove that the 
set 2 contains a minimal subset. 

Divide the surface of S into a large number of small regions of maximum 
span not greater than d, an assigned positive constant. Among the points of 
2" there will be one which enters a least set S' of regions of iS under indefinite 
iteration of T and T_i. Let 2' be the corresponding closed set of complete limit 
point gro\ips. This set is part of 2 and lies wholly in the same regions S'. 

Divide S' into regions of maximum span . Among the points of 2' there will 

be one which enters a least set S" of regions of S' under indefinite iteration of 
T and T-i. Define 2" as the closed set of complete limit point groups, which 
is part of 2'. 

Proceeding in this way we determine an infinite sequence 2', 2", ... of closed 
sets of complete point groups lying wholly upon S', S", .. . respectively. Now let 
P<"' be any point whatever of 2'-"^ on aS'"' and let P denote a hmit point of the 
set P', P", . . . The point P belongs to 2 of course since it is a limit point of 
points of 2'. Furthermore, since P'"' is contained in 2, 2', 2", . . ., the limit 
point P lies on all of the regions S, S', S", .... Likewise all of its images under 
T or T_i lie on these regions. Thus the complete point group generated by P, 
and its a and w limit points, do the same. 

Moreover, every point lying in every region aS', »S", ... is an a and w limit 
point of P. Otherwise for large positive (or large negative) k, Tk{P) does not 



104 George I). Birklioff. 

approach some point Q in S' , S" Hence it is apparent that the set of points 

P, T{P},... will not enter into some one of the regions A'*', namely the 
particular one containing Q. But this set of points has a set of w limit point 
groups, each with a representative in every one of the minimum set of subregions 
which make up Ä"''. Thus a contradiction results. 

The same argument shows that any point P lying in every region S', S", . . . 
has this complete set as its set of « or w limit points. In other words the set 
of points common to S\ S", . . . form the desired minimal set. 

The following further result shows that either a point P generates a recurrent 
point group under T or else that it successively approaches and recedes from 
such recurrent point groups: 

For any e > o there exists a k so large that any sequence of k jKints P,T(P) 

T/, (P) contains at least one point within distance t of a recurrent point gro^ip. 

The proof is immediate. 

If the theorem is not true it is possible to obtain points of this type not 
coming within distance e of any recurrent point group for k arbitrarily large. 
Let then Q denote the middle point of such a set {k being taken odd). If Q 
is a limit point of points Q for lim A; = oo evidently the complete point group 
generated by Q has none of its points within distance e of any recurrent point 
group. But the set of a and w limit points of Q contains a minimal set. Thus 
a contradiction appears, since every point group in a minimal set is by 
definition recurrent. 



§ 57. Continuous recurr(Mit point groups. 

Recurrent point groups 2 may be classified as follows: if a point P of 2' 
exists such that all sufficiently near points of 2 are connected to P through 
>" then P is of continuous type; in the contrary case 2, is of discontinuous type. 

From every standpoint the first type is the simpler. 

There are two extreme types of continuous recurrent point groups, namely 
the zero-dimensional or periodic type in which >' consists of a finite set of isolated 
points, and the two-dimensional type in which .2' fills an area. But this area 
has no boundary since these boundaries would form a closed subset of point 
groups of the minimal set 2. Hence this area comprises all of S. Consequently 
S has no invariant points under T, and so has the connectivity of a torus, at 
least i/ T can be generated by a deformation.' 

' Seo my paper first cited. 



Surface transformations and their dynaniical applications. 105 

If (p, (/' are angular coordinates on a torus and if «, j-i are incommensurable 
with 2,71 and with each other, a transformation T of this type is defined by 

<P, = ff + cc, (/', = l/i + p'. 

Thus the two-dimensional type exists. The precise structure of this type is not 
here determined further. 

The remaining one-dimensional continuous type arises when some but not 
all of the points of S near P belong to 2, and are connected with it through 
nearby points of 2'. 

Thus 2 falls into a set of connected subsets, which undergo some sort of 
permutation under T or 7'_i. Since P is carried into its own immediate neigh- 
borhood on sufficient iteration of T, the connected set containing P is carried 
into itself after a finite set of iterations. 

It appears then that JS' consists of a set 2'o containing P, and of its distinct 
successive images -\, 2\, . . ., 2'k-i, while 2'ic coincides with 2'^. Let us consider 
then Tk, which carries 2',, into itself, and for which 2'^ is also a recurrent point 
group. 

Now S'f, is either a simply or multiply connected point set. By using a 
known theorem due to Broüwee* we will prove that it must be multiply con- 
nected. For, if not, 2'„ forms a simply connected set on a part of S which can 
be represented in the plane, and is invariant under T. Moreover this set has 
no inner point, for the boundaries would then constitute a smaller closed set of 
complete point groups. Consequently by the theorem referred to there exists 
an invariant point of 2\, which is absurd. 

Hence the set 2''o is multiply connected. 

If S has the connectivity of the sphere then 2'„ divides the surface of S into 
two or more parts. But in one of these there is a point invariant under T by 
another theorem also due to Brouwer.' Consequently its boundary is invariant 
under T and must constitute all of 2'„. Here then .^ consists of a finite set of 
closed two-sided curves, all outside of one another. 

More generally, consider the neighborhood of a point near 2 but not on it 
and follow along near 2 until a complete circuit is made. The boundary so 
outlined is carried into itself or into one of a finite number of similar boundaries 

' Continuous one-one transformations of surfaces in themselves, Proceedings of the Section of 
Sciences, Koninklijke Academic van Wetenschajtiu-n te Amsterdam, vols, ii — 15 (1908- 1Q12). In the 
last part of this paper Brocwer develops the notion of class of a transformation, given later by 
myself in the paper first cited without knowledge of his work. 

Acta mathematica. 4a. Imprimé le 23 mars 1920. 14 



106 George I>. Birklioff. 

under Tk. Hence Tki carries this boundary and similarly its images under T^u^ 
Tik,---, T{i-\)k into themselves. Each boundary is thus recurrent under T^u 
and if two boundaries have anj' points in common all of their points are in 
common. Since all of the boundaries form a set which hangs together the images 
can consist only in the boundary of a single closed two-sided curve. 

Thus continuous recurrent point groups lie in minimal sets which are either 
made up (i) of a finite set of points, (2) of a finite set of closed two-sided 
curves on S, or (3) of all the points of S. 

In the one-dimensional case a single angular variable and a definite rota- 
tion number arise. A fundamental question is whether a similar representation 
in the two-dimensional case, by means of two angular variables and two 
characteristic rotation numbers, is possible. 



§ 58. Discontinuous recnrrent point groups. 

An immediate division of the types of discontinuous recurrent point groups 
is possible. In the first case no point P of the minimal set 2 is connected with 
any other point through 2; this is the totally discontinuous type. In the second 
this is not the case; here we have the 'partially discontinuous type. 

For the second case 2 falls into connected sets which are permuted among 
themselves by T just as the points are in the first case. The existence of this 
second category of recurrent point groups is doubtful when 7' has the properties 
which we have assumed. On the other hand the totally discontinuous type of 
recurrent point groups exists in important cases. 

Inasmuch as analytic weapons are lacking we content ourselves merely 
with some examples and with making an attempt at classification in the totally 
discontinuous type. 

Let j(t) be a continuous increasing function of such that f{t)—t is periodic 
of period 2 7r. Then <, = /(<) defines a one-to-one continuous direct transformation 
of a circle (on which t is an angular coordinate) into itself. This is associated 
with a definite rotation number and defines at least one recurrent point group 
on the circle, which need not coincide with the whole circle. Its minimal set is 
represented by a perfect nowhere dense point set on the circle.' We limit 
attention to the corresponding values of t. 



See G. D. Birkhokf, Quelques théorèmes sur le mouvement des systèmes dynamiques. Bulletin 
(le la Société Mathématique de France, vol. 40, 191 2. 

The reader will observe the complete analogy between the recurrent motions of that 
[iiiper and recurrent point groups. 



Surface transformations ami tlieir tl3-namii'al applications. 107 

It may now be possible to represent the given recurrent point group 
in the form 

H = f/)(<), r=i/'(0; u, = <r(t,), '■,= '/■(/,), 

where <p, i/' are continuous functions, where u,i are ordinary surface coordinates 
for S, and where t ranges over the vahies specified. We shall say that the 
recurrent point group is of rank i in this case. 
Or it may be possible to write 

u = <p(t,tv), r = il'(t, to); «1 ='/i(', , if,), '', = '/ (<i> «t'l), 

where iv has properties analogous to t. We then say that the recurrent point 
group is discontinuous of rank 2. 

This definition obviously extends to any rank and is applicable to partiall}' 
as well as totallj- discontinuous point groups. 

It would be interesting to know whether or not the rank is finite in al 
cases which actually arise in applications. 



§ 59. Unstable recurrent point groups. 

Let us term a recurrent point group and its minimal set 2" unstable if, for 
£ > o sufficiently small, it is impossible to find ö such that points P within 
distance ö of 2f remain within distance e of under indefinite iteration of T and 
r_ 1 . In the contrary case let us call the point group and the set 2 stable. 
This agrees with our earlier definition of stability in the case of an invariant 
point. 

Let 2 be an unstable minimal set and P a point group such that the 
sequence of points P, T(P), T.,{P), . . . has 2 as the onl}' minimal set in the set 
of 10 limit points. Then the point group of P will be said to be positively asymp- 
totic to 2'. Similarly if the sequence P, T-i{P), T^2{P), ■ • • has a single minimal 
set 2 in its set of a limit points then the point group of P will be said to be 
negatively asymptotic to 2. 

It is apparent that we cannot have the phenomenon of asymptotic point 
groups save when 2 is unstable. For, if P is an\' point at distance more than 
6 from a stable set 2', its iterates cannot approach to within some distance ô 
of 2 by the definition of stability. Moreover our earlier work shows that for 



108 George D. Birklioff. 

hyperbolic periodic point groups' such asymptotic point groups lie along hyper- 
continuous branches, while for regular elliptic periodic point groups other types 
of asymptotic point groups are present. In both of these cases the point P 
tends toward 2" asymptotically, under T or T_i, although such a state of affairs 
is not required by our definition. 

In the regular case an unstable periodic point group possesses positively and 
negatively asymptotic point groups forming connected sets of the kinds earlier 
specified. 

Moreover even in the irregular case the work of § 51 shows that we will 
have connected « and ij sets. These furnish asymptotic point groups unless 
there are other recurrent point groups in these sets. This follows by the last 
result of § 56. 

In the irregular case an unstable periodic point group possesses such asymptotic 
sets unless there are infinitely many recurrent point groups in its infinitesimal 
vicinity. 

It is this possibility which arises for a h3'perbolic invariant point through 
which passes an invariant point curve. The nearby invariant points are the 
recurrent point groups in the vicinity. 

Our initial conclusion for recurrent non-periodic point groups is the 
following: 

An iinstable minimal set (not periodic) possesses positively and negatively 
asymptotic point groups forming a connected set, at least unless there are other 
recurrent point groups in its infinitesimal vicinity. 

In fact, if possible choose e so small that there are no other recurrent point 
groups within distance « of 2'. Now choose ö extremely small and consider the 
iterates of points within distance ô of .i" under T. Because of the instability 
of 2" these iterates reach out in a connected set to distance e in N iterations 
(X large). By a limiting process like that employed in § 51 we infer the existence 
of a closed set of points connected with 2", reaching out to the boundarj' of this 
e vicinity, and remaining within this neighborhood under indefinite iteration of 
T—\. But each point of this set has onlj' the minimal set 2 in its « point group. 
Hence these points approach 2? uniformly often under iteration, bj' the last result 
of § 56, and are negatively asymptotic to .2. The existence of a positively 
asymptotic set may be similarly established. 

To advance further we introduce the notion of isomorphic recurrent point 
groups: Two recurrent point groups with minimal sets 2,^' are isomorphic if it 

' A periodic point group of q points P, T{P), .... 7j— i(P) is called hyperbolic if P is 
hyperliolic under 'J'g. A similar terminology is employed in general. 



Surface transformations and tlieir dynamical applications. 109 

is possible to establish a correspondence of closed point sets of 2' to closed point 
sets of ^' which is maintained under T . It is assumed that there is more than 
a single set unless 2 or 2' consists of a single point. Thus two periodic point 
groups of k and I points are isomorphic only if k and I have a common prime 
factor. Similarly two one-dimensional continuous recurrent point groups are 
isomorphic only if their rotation numbers are the same or if they fall into ^^ 
and I curves, where k and I have a common prime factor. 

// there are not an i^ifinitude of recurrent point grovys in the neighborhood of 
2 and isomorphic ivith it, there will exist such connected asymptotic sets. 

The existence of infinitely many near by recurrent point groups is an 
evident necessary condition for the non existence of asymptotic sets of this 
description. To show that infinitely many of these are isomorphic with 2", 
we note that the earlier argument for existence of such positively asymptotic 
point groups only fails if the connected w set obtained contains other minimal 
sets besides -. Let 2' be such a set. By operating with T indefinitely often 
upon the set connecting 2" and 2' we infer that there exist point sets connecting 
2 and 2', and remaining in the « neighborhood of 2,2' under indefinite itera- 
tion of T and of T_i. Let us establish a correspondence between the sets of 
points of 2 and 2' so connected. 

Now if all the points of 2 and 2' are so connected we have a connected 
invariant set under T, and included by it an invariant point of course. If 
invariant points exist in every vicinity of 2f, there exists an invariant point 
on 2f, which must coincide with .3. Hence in all cases the sets 2 and 2' 
are isomorphic. If there are a finite number of connected sets we are led to 
isomorphic periodic point groups near 2:'. 

By letting « approach o we arrive at infinitely many periodic or other 
recurrent point groups having minimal sets isomorphic with 2^ and lying in its 
immediate vicinity. This is under the hypothesis that there are no asymptotic 
sets of the type described. 

It is to be hoped that a more complete analysis of the notion of isomor- 
phism will be made. 

Let us say that a point is positively {negatively) asymptotic to a set of iso- 
morphic recurrent point groups if these and these alone form the recurrent 
point groups among its to («) limit points. 

The above argument then enables us to state the following: 

For a given recurrent point group in any continuum D there exist connected 
sets positively and negatively asymptotic to a set of isomorphic recurrent point groups 
containing the given point group unless there is such an isomorphic point group with 
a point on the boundary of D. 



110 .George D. Birkhoff. 

§ 60. Stable recurrent point groups. 

The simplest type of continuous recurrent point groups is the periodic type. 
If this is stable each of the k points of the group is clearly surrounded by 
infinitely many neighboring curves which are permuted by T. These curves are 
invariant under T and their form has been partially determined (§§ 44 — 47). 

The two-dimensional continuous type is stable by definition since its points 
fill 8. 

Suppose finally that we have a stable continuous one-dimensional recurrent 
point group with minimal set .li'. On either side of the curve 2' it is readily 
inferred (see § 42) that we have an infinite succession of nearby invariant curves. 
If the rate of rotation of nearby points exceeds that along the curve (as in the 
case of a regular neighborhood of an invariant point) the nature of these curves 
can be discussed more fully, but we will not attempt such a discussion. 

Thus a stable one-dimensional continuous recurrent point group is sur- 
rounded by infinitely many neighboring invariant curves on either side. 

In the case of a discontinuous recurrent point group with minimal set 2' 
we are led similarly to a set of nearby invariant sets of continua containing 



J}' 



the set .2' as inner points and lying within distance £ of 2". Clearly I \Qdudv 

taken over any of these continua is the same, so their number is finite, and 
they are carried into themselves by Tu- Thus there is an invariant point under 
Tk within each of them. Such a point P lying near a point of .2 and in the 
same continuum clearly remains nearby under iteration of T or T_i. By letting 
e decrease the number of these continua increases indefinitel3^ At each stage k 
is unaltered or changes to a multiple of itself. 

A stable periodic point group of k points has in its neighborhood infinitely 
many invariant sets of k enclosing curves as specified. 

A stable one dimensional recurrent point group has in its neighborhood iii fin- 
itely many invariant rings ivithin which it lies. 

A stable discontinuous recurrent point group has in its neighborhood infinitely 
many periodic point groups and invariant sets of enclosing curves. A point of a 
periodic point group approximates uniformly to any nearby point P of (he given 
group under all iterations of T and T_i. 



Surface transformations and their dynamical applications. Ill 

Chapter VI. The general point group. 

§ 6r. Classification of transformations T. 

Before entering upon further discussion of the behavior of points under T , 
we shall effect a classification which is fundamental. 

A transformation T will be called transitive if, for any pair of points P 
and Q on S nearby points P' and Q' respectively can be found such that 

e'=T„(F'). 

A transformation T is intransitive in the contrary case. 
It seems highly probable that the transitive case is to be regarded as the 
general case. 

§ 62. The transitive case. 

We commence with the transitive case. 

In the transitive case all of the recurrent foint groups are unstable.^ 

In fact it has been observed earlier that a stable recurrent point group 
leads to continua forming part of S, wliich are invariant as a set under T and 
lie near the point group. Hence if we take a point P outside of these continua 
and a point Q within one of them, the condition given in the definition of transi- 
tivity cannot be fulfilled. 

We note that invariant sets of continua cannot exist in the transitive case 
for the same reason. 

In the transitive case the asymptotic a or w point groups connected ivith any 
recurrent point group and its isomorphic recurrent point groups, together with these 
recurrent groups, are everywhere dense throughout the surface S. 

For suppose that there is no such asymptotic point in some small region a 
for a recurrent point group with minimal set I. 

Take then a small vicinity of 2 and consider the regions into which it goes 
by T. Evidently this set of region must ultimately overlap part of a or we 
shall be led to invariant continua, such as can not exist in the transitive case. 

Applying then precisely the same considerations that we have used earlier, 
i. e. considering smaller and smaller neighborhoods of 2, we derive the existence 

' The exceptional case in which there is a single recurrent point group whose minimal 
set fills S is left out of consideration. 



112 George D. Birkhofî. 

of a connected « set reaching from ^' to tbe boundary of a at P. Either P 
belongs to a point group isomorphic with 2, or its point group is positively 
asymptotic to 2, or to a set of isomorphic recurrent point groups, by the pre- 
ceding paragraph. 

In the transitive case any positively asymptotic connected set of points has in- 
finitely many points in common with any negatively asymptotic set, at least if there 
exists a single elliptic periodic point group IF with I finite. 

This follows at once from the immediately preceding propositions and from 
the structure of the network of asymptotic sets A and Ü about such an in- 
variant point (§ 53). 

For, consider the transformation Tq which leaves such a point P of an 
elliptic periodic point group unchanged. 

The given connected asymptotic « set reaches into this network indefinitely 
near to the invariant point P without meeting the A set. The negatively con- 
nected asymptotic uj set reaches into this network without meeting the .Q set. 
Consequently the two sets have infinitely many points in common. 

Thus there exist point groups positively and negatively asymptotic to as- 
signed periodic point groups. 

Suppose now that we designate any point whose « or oj limit points do not 
form all of /S as a special point. All of the points belonging to recurrent point 
groups or points asymptotic to such point groups are of this type. 

Points which are not special evidently pass into the neighborhood of all 
points of iS' under iteration of T or T_i. Such points we term general. 

In the transitive case the general points are everywhere dense in S. 

To see this we divide S into a large number of regions S' of small diameter 
d, and consider the set of points P whose iterates do not enter within all of 
the regions S'. Such points P evidentlj- form a closed set of points, M sav. 

This set M is nowhere dense in <S. In the contrary case suppose J/ to 
fill a small region a'. Now there are only a finite set of regions S' and thus 
only a finite number of combinations of less than all of them. Divide the points 
of (j' into the finite number of closed sets according to the regions S' which the 
points enter. Thus <;' is divided into a finite number of closed sets, at least 
one of which therefore fills some neighborhood a" of a' densely. We rerall 
that a finite or denumerably infinite set of nowhere dense closed sets cannot 
fill a complete neighborhood. But the existence of such a region a" contradicts 
the condition that T is transitive. Thus M is nowhere dense. 

Again choose a set of subregions S" of the regions <S' of diameter less than 



Surface transformations and tlieir dynamical applications. 113 

" leading to a set J\I' which includes 31 by a similar process. The set M' is 

2 

nowhere dense. 

By continuing in this fashion we get an infinite set of closed sets M , M\ . . ., 
each containing its predecessor. Every point P which has not all of S for its 
set of limit points evidently belongs to some one of these sets. 

But by the theorem quoted above the set of all points belonging to 
some il/*''' nowhere fills a complete neighborhood. Hence the stated pro- 
perty holds. 

It would appear to be a very important and difficult question to determine 
the relative measure of the special points and general points. The above argu- 
ment renders it clear that both of these sets are measurable in the sense of 
Lesbesgue, but sheds no light on their relative measures. One naturally con- 
jectures tliat the special points are of measure o. 



§ 63. The intransitive case. 

In the intransitive case there exists at least one pair of points P , Q such 
that no point very near to P goes into a point very near to Q under iteration 
of T or T_i. Obviously this state of affairs implies the existence of invariant 
sets of two-sided curves forming the boundaries of open continua on opposite 
sides of which P and Q lie. 

We term a transformation T for which there exist only a finite number 
ü;>o of such curves finitely inlransitive ; otherwise, infinitely intransitive. 

Within one of the invariant sets of continua bounded by these curves in 
such a finitely transitive case, the